Probleme beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen

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1 Probleme beim Arbeiten mit Variablen, Termen und Gleichungen Tage des Unterrichts in Mathematik, Naturwissenschaften und Technik Rostock 2010 Prof. Dr. Hans-Dieter Sill, Universität Rostock, Vorbemerkungen Befähigung zum verständnisvollen und freudigen Arbeiten mit Termen ist eines der schwierigsten bisher ungelösten Problem in didaktischer Theorie und schulischer Praxis Hauptproblem: Meisterung des dialektischen Wechselverhältnisses von inhaltlichen und formalen Aspekten, Beispiel: Gleichung Vernachlässigung der Algebra in den Bildungsstandards von 2003 Bitte um Mithilfe beim Projekt SWK in MV: Mail an: 1

2 Warum mögen Schüler Terme nicht? (1) Sie machen oft sehr viele Fehler und bekommen schlechte Noten. Empirische Ergebnisse zum Arbeiten mit Termen und Gleichungen Vergleichsarbeit Nordrhein-Westfalen, Sachsen-Anhalt, Kl. 9, Dez Erfüllung in % Aufgabe EOS POS Gy GS RS HS Vereinfache: 3x (2x b) Vereinfache: (u 1)(u + 1) Löse die Gleichung 3x + 2 =

3 Vergleichsarbeit MV, Kl. 7, Nov Aufgabe RSB HSB a) Bestimme x! 7 + x = % 91 % b) Bestimme x! 3 x 2 = % 78 % c) Bestimme x! 15 2 x = 5 22 % 14 % Ergebnisse der Vergleichsarbeit MV Klasse 9, Schuljahr 2001/02 Aufgabe Schreiben Sie als Term. Termbeschreibung a) Die Summe aus a und der Hälfte von b. Term b) Der Quotient aus a und dem Doppelten von b. c) Das Quadrat der Differenz von a und b. 3

4 a 1b 1c Gy RSB HSB Anzahl unterschiedlicher Eintragungen Aufgabe 1/2001 alle Gymnasium Haupt-/Realschulen 1a b c Beispiele für Eintragungen bei 1 a): a + b ab/2 a/b 2/b a + a a = b/2 a +a = b:2 + a 2:b a + :2b GY RSB HSB kein Eintrag 1,4 21,3 40,4 4

5 Kenntnisse von Erwachsenen aus: G. Malle: Didaktische Probleme der elementaren Algebra, Vieweg,, 1993 Interviewer legt Christa (36, Akademikerin) folgende Aufgabe vor: An einer Universität sind P Professoren und S Studenten. Auf einen Professor kommen 6 Studenten. Drücken Sie die Beziehung zwischen S und P durch eine Gleichung aus! Ch: : (schreibt) 6S = P I: Nehmen wir einmal an, es sind 10 Professoren. Wie viele Studenten sind es dann? Ch: 60. I: Setzen Sie das in die Gleichung ein! Ch: 6 60 = 10. Aha, das kann nicht stimmen. (Nach einer Pause schreibt sie) P + 6S = P + S. I: Was bedeutet das? Ch: Die Professoren und die auf jeden Professor fallenden 6 Studenten ergeben zusammen alle Professoren und Studenten. I: Hhmm Bei dieser Gleichung könnte man auf beiden Seiten P subtrahieren. Was ergibt sich dann? Ch: (streicht P auf beiden Seiten durch) 6S = S. I: Kann das stimmen? Ch: Ja natürlich die Gruppen zu 6 Studenten ergeben zusammen alle Studenten. 5

6 I: Setzen Sie wieder die Zahlen ein! Ch: 10 Professoren und 60 Studenten. Dann ist das 6 60 = 10. Das kann nicht stimmen. (Nach einer Pause schreibt sie) P + S = 7. I: (räuspert sich) Ch: (bessert aus zu) P + 6S = 7 I: Was bedeutet das? Ch: : Ein Professor und seine 6 Studenten sind zusammen 7 Personen. Walter (23, Akademiker) I: Können Sie die Gleichung x/8 = 9 lösen? W: (schweigt minutenlang) Ich weiß nicht mehr, wie das geht. Da gibt es eine Regel, aber die habe ich leider vergessen. Warum mögen Schüler keine Terme? (1) Sie machen oft sehr viele Fehler und bekommen schlechte Noten. (2) Ihre Lehrer verstehen oft nicht, warum sie solche Probleme haben. 6

7 Probleme mit Variablen Ist eine Variable veränderlich? Ja: y = x + 1 Nein: x + 1 = 0; a = 3 cm Ja und Nein: Parameter m in: y = m x m x + n Ist eine Variable ein Platzhalter für Zahlen? Ja: 3 x 3 x = 12 Nein: A = a b; ; y = f(x); x wächst; w P(x y) Kann man für f r eine Variable beliebige Buchstaben verwenden? Ja: Punkte in der Geometrie Nein: sonst, z. B. Parameter: nur a bis q Vorschläge zur Entwicklung des Variablenbegriffs Keine allgemeinen Debatten und Erklärungen Alle Aspekte an Beispielen bewusst machen Buchstaben nur als Variable bezeichnen, wenn sie auch variabel sind Ansonsten von Unbekannte, Bezeichnung oder Konstante sprechen Belegen von Variablen durch Zahlen und Terme als sichere Fertigkeit ausbilden, dazu Handlungen auf gegenständlicher Ebene 7

