Johann Wolfgang Goethe - Universität Frankfurt am Main

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1 Fachbereich Wirtschaftswissenschaften Institut für Statistik und Mathematik Johann Wolfgang Goethe - Universität Frankfurt am Main ENTSCHEIDUNGSTHEORIE Klausur vom Prof. Dr. H. Rommelfanger Als Hilfsmittel sind neben Schreibmaterial zugelassen: - ein einfacher Taschenrechner (mit ein- oder zweizeiligem Display) - das Buch "Entscheidungstheorie" von Prof. Dr. Rommelfanger und Dr. Eickemeier. Das Schreiben mit Bleistift ist nicht gestattet! Die Lösungen sind so ausführlich darzustellen, dass der Lösungsweg nachvollzogen werden kann! Die Mindestpunktzahl zum Bestehen der Klausur beträgt 40 Punkte!. Gegeben sei folgendes hierarchisches Zielsystem zur Beurteilung der Rentabilität eines Unternehmens: Rentabilität (RB) Gesamtkapitalrentabilität [%] (GRB) Ordentliches Betriebsergebnis / Umsatz [%] (OB/U) Zur Klassifizierung der Größen werden trapezförmige und trianguläre Zugehörigkeitsfunktionen verwendet, wobei im Folgenden nur die Eckpunkte der Zugehörigkeitsfunktionen auf 0- und - Niveau angegeben werden. GRB (niedrig) [%] = (- ; - ; ; 4) RB (gut plus) = (,, 4) GRB (mittel) [%] = (; 4; 8; 0) RB (gut) = (,, ) GRB (hoch) [%] = (8; 0; + ; + ) RB K (mittel plus) = (0,, ) OB/U (niedrig) [%] = (- ; - ; 0;,5) RB (mittel) = (-, 0, ) OB/U (mittel) [%] = (0;,5; 5; 6) RB K (mittel minus) = (-, -, 0) OB/U (hoch) [%] = (5; 6; + ; + )) RB (schlecht) = (-, -, -) RB (schlecht minus) = (-4, -, -) Es werden zwei Unternehmen betrachtet: GRB OB/U Unternehmen A % 5 % Unternehmen B 8,5 % 5,7 % Geben Sie für jedes Unternehmen die Fuzzy-Beurteilung des Oberziels Rentabilität anhand einer Abbildung an und interpretieren Sie die Ergebnisse.

2 Zur Aggregation der Unterziele wird der folgende Regelsatz benutzt. R-Nr. GRB OB/U SFK n n s- n m s n h m- 4 m n s 5 m m m 6 m h m+ 7 h n m- 8 h m m+ 9 h h g. Die nachfolgende Matrix gibt die geschätzten zusätzlichen Gewinnbarwerte in Mill. an, wenn die Investitionen a, a, a bzw. a 4 getätigt werden. s s a (0; ; ; ; ; 4) (8; 0, ; ; 4; 7) (60; 6; 65; 67; 69; 7) a (96; 00; 0; 05; 08: 0) (9; 0; ; ; 4; 5) (45; 47; 50; 50; 5; 55) a (5; 6; 8; 0; ; 4) (; 4; 6; 6; 8; 40) (70; 7; 74; 74; 77; 79) a (8; 40; 4; 4; 45; 49) (58; 60; 65; 65; 68; 69) (50; 5; 54; 55; 57; 60) 4 a. Geben Sie die Menge der effizienten Alternativen an. Begründung! b. Welche Alternative soll realisiert werden? i. nach dem Max-Min-Kriterium ii. nach dem Max-Max-Kriterium iii. nach dem Hurwicz-Kriterium mit dem Optimismusparameter iv. nach dem Laplace-Kriterium = Lösungshinweis: Bei der Festlegung der Rangfolge ist die ε -Präferenz zu verwenden. (Die Zwischenwerte sind im Lösungsheft anzugeben!) () (4)

3 . Ein 7-köpfiges Gremium hat bzgl. der Alternativmengen {A, B, C, D, E} das folgende Präferenzprofil. M M M M 4 M 5 M 6 M 7 C A B E B C B E E E D A D E B C A A E B A A D D B D A C D B C C C E D a. Welche Alternative wird gewählt i. nach dem Double-Vote-Verfahren ii. nach dem Double-Election-Verfahren iii. nach dem Borda-Verfahren b. i. Welche Alternative wird bei Verwendung der Methode des paarweisen Vergleichs gewählt, wenn die Alternativen in der alphabetischen Reihenfolge zur Abstimmung gestellt werden? ii. Würde eine andere Alternative ausgewählt, wenn die Alternativen in einer anderer Reihenfolge zur Abstimmung gestellt werden, oder gibt es eine Condorcet-Alternative? Hinweis: Die Antworten sind durch Angabe der Abstimmungsergebnisse und der Rangfolgen zu begründen. () 4. Die beiden Fabrikanten E. Gal und U. N. Sicher sollen entscheiden, ob das Produkt "Innova" oder das Produkt "Neopra" auf den Markt gebracht werden soll. Der externe Unternehmensberater Mc Astrolog prognostiziert für "Innova" einen Gewinn von 80 [Tausend ] in der Planungsperiode, während er für das Produkt "Neopra" mit 0% Wahrscheinlichkeit einen Gewinn von 50 [Tausend ], mit 50% einen Gewinn von 90 [Tausend ] und mit 0% einen Gewinn von 00 [Tausend ] vorhersagt. Der Fabrikant Gal legt seiner Entscheidung eine lineare Nutzenfunktion u G (x) = x zu Grunde, während sich Sicher nach der folgenden Nutzenfunktion richtet: 0,0 x für 0 x 50 us (x) = 0,0 x + 4x 00 für 50 < x 00 a. Skizzieren Sie den Verlauf beider Nutzenfunktionen und erläutern Sie die Risikoeinstellung ihrer Nutzer. b. Wie entscheiden sich Gal bzw. Sicher? c. Ändert sich etwas an dieser Entscheidung, wenn bei beiden Produkten zusätzliche fixe Kosten in Höhe von 50 [Tausend ] berücksichtigt werden? Erklären Sie das Ergebnis. ()

