ANALYSIS Differenzialrechnung Kapitel 1 5

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1 TELEKOLLEG MULTIMEDIAL ANALYSIS Differenzialrecnung Kapitel 5 Ferdinand Weber BRmedia Service GmbH

2 Inaltsverzeicnis Jedes Kapitel beginnt mit der Seitenzal.. Das Tangentenproblem. Steigung einer Geraden Steigung eines Grapen. Recnerisce Bestimmung der Steigung eines Grapen in einem Punkt Grenzwert 5. Weitere Beispiele für die Berecnung von Steigungen 9.4 Berecnung der Steigung des Grapen einer Funktion in einem beliebigen Punkt. Grenzwerte bei Funktionen. Veralten von Funktionen, wenn über alle Grenzen wäcst Grenzwerte für + und. Veralten von Funktionen, wenn sic einer reellen Zal o näert Grenzwerte für o 7. Grundableitungsregel. Differenzialquotient Ableitung Ableitungsfunktion. Grundableitungsregel (Potenzregel) 8. Beispiele zur Anwendung der Grundableitungsregel 9 4. Ableitungsfunktion in Anwendungen 4. Faktorregel 4. Ganzrationale Funktionen 4. Ableitung ganzrationaler Funktionen Summenregel Ableitung von y und y Die Ableitungsfunktionen von y sin und y cos 5. Stetigkeit und Differenzierbarkeit 5. Abscnittweise definierte Funktionen 5. Differenzierbarkeit 5 5. Stetigkeit 8 Lösungen der Aufgaben Register

3 . Das Tangentenproblem Vor der Sendung In Anwendungsgebieten der Wirtscaft, der Tecnik, der Naturwissenscaften ist es für Prognosen bei Prozessen und Abläufen oft wictig zu wissen, wie sic eine Größe im weiteren Verlauf des Prozesses ändern wird. Häufig wird von einer Tendenz gesprocen: Tendenz scwac fallend, gleicbleibend, stark ansteigend. Beispiele sind die Preisentwicklung, die Arbeitslosenzal, Luftdruckscwankungen, der Pegelstand eines Flusses, die Zal der Infektionen an einem bestimmten Virus. Bei solcen funktionalen Zusammenängen sind begründete Vorersagen nur möglic, wenn außer dem Messwert selbst auc das Änderungsveralten der Funktion bekannt ist. Die Frage nac dem Änderungsveralten einer Funktion an einer Stelle fürt matematisc zu der Kernfrage der Differenzialrecnung: Wie groß ist die Steigung des Grapen einer Funktion in einem bestimmten Punkt? Mit algebraiscen Mitteln lässt sic das nict so einfac beantworten. Es müssen ein neues Verfaren entwickelt und neue Begriffe eingefürt werden. Den Begriff "Steigung" aben Sie im Zusammenang mit linearen Funktionen und deren Grapen (Geraden) kennengelernt (siee Begleitmaterial zum Telekolleg "Grundkurs Matematik Vom Recnen zu Algebra und Trigonometrie", Kapitel 7). Darauf baut diese Lektion auf. Sie sollten desalb Ir Wissen über lineare Funktionen und die Steigung von Geraden jetzt wiederolen. Übersict. Es wird erarbeitet, was man unter der Steigung eines Grapen in einem Punkt verstet, wenn dieser keine Gerade, sondern eine gekrümmte Linie ist.. Ein Annäerungsprozess ilft weiter. Um den Prozess matematisc eakt fassen zu können, wird zunäcst anscaulic ein neuer Begriff eingefürt werden, der für die gesamte Differenzialrecnung und darüber inaus eine zentrale Bedeutung at: der Grenzwert. Auf der Grundlage dieses Begriffs wird ein Verfaren erarbeitet, das die Berecnung der Steigung eines Grapen in einem Punkt ermöglict.. Es folgt die Anwendung des neuen Verfarens auf die Funktionen y und y. Die Steigung dieser Grapen in versciedenen Punkten wird bestimmt. 4. Scließlic erfolgt eine Verallgemeinerung so, dass man mitilfe einer Formel die Steigung der Grapen dieser Funktionen in jedem beliebigen Punkt einfac berecnen kann.

4 . Steigung einer Geraden Steigung eines Grapen Bewegung mit konstanter Gescwindigkeit Eine Kugel rollt auf einer Ban mit einer konstanten Gescwindigkeit. In regelmäßigen Zeitabständen wird die Entfernung der Kugel von irem Ausgangspunkt gemessen. Das Ergebnis ist in folgender Tabelle dargestellt. [s] y [m],5,5,5 Man erkennt aus der Tabelle, dass die Kugel in gleicen Zeitabscnitten gleice Wege zurücklegt. Von Sekunde zu Sekunde wird der zurückgelegte Weg um,5 m größer. Wenn ein Körper in gleicen Zeiten gleice Wege zurücklegt, sagt man in der Pysik: Der Körper bewegt sic gleicförmig. Das Diagramm rects zeigt, wie viel Meter die Kugel nac einer bestimmten Zeit insgesamt zurückgelegt at. Auf der orizontalen Acse ist die Zeit mit der Eineit "Sekunden" abgetragen, auf der vertikalen Acse die Entfernung y vom Ausgangspunkt mit der Eineit "Meter". Die Zuordnung "Zeit Weg" ist eine lineare Funktion. Der Grap der Funktion ist eine Gerade. Auc am Grapen erkennt man, dass die Kugel pro Sekunde,5 m zurücklegt. Die Gleicung der Geraden lautet: y,5. Der Zalenwert,5 gibt die Steigung der Geraden an. Die Steigung der Geraden entsprict der Gescwindigkeit der Kugel:,5 s m. Wenn Sie Ir Wissen über lineare Funktionen, über Gleicung und Steigung einer Geraden auffriscen wollen, können Sie die entsprecenden Informationen im Begleitmaterial zum Telekolleg "Grundkurs Matematik Vom Recnen zu Algebra und Trigonometrie" im Abscnitt 7. (Seite 8) naclesen. In der Pysik wird die Zeit in der Regel mit der Variablen t und der Weg mit der Variablen s bezeicnet.

5 Bestimmung der Steigung einer Geraden Das Diagramm rects stellt eine andere gleicförmige Bewegung dar. Um die Gescwindigkeit des Körpers zu bestimmen, muss man die Steigung der Geraden ermitteln. P Dies kann folgendermaßen gesceen: Man wält zwei beliebige Punkte auf der Geraden. Man bildet die Differenz der y-werte und die Differenz der -Werte. Man bildet den Quotienten der y-differenzen durc die -Differenzen. P zwei Punkte Differenz der y-werte Differenz der -Werte Steigung,5 Beispiel: P(,5); P(4 ),5,5 4, 75 allgemein: P( y), P( y) y y y y Im Beispiel ist die Steigung der Geraden,75. Die Gescwindigkeit des Körpers beträgt also,75 s m. y Eine Gerade durc die Punkte P( y) und P( y) at die Steigung: m y Mittlere Gescwindigkeit Die Fart mit dem Auto ist ein alltäglices Beispiel für eine Bewegung, bei der die Gescwindigkeit nict konstant ist. Der Grap einer solcen Autofart könnte zum Beispiel so ausseen, wie im recten Bild dargestellt. Aufgrund des Grapen lässt sic die Fart wie folgt bescreiben: Am Anfang steigt der Grap langsam an, dann immer stärker. Das 5 45 eißt, der Wagen wurde immer scneller. Dann flact der Grap ab, die Gescwindigkeit wird wieder kleiner. Nac 5 Minuten, also ab dem Punkt A, nimmt die Gescwindigkeit des Autos wieder zu. Vielleict at der Farer jetzt die Autoban erreict. Weil in die Gescwindigkeit, die er zwiscen A und B gefaren ist, interessiert, dividiert der Farer die Anzal der Kilometer durc die Zeit, die er für die Strecke benötigt at: 5 km 5km km 45. Das ist die mittlere min 6 min Gescwindigkeit (Durcscnittsgescwindigkeit) zwiscen A und B. Im Punkt A ist die 5 45 tatsäclice Gescwindigkeit kleiner als die mittlere Gescwindigkeit, im Punkt B größer. min. 5 km

