Der Zeitwert des Geldes - Vom Umgang mit Zinsstrukturkurven -

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1 - /8 - Der Zeiwer des Geldes - Vom Umgang mi Zinssrukurkurven - Dr. rer. pol. Helmu Sieger PROBLEMSELLUNG Zinsänderungen beeinflussen den Wer der Zahlungssröme, die Krediinsiue, Versicherungen und sonsige Unernehmen aufgrund ihrer Bilanzsrukur empfangen oder leisen. Unernehmen, die sich vor einigen Jahren zu relaiv hohen Zinsen finanzier haben, sind heue geneig, durch Zinsswaps ihre fesen Zinsverpflichungen gegen variable zu auschen. Ein solcher ausch is allerdings nur dann "fair", d.h. markgerech, wenn sich der Wer beider Zahlungssröme deck. Um den akuellen Wer ("mark-o-marke") einer Posiion zu erhalen, sind grundsäzlich die Kondiionen des zu bewerenden Finanziels aufzulösen, um aus dem daraus resulierenden Zahlungssrom den Barwer zu besimmen. Er gib den heoreischen ("fairen") Wer des Finanziels zum Bewerungszeipunk 0 wider: () BW Z ( r) BW heoreischer Wer des Finanziels zum Zeipunk Z Zahlung zum Zeipunk Reslaufzei r Markzinssaz Zeiindex Die Abbildung der realen Zinssrukur (als gemeinsames "underlying" aller zinsragenden Finanziel) durch einen einheilichen Zinssaz r simplifizier die Realiä, wird doch immer eine horizonale Zinssrukurkurve in Höhe des Diskonierungssazes r unersell! Die Bewerung unerlieg dami - sofern nich asächlich eine horizonale Zinssrukurkurve vorlieg - nich den realen, markgerechen Opporuniäskosen. Um Fehleinschäzungen hinsichlich der relaiven Voreilhafigkei von Zahlungssrömen zu vermeiden, müssen die Opporuniäen in Form der am Bewerungssichag güligen Geld- und Kapialmarksäze ( spo raes ) exak erfaß werden. Formal ausgedrück gil nun: () BW r Z ( Z ( Z ( Z... ( periodengereche Markzinssäze in Abhängigkei von der (Res-)Laufzei

2 - /8 - BEWERUNG DURCH EINE "SPO PAR YIELD CURVE" Bei den Diskonsäzen in Gleichung () handel es sich um Markrendien aus besimmen Marksegmenen, bspw. um die Rendien von Bundespapieren zu pari. Die Menge solcher Rendien, geordne nach ihren Reslaufzeien, wird als "spo par yield curve" bzw. Kuponsrukurkurve bezeichne. Eine Bewerung von Finanzieln direk über die spo par yield curve bilde allerdings auch nich hinreichend genau die Realiä ab, weil sie lediglich zu einer durchschnilichen (geomerischen) Diskonierung der einzelnen Zahlungen (mi dem zum Zeipunk güligen Zinssaz) führ. Die implizie Verzinsungssrukur am Beispiel der Zahlung zum Zeipunk sieh nämlich wie folg aus: (a) BW Z ( Z ( * ( * ( Finanzmahemaische Berechnungen auf Basis der spo par yield curve sind folglich aufgrund des Durchschnisprinzips (so wird Z über alle Perioden einheilich mi r bewere) nich in der Lage, die konkreen Wiederanlagebedingungen am Mark zu berücksichigen. Um zu einem exaken Ergebnis zu gelangen, is die spo par yield curve vielmehr so zu ransformieren, daß die zur Zei der Bewerung sicheren Wiederanlagebedingungen implizi in den Rendiensäzen eingerechne werden, so wie dies von Zero Bonds bekann is: für die Berechnungen muß ein Zahlungssrom zugrundegeleg werden, der zwischenzeiliche Zahlungen (die ja für die Wiederanlageproblemaik veranworlich sind) in die Rückzahlung zum Zeipunk einrechne. Die so ermiele spo zero yield curve spiegel exak - wenn auch modellhaf - die Wiederanlagebedingungen am Geld- und Kapialmark wider. Mi einer Srukur aus "wiederanlagefreien" Rendiensäzen wird es möglich, jeder Zahlung einen periodenindividuellen Zinssaz zuzuordnen, um so zu einer korreken Markbewerung zu gelangen. Relaiv einfach wäre es nun, Rendien von am Mark gehandelen Zero Bonds, in Abhängigkei von ihrer Reslaufzei, in eine solche Null-Kuponsrukurkurve einzusellen. Hierfür fehlen allerdings am Mark die Zero Bonds für die Spannbreie der benöigen Laufzeien. Aus diesem Grund müssen die Zero-Bond-Rendien synheisch aus einer Folge von Zero Bonds gewonnen werden. Die implizie Verzinsungssrukur, wiederum am Beispiel der Zahlung zum Zeipunk, sieh dann im Ergebnis wie folg aus:

