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1 Mathematik-Verlag

2 Algebra: Quadratische Gleichungen 1. Wie lautet die p, q Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung x 2 + px + q = 0? 2. Berechne mit der p, q Formel die Lösungen der Gleichungen: a) x 2 3x 4 = 0 b) x x 3 = 0 Karte 1 Lösung: 1. Die p, q Formel lautet: p p 2 p p = + ( ) q und x 2 ( ) x a) Es ist: p = 3 und q = 4. 2 = q 2 2 Durch Einsetzen in die p, q - Formel erhält man die Lösungen: x 1 = 4 und x 2 = 1. b) Es ist: p = 2 1 und q = 3. Durch Einsetzen in die p, q - Formel erhält man die Lösungen: x 1 = 1,5 und x 2 = 2.

3 Algebra: Quadratische Gleichungen Wie muss man folgende Gleichungen umformen, bevor man die p, q Formel anwenden kann? Gib jeweils die Lösungen an. a) x 2 + 9x + 8 = 6 b) 2x 2 8x 10 = 0 Karte 2 Lösung: Wichtig: Die p, q - Formel darf nur dann angewendet werden, wenn auf einer Seite der Gleichung 0 steht. Außerdem darf vor x 2 kein Faktor stehen. a) b) x 2 + 9x + 8 = x 2 8x 10 = 0 :2 x 2 + 9x + 14 = 0 x 1 = 2 und x 2 = 7 x 2 4x 5 = 0 x 1 = 5 und x 2 = 1.

4 Algebra: Quadratische Gleichungen Was muss man in folgender Gleichung beachten, wenn man die Klammern ausmultipliziert bzw. die quadratische Klammer auflöst? 4 (x + 1)(x 2) (x + 3) 2 = 10 Berechne die Lösungen. Karte 3 Lösung: Wichtig: Steht vor einem Klammerprodukt oder einer quadratischen Klammer ein Minuszeichen, muss man zusätzliche Klammern setzen! Sonst gibt es beim Ausmultiplizieren einen Vorzeichenfehler. 4 [(x + 1)(x 2)] [(x + 3) 2 ] = 10 4 [x 2 2x + 1x 2] [x 2 + 6x + 9] = 10 4 x 2 + 2x 1x + 2 x 2 6x 9 = x 2 5x + 7 = 0 :( 2) x 2 + 2,5x 3,5 = 0 x 1 = 1 und x 2 = 3,5

5 Algebra: Bruchgleichungen a) Wie bestimmt man die Definitionsmenge einer Bruchgleichung? b) Gib die Definitionsmenge folgender Gleichung an: x x + 5 = 3 x 1 Karte 4 Lösung: a) Die Zahlen, bei denen die einzelnen Nenner der Bruchgleichung 0 werden, müssen aus der Definitionsmenge ausgeschlossen werden, da die Division durch 0 verboten ist. Man muss also jeden Nenner = 0 setzen und nach x auflösen. Die Ergebnisse dieser Gleichungen schreibt man in die geschweifte Klammer: D = IR \ { } b) 6x = 0 x 1 = 0 x + 5 = 0 x 2 = 5 x 1 = 0 x 3 = 1 Damit ist die Definitionsmenge: D = IR \ {0 ; 5 ; 1 }

6 Algebra: Geraden a) Wie lautet die allgemeine Gleichung einer Geraden g? g:. b) Was sind darin die Steigung und der y-achsenabschnitt? Karte 5 Lösung: a) g: y = m x + b bzw. y = m x + b b) m ist die Steigung der Geraden. b nennt man den y-achsenabschnitt, da die Gerade g die y-achse immer im Punkt S y(0 b) schneidet. Tipp: Wenn man eine Gerade zeichnen soll, sollte die Steigung m immer als Bruch vorliegen, damit man das Steigungsdreieck zeichnen kann. Z. B.: y = 1,5x + 2 = 2 3 x + 2 oder y = 2x 1 = 1 2 x 1

7 Algebra: Geraden a) Wie geht man vor, um das Schaubild einer Geraden zu zeichnen? Die Funktionsgleichung der Geraden sei bekannt. b) Zeichne jeweils das Schaubild der Geraden g und h in ein Achsenkreuz: 1 3 g: y = x 3 ; h: y = x Karte 6 Lösung: a) Man trägt zunächst den Schnittpunkt S y (0 b) der Geraden mit der y-achse ein. Anschließend zeichnet man von S y aus anhand der Steigung m ein Steigungsdreieck. Dazu sollte die Steigung m als Bruch vorliegen: m = n z. b) y h g x

8 Algebra: Geraden a) Wie bestimmt man die Funktionsgleichung einer Geraden, von der zwei Punkte bekannt sind? Beschreibe das allgemeine Vorgehen. b) Wie lautet die Funktionsgleichung der Geraden g, die durch die Punkte A(2 6) und B( 1 3) läuft? Karte 7 Lösung: a) Man setzt die Koordinaten der beiden Punkte jeweils in die Geradengleichung y = m x + b ein. Dadurch erhält man ein Gleichungssystem mit den Unbekannten m und b. Indem man eine Gleichung von der anderen abzieht, fällt die Variable b heraus, sodass die Steigung m berechnet werden kann. Durch Einsetzen von m in eine der beiden Gleichungen kann auch b berechnet werden. b) A(2 6): 6 = m 2 + b bzw. 6 = 2m + b (I) B( 1 3): 3 = m ( 1) + b bzw. 3 = m + b (II) (I) (II) ergibt: 3 = 3m m = 1 Einsetzen in Gleichung (I) 6 = 2m + b ergibt: b = 4 Damit ist g: y = 1x + 4 bzw. y = x + 4