6 Momentangescwindigkeit Steigung eines Grapen in einem Punkt Welces ist aber die tatsäclice Gescwindigkeit des Autos im Punkt B? Die tatsäclice Gescwindigkeit ist die Gescwindigkeit, die der Tacometer anzeigt. Man nennt sie die Momentangescwindigkeit im Punkt B. Nemen wir einmal an, das Auto würde ab Punkt B mit konstanter Gescwindigkeit weiterfaren. Dann würde der Grap im Punkt B in eine Gerade übergeen, und zwar one Knick. Die Momentangescwindigkeit im Punkt B würde "konserviert". An der Geraden 4 km 4 km 6 km kann man ablesen: 44. min 6 min Dies ist die Momentangescwindigkeit im Punkt B min 4 km Diese Überlegungen eröffnen uns eine Möglickeit, grapisc die Momentangescwindigkeit in einem beliebigen anderen Punkt zu bestimmen, zum Beispiel im Punkt C. Man zeicnet, so gut es get, eine Tangente an den Grapen Anscließend bestimmt man die Steigung der Tangente. 7 km 7 km 4 km 8 5 min 6 min 5 min 7 km Das lässt sic verallgemeinern: 5 45 Unter der Steigung eines Grapen in einem Punkt P verstet man die Steigung der Tangente an den Grapen im Punkt P. Aufgaben zu.. Bestimmen Sie die Steigung der Geraden, die durc folgende Punkte get: a) P( 7) ; Q( ) b) P( ) ; Q( 7) c) P(4,5,6) ; Q(, 7,). Bestimmen Sie die Gleicung der Geraden, die durc folgende Punkte get: a) P( ) ; Q(4 7) b) P( ) ; Q( 6) c) P( ) ; Q( 6) 4

7 . Ein Pkw at nac 5 Minuten km zurückgelegt (Punkt A) und nac insgesamt 5 Minuten eine Gesamtstrecke von 5 km (Punkt B). a) Wie groß war die mittlere Gescwindigkeit vom Start bis zum Punkt A? b) Wie groß war die mittlere Gescwindigkeit zwiscen den Punkten A und B? 4. Bestimmen Sie die Steigung des Grapen im Punkt P geometrisc. a) P( ) b) P( ) P P. Recnerisce Bestimmung der Steigung eines Grapen in einem Punkt Grenzwert Steigung der Normalparabel in einem Punkt Im folgenden Beispiel rollt eine Kugel auf einer sciefen Ebene. Es ist sofort klar, dass die Gescwindigkeit bei dieser Bewegung nict konstant ist. Sie nimmt ständig zu. Misst man in Abständen von Sekunde den zurückgelegten Weg der Kugel, so ergibt sic zum Beispiel folgende Tabelle. [s] 4 y [m]

8 Der zugeörige Grap ist eine Parabel, und zwar in unserem Beispiel die Normalparabel. Die Gleicung der Normalparabel lautet y. Je steiler der Grap ansteigt, desto größer ist die Gescwindigkeit der Kugel. Will man die Momentangescwindigkeit der Kugel in einem Punkt wissen, muss man die Steigung der Tangente an die Parabel in diesem Punkt bestimmen. Wie groß ist zum Beispiel die Steigung der Parabel im Punkt P(,5,5)? Wie man die Aufgabe zeicnerisc löst, wissen Sie bereits. Leider erält man bei der zeicneriscen Lösung keinen genauen Wert. Die recnerisce Lösung ist aber nict one Weiteres möglic. Man kennt nämlic von der Tangente nur einen einzigen Punkt: P(,5,5). Um die Steigung einer Geraden zu bestimmen, benötigt man aber zwei Punkte. Was ist zu tun? P Um das Problem zu lösen, at man sic ein Verfaren ausgedact, dem man auf den ersten Blick gar nict ansiet, dass man damit zu dem gewünscten Ziel kommt. Wenn Sie Ir Wissen über quadratisce Funktionen und Parabeln auffriscen wollen, können Sie die entsprecenden Informationen im Begleitmaterial zum Telekolleg "Grundkurs Matematik Vom Recnen zu Algebra und Trigonometrie" im Kapitel 9 (Seite ff.) naclesen. 6

9 Berecnung der Steigung der Normalparabel in einem Punkt Man get von einer Geraden aus, die die Parabel zweimal scneidet, einer sogenannten Sekante. Im Bild links get die Sekante durc die Punkte P(,5,5) und Q( 4). Die 4,5,75 Steigung dieser Sekante ist:, 5.,5,5 Jetzt wält man einen anderen Punkt Q auf der Normalparabel, und zwar einen, der näer bei P liegt, zum Beispiel (,5,5) (Bild Mitte). Die Steigung dieser Sekante ist:,5,5.,5,5 Als Näcstes wält man für Q beispielsweise die Koordinaten ( ) (Bild rects). Die,5,75 Steigung dieser Sekante ist, 5.,5,5 Q( 4) m,5 Q(,5,5) m Q( ) m,5 Wenn Q auf der Normalparabel immer näer an P eranrückt, näern sic die Sekanten immer mer der Tangente, und die Steigungen der Sekanten näern sic immer mer der Steigung der Tangente. Tangente 7

10 (,5+) Diese geometriscen Überlegungen der Annäerung bilden die Grundlage für eine rec- nerisce Bestimmung der Steigung der Tangente im Punkt P(,5,5 ). Ein solces recnerisces Verfaren wollen wir jetzt erarbeiten. Weil der Punkt Q auf der Normalparabel auf P "zuwan- dern" soll, bescreiben wir seine Koordinaten mit einer Variablen. Der -Wert von Q soll um größer sein als der -Wert von P. Die -Koordinate von Q eißt also Q,5+. Die y-koordinate ist dann yq(,5+). Q liegt ja auc auf der Normalparabel y. Die Steigung der Sekante ist dann (,5 + ),5,5 +,5 +,5 +. (,5 + ),5 Nun stellen wir uns vor, dass Q auf P zuwandert. wird dann immer kleiner. Der Term für die Steigungen der Sekanten näert sic dabei immer mer der Steigung der Tangente. Aber wie groß ist diese Steigung, wenn gegen get? + ( ) Eine einface Überlegung ilft uns weiter. Wir klammern aus: +. Solange ( + ) von verscieden ist, dürfen wir den Term durc kürzen: + ( ). Am Term + erkennt man sofort: Wenn gegen get, so näert sic der Wert des Terms immer mer der. Man sagt: ist der Grenzwert des Terms für gegen und screibt dafür: + lim lim ( + ) Der Grenzwert gibt die gesucte Steigung der Tan gente an die Normalparabel im Punkt P(,5,5) an. Aufgaben zu.. Eine Sekante scneidet die Normalparabel y im Punkt P( ) und ferner in einem weiteren Punkt Q( 4). Berecnen Sie die Sekantensteigung m.. Berecnen Sie auc für die Sekanten durc P und Q bzw. Q bzw. Q4 jeweils die Steigungen m, m, m4. Q (,5,5 ) Q (,,) Q4 (,,) m m m4. Stellen Sie eine Vermutung auf, w elcem Wert sic die Sekantenstei gungen näern, wenn Q auf der Parabel immer näer an P( ) eranrückt. + lim wird gelesen: Limes von + für gegen. 8