3 (b) BW - /8 - Z ( FR ) * ( FR ) * ( FR nm Forward Raes zum Zeipunk n für m Perioden Die Ableiung der Forward Raes, die keine unsicheren Prognosewere, sondern sichere Arbiragewere darsellen, erfolg in drei Schrien und soll im Folgenden dargesell werden:. Ermilung der spo par yield curve (Kuponzinssäze zu pari). Ableiung der spo zero yield curve (Zero-Rendien) aus der Rendiesrukurkurve. Ableiung der Forward Raes aus den Zero-Rendien. ABLEIUNG DER ZERO-RENDIEN SOWIE DER FORWARD RAES Die spo zero yield curve muß aus den Markzinssäzen, d.h. aus der spo par yield curve, generier werden. Wie aus Gleichung () deulich wird, kann jede Zahlung eines Finanziels für sich als ein eigener Zero Bond aufgefaß werden. Um die laufzeiadäquae ("wiederanlagefreie") Zero-Rendie (rz ) zu finden, wird zunächs der Rendiesaz für die. Periode aus der spo par yield curve abgeleie. Da in der. Periode keine zwischenzeilichen Kuponzahlungen anfallen, ensprich die Markrendie der Zero-Rendie. Is der Rendiesaz für die. Periode (rz ) bekann, können die folgenden Säze rekursiv (es handel sich folglich um ein lineares Gleichungssysem, das über die Marizenrechnung gelös werden kann) abgeleie werden: r r (). Periode: rz r rz rz rz r r r r. Periode: rz ( rz ) ( rz ) rz ( rz ) rz r r rz allg.: r * ( rz ) r ( rz ) hieraus folg: rz r r * ( rz ) rz wiederanlagefreie Markzinssäze

4 - 4/8 - Das hier beschriebene Verfahren des "boo-srappings" sare mi der kürzesen Laufzei und ase sich bis zur längsen Laufzei vor; während das Verfahren der sog. "srukurkongruenen" Bewerung den umgekehren Weg nimm (vgl. Sieger 994, S. 46). Die Ergebnisse sind idenisch. Aufgrund der ermielen Zero-Bond-Rendien (rz), die immer für einen Zeiraum von 0 bis relevan sind, können deerminisische Zinssäze (deerminisisch, weil diese Effekivrendien implizi in der vorliegenden Rendiekurve enhalen sind) für zukünfige Perioden (erminzinssäze), die bereis in Gleichung (b) erwähnen Forward Raes, ermiel werden. Diese (Grenz-) Zinsäze sind in der Zukunf beginnende periodenindividuelle Rendien für n bis m bzw. -, deren Ableiung sich auf die Arbirage- Vorsellung gründe, daß bspw. ein Kassa-Zahlungssrom über Jahre die gleiche Rendie erwirschafen muß wie eine Kombinaion von einem ein-jährigen Kassa- Zahlungssrom und einem ein-jährigen ermin-zahlungssrom mi Sar in einem Jahr. Diese Duplizierung von Zahlungssrömen, bei denen die Forward Rae für die Arbiragefreihei gegenüber Kassa-Geschäfen sorg, finde auf Basis sicherer Informaionen zum Zeipunk (0) sa - is somi völlig risikofrei: (4) ( rz ) ( rz )* ( FR ) allg.: ( rz ) ( rz ) *( FR ) FR ( rz ) ( rz ) n (... in der n-en Periode... - m...für m Perioden) Die Forward Rae repräsenier die (Grenz-)Rendie nich nur für einjährige Perioden, sondern auch für Brucheile. Auf Zinsberechnungsbasis 0/60 und exponenieller Zinsverrechnung gil: (5) (rz ) (/) * (FR nm ) ((-)/) (rz ) (/), in Monaen Aufgrund der Forward Raes können nun die Barwere von Zahlungssrömen unerschiedlichser Laufzei (hierfür is es in der Praxis allerdings nowendig, die Forward Raes durch vorausgehende Inerpolaion der Zero-Rendien zu berechnen, um eine zeilich lückenlose Grundlage für die Bewerung der Cash Flows zu erhalen) exak, im Sinne der Gleichung (b), besimm werden.