9 Algebra: Geraden a) Wie bestimmt man die Gleichung einer Geraden, von der die Steigung und ein Punkt bekannt sind? Beschreibe das allgemeine Vorgehen. b) Wie lautet die Gleichung der Geraden g, die durch den Punkt P( 4 1) läuft und die Steigung m = 2 hat? Karte 8 Lösung: a) Man setzt die Steigung m und die Koordinaten des bekannten Punktes in die Geradengleichung y = m x + b ein. Dadurch erhält man eine Gleichung, die nach b umgestellt werden kann. b) Einsetzen von m = 2 und P( 4 1) in y = m x + b ergibt: 1 = 2 ( 4) + b 1 = 8 + b b = 9 Damit ist g: y = 2x + 9

10 Algebra: Geraden a) Gegeben ist die Gerade g: y = 2x + 1. Was kann man über die Steigung der Geraden h aussagen, wenn die Gerade h parallel zu g verläuft? b) Bestimme die Gleichung der Geraden h, wenn h durch den Punkt P( 3 5) geht. Karte 9 Lösung: a) Die Steigung der Geraden h ist ebenfalls m = 2. Merke: Wenn zwei Geraden parallel zueinander verlaufen, haben sie die gleiche Steigung m. b) Einsetzen von m = 2 und P( 3 5) in y = m x + b ergibt: 5 = 2 ( 3) + b 5 = 6 + b b = 11 Damit ist h: y = 2x + 11

11 Algebra: Parabeln a) Wie lautet die Scheitelform einer quadratischen Funktion? b) Wie kann man anhand einer Scheitelform sehr leicht die Koordinaten des Scheitelpunkts der entsprechenden Parabel bestimmen? Karte 10 Lösung: a) Die Scheitelform ist p: y = (x b) 2 + c. b) Der Scheitelpunkt der entsprechenden Parabel p hat die Koordinaten S(b c). Tipp: Die x-koordinate des Scheitelpunkts ist immer die Zahl, für die die Quadratklammer 0 wird. Die y-koordinate steht immer rechts von der Quadratklammer.

12 Algebra: Parabeln Bestimme jeweils die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabeln: a) p: y = (x 3) b) p: y = (x + 1) 2 4 c) p: y = x 2 3 d) p: y = (x 7) 2 Karte 11 Lösung: a) S(3 1) b) S( 1 4) c) S(0 3) d) S(7 0) Hinweise zu c) und d): In c) kann man statt y = x 2 3 auch schreiben: y = (x 0) 2 3. In d) kann man statt y = (x 7) 2 auch schreiben: y = (x 7) 2 + 0

13 Algebra: Parabeln a) Wie bestimmt man die Koordinaten des Scheitelpunkts einer Parabel, deren Gleichung in der Form y = x 2 + px + q angegeben ist? b) Berechne die Koordinaten des Scheitelpunkts folgender Parabeln: p 1 : y = x 2 + 4x + 7 ; p 2 : y = x 2 5x + 3 Karte 12 Lösung: a) Man muss die Gleichung y = x 2 + px + q mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelform überführen. Erst dann kann man die Koordinaten des Scheitelpunkts ablesen. b) p 1 : y = x 2 + 4x + 7 = (x + 2) S( 2 3) p 2 : y = x 2 5x + 3 = (x 2,5) 2 3,25 S(2,5 3,25)

14 Algebra: Parabeln a) Wie geht man vor, um das Schaubild einer Normalparabel zu zeichnen, wenn deren Gleichung in der Form y = x 2 + px + q angegeben ist? b) Skizziere die Schaubilder der Parabeln p 1 : y = x 2 + 3x 2 und p 2 : y = x 2 6x 4. Karte 13 Lösung: a) Zum Zeichnen einer Normalparabel legt man die Parabelschablone am Scheitelpunkt an. Den Scheitelpunkt erhält man, indem man die Gleichung y = x 2 + px + q mithilfe einer quadratischen Ergänzung in die Scheitelform umwandelt. b) P 1 : y = x 2 + 3x 2 = (x + 1,5) 2 4,25 S( 1,5 4,25) p 2 : y = x 2 6x 4 = (x 3) 2 13 S(3 13) Die Schaubilder ergeben sich durch Anlegen der Schablone an die Scheitelpunkte.