11 . Weitere Beispiele für die Berecnung von Steigungen In den folgenden Beispielen werden die Steigungen der Grapen von y und y in versciedenen Punkten P berecnet. Gesuct: Steigung von y im Punkt P ) Wal eines zweiten Punkts Q ) Differenz der y-werte von Q und P ) Differenz der -Werte von Q und P 4) Quotient: y Differenz Differenz ( + ) 4 ( + ) P( 4) P( ) Q(+ (+) ) Q( + ( +) ) (4 + ) (+) 4 ( +) (+) ( +) ( ) 4 + ( ) ( + ) ( + ) ( + ) + ( ) 5) Grenzwert für lim (4 + ) 4 lim ( + ) Im Punkt ( 4) ist die Steigung der Normalparabel: m 4, im Punkt (- ) ist sie: m. Am Grapen findet man bestätigt, dass die Steigung in ( 4) positiv ist: Die Tangente steigt. In (- ) ist sie negativ: Die Tangente fällt. 9

12 Gesuct: Steigung von y im Punkt P ) Wal eines zweiten Punkts Q ) Differenz der y-werte von Q und P ) Differenz der -Werte von Q und P 4) Quotient: y Differenz Differenz ( + ) 8 ( + ) P( 8) P( ) Q(+ (+) ) Q( + ( + ) ) (+) 8 ( +) ( ) (+) ( +) ( ) ( ) ( ) ( + ) + ( + ) + ( ) ( + ) + ( ) 5) Grenzwert für lim ( ) lim ( + ) Im Punkt ( 8) ist die Steigung des Grapen von y : m. Im Punkt (- -) ist die Steigung des Grapen von y : m. Aufgaben zu.. Bestimmen Sie nac dem oben dargestellten Verfaren die Steigung des Grapen von y im Punkt P( ).. Bestimmen Sie nac dem oben dargestellten Verfaren die Steigung des Grapen von y im Punkt P( ).

13 .4 Berecnung der Steigung des Grapen einer Funktion in einem beliebigen Punkt 4 Um die Steigung eines Grapen nict in jedem Punkt einzeln berecnen zu müssen, fürt man das Verfaren allgemein für einen beliebigen Punkt mit den Koordinaten ( y) aus. Gesuct: Steigung von yf() im Punkt P( y) ) Wal eines zweiten Punkts Q ) Differenz der y-werte von Q und P ) Differenz der -Werte von Q und P y Differenz 4) Quotient: Differenz f() P(o o ) f() P(o o ) Q(+ (+) ) Q(+ (+) ) (+) (+) (+) (+) (o + ) o ( o + ) o (o + ) o (o + ) o o + o + o o + o + o + o o + o + o + ( o + ) (o + o + ) + ( ) + + ( ) 5) Grenzwert für lim (o + ) o (o + o + ) lim o Die Steigung des Grapen der Funktion y im Punkt ( ) ist: m. Die Steigung des Grapen der Funktion y im Punkt ( ) ist: m. Beispiel : Wie groß ist die Steigung des Grapen von y im Punkt (,5,5)? Lösung: Man setzt in die Formel m für den Wert,5 ein: m,5. Beispiel : Wie groß ist die Steigung des Grapen von y im Punkt (-4-64)? Lösung: Man setzt in die Formel m für den Wert -4 ein: m (-4) 48. Beispiel : Wie groß ist die Steigung des Grapen von y im Punkt ( )? Lösung: Man setzt in die Formel m für den Wert ein: m. Steigung bedeutet: Der Grap at in ( ) eine waagerecte Tangente. 4 Zur Screibweise f() (gelesen: f von ) siee: Begleitmaterial zum Telekolleg "Grundkurs Matematik Vom Recnen zu Algebra und Trigonometrie", Seite 8.

14 Aufgaben zu.4. Bestimmen Sie wie in den Beispielen bis die Steigung der Parabel y im Punkt P(-,5 6,5).. Bestimmen Sie wie in den Beispielen bis die Steigung des Grapen von y im Punkt P(- -8).. In welcem Punkt at der Grap von y die Steigung m6? 4. In welcen Punkten at der Grap von y die Steigung m? (Die Aufgabe at zw ei Lösungen; das eißt, es gibt zwei Punkte, in denen der Grap die Steigung at.) 5. Wo berürt eine Parallele zu der Geraden y--4 den Grapen von y? Wiederolungsaufgaben. Bestimmen Sie geometrisc, welce Gescwindigkeit der Tacometer eines Autos nac Minuten Farzeit (Punkt A) anzeigt.. Welce Steigung at der Grap von y im Punkt P(,,44)?. Zeigen Sie, dass der Grap von y im Punkt A(- 7) dieselbe Steigung at wie im Punkt B( 7). Wie groß ist diese Steigung? 4. In welcem Punkt at der Grap von y die Steigung m 4,8? 5. In welcen Punkten at der Grap von y die Steigung m 6,75? 6. Wie lautet die Gleicung der Tangente an den Grapen von y im Punkt P( 9)? 7. Für welce -Werte aben die Grapen von y und y dieselbe Steigung?

15 . Grenzwerte bei Funktionen Vor der Sendung In Lektion wurde die Steigung der Tangente an einen Grapen in einem Punkt P mitilfe eines Grenzprozesses ermittelt. Man get von einer Sekante aus, die den Grapen in dem Punkt P und einem weiteren Punkt Q scneidet, und ermittelt die Steigung dieser Sekante. Wenn nun Q auf dem Grapen immer näer an P eranrückt, näern sic die Sekanten immer mer der Tangente, und die Steigungen der Sekanten näern sic immer mer der Steigung der Tangente. Recnerisc ergibt sic bei diesem Prozess ein Grenzwert, der die Steigung der Tangente darstellt. Grenzprozesse und Grenzwerte bei Funktionen spielen in der Differenzialrecnung und in der sic im Telekolleg anscließenden Integralrecnung eine tragende Rolle. Desalb widmen wir uns in dieser Lektion speziell diesem Tema. Grenzprozesse sind Inen bei Irer Bescäftigung mit Funktionen scon früer begegnet, one dass sie weiter tematisiert wurden. Anknüpfend an Ire früeren Erfarungen werden in dieser Lektion versciedene Aspekte des Grenzwertbegriffs beleuctet und Anwendungen im Ramen von Funktionsbetractungen gezeigt. In Lektion greifen wir die Ergebnisse von Lektion wieder auf und füren diese weiter. Übersict. Es wird das Veralten bestimmter Funktionen untersuct, wenn immer größer wird, und an Beispielen erklärt, was man unter dem Grenzwert einer Funktion für gegen unendlic (bzw. gegen minus unendlic) verstet. Versciedene Verfaren zur Bestimmung solcer Grenzwerte werden erläutert.. Wird die Funktion durc einen Bructerm angegeben, so weist die Definitionsmenge an den Nullstellen des Nenners Lücken auf. Es wird das Veralten von solcen Funktionen untersuct, wenn sic einer Definitionslücke o näert. Man untersceidet zwei Arten von Definitionslücken: Pole und ebbare Definitionslücken. An Letzteren wird gezeigt, dass man durc Grenzwertbildung für gegen o auc für solce Stellen einen Funktionswert definieren kann.