5 - 5/8 - BEISPIEL: VON DEN MARKDAEN ZUR BEWERUNG EINES ZINSSWAPS Die Markzinssäze einer spo par yield curve spiegeln die Kuponzahlungen von Anleihen mi unerschiedlichen Laufzeien wider, die zu pari gehandel werden. Es soll nun gezeig werden, wie sich daraus die Zero-Rendien - uner der Prämisse halbjährlicher Kuponzahlungen - ermieln lassen. (a) Ausgangssiuaion - der Geld- und Kapialmark mi seiner gegebenen Zinssrukur: Zei in Jahren spo par yield curve 0,5 4,0666 4,5066,5 5,0694 5,80 (b) Berechnungsgrundlage - ein lineares Gleichungssysem (p.a.-zinssäze, exponeniell auf Basis 0/60): 0, * 0,5 ( rz ) 0,5 0, ,5 0, * 0,5 0, * 0,5 ( 0,04079) 0,5 ( rz ) 0, , * 0,5 0, * 0,5 0, * 0,5 ( 0,04079) 0,5 ( 0,04565) ( rz ),5 0,055,5 0,0580* 0,5 0,0580* 0,5 0,0580* 0,5 0,0580* 0,5 ( 0,04079) 0,5 ( 0,04565) ( 0,055),5 ( rz ) 0, (c) Ergebnis: Zei in Jahren spo par yield curve spo zero yield curve ZBAF 0,5 4,0666 4,079 /(,04079) 0,5 0,980 4,5066 4,565 /(,04565),0 0,9564,5 5,0694 5,5 /(,055),5 0,974 5,80 5,4806 /(,054806),0 0,8988 Die Zerobondabzinsungsfakoren (ZBAF) können auch direk aus dem Gleichungssysem gewonnen werden (ZBAF 0,5 *(,040666*0,5)0,980). ZBAF sellen insofern eine rechenechnische Vereinfachung dar, um Zahlungssröme exak zu diskonieren ((FR 0 )*FR )) - ZBAF 0 ). Für die Bewerung eines SWAPs und anderer Finanziel wie Fuures und FRA's (vgl. Diwald 994, S. 7f) werden explizi die Forward

6 - 6/8 - Raes benöig. Sie lassen sich wie in Gleichung (5) beschrieben besimmen. Für eine Forward Rae, die in 6 Monaen beginn und eine Laufzei von 6 Monae ha, gil bspw. (exponeniell, Basis 0/60): (0,04079) (6/) * (FR 6/6 ) ((-6)/) (0,04565) (/) FR 6/6, ,5 0,0509 0,5,04079 Auf Grund dieser Beziehung lassen sich für einen Zeiraum m von 6 Monaen, folgende Forward Raes besimmen: heue für 6 Monae (rz 0/6 ) 4,079 in 6 Monaen für 6 Monae (FR 6/6 ) 5,09 in Monaen für 6 Monae (FR /6 ) 6,49 in 8 Monaen für 6 Monae (FR 8/6 ) 6,477. (d) Bewerungskonzepion für SWAPS In die Bewerung von SWAPs werden sowohl die Feszinszahlungen als auch die variablen Zahlungen einbezogen. Die variablen Zahlungen am Swapmark sind immer an die Inerbankraen FIBOR bzw. LIBOR gekoppel. Alle nich gefixen (also zukünfigen) LIBOR- bzw. FIBOR-Zahlungen werden durch die Muliplikaion der ermielen Forward Raes mi dem Nominalberag des Zinsswaps ermiel. Dami wird offensichlich, daß für die Preisbildung nich primär der akuelle (gefixe) LIBOR- bzw. FIBOR- Saz relevan is, sondern vor allem die zukünfigen ermin-zinssäze. Anzumerken is, daß eine Verringerung der Zinsbelasung (Feszins > variabler Zins), wie eingangs unersell, nur in der. Periode von 6 Monaen sicher is. Für alle weieren Perioden beseh roz der arbiragefreien Forward Raes naürlich Unsicherhei - maßgeblich is dann nämlich der jeweilig gelende asächliche LIBOR/FIBOR-Saz. Vor dem Einreen in einen SWAP (sowie FRA S, Opionen und Zinsbegrenzungsvereinbarungen) is es aber unerläßlich, auf die Zinssäze zurückzugreifen, die in der Zukunf vom Mark erware werden, weil die Forward-Zinssäze (die ja implizi in der heuigen Zinssrukurkurve enhalen sind) die Bewerungsgrundlage für die derzeiigen Markkondiionen darsellen. Die Bewerungsbeziehung für Zinsswaps aus der Sich eines Feszinszahlers laue: m (6) Swap Wer rz * age m i j *N*ZBAF c*age *N*ZBAF n i i j i v j f