15 Trigonometrie: Wie würdest du vorgehen, um die Schaubilder folgender Parabelgleichungen zu zeichnen? a) p: y = (x 4) 2 5 b) p: y = x c) p: y = (x + 3) d) p : y = 2 1 x 2 2 Worauf muss man in b), c) und d) jeweils achten? Karte 14 Lösung: Zum Zeichnen der Schaubilder muss man die Parabelschablone am Scheitelpunkt anlegen. Man muss also zuerst die Koordinaten des Scheitelpunkts bestimmen. In b) und c) muss man darauf achten, dass die Parabel wegen des Minuszeichens vor dem quadratischen Term nach unten geöffnet ist! In d) kann man die Parabelschablone nicht benutzen, da vor x 2 noch ein Faktor steht. In diesem Fall muss man eine Wertetabelle erstellen. Die Parabel in d) ist gegenüber der Normalparabel gestaucht. Die Scheitelpunkte sind: a) S(4 5) b) S(0 2) c) S( 3 1) d) S(0 2)

16 Algebra: Geraden und Parabeln a) Wie berechnet man die Schnittpunkte einer Geraden bzw. Parabel mit der x-achse? Die Gleichung der Geraden bzw. Parabel sei bekannt. Beschreibe das allgemeine Vorgehen. b) Berechne jeweils die Schnittpunkte mit der x-achse: Gerade g: y = 4x + 3 Parabel p: y = x 2 4x 5 Karte 15 Lösung: a) Die Schnittpunkte mit der x-achse bestimmt man, indem man in der Gleichung der Parabel bzw. Geraden für y = 0 setzt und die Gleichung anschließend nach x umformt. Beachte: Jeder Schnittpunkt mit der x-achse hat als y-koordinate den Wert y = 0. b) Bei g: 0 = 3x + 4 x = 0,75 ; S( 0,75 0) Bei p: 0 = x 2 4x 5 x 1 = 5 und x 2 = 1 Hier gibt es zwei Schnittpunkte mit der x-achse: S 1 (5 0) und S 2 ( 1 0)

17 Algebra: Parabeln und Geraden a) Wie berechnet man den Schnittpunkt einer Geraden bzw. Parabel mit der y-achse? Die Gleichung der Geraden bzw. Parabel sei bekannt. Beschreibe das allgemeine Vorgehen. b) Berechne jeweils den Schnittpunkt mit der y-achse: g: y = 0,5x 8 ; p: y = x 2 + 7x 3,5 Karte 16 Lösung: a) Die Schnittpunkte mit der y-achse bestimmt man, indem man in der Gleichung der Parabel bzw. Geraden für x = 0 setzt und den y-wert berechnet. Beachte: Jeder Schnittpunkt mit der y-achse hat als x-koordinate den Wert x = 0. b) Bei g: y = 0,5 0 8 = 8 S y (0 8) Bei p: y = S y (0 5)

18 Algebra: Parabeln a) Wie bestimmt man die Gleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel, wenn man die Koordinaten ihres Scheitelpunkts kennt? Beschreibe das allgemeine Verfahren. b) Was muss man beachten, wenn die Normalparabel nach unten geöffnet ist? Karte 17

19 Algebra: Parabeln Wie lautet jeweils die Gleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel mit dem angegebenen Scheitelpunkt? a) S(2 1) b) S( 5 7) c) S(0 4) Gib die Parabelgleichung in der Form y = x 2 + px + q an. Karte 18

20 Algebra: Parabeln Wie lautet jeweils die Gleichung einer nach unten geöffneten Normalparabel mit dem angegebenen Scheitelpunkt? a) S( 3 2) b) S(4 1) c) S(0 2) Gib die Parabelgleichung in der Form y = x 2 + px + q an. Karte 19

21 Algebra: Parabeln a) Wie bestimmt man die Gleichung einer nach oben geöffneten Normalparabel, von der zwei Punkte A und B bekannt sind? Beschreibe das allgemeine Vorgehen. b) Bestimme die Funktionsgleichung der Parabel p, die durch die Punkte A( 6 1) und B(4 6) läuft. Karte 20

22 Algebra: Geraden und Parabeln a) Wie bestimmt man die gemeinsamen Punkte zwischen zwei Parabeln bzw. zwischen einer Parabel und einer Geraden? Beschreibe das allgemeine Vorgehen. b) Berechne die gemeinsamen Punkte zwischen den Parabeln p 1 und p 1 : p 1 : y = x 2 2x 2 und p 2 : y = x 2 + 6x 8 Karte 21

23 Algebra: Parabeln Der Punkt A( 2 7) liegt auf der Parabel p: y = x 2 + 3x + q a) Was muss man tun, um den Wert für den Parameter q berechnen zu können? b) Bestimme den Wert für q und gib die Koordinaten des Scheitelpunkts an. Karte 22

24 Algebra: Parabeln Eine nach oben geöffneten Normalparabel p 1 hat den Scheitelpunkt S 1 (4 2). Die Parabel p 1 wird um 3 Längeneinheiten nach rechts und um 5 Längeneinheiten nach unten verschoben. Man erhält so die Parabel p 2. a) Wie muss man vorgehen, um die Gleichung der Parabel p 2 zu bestimmen? b) Führe diese Rechnung durch. Karte 23