16 . Veralten von Funktionen, wenn über alle Grenzen wäcst Grenzwerte für + und Beispiel : y ( > ) Der Grap der Funktion at eine interessante Eigenscaft. Mit wacsendem näert er sic immer mer der -Acse. Wie groß man aber auc wält, der Funktionswert ist immer noc ein klein wenig größer als (vgl. nacfolgende Wertetabelle). Das eißt, zwiscen Grap und -Acse ist immer ein wenn auc noc so kleiner Abstand. Der Grap kommt zwar der -Acse beliebig nae, aber er erreict sie nict. Es findet ein Grenzprozess statt. Der Grap "scmiegt sic" der -Acse immer mer an. Man nennt eine Gerade, der sic ein Grap beliebig näert, Asymptote des Grapen. Im Beispiel ist also die -Acse Asymptote an den Grapen der Funktion. 5 y 5 Anders ausgedrückt: Die Funktionswerte y kommen an beliebig nae eran, wenn nur groß genug ist. Man sagt: Die Funktion y at den Grenzwert, wenn über alle Grenzen wäcst, und screibt dafür lim. Man liest: "Limes von durc gleic, wenn über alle Grenzen wäcst." Oder: "Limes von durc gleic für gegen unendlic." Bei der Redeweise " get bzw. strebt gegen unendlic" ist Vorsict geboten! Man muss sic stets klar darüber sein: Unendlic ist keine Zal, und ist kein Zeicen für eine Zal. Alle Zalen, und seien sie noc so groß, sind endlic. Mit kann man nict recnen wie mit Zalen. Die Redeweise " wäcst über alle Grenzen" drückt besser aus, was mit gemeint ist. Beispiel : y ( > ) In der Sendung wurde diese Funktion als weiteres Beispiel besprocen. Auc ier ist der Grenzwert, wenn über alle Grenzen wäcst: lim. Anscaulic kann man das erkennen, wenn man eine entsprecende Wertetabelle aufstellt.,5 5 5 y,5,6,9,475,96,99

17 Und ier ist der zugeörige Grap. Er näert sic "von unten" der -Acse. Außer Tabelle und Grap gibt es noc eine weitere Möglickeit, den Grenzwert für zu finden. Man formt den Funktionsterm geeignet um:. Jetzt darf man die Grenzwerte der zwei Brüce und einzeln bestimmen und den zweiten vom ersten subtraieren: lim lim lim. Dass lim ist, aben wir im Beispiel geseen. Entsprecend kann man sic klar macen, dass auc lim ist. Die Grenzwertsätze für Im Beispiel aben wir den Grenzwert einer Differenz in zwei Grenzwerte zerlegt, jeden Grenzwert für sic bestimmt und dann den zweiten vom ersten subtraiert. Dieses Verfaren ist wie wir seen werden ser nützlic, wenn man einen Grenzwert bestimmen soll, den man nict intuitiv erkennt. Die Grundlage für ein solces Vorgeen bilden die sogenannten Grenzwertsätze. Sie besagen, dass man unter bestimmten Bedingungen den Grenzwert einer Summe, einer Differenz, eines Produkts oder eines Quotienten in Teilgrenzwerte zerlegen und daraus den gesucten Grenzwert berecnen darf. Im Telekolleg interessiert uns vor allem das Verfaren, wie man die Grenzwertsätze sinnvoll anwendet. Dies wird im Folgenden an einer Reie von Beispielen gezeigt. Bei einem streng matematiscen Vorgeen müssen die Grenzwertsätze natürlic zunäcst mit allen Voraussetzungen präzise formuliert und dann bewiesen werden. + Beispiel : y ( > ) Wie groß ist der Grenzwert dieser Funktion, wenn über alle Grenzen wäcst? Um eine Vermutung aufzustellen, kann man entweder für große Werte einsetzen und jeweils y berecnen (Wertetabelle), oder man besorgt sic den Grapen der Funktion y,,4,,4,,4,

18 + Vermutung: lim + Die Vermutung, dass lim ist, wird durc den Grapen bestätigt. Die Gerade y bildet ier die Asymptote. y Die Anwendung der Grenzwertsätze fürt nict nur scneller zum Ziel, sie gibt auc Sicereit, dass die Vermutung rictig ist. + lim lim + lim + lim lim + lim Der Bruc wird in zwei Teilbrüce zerlegt. Es soll der Grenzwert einer Summe bestimmt werden. Es werden die Grenzwerte der einzelnen Summanden bestimmt. Der Bruc im ersten Summanden wird gekürzt. + Die Einzelgrenzwerte werden bestimmt und addiert. + Also: lim Man beacte: Der Grenzwert einer konstanten Funktion, zum Beispiel y, für ist der Funktionswert selbst lim. + Beispiel 4: y ( > ) Wie groß ist der Grenzwert dieser Funktion, wenn über alle Grenzen wäcst? Um eine Vermutung aufzustellen, kann man wieder für große Werte einsetzen und jeweils y berecnen (Wertetabelle) y,76667,68667,67667,66867,66767, Anand der Wertetabelle lässt sic bei diesem Beispiel nict leict eine Vermutung aussprecen. Auc der Grap ilft kaum weiter. 4

19 Die Anwendung der Grenzwertsätze fürt ier aber zum Ziel. + lim lim + lim lim Also: + lim + lim + + lim Der Bruc wird in zwei Teilbrüce zerlegt. Es soll der Grenzwert einer Summe bestimmt werden. Es werden die Grenzwerte der einzelnen Summanden bestimmt. Die Brüce werden gekürzt. Die Einzelgrenzwerte werden bestimmt und addiert. + Beispiel 5: y ( > ) Obwol dieser Funktionsterm so änlic aussiet wie die in den vorangegangenen Beispielen, eistiert bei dieser Funktion kein Grenzwert, wenn über alle Grenzen wäcst. Das erkennt man, wenn man eine Wertetabelle aufstellt oder sic den Grapen besorgt. 5 y 6,5 5, 5, Wenn über alle Grenzen wäcst, dann wäcst auc y über alle Grenzen. Es eistiert kein Grenzwert für. + lim In einigen Matematikbücern findet sic die Screibweise. Diese Screibweise sollte man vermeiden, da der Eindruck erweckt wird, es eistiere ein Grenzwert, nämlic "unendlic", und sei ein Zeicen für eine Zal. 5

20 Grenzwerte für Bei den in den Beispielen bis 5 betracteten Funktionen wurde stets > vorausgesetzt. So wie man das Veralten der Funktionswerte für + betracten kann, kann man auc das Veralten der Funktionswerte für untersucen. Die Überlegungen der Beispiele bis 5 lassen sic einfac übertragen. Die folgenden Abbildungen zeigen die Grapen der fünf Funktionen für < und deren Verlauf für. Beispiel : Beispiel : Beispiel : lim Für näert sic der Grap ebenfalls der -Acse, allerdings "von unten". Die Funktionswerte näern sic dem Grenzwert. lim Für näert sic der Grap ebenfalls der -Acse, allerdings "von oben". Die Funktionswerte näern sic dem Grenzwert. + lim Für näert sic der Grap der Geraden y. Die Funktionswerte näern sic dem Grenzwert. Beispiel 4: Beispiel 5: + lim Für näert sic der Grap offenbar demselben Grenzwert wie für +, nämlic. + lim eistiert nict. Für wird der Abstand des Grapen von der -Acse immer größer: y. Es eistiert also auc für kein Grenzwert. 6

21 Aufgaben zu.. Bestimmen Sie den Grenzwert folgender Funktionen für (>): a) y b) y c) y 6. Bei welcen der folgenden Funktionen eistiert kein Grenzwert für (>): a) y b) y c) y. Bestimmen Sie: a) lim 5 b) lim 5 c) lim ( + ).. Veralten von Funktionen, wenn sic einer reellen Zal o näert Grenzwerte für o Definitionslücken Pole Im Abscnitt. aben wir bei fünf Funktionen das Veralten für + und betractet. Diese Funktionen zeigen eine weitere auffällige Eigenscaft, die bei Inen bekannten Funktionen (zum Beispiel y, y, y sin, y cos ) nict auftrat: Der Grap bestet aus zwei nict zusammenängenden Teilen oder, wie man sagt, aus zwei Ästen. Der Grund dafür ist, dass die Funktionen nict auf der gesamten Menge IR der reellen Zalen definiert sind. geört nict zur Definitionsmenge der Funktionen, denn bei den Funktionstermen aller Funktionen müsste man, wenn man für einsetzt, durc dividieren. Und eine Division durc ist nict definiert (siee Begleitmaterial zum Telekolleg "Grundkurs Matematik Vom Recnen zu Algebra und Trigonometrie", Abscnitt., Seite 4). An einer Stelle o, an der der Nenner eines Funktionsterms den Wert annimmt, ist die Funktion nict definiert. Man sagt: An dieser Stelle at die Funktion eine Definitionslücke. 7