8 Vorschläge für SWK 1. Gib zwei Bedeutungen an, die der folgende Buchstabe in der Mathematik haben kann. a) a b) b c) m (Kl. 6) 2. Nenne drei Objekte, die in der Mathematik mit dem Buchstaben p bezeichnet werden. Gib jeweils zwei mögliche Belegungen für p an. (Kl. 8) 3. Erläutere am Beispiel der Funktions- gleichung y = m x + n Gemeinsamkeiten und Unterschiede zwischen einer Variablen und einem Parameter. (Kl. 10 Gy) Warum mögen Schüler keine Terme? (1) Sie machen oft sehr viele Fehler und bekommen schlechte Noten. (2) Ihre Lehrer verstehen oft nicht, warum sie solche Probleme haben. (3) Sie sehen keinen Sinn in Termen. 8

9 Wozu braucht man Terme? Mit Termen kann man Rechnungen mit Zahlen oder Größen mit gleicher Struktur allgemein beschreiben. Mit Termen kann man Sachverhalte mit gleicher Struktur allgemein beschreiben. Mit Termen können Eigenschaften von Zahlen allgemein beschrieben werden. Beispiele: eine ungerade Zahl: 2 n + 1 eine durch 3 teilbare Zahl: 3 n Vorschläge für SWK 1. Beschreibe die folgenden Rechnungen mit Größen allgemein durch einen Term mit Variablen für die Größenangaben. a) 4 m 5 m 5 m b) 2 (4 m + 5 m) c) 0, Aus Regalen der Länge 40 cm und 80 cm kann eine Regalwand zusammengestellt werden. Gib einen Term an, mit dem die Länge der Regalwand allgemein beschrieben werden kann. 9

10 Warum mögen Schüler keine Terme? (1) Sie machen oft sehr viele Fehler und bekommen schlechte Noten. (2) Ihre Lehrer verstehen oft nicht, warum sie solche Probleme haben. (3) Sie sehen keinen Sinn in Termen. (4) Sie erkennen die Struktur von Termen nicht. Wie sieht man die Struktur von Termen? Begriff: Erkennen der Rechenoperationen und der Reihenfolge ihrer Ausführung Ausbildung der Handlung beginnt beim Rechnen mit Zahlen und Größen in Kl. 5/6 als Teilhandlung vor den Termumformungen automatisieren, dabei beachten: Verkürzung der Schreibweise Rechenoperationen erhalten Ergebnischarakter Erkennen der Struktur von außen nach innen : Grundstruktur eines Terms, Einkringeln 10

11 Vorschläge SWK 1. Gib an, ob es sich bei den folgenden Termen um eine Summe, eine Differenz, ein Produkt, einen Quotienten oder eine Potenz handelt. a) b) (Kl. 6) 2. Die folgenden Terme haben die Struktur T 1 + T 2 + T 3. Gib jeweils T 1, T 2 und T 3 an. a) 7x + 3y + z b) x² + 2x 1 (Kl( Kl.. 8) 3. Schreibe die folgenden Quotienten zweier Terme als Produkte zweier Terme. (Kl. 10 Gy) Warum mögen Schüler keine Terme? (1) Sie machen oft sehr viele Fehler und bekommen schlechte Noten. (2) Ihre Lehrer verstehen oft nicht, warum sie solche Probleme haben. (3) Sie sehen keinen Sinn in Termen. (4) Sie erkennen die Struktur von Termen nicht. (5) Sie können nicht heuristisch vorgehen. 11

12 Wie sollte man heuristisch vorgehen? Algorithmisch: Ausbilden von Fertigkeiten: Handeln ohne Nachzudenken Heuristisch: Ausbilden von Fähigkeiten: Erst denken, dann handeln. Verhältnis von separater Entwicklung der einzelnen Fertigkeiten und ihre Integration zu einer Fähigkeit Bringen Sie Ihre Schüler auf TRAP! 1. Typ der Aufgabe erkennen Worum geht es in der Aufgabe? 2. Regeln überlegen, die anwendbar sind Kann ich mir ein Beispiel bilden? 3. Ausführen der Rechnungen/Umformungen 4. Probe/Kontrolle. Kann das wahr sein? Beispiel aus Duden/Paetec MV 8 R 12

13 Warum mögen Schüler keine Terme? (1) Sie machen oft sehr viele Fehler und bekommen schlechte Noten. (2) Ihre Lehrer verstehen oft nicht, warum sie solche Probleme haben. (3) Sie sehen keinen Sinn in Termen. (4) Sie erkennen die Struktur von Termen nicht. (5) Sie können nicht heuristisch vorgehen. (6) Die Terme kommen schlagartig auf sie zu. (7) Sie müssen oft mit viel zu komplizierten Termen arbeiten. Was soll das? Aus einem Gymnasiallehrbuch für die Klasse 8 13

14 Es reicht! Terme aus Vorschlägen für SWK, Gy Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! 14