25 Algebra: Abstand zweier Punkte a) Mit welcher Formel kann man den Abstand zweier Punkte A(a 1 a 2 ) und B(b 1 b 2 ) berechnen, wenn deren Koordinaten bekannt sind? Versuche, die Formel an einem selbst gewählten Beispiel herzuleiten. b) Bestimme den Abstand zwischen den Punkten A(4 1) und B(1 3). Karte 24

26 Algebra: Geraden a) Der Punkt P( 3 y p ) liegt auf der Geraden g: y = 3 2 x 4. Berechne die y-koordinate von P. b) Der Punkt Q( 4 y p ) liegt auf der Parabel p: y = x 2 3x + 7. Berechne die y-koordinate von Q. Karte 25

27 Algebra: Geraden und Parabeln a) Der Punkt A(x A 7) liegt auf der Geraden g: y = 3x 2. Wie kann man die x-koordinate von A berechnen? b) Der Punkt B(x B 6) liegt auf der Parabel p: y = x 2 + 4x + 10 Wie kann man die x-koordinate von B berechnen? Karte 26

28 Algebra: Gleichungssysteme a) Mit welchem Verfahren lässt sich folgendes Gleichungssystem besonders einfach lösen? Begründe deine Antwort. 3x 2y = 8 (I) x + 2y = 4 (II) b) Berechne mit diesem Verfahren die Lösungsmenge. Karte 27

29 Stereometrie: Kegel a) Wie kann man in einem Kegel eine der Strecken h, r und s berechnen, wenn man zwei dieser Strecken kennt? b) In einem Kegel ist: r = 5 cm und s = 8 cm. Berechne die Kegelhöhe h. c) In einem Kegel ist: h = 7,8 cm und r = 5,2 cm. Berechne die Mantellinie s. Karte 28

30 Stereometrie: Kegel Von einem Kegel sind bekannt: V = 625 cm 3 und r = 7,2 cm a) Mit welcher Formel kann man aus diesen Angaben sofort eine weitere Größe des Kegels berechnen? Welche Größe ist das? b) Tue dies, indem du diese Formel nach der unbekannten Größe umstellst. Karte 29

31 Stereometrie: Kegel Von einem Kegel sind bekannt: O = 540 cm 2 und r = 9,8 cm. a) Mit welcher Formel kann man aus diesen Angaben sofort eine weitere Größe des Kegels berechnen? b) Tue dies, indem du diese Formel nach der unbekannten Größe umstellst. Karte 30

32 Stereometrie: Kegel, Kugel und Zylinder a) Bekannt sei das Volumen einer Kugel. Was weiß man dann über einen Kegel, wenn von einem volumengleichen Kegel die Rede ist? b) Was bedeutet es, wenn ein Kegel und ein Zylinder dieselbe Grundfläche haben? Karte 31

33 Stereometrie: Kugel a) Welche Größe einer Kugel kann man berechnen, wenn das Kugelvolumen bekannt ist? Stelle die entsprechende Formel nach dieser Größe um. b) Berechne die unbekannte Größe aus a) mit dem Kugelvolumen V = 750 cm 3. Karte 32

34 Stereometrie: Kugel a) Welche Größe einer Kugel kann man berechnen, wenn die Kugeloberfläche O bekannt ist? Stelle die entsprechende Formel nach dieser Größe um. b) Berechne die unbekannte Größe aus a) mit der Kugeloberfläche O = 485 cm 2. Karte 33

35 Stereometrie: Zylinder a) Welche Größe eines Zylinders kann man berechnen, wenn das Zylindervolumen und die Zylinderhöhe bekannt sind? Stelle die entsprechende Formel nach dieser Größe um. b) Berechne die unbekannte Größe aus a) mit dem Zylindervolumen V = 341 cm 3 und der Zylinderhöhe h = 15 cm. Karte 34

36 Stereometrie: Kegel a) Ein massiver Kegel wird durch einen Schnitt entlang der Höhe halbiert. Aus welchen Teilflächen besteht die Oberfläche einer der Kegelhälften. b) Berechne die in a) erwähnte Oberfläche, wenn der Kegel den Radius r = 6,8 cm und die Höhe h = 12,5 cm hat. Karte 35

37 Stereometrie: Pyramide Für Berechnungen an quadratischen Pyramiden sind drei rechtwinklige Dreiecke von Bedeutung. Zeichne diese in die folgenden Figuren ein. Achte auf die richtige Beschriftung der Dreiecksseiten.. Karte 36

38 Stereometrie: Pyramide a) Mit welcher Formel kann man die Grundflächendiagonale d einer quadratischen Pyramide und die Grundkante a ineinander umrechnen? b) Berechne aus a = 9,6 cm die Diagonale d. Berechne aus d = 7 cm die Grundkante a. Karte 37

39 Stereometrie: Pyramiden Die Abbildung zeigt eine quadratische Pyramide. Wie lautet der Satz des Pythagoras in dem markierten Dreieck? Trage den rechten Winkel ein. Benutze für die Seiten des Dreiecks die richtigen Bezeichnungen. Karte 38

40 Stereometrie: Pyramiden Die Abbildung zeigt eine quadratische Pyramide. Wie lautet der Satz des Pythagoras in dem markierten Dreieck? Trage den rechten Winkel ein. Benutze für die Seiten des Dreiecks die richtigen Bezeichnungen. Karte 39