22 Beispiel : Beispiel : Beispiel : y Die Funktion ist in nict definiert. y + 4 Die Funktion ist in 4 nict definiert. y 6 Die Funktion at sogar zwei Definitionslücken. Der Nenner wird, sowol bei o4 als auc bei 4. Beispiel Beispiel Beispiel Bei den betracteten Beispielen streben die Funktionswerte, wenn sic einer Definitionslücke näert, gegen + oder gegen. Dies kann man den Grapen sofort anseen. Man kann es aber auc warnemen, wenn man in einer Wertetabelle -Werte wält, die sic der Definitionslücke o immer mer näern. Beispiel: y Definitionslücke: o+,5,,,, y 6 Die -Werte näern sic von rects der Definitionslücke: y +. Wenn sic die -Werte von links der Definitionslücke näern, entstet folgende Tabelle:,5,9,99,999,9999 y Man siet: y. 8

23 Wenn man ausdrücken will, dass sic von rects der Definitionslücke näert, screibt man: +. Entsprecendes gilt, wenn sic von links der Definitionslücke näert: Am Grapen findet man die Ergebnisse, die sic aus den Tabellen ergeben, bestätigt: Wenn gegen strebt gleicgültig ob von rects oder von links, näert sic der Grap immer mer einer Parallelen zur y-acse, nämlic der Geraden. Wie im Abscnitt. eißt auc ier eine Gerade, der sic der Grap beliebig näert, Asymptote. Eine Definitionslücke, bei der y + oder y strebt, nennt man einen Pol des Grapen. Grenzwerte für o Nict immer strebt y gegen + oder, wenn sic einer Definitionslücke näert, wie folgendes Beispiel zeigt: y. Man erkennt sofort, dass die Funktion eine Definitionslücke bei at. Die Definitionsmenge ist also D IR \{}. Wie in den vorangegangenen Beispielen kann man auc ier mit einer Wertetabelle das Veralten der Funktion untersucen, wenn gegen strebt. strebt von rects gegen ( + ),5,,,, y,5,9,99,999,9999 strebt von links gegen ( ),5,,,, y,5,,,, In beiden Fällen strebt y gegen. Man screibt: lim lim + (linksseitiger Grenzwert) (rectsseitiger Grenzwert) Gelesen: D gleic R one. 9

24 Für den Grapen bedeutet dies: An der Stelle at der Grap ein "Loc". Die Funktion ist für nict definiert. Näert man sic auf dem Grapen von rects oder links dem "Loc", so kommt man dem Wert y beliebig nae. Wenn wie ier links- und rectsseitiger Grenzwert übereinstimmen, sagt man: Die Funktion y at den Grenzwert, wenn gegen strebt, und screibt lim. In Lektion 5 wird das Tema "Grenzwert von Funktionen" wieder aufgegriffen und vertieft. Anwenden der Grenzwertsätze In Abscnitt. aben wir geseen, dass man mitilfe der Grenzwertsätze für + oder einen Grenzwert durc Umformen des Funktionsterms bestimmen kann. Die Grenzwertsätze gelten auc für o. Voraussetzung ist natürlic in allen Fällen, dass der Grenzwert eistiert und y nict gegen + oder gegen strebt. Beispiel 4: lim lim lim lim lim lim Definitionsmenge: IR \{} Der Bruc wird in zwei Teilbrüce zerlegt. Es soll der Grenzwert einer Differenz bestimmt werden. Es werden die Grenzwerte von Minuend und Subtraend bestimmt. Die Brüce werden gekürzt. Die Einzelgrenzwerte werden bestimmt und subtraiert. Also: lim Man beacte: Der Grenzwert einer konstanten Funktion ya für o ist der Funktionswert selbst lim a a.

25 Beispiel 5: ( + )( ) lim lim ( + ) lim Definitionsmenge: IR \{} Der Bruc wird durc ( ) gekürzt. Es soll der Grenzwert einer Summe bestimmt werden. + lim Es werden die Grenzwerte der einzelnen Summanden bestimmt Die Einzelgrenzwerte werden bestimmt und addiert. ( + )( ) Also: lim 6 Beispiel 6: 9 lim ( + )( ) lim lim ( + ) lim + lim Definitionsmenge: IR \{} Der Zäler wird in ein Produkt zerlegt. Der Bruc wird durc (-) gekürzt. Es werden die Grenzwerte der beiden Summanden bestimmt. + 6 Die Einzelgrenzwerte werden addiert. 9 Also: lim 6 Hebbare Definitionslücken Die in diesem Abscnitt. betracteten Funktionen entielten alle eine Definitionslücke. Es war jeweils die Stelle, an der im Funktionsterm durc ätte dividiert werden müssen. Wir bezeicnen einen solcen -Wert allgemein mit o. Bei Annäerung der -Werte an o muss man zwei Fälle untersceiden: Die Funktionswerte streben gegen + oder gegen. Es eistiert kein Grenzwert. Der Grap at einen Pol. Die Funktionswerte y streben gegen einen Grenzwert.

26 Hier noc einmal ein Überblick über die Funktionen und deren Definitionslücken. Funktion Definitionslücke o Definitionsmenge Grenzwert der Funktionswerte für y D IR \{} kein Grenzwert y 4 D IR \{ 4} kein Grenzwert + 4 y 4 und 4 D IR \{ 4, 4} kein Grenzwert 6 y D IR \{} ( + )( ) y D IR \{} 6 9 y D IR \{} 6 In den Fällen 4 bis 6 at der Grap an der Stelle eine Lücke. y ( + )( ) y 9 y Man kann diese Lücke "stopfen", wenn man den Grenzwert der Funktionswerte für als Funktionswert an der Stelle o zusätzlic definiert. Man sagt: Es andelt sic um eine ebbare Definitionslücke. Hier die Zusatzdefinitionen, die erforderlic sind, damit f() auf ganz IR definiert ist. Beispiel 4: f() Beispiel 5: f() 6 Beispiel 6: f() 6 Zur Screibweise f(), f(),... siee Begleitmaterial zum Telekolleg "Grundkurs Matematik Vom Recnen zu Algebra und Trigonometrie", Abscnitt 7. (Seite 8).

27 Aufgaben zu.. Geben Sie die Definitionslücken o der Funktionen mit folgenden Funktionsgleicungen an. a) y b) 5 5 y c) 4 y 6. Bestimmen Sie bei folgenden Funktionen den Grenzwert für o (o ist Definitionslücke). a) c) + y 6 y D IR \{4} 4 D IR \{} b) ( + ) + y D IR \{ } +. Entsceiden Sie, ob die folgenden Funktionen eine Polstelle oder eine ebbare Definitionslücke aben. Formulieren Sie für die Funktionen mit ebbarer Definitionslücke eine Zusatzdefinition so, dass die Funktion dann auf ganz IR definiert ist. 5 5 a) y D IR \{} b) y D IR \{} 7 c) y D IR \{} Wiederolungsaufgaben Füren Sie die nacfolgenden Aufträge bei jeder der Funktionen mit folgenden Funktionsgleicungen durc. 8 a) y b) y c) y 8 ( ). Bestimmen Sie den Grenzwert für.. Bestimmen Sie die Definitionslücken o.. Entsceiden Sie, ob die Funktion in o einen Pol oder eine ebbare Definitionslücke besitzt. 4. Bestimmen Sie ggf. den Grenzwert für o. 5. Geben Sie, wenn möglic, eine Zusatzdefinition so an, dass die Funktion dann auf ganz IR definiert ist. 6. Zeicnen Sie den Grapen der Funktion.