7 - 7/8 - n v/f m rz i age i,j N ZBAF i,j C Bewerungssichag Zinszahlungsermin der variablen bzw. fixen Seie Laufzeiende variabler Zinssaz für die Zinsperiode; enweder bereis gefix oder durch die ensprechenden Forward-Raes approximier Anzahl der Zinsage für die Zinsperiode Nominalberag des SWAPs Diskonierungsfakor Feszinssaz/00. Beispiel: Die Verragsdaen eines Zinsswaps lauen wie folg: Nominalberag: Mio. DM Verragsabschluß: Laufzeibeginn: Laufzeiende: Feszins: 6,5 % Zinsberechnungsmehode: 0/60 Zinszahlungen: jährlich, nachräglich variabler Zins: 6M-Libor Zinsberechnungsmehode: 0/60 (in der Praxis i.d.r. ac/60, wg. Geldmark-Saz) Zinszahlungen: halbjährlich, nachräglich Diese Kondiionen, aufgelös in einen fesen und einen variablen Zahlungssrom, führen zu folgendem Ergebnis: Zei par rae zero rae ZBAF FR (6M) var. Zahlung (in DM) Barwer var. Zahlung fixe Zahlung (in DM) Barwer fixe Zahlung 0,5 4,0666 4,079 0,980 4, ,5 00,9 4,5066 4,565 0,9564 5, ,5 4000, ,5 5,0694 5,5 0,974 6,49 709,5 9407,74 5,80 5,4806 0,8988 6,477 58,5 908, , Zur Bewerung von besehenden SWAP-Posiionen wird aus Sich des Feszinszahlers der Barwer der variablen Zahlungen dem Barwer der Feszinszahlungen gegenübergesell; die Differenz sell den "mark-o-marke"-wer dieser Posiion dar. In dem Beispiel resulier ein Bewerungsergebnis per. Juli 994 von 06,66 DM DM -7966,4 DM. In dieser Höhe müße bei Jahresabschluß eine Rücksellung gebilde werden. Bei einer sog. "close-ou"-vereinbarung finde ein ensprechender Barausgleich sa, der anschließend zu einer Aufhebung der SWAP-Vereinbarung führ (vgl. Heidorn/Bruel: 99, S. 08).

8 - 8/8 - LIERAUREMPFEHLUNG: H.Diwald: Zinsfuures und Zinsopionen, München 994, S. -.Heidorn: Vom Zins zur Opion, Wiesbaden 994, S. -7.Heidorn/H.Bruel: reasury Managemen, Wiesbaden 99, S L.Kruschwiz/M.Röhrs: Debreu, Arrow und die markzinsorieniere Invesiionsrechnung. In: Zeischrif für Beriebswirschaf 5/994, S A.W.Marusev/A.Pfingsen: Arbiragefreie Herleiung zukünfiger Zinssrukurkurven und Kurswere. In: Die Bank /99, S H.Sieger: Vom Umgang mi Zahlungssrömen. In: Die Bank 7/994, S M.Seiner/C.Bruns: Werpapier-Managemen,. Aufl. Sugar 99, S. 4-0