41 Stereometrie: Pyramiden Die Abbildung zeigt eine quadratische Pyramide. Wie lautet der Satz des Pythagoras in dem markierten Dreieck? Trage den rechten Winkel ein. Benutze für die Seiten des Dreiecks die richtigen Bezeichnungen. Karte 40

42 Stereometrie: Pyramiden Markiere den Neigungswinkel α einer Seitenfläche gegen die Grundfläche der quadratischen Pyramide. In welchem rechtwinkligen Dreieck kommt der Neigungswinkel α vor? Karte 41

43 Stereometrie: Pyramiden a) Aus welchen Teilflächen setzt sich die Oberfläche einer quadratischen Pyramide zusammen? b) Berechne die Oberfläche einer quadratischen Pyramide mit a = 5 cm und h s = 8,4 cm. c) Wie kann man mit den Angaben aus b) das Volumen der Pyramide berechnen? Karte 42

44 Stereometrie: Pyramiden a) Wie kann man aus der Grundkante a und der Seitenkante s die Höhe h einer quadratischen Pyramide berechnen? b) Berechne die Höhe h mit a = 7,3 cm und s = 12,5 cm. h Karte 43

45 Stereometrie: Pyramiden a) Wie kann man aus der Höhe h s einer Seitenfläche und der Pyramidenhöhe h die Grundkante a einer quadratischen Pyramide berechnen? b) Berechne a mit h s = 6,8 cm und h = 5,4 cm Karte 44 a

46 Stereometrie: Pyramiden a) Wie kann man aus der Höhe h s einer Seitenfläche und der Seitenkante s die Grundkante a einer quadratischen Pyramide berechnen? b) Berechne die Höhe h s mit h s = 4,9 cm und s = 7,2 cm Karte 45 a

47 Stereometrie: Pyramiden Markiere den Neigungswinkel α einer Seitenkante gegen die Grundfläche der quadratischen Pyramide. In welchem rechtwinkligen Dreieck kommt der Neigungswinkel α vor?. Karte 46

48 Stereometrie: Pyramiden a) Die Abbildung zeigt eine regelmäßige fünfseitige Pyramide. Trage die Streckenbezeichnungen a, h, h s und s in die Abbildung ein. b) Wie nennt man diese Strecken? Karte 47

49 Stereometrie: Pyramiden Für Berechnungen an regelmäßigen fünfseitigen Pyramiden sind drei rechtwinklige Dreiecke von Bedeutung. Zeichne diese in die folgenden Figuren ein.. Karte 48

50 Trigonometrie: a) Die Abbildung zeigt ein gleichschenkliges Dreieck. Trage die Höhe zur Basis a ein. b) Was sind die Besonderheiten eines gleichschenkligen Dreiecks? b γ b Karte 49 α a β

51 Stereometrie: Pyramiden a) Die Grundfläche einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide besteht aus fünf gleichschenkligen Dreiecken. Wie groß sind die Innenwinkel eines dieser Dreiecke? Fertige eine Skizze an. b) Berechne in diesem Dreieck die Höhe h 1 bezüglich der Grundseite a und die Länge b eines Schenkels, wenn die Grundkante der Pyramide a = 6,5 cm beträgt. Karte 50

52 Stereometrie: Pyramiden Die Grundfläche jeder regelmäßigen mehrseitigen Pyramide besteht aus mehreren gleichschenkligen Dreiecken. Berechne die Innenwinkel eines dieser Dreiecke für a) eine sechsseitige Pyramide, b) eine achtseitige Pyramide, c) eine neunseitige Pyramide. Fertige jeweils eine Skizze eines der gleichschenkligen Dreiecke an. Karte 51

53 Stereometrie: Pyramiden a) Wie muss man vorgehen, um aus der Grundkante a einer regelmäßigen mehrseitigen Pyramide den Inhalt der Grundfläche G der Pyramide zu berechnen? b) Die Grundkante a einer regelmäßigen neunseitigen Pyramide ist a = 9,8 cm. Berechne daraus den Inhalt der Grundfläche der Pyramide. Karte 52

54 Stereometrie: Pyramiden a) Aus welchen Teilflächen setzt sich der Mantel einer regelmäßigen fünfseitigen Pyramide zusammen? Stelle eine Formel für die Mantelfläche M auf. b) Wie lautet die Formel der Mantelfläche M bei einer regelmäßigen sechsseitigen (acht-, neunseitigen) Pyramide? Karte 53

55 Trigonometrie: a) Woran erkennt man in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse? b) Wovon hängt es ab, welche Seite in einem rechtwinkligen Dreieck die Ankathete und welche die Gegenkathete ist? Karte 54

56 . Trigonometrie: Trage die Begriffe Ankathete, Gegenkathete und Hypotenuse an der richtigen Stelle ein: sin α = cos α = tan α = Karte 55

57 Trigonometrie: a) Wie kann man in einem rechtwinkligen Dreieck einen fehlenden Innenwinkel berechnen, wenn man außer dem rechten Winkel noch einen weiteren Innenwinkel kennt? b) Berechne in folgendem Dreieck den Winkel β:. 35 β Karte 56