28 . Grundableitungsregel Vor der Sendung Nac dem Ausflug in das "Reic der Grenzwerte" in Lektion keren wir nun zu den Funktionen und den Steigungen des Grapen einer Funktion zurück und greifen die Überlegungen am Ende von Lektion wieder auf. Im Mittelpunkt steen die Steigungen von Funktionsgrapen. Wenn der Grap eine gekrümmte Linie ist, ändert sic seine Steigung von Punkt zu Punkt. In Lektion wurde die Steigung eines Grapen in einem Punkt definiert als die Steigung der Tangente an den Grapen in diesem Punkt. Um die Steigung einer Tangente recnerisc bestimmen zu können, muss man einen Grenzprozess ausfüren genauer: einen Grenzwert bestimmen. Desalb aben wir uns in Lektion etwas ausfürlicer mit Grenzwerten bescäftigt. Ziel dieser und der folgenden Lektionen ist es, für möglicst viele Funktionen Regeln zu entwickeln, wie man die Steigung eines Grapen in einem Punkt berecnen kann. Sie benötigen für das Weitere vor allem Kenntnisse über lineare Funktionen und deren Steigungen. Ferner kann es nützlic sein, wenn Sie sic wieder bewusst macen, wie in Lektion die Steigungen der Grapen von y und y ermittelt wurden, und die zugeörigen algebraiscen Umformungen noc einmal nacvollzieen. Übersict. Die an Beispielen gewonnenen Ergebnisse von Lektion werden wiederolt und verallgemeinert. Dabei werden die Begriffe Differenzialquotient, Ableitung und Ableitungsfunktion eingefürt. Der Zusammenang zwiscen dem Grapen einer Funktion und dem Grapen irer Ableitungsfunktion wird untersuct. Scließlic werden fünf Scritte erausgearbeitet, die man durclaufen muss, um bei einer Funktion zu irer Ableitungsfunktion zu gelangen.. Für Potenzfunktionen y n (nεin \{}) gibt es eine einface Regel, um die jeweils zugeörige Ableitungsfunktion anzugeben. Diese Regel eißt desalb auc Potenzregel. In der Sendung wird sie Grundableitungsregel genannt, weil sie die Grundlage für die Bestimmung zalreicer weiterer Ableitungsfunktionen bildet.. Weil die Grundableitungsregel in den nacfolgenden Lektionen eine große Rolle spielt, werden versciedenartige Anwendungen der Regel in Aufgaben vorgestellt.

29 . Differenzialquotient Ableitung Ableitungsfunktion Steigung der Parabel y in einem beliebigen Punkt P( ) Erinnern Sie sic an die entsceidenden Scritte zur Bestimmung dieser Steigung: ) Man get von einer Sekante aus, und wält desalb einen zweiten Punkt Q auf der Parabel. Der -Wert von Q soll um größer sein als der -Wert von P. Dann eißen die Koordinaten von Q (+ (+) ). y Q ) Man bestimmt die Steigung dieser Sekante durc die Punkte P und Q, indem man die Differenz der y-werte durc die Differenz der -Werte dividiert: (o + ) o (o + ) o ( ) Umformungen des Terms füren zu dem Term + ( ) (siee: Lektion, Seite ). o (o+) ) Der Punkt Q wandert auf der Parabel auf den Punkt P zu. Algebraisc bedeutet das, dass gegen strebt. Der Grenzwert für ist dann die Steigung der Tangente. lim (o + ) Nun einige Bezeicnungen und Screibweisen: o y P o (o+) Man bezeicnet die Steigung einer Tangente an den Grapen einer Funktion yf() im Punkt ( f()) als Differenzialquotient bzw. Ableitung der Funktion an der Stelle. Man screibt: y' bzw. f'() (gelesen: y Stric bzw. f Stric von ). Beispiel: f() Der Differenzialquotient bzw. die Ableitung der Funktion an der Stelle ist: f'(). Der Differenzialquotient bzw. die Ableitung der Funktion an der Stelle ist: f'()6. Der Differenzialquotient bzw. die Ableitung der Funktion an der Stelle ist: f'( ) 4. Tangentensteigungsfunktion Ableitungsfunktion Mitilfe der Ergebnisse des vorangegangenen Abscnitts kann man nun für die Funktion y an jeder beliebigen Stelle die Steigung der Tangente an den Grapen berecnen. Jedem -Wert wird eindeutig ein Wert y' zugeordnet. Wir aben es mit einer Funktion zu tun.

30 Die Funktion, die jeder Stelle die Steigung des Grapen von y an dieser Stelle zuordnet, nennt man Tangentensteigungsfunktion oder Ableitungsfunktion von y. Man bezeicnet sie mit y' bzw. mit f'(). Die Ableitungsfunktion von y ist also y' bzw. f'(). In Lektion (Seite ) wurde gezeigt: Die Steigung des Grapen der Funktion y im Punkt (o o ) ist mo. Dies kann man jetzt auc so ausdrücken: Die Ableitungsfunktion von y ist y'. Vergleic des Grapen einer Funktion und des Grapen irer Ableitungsfunktion Wie jede Funktion kann man auc die Ableitungsfunktion in einem Koordinatensystem darstellen. Ausgangsfunktion Rects ist die Ausgangsfunktion y dargestellt, darunter die zugeörige Ableitungsfunktion y'. y In der Ableitungsfunktion gibt der Ordinatenwert (y'-wert) zu einem bestimmten -Wert an, welce Steigung die Ausgangsfunktion an dieser Stelle at. Beispiel: Am Grapen der Ableitungsfunktion liest man ab: Bei ist der zugeörige y'-wert, oder anders gescrieben: f'(). Das bedeutet: Bei at die Ausgangsfunktion die Steigung. Anders ausgedrückt: Die Tangente an die Ausgangsfunktion bei at die Steigung. Ableitungsfunktion y' Ein weiteres Beispiel: Am Grapen der Ableitungsfunktion liest man ab: Bei,5 ist der zugeörige y'-wert, oder anders gescrieben: f'(,5). Das bedeutet: Bei,5 at die Ausgangsfunktion die Steigung. Anders ausgedrückt: Die Tangente an die Ausgangsfunktion bei,5 at die Steigung.

31 Was kann man außerdem aus der Ableitungsfunktion über den Verlauf des Grapen der Ausgangsfunktion erfaren? Ausgangsfunktion Ableitungsfunktion Die y'-werte werden für > mit wacsendem immer größer. Die y'-werte sind negativ, wenn < ist. Der y'-wert für ist ; das eißt f'(). Ausgangsfunktion Der Grap der Ausgangsfunktion wird für > immer steiler. Wenn < ist, ist die Steigung des Grapen der Ausgangsfunktion negativ. Er verläuft also von links oben nac rects unten, das eißt, er fällt. Der Grap der Ausgangsfunktion at bei die Steigung. Er at eine waagerecte Tangente. Es ist die - Acse. Ableitungsfunktion Zur Vertiefung füren wir nun entsprecende Überlegungen mit der Ausgangsfunktion y und irer Ableitungsfunktion y' durc. Ausgangsfunktion Was kann man ier aus der Ableitungsfunktion über den Verlauf des Grapen der Ausgangsfunktion erfaren? y Ableitungsfunktion Die y'-werte sind für > positiv. Die y'-werte sind auc für < positiv, Der y'-wert für ist ; das eißt f'(). Ausgangsfunktion Die Steigung des Grapen der Ausgangsfunktion ist für > positiv. Von links nac rects betractet, steigt der Grap. Auc für < steigt der Grap der Ausgangsfunktion. Der Grap der Ausgangsfunktion at bei die Steigung. Obwol die -Acse den Grapen in ( ) scneidet, sprict man ier von einer Tangente, weil die - Acse die gleice Steigung at wie der Grap im Ursprung, nämlic. Ableitungsfunktion y 4