4 5. Gegeben sind die beiden Paarvergleichsmatrizen 4 A = , B = 6 6 a. Überprüfen Sie die Paarvergleichsmatrizen auf Konsistenz. Begründen Sie Ihre Aussage. b. Geben Sie für die konsistente Matrix den betragsmäßig größten Eigenwert an und berechnen Sie den zugehörigen normierten Gewichtungsvektor. c. Der betragsmäßig größte Eigenwert der nicht-konsistenten Matrix ist max =, Darf nach der AHP-Methode in diesem Fall der zugehörige Eigenvektor als Gewichtevektor noch benutzt werden? ( RI() = 0,58 ). Wenn ja, berechnen Sie den normierten Gewichtungsvektor. (4) 6. Gegeben ist die nachfolgende Entscheidungssituation mit Handlungsalternativen, Umweltzuständen und der nachfolgenden Ergebnismatrix [in.000 ]: g(a,s ) i j s s a a 0 8 a a. Welche Alternative wird nach der Savage-Niehaus-Regel ausgewählt, wenn die Regretfunktion sich nach den Spaltenmaxima orientiert? Würde sich die Alternativenauswahl ändern, wenn anstelle der Spaltenmaxima andere vom Entscheidungsträger vorgegebene Zielwerte (Goals) als Orientierung gewählt werden? Hilfestellung: Welche Alternative würde z.b. ausgewählt, wenn i. für s ein Ergebnis in Höhe 5 als ausreichend angesehen wird ii. in s ein Ergebnis in Höhe von 5 angestrebt wird. b. Wir gehen nun davon aus, dass der ET die Eintrittswahrscheinlichkeiten nur unscharf beschreiben kann. ~ P(s = ε, ) (0,; 0,; 0,; 0,; 0,5; 0,7) P ~ (s ) = (0,4; 0,4; 0,44; 0,46; 0,49; 0,5 ε, P ~ (s ) = ε, ) (0,7; 0,9; 0,; 0,; 0,5; 0,8). Ist eine Rang- i. Berechnen Sie die Fuzzy-Erwartungswerte näherungsweise in Form E ~ A i folge auf Basis der ε -Präferenz möglich?

5 5 ii. Berechnen Sie für die Alternative a die Hilfsgrößen ("Wahrscheinlichkeitswerte"), die zur Bestimmung des exakten Fuzzy-Erwartungswertes E ~ P nötig sind. c. Transformieren sie die Ergebnismatrix gemäß des Krelle-Vorschlags in eine Nutzenmatrix, indem zunächst eine risikoneutrale Abbildung auf [0, ] ausgeführt und dann durch Anwendung der Risikofunktion w(u) = u + die Risikoeinstellung des ET berücksichtigt wird. Der letzte Schritt ist nur für die Alternative a auszuführen. () 7. Das Unternehmen Peter & Gert (P&G) möchte eine neue Hautcreme auf den Markt bringen, erwartet aber, dass es entweder ein großer Erfolg oder ein Flop wird. Es schätzt daher die Wahrscheinlichkeiten für: s : Nachfrage im Planungszeitraum Mill. EH : Nachfrage im Planungszeitraum Mill. EH s : Nachfrage im Planungszeitraum EH mit p(s ) = 0,5; p(s ) = 0,; p(s) = 0,4. Der Deckungsbetrag je EH beträgt, die fixen Kosten der Produkte im Planungszeitraum betragen Mill.. a. Soll P&G die neue Hautcreme auf dem Markt einführen, wenn alternativ eine Investition getätigt werden kann, die einen sicheren Gewinn von Mill. verspricht. b. Lohnt sich für P&G eine breit angelegte Marktanalyse, die vollkommene Information über die Absatzchancen der neuen Hautcreme liefern, aber, Mill. kosten würde? c. P&G hat auch die Möglichkeit, eine einfache Marktanalyse durchzuführen. Aus den Testmarktbeobachtungen y : hohe Nachfrage y : mittlere Nachfrage y : geringe Nachfrage kann aber nicht mit Sicherheit auf das Käuferverhalten auf dem Gesamtmarkt geschlossen werden. Es sind aber die folgenden Likelihoods P(yk,s j) bekannt: P(y k,s j) y y y s 0,7 0, 0, 0, 0,5 0, s 0, 0, 0,6 Soll diese Testmarktuntersuchung durchgeführt werden, wenn Kosten in Höhe von anfallen? (5)