58 Trigonometrie: a) Mit welcher Formel kann man in jedem Vieleck die Summe der Innenwinkel berechnen? b) Berechne den fehlenden Winkel β: D 110. C A 54 β B Karte 57

59 Trigonometrie: Berechne alle fehlenden Seiten und Winkel: a) b) δ b a x α 25 8,5 cm γ 4,7 cm 11,4 cm Karte 58

60 Trigonometrie: a) Welche Hilfslinie sollte man zu Berechnungen in gleichschenkligen Dreiecken immer einzeichnen? b) Berechne die fehlenden Winkel und die Strecke a: 5,8 cm γ 5,8 cm Karte a β

61 Trigonometrie: a) Welche Hilfslinien sollte man zu Berechnungen in Trapezen immer einzeichnen? b) Berechne die Strecke c: c 6,4 cm 5,2 cm Karte ,7 cm 70

62 Trigonometrie: Wie viele rechtwinklige Dreiecke erkennst du in der Figur? Welche sind das? C. w A D. B Karte 61

63 Trigonometrie: a) Wie kann man sehr leicht den Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen, wenn alle Seiten bekannt sind? b) Das abgebildete Dreieck hat den Flächeninhalt A = 14,25 cm 2. Berechne die Länge der fehlenden Seiten. b. 3,8 cm Karte 62 c

64 Trigonometrie: Drücke die fehlenden Seiten des Dreiecks in Abhängigkeit von e aus, ohne gerundete Werte zu benutzen. a) b) x. y e 30 b. 4e a 45 Karte 63

65 Trigonometrie: Drücke die Länge der Strecke x in Abhängigkeit von e aus, ohne gerundete Werte zu benutzen. e 5 e 2 2 x Karte 64

66 Algebra: Gleichungssysteme a) Mit welchem Verfahren lässt sich folgendes Gleichungssystem besonders einfach lösen? Begründe deine Antwort. y = 2x 5 (I) 3x + 4y = 13 (II) b) Berechne mit diesem Verfahren die Lösungsmenge. Karte 65

67 Trigonometrie: Für Berechnungen in rechtwinkligen Dreiecken mit einer Formvariablen (e oder a) müssen oft Wurzelterme umgeformt werden. Vereinfache folgende Terme und mache im Ergebnis den Nenner rational, falls nötig. a) 25e 2 b) e c) e 2 6 e 3 3 Karte 66

68 Trigonometrie: a) Gib in folgendem Dreieck die Seiten x und y in Abhängigkeit von e an. 30 x 5e. y b) Bestimme außerdem den Flächeninhalt des Dreiecks in Abhängigkeit von e. Karte 67

69 Algebra: Gleichungssysteme a) Mit welchem Verfahren lässt sich folgendes Gleichungssystem besonders einfach lösen? Begründe deine Antwort. y = x + 5 (I) y = 5x + 9 (II) b) Berechne mit diesem Verfahren die Lösungsmenge. Karte 68

70 Sachrechnen: erhöhter Grundwert 1. Was versteht man unter einem Zinsfaktor q? 2. Wie kann man einen Zinsfaktor q sehr leicht in den entsprechenden Zinssatz p % umwandeln? Tue dies mit folgenden Zinsfaktoren: a) q = 1,05 ; p % = b) q = 1,075 ; p % =. c) q = 1,0325 ; p % = d) q = 1,16 ; p % =. Karte 69

71 Sachrechnen: Zinsrechnung 1. Wie kann man einen Zinssatz p % in den entsprechenden Zinsfaktor q umwandeln? 2. Gib jeweils den Zinsfaktor q an: a) p % = 6 % ; q = b) p % = 4,5 % ; q = c) p % = 2,25 % ; q = d) p % = 12,7 % ; q = Karte 70

72 Sachrechnen: Zinsrechnung a) Wie berechnet man die Zinsen, wenn man das Start- und das Endkapital kennt? b) Wie kann man sehr schnell den Zinssatz für ein Jahr berechnen, wenn man das Startkapital und das Kapital am Ende dieses Jahres kennt? c) Ein Kapital von 1750 ist nach einem Jahr auf 1820 angewachsen. Wie viel Zinsen gab es in diesem Jahr und wie hoch war der Zinssatz? Karte 71

73 Sachrechnen: Zins und Zinseszins a) Mit welcher Formel berechnet man das Endkapital K n, wenn ein Guthaben K 0 mit konstantem Zinssatz über mehrere Jahre verzinst wird? Zinsen werden mitverzinst. b) Ein Guthaben von 7500 wird über 4 Jahre zu einem festen Zinssatz von p % = 4,5 % verzinst. Zinsen werden mitverzinst. Auf welchen Betrag ist es nach 4 Jahren angewachsen? c) Stelle folgende Gleichung nach q um: 5200 = 3500 q 5 Karte 72

74 Sachrechnen: Zins und Zinseszins Ein Guthaben wird über mehrere Jahre zu verschiedenen Zinssätzen angelegt. Die Zinsen werden mitverzinst. a) Wie kann man sich die Entwicklung des Guthabens in einer Tabelle veranschaulichen? Erstelle eine solche allgemeine Tabelle für 3 Jahre ohne Zahlenwerte. b) Mit welcher Formel kann man aus einem Startkapital K 0 und den bekannten Zinssätzen das Endkapital K n berechnen? Karte 73

