Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht

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1 Anwendungen der Wirtschaftsmathematik und deren Einsatz im Schulunterricht Beispiele wirtschaftsmathematischer Modellierung Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

2 Beispiele wirtschaftsmathematischer Modellierung Was ist Wirtschaftsmathematik (WiMa) WiMa WiMa-Stoff im Curriculum: Lineare Programmierung und Produktionsplanung WiMa Stoff ausserhalb des Curriculums: Antennenplatzierung und Färbungsprobleme LP Färben MaMaEuSch Projekte Projekte Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

3 Was ist Wirtschaftsmathematik