32 Differenzialquotient bzw. Ableitung von weiteren Funktionen Die Bestimmung der Steigung des Grapen einer Funktion in einem Punkt spielt in vielen Anwendungsgebieten der Matematik eine große Rolle, in der Tecnik, in den Naturwissenscaften, in den Wirtscaftswissenscaften. Dabei treten natürlic nict nur so einface Funktion wie y und y auf. Wir werden desalb scrittweise in den folgenden Lektionen für immer kompleere Funktionen ire Ableitung bzw. ire Ableitungsfunktion bestimmen. Das Vorgeen ist immer das Gleice, das Sie an den Beispielen y und y in Lektion kennengelernt aben. Im Folgenden wird dieses Verfaren für eine beliebige Funktion yf() allgemein formuliert. Diese Funktion yf() kann zum Beispiel sein: y 4 oder y 5 + oder y oder ysin. Es wird vorausgesetzt, dass der Grap der Funktion yf() an der betracteten Stelle eine eindeutige Tangente besitzt, das eißt, dass dort die Ableitung der Funktion eistiert. Beispiele von Funktionen, bei denen das nict der Fall ist, werden in Lektion 5 untersuct. Die folgenden 5 Scritte, die zur Ableitung einer Funktion füren, werden wir dann im näcsten Abscnitt auf die Funktion y 4 anwenden. Die 5 Scritte, die zur Ableitung einer Funktion yf() füren Gesuct ist die Ableitung der Funktion yf() an der Stelle. Anders ausgedrückt: Die Steigung des Grapen von yf() im Punkt P( f()) Wal eines zweiten Punkts Q auf dem Grapen Differenz der y-werte von Q und P Differenz der -Werte von Q und P y Differenz Quotient: Differenz Grenzwert für Q(+ f(+)) ( ) f(+) f() (+) f( + ) f() f( + ) f( ) lim y P f(o) o y f() Q o+ f(o+) - f(o) 5

33 Anwendung der 5 Scritte auf die Funktion y 4 Die Ableitung von y 4 in P(o o 4 ) Wal eines zweiten Punkts Q auf dem Grapen von y 4 Q(+ (+) 4 ) ( ) Differenz der y-werte von Q und P (+) 4 4 Differenz der -Werte von Q und P (+) Quotient: y Differenz Differenz 4 4 ( o + ) o Grenzwert für 4 4 (o + ) o lim Würde man jetzt im Term 4 4 (o + ) o lim gleic setzen, so würde der Bruc gegen streben. ist aber nict definiert. Man formt desalb den Quotienten zunäcst um. Die algebraisce Umformung ist aufwändig. Sie wurde in der Sendung vorgefürt und stet denen, die sic dafür interessieren, im näcsten Abscnitt zum Naclesen zur Verfügung. Für die Anwendungsaufgaben im Telekolleg ist sie nict von entsceidender Bedeutung. Das Ergebnis sollten Sie sic aber merken: Die Ableitungsfunktion von y 4 ist y' 4. Herleitung der Ableitungsfunktion von y (o + ) o lim ( ) ( ) ( ) o o o o lim + + (o + ) o + (o + ) o o lim (o + ) o o o + (o+ ) lim (o + ) o o o lim ( o + ) + (o + ) o + + ( lim o (o ) o ) lim + o o + lim (o + ) Aus Lektion, Abscnitt.4, Seite übernemen wir: o Ferner gilt: lim ( + ). o (o ) o lim + o 6

34 (o ) o Also ist lim + o + lim (o + ). o o + o 4o Die Ableitungsfunktion von y 4 ist also y' 4. Hinweis: Bei einem vollständig korrekten Vorgeen müsste man noc zeigen, dass die Voraussetzungen für das Anwenden der Grenzwertsätze jeweils erfüllt sind. Die Ableitungsfunktion von y Nacdem wir die Ableitungsfunktionen von y, y und y 4 erarbeitet aben, betracten wir nun noc den einfacsten Fall y. Hier müssen wir nict die "5 Scritte" anwenden. Für y kann man auc screiben: y. Der Grap dieser Funktion ist eine Gerade durc den Ursprung, die mit der positiven -Acse einen Winkel von 45 bildet. Sie at die Steigung m. Die Ableitungsfunktion der Funktion y ist y'. Aufgaben zu.. Bestimmen Sie die Ableitung der angegebenen Funktionen an den Stellen,,. yf() 4,5 y y y 4. Sie sollen anand des Grapen der Ableitungsfunktion (siee Bild) entsceiden und begründen, für welce -Werte der Grap der zugeörigen Ausgangsfunktion fällt, steigt oder eine orizontale Tangente besitzt. Ableitungsfunktion Die Ausgangsfunktion... fällt für folgende - Werte: steigt für folgende - Werte: at für folgende - Werte eine orizontale Tangente: Weil die Ableitungsfunktion... 7

35 . Grundableitungsregel (Potenzregel) Wir aben jetzt für drei Funktionen die zugeörigen Ableitungsfunktionen erarbeitet. Ausgangsfunktion Ableitungsfunktion y y' bzw. y' y y' y 4 y' 4 Da kann man doc eine Gesetzmäßigkeit entdecken. Wie könnte die Ableitungsfunktion von y 5 lauten? Vermutung: y' 5 4. Diese intuitiv erfasste Regel ist in der Tat rictig. Sie lässt sic als Handlungsanweisung formulieren: Aus dem Term n erält man die zugeörige Ableitungsfunktion, indem man den Eponenten n als Faktor (Koeffizient) wält und den Eponenten n um verkleinert: n. Aus n wird so: n n. Diese Regel lässt sic auc auf die Funktion y anwenden. Man kann die Funktionsgleicung der zugeörigen Ableitungsfunktion auc screiben als y'. In der Sendung wurde auf die Definition ingewiesen. Daraus ergibt sic: y', also y'. Die an den Beispielen für n,,, 4 intuitiv erfasste Regel gilt für alle natürlicen Zalen, die größer als sind. Sie lässt sic allgemein so formulieren: Die Potenzfunktion y n at die Ableitungsfunktion y'n n. (nεin \{}) In der Sendung wurde diese Regel Grundableitungsregel genannt. Sie eißt in der Facliteratur äufig Potenzregel. Beispiele: Ausgangsfunktion Ableitungsfunktion y 7 y' 7 6 y 6 y' 6 5 y y' Für die Potenzfunktionen y, y und y 4 aben wir die Grundableitungsregel mit den "5 Scritten" bewiesen. Der entsprecende Beweis für die allgemeine Potenzfunktion ist aufwändig. Wir können im Telekolleg darauf verzicten. Man kann sic aber vorstellen, dass das Verfaren, das im Abscnitt. für die Funktion y 4 durcgefürt wurde (Seite 6), in entsprecender Weise auf die Funktion y 5, dann auf y 6, dann auf y 7 usw. angewendet wird. Beim Beweis für y 4 wurde davon 8