75 Sachrechnen: Zins und Zinseszins Mit der folgenden Tabelle soll die Entwicklung des Startkapitals von 1500 veranschaulicht werden. Zinsen werden mitverzinst. Ergänze die Lücken. Nach welchen Regeln muss man dabei vorgehen? Jahre Kapital am Zinsfaktor q Kapital am Zinsen Jahresanfang Jahresende ,0375 1,045 1,0525. Karte 74

76 Sachrechnen: Zins und Zinseszins Ergänze in folgender Tabelle die Lücken und berechne den Wert für x. Jahre Kapital am Zinsfaktor q Kapital am Zinsen Jahresanfang Jahresende x 1,035 1,04 1, ,37 Karte 75

77 Sachrechnen: Ratensparen a) Wie funktioniert das jährliche Ratensparen? b) Wie kann man beim jährlichen Ratensparen die Entwicklung eines Kapitals in einer Tabelle veranschaulichen? Wie sieht eine solche Tabelle (ohne Zahlenwerte) beim Ratensparen für 3 Jahre aus? c) Worauf muss man achten, wenn man beim Ratensparen das jeweilige Kapital am Jahresanfang berechnen will? Karte 76

78 Sachrechnen: Ratensparen Herr Müller hat einen Ratensparvertrag mit einer jährlichen Rate von 800 abgeschlossen. Zinsen werden mitverzinst. Ergänze die Lücken. Jahre Rate Kapital am Zinsfaktor q Kapital am Zinsen Jahresanfang Jahresende , ,04 1,05 Karte 77

79 Sachrechnen: erhöhter und verringerter Grundwert a) Wie lauten die beiden Formeln zur Berechnung des erhöhten bzw. verringerten Grundwerts? Was bedeuten darin die Variablen? b) Wie kann man bei einer Textaufgabe sehr leicht den normalen Grundwert vom erhöhten bzw. verringerten Grundwert unterscheiden? Karte 78

80 Sachrechnen: erhöhter Grundwert 1. Wie kann man einen Prozentsatz p % in den entsprechenden Änderungsfaktor q + umwandeln, wenn der Grundwert um eben diesen Prozentsatz erhöht wird? 2. Gib für eine Erhöhung des Grundwerts die entsprechenden Änderungsfaktoren an: a) p % = 4 % ; q + = b) p % = 15 % ; q + =. c) p % = 3,75 % ; q + = d) p % = 10,2 % ; q + =. Karte 79

81 Sachrechnen: verringerter Grundwert 1. Wie kann man einen Prozentsatz p % in den entsprechenden Änderungsfaktor q umwandeln, wenn der Grundwert um eben diesen Prozentsatz verringert wird? 2. Gib für eine Verringerung des Grundwerts die entsprechenden Änderungsfaktoren an: a) p % = 7 % ; q = b) p % = 12 % ; q =. c) p % = 4,25 % ; q = d) p % = 15,5 % ; q =. Karte 80

82 Sachrechnen: erhöhter und verringerter Grundwert Wie kann man einen Veränderungsfaktor q sehr leicht in den entsprechenden Prozentsatz p % umwandeln? Tue dies mit folgenden Veränderungsfaktoren: a) q = 1,07 ; p % = b) q = 1,045 ; p % =. c) q = 0,97 ; p % = d) q = 0,875 ; p % =. Karte 81

83 Sachrechnen: erhöhter und verringerter Grundwert a) Was versteht man unter den Begriffen Rabatt und Skonto? b) Ein Elektronik-Händler gewährt 15 % Rabatt auf einen Taschenrechner, wenn ein Kunde mindestens 30 Taschenrechner bestellt. Der Preis ohne Rabatt beträgt 12,95. Außerdem erhält der Kunde 2 % Skonto bei Barzahlung. Wie viel muss ein Kunde für einen Taschenrechner bezahlen, wenn er 40 Taschenrechner bestellt und die Ware sofort bezahlt? Karte 82

84 Sachrechnen: erhöhter und verringerter Grundwert a) Was versteht man unter den Begriffen Nettopreis und Mehrwertsteuer? b) Welcher Wert ist bei Mehrwertsteuer-Aufgaben immer der Grundwert, und welcher ist immer der erhöhte Grundwert? c) In Deutschland liegt der derzeitige Mehrwertsteuersatz bei p % = 19 %. Wie groß ist der entsprechende Änderungsfaktor q? Karte 83

85 Sachrechnen: erhöhter und verringerter Grundwert a) Ein Paar Turnschuhe kostet in Deutschland inklusive Mehrwertsteuer 45. Wie viel Euro Mehrwertsteuer sind darin enthalten? Der Mehrwertsteuersatz in Deutschland beträgt zurzeit 19 %. b) Wie viel würden dieselben Turnschuhe in Luxemburg (Mehrwertsteuersatz = 15 %) kosten, wenn der Nettopreis der gleiche wäre? Karte 84

86 Sachrechnen: Prozentrechnung a) Mit welcher einfachen Formel berechnet man Fragestellungen der Art p % von G? Berechne 35 % von 780 kwh (Kilowattstunden). b) Mit welcher einfachen Formel berechnet man Fragestellungen der Art W von G? Wie viel Prozent sind 28 Schüler von 448 Schülern? c) Wie berechnet man den Grundwert G, wenn man den Prozentwert W und den Prozentsatz p % kennt? Tue dies mit p % = 4,5 % und W = 54 kg. Karte 85

87 Sachrechnen: Prozentrechnung a) Was ist bei Wahlen der Unterschied zwischen Wahlberechtigung und Wahlbeteiligung? b) Was sind bei Wahlen der Grundwert und der Prozentwert, wenn man die prozentualen Stimmenanteile berechnen will? c) Bei einer Gemeindratswahl hat die Partei Die Bunten 25,6 % Stimmenanteile erhalten. Insgesamt waren Bürger/innen wahlberechtigt. Die Wahlbeteiligung lag aber nur bei 58 %. Wie viele Stimmen haben Die Bunten erhalten? Karte 86

88 Daten erfassen und Wahrscheinlichkeit: a) Bei einem Würfelexperiment sind nach 10 Würfen folgende Augenzahlen gefallen: 2 ; 5 ; 6 ; 4 ; 5 ; 4 ; 3 ; 4 ; 1 ; 2 Erläutere anhand dieser Datenreihe die Begriffe Merkmalswert, absolute Häufigkeit und relative Häufigkeit. b) Gib für die obige Datenreihe die absolute und die relative Häufigkeit der Augenzahl 4 an. Karte 87

89 Daten erfassen und Wahrscheinlichkeit: a) Wie kann man eine relative Häufigkeit in Prozent umrechnen? Tue dies mit r = 4 3. b) Wie wandelt man eine Prozentangabe in einen Bruch um? Tue dies mit p % = 40 %. c) Welche besondere Eigenschaft hat die Summe aller relativer Häufigkeiten einer Datenreihe? Karte 88

90 Daten erfassen und Wahrscheinlichkeit: a) Mit welchem Begriff kann man den Durchschnitt einer Datenreihe noch bezeichnen? b) Wie kann man den Durchschnitt einer Datenreihe berechnen? c) Ein Schüler hat im Laufe eines Schuljahrs folgende Noten in Mathematik geschrieben: 2,3 3,3 2,7 2,1 Berechne seinen Notendurchschnitt. Karte 89

91 Daten erfassen und Wahrscheinlichkeit: a) Mit welcher Formel kann man den Durchschnitt einer Datenreihe berechnen, wenn man von allen Merkmalswerten x i die relativen Häufigkeiten r i kennt? b) Berechne anhand der Häufigkeitstabelle den Notendurchschnitt einer Klassenarbeit. Note relative Häufigkeit: 0,12 0,18 0,15 0,20 0,18 0,17 Karte 90

92 Daten erfassen und Wahrscheinlichkeit: a) Mit welchem Begriff kann man den Zentralwert einer Datenreihe noch bezeichnen? b) Wie bestimmt man den Zentralwert einer Datenreihe? c) Bei einem Würfelexperiment sind nach 10 Würfen folgende Augenzahlen gefallen: 4 ; 3 ; 5 ; 2 ; 4 ; 2 ; 6 ; 1 ; 5 ; 1 Bestimme den Zentralwert. Karte 91

93 Daten erfassen und Wahrscheinlichkeit: a) Mit welcher Formel berechnet man bei einem Laplace-Experiment die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses? b) Gib die Wahrscheinlichkeit an, mit der beim Würfeln eine Augenzahl größer als 4 erscheint. Karte 92

94 Daten erfassen und Wahrscheinlichkeit: Aus der abgebildeten Urne wird eine Kugel gezogen. Berechne die Wahrscheinlichkeit für folgende Ereignisse. A: Es wird eine weiße Kugel gezogen. B: Es wird eine Nummer größer als 1 gezogen. C: Es wird eine graue Kugel mit gerader Nummer gezogen Karte 93

95 Daten erfassen und Wahrscheinlichkeit: Eine Münze wird zweimal hintereinander geworfen. a) Veranschauliche dieses Zufallsexperiment in einem Baumdiagramm. Achte auf die korrekte Beschriftung der Äste und Knoten. b) Nach welcher Regel werden die Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Ereignisse berechnet? Karte 94

96 Daten erfassen und Wahrscheinlichkeit: Ein idealer Spielwürfel wird zweimal hintereinander geworfen. Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt des entsprechenden Baumdiagramms. Ergänze die Lücken und berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses am Ende der Äste. 5 ( ; ) p = = 1... Karte 95 4 ( ; ) p = =

97 Daten erfassen und Wahrscheinlichkeit: a) Was ist beim Würfeln das Gegenereignis zu A: Die geworfene Augenzahl ist kleiner als 3? b) Wie kann man aus der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses berechnen? c) Gib die Wahrscheinlichkeiten für das oben erwähnte Ereignis A und das Gegenereignis A* an. Karte 96