36 Gebrauc gemact, dass die Grundableitungsregel scon für y bewiesen ist. Wenn sie dann für y 4 bewiesen ist, kann man dies benutzen, um die Regel für y 5 zu beweisen, und so fort. So könnte man scrittweise die Grundableitungsregel für eine beliebige Potenzfunktion y n mit einem bestimmten nεin \{} beweisen. Eine Vereinfacung der Mengenscreibweise Erinnern Sie sic: IN ist die Menge der natürlicen Zalen: IN {,,,, 4,...}. Dann ist IN \{} {,,, 4,...}. Diese Menge bezeicnen wir von jetzt an, wie in der Sendung, mit IN *. Es ist also IN * {,,, 4,...}. Aufgaben zu.. Bestimmen Sie die Ableitungsfunktion von: a) y b) y. Bestimmen Sie die Potenzfunktion y n, deren Ableitungsfunktion y'7 6 lautet.. Welce Steigung at die Tangente an den Grapen von y 8 im Punkt P( )?. Beispiele zur Anwendung der Grundableitungsregel Beispiel : Zeigen Sie: Die Tangenten an den Grapen von y 5 in den Punkten P( ) und Q( ) verlaufen parallel. Fertigen Sie eine Skizze an. Lösung: Wenn die beiden Tangenten parallel verlaufen, sind die Steigungen der beiden gleic. Also muss die Funktion y 5 an den Stellen und dieselbe Ableitung aben. Die Ableitungsfunktion lautet: f'() 5 4. Eingesetzt ergibt sic: f'() 5 und f'( )5. Beispiel : An welcen Stellen (-Werten) at die Funktion y die Ableitung 6,75? Lösung: Die Ableitungsfunktion von y ist y'. Die Ableitung y' an den gesucten Stellen ist gegeben: 6,75. Eingesetzt: 6,75 Daraus folgt:,5. Zwei -Werte erfüllen diese Gleicung:,5 und,5. 9

37 Beispiel : Wie lautet die Gleicung der Tangente, die im Punkt P(,5,5) die Normalparabel berürt? Lösung: Die Tangente at im Berürpunkt dieselbe Steigung wie der Grap von y. Die Ableitungsfunktion von y ist y'. Die Steigung des Grapen im Punkt P ist: f'(,5),5. Das ist auc die Steigung der Tangente. Die gesucte Tangente at also die Gleicung: y+b. b muss noc bestimmt werden. Die Tangente get auc durc den Punkt P. Also ist,5,5+b. Daraus ergibt sic: b,5. Die Gleicung der gesucten Tangente ist also: y,5. Beispiel 4: Die Gerade y6 9 berürt die Normalparabel. Bestimmen Sie den Berürpunkt P. Lösungswege Man kann die Aufgabe auf zwei versciedenen Wegen lösen.. Weg Die Gerade at die Steigung 6. Gesuct ist also ein Punkt der Normalparabel, in dem der Grap die Steigung 6 at. y' eingesetzt: 6. Im Punkt P( 9) berürt die Gerade die Normalparabel.. Weg Man setzt die beiden Gleicung y6 9 und y gleic; das eißt, man berecnet die Scnittpunkte. 6 9 Die Lösung der quadratiscen Gleicung ist. Auc auf diesem Weg ergibt sic: Die Gerade berürt die Normalparabel im Punkt P( 9). Beispiel 5: Wie lautet jeweils die Ableitungsfunktion folgender Funktionen? Funktion Ableitungsfunktion a) b) c) y m+ (m ε IN ) y k (k ε IN *) y n 4 (n ε {5,6,7..})

38 Lösung: Man beacte, dass die Grundableitungsregel nur für Eponenten,,,... gilt. Desalb muss man die Definitionsmenge für die Variablen k bzw. m bzw. n einscränken. a) y'k k Beacten Sie: k ist um kleiner als k. b) y'(m+) m+ Beacten Sie: m+ ist um kleiner als m+. c) y'(n-4) n 5 Beacten Sie: n 5 ist um kleiner als n 4. Aufgaben zu.. In welcem Punkt at der Grap von y 4 die Steigung?. Wie lautet die Gleicung der Tangente, die im Punkt P( ) den Grapen von y 6 berürt?. Wie lautet die Ableitungsfunktion von y r+ ; (r ε IN ) Wiederolungsaufgaben. Welce Steigung at der Grap von y 6 im Punkt P( 64)?. In welcem Punkt B berürt die Gerade y 4 4 die Normalparabel?. Wie lautet die Gleicung der Tangente an y 4, die parallel zu y4 verläuft? 4. Wie lautet die Ableitungsfunktion von y k? (k ε {;4;5;...}) 5. In P(,6,56) und Q(,6,56) werden die Tangenten an die Normalparabel gezeicnet. Berecnen Sie, wo sic die Tangenten scneiden? 6. Woran können Sie erkennen, dass im recten Bild nict die Ableitungsfunktion der Funktion im linken Bild dargestellt sein kann?

39 4. Ableitungsfunktion in Anwendungen Vor der Sendung Die Steigungen von Funktionsgrapen in bestimmten Punkten spielen in den Anwendungen der Matematik, in den Naturwissenscaften, der Tecnik, den Wirtscaftswissenscaften und den Sozialwissenscaften eine große Rolle. Die jeweiligen Funktionen, deren Ableitungen gebildet werden müssen, sind in den einzelnen Bereicen und bei versciedenen Fragestellungen ser untersciedlic. Desalb ist es nötig, für möglicst viele Funktionstypen zu wissen, wie man die Ableitung bei gegebener Funktionsgleicung bildet. Hier elfen allgemeine Ableitungsregeln, die Sie in dieser Lektion kennenlernen werden. Sie alle stützen sic auf die grundlegenden "5 Scritte, die zur Ableitung einer Funktion füren", (siee Lektion, Seite 5). Diese "5 Scritte" sollten Sie sic jetzt noc einmal vergegenwärtigen. Da in dieser Sendung auc die Ableitungen der trigonometriscen Funktionen ysin und ycos erarbeitet werden, ist es ratsam, dass Sie Ire Kenntnisse über diese Funktionen wieder auffriscen. Das Wesentlice finden Sie im Telekolleg-Begleitmaterial "Grundkurs Matematik Vom Recnen zu Algebra und Trigonometrie". Übersict. Mitilfe der Faktorregel können Potenzfunktionen mit einem Koeffizienten differenziert werden.. Zalreice Aufgaben aus Anwendungsgebieten der Matematik füren auf ganzrationale Funktionen.. Um ganzrationale Funktionen differenzieren zu können, benötigt man außer der Faktorregel auc die Summenregel. 4. Mitilfe der "fünf Scritte, die zur Ableitung einer Funktion füren" werden die Ableitungsfunktionen von y und y ermittelt. 5 Auf grapiscem Weg werden die Ableitungsfunktionen von y sin und y cos gefunden.

40 4. Faktorregel In der Sendung zu dieser Lektion wurde eine Skaterban gezeigt und matematisc untersuct. Der gekrümmte Teil der Ban ist in der Mitte ganz flac und steigt nac außen in steil an. Die Ban ist 7, m breit und,6 m oc. 7, m,6 m In einem Koordinatensystem lässt sic die Ban durc die Funktionsgleicung y bescreiben Die äußeren Endpunkte aben die Koordinaten A(,6,6) und B(,6,6). In diesen Punkten at die Ban eine ser große Steigung. A 6 y 84 B Wie groß ist die Steigung des Grapen im Punkt B? Mit den Mitteln der Differenzialrecnung lässt sic die Frage leict beantworten. Man muss die Ableitungsfunktion f'() von f() 6 bilden und dann f'(,6) berecnen. 84 Die Funktionsgleicung setzt sic zusammen aus einer Potenzfunktion, nämlic 6, und einem Faktor, oder, wie man sagt, einem Koeffizienten, nämlic. Wie verält sic 84 so ein Faktor beim Differenzieren? Da gibt es eine einface Regel. Faktorregel: Ein konstanter Faktor bleibt beim Differenzieren eralten. Anders ausgedrückt: Die Funktion y a g() at die Ableitungsfunktion y' a g'() (aεir ). Angewendet auf den Spezialfall y a n (nεin*): y' a (n n- ). Ergänzende Anmerkungen:. Die Funktion g() muss an der Stelle differenzierbar sein. Der Begriff "differenzierbar" wird in Lektion 5 erläutert.. Da es im Telekolleg vor allem auf die Anwendung der einsclägigen Sätze und Regeln ankommt, wird auf den aufwändigen Beweis der Faktorregel ier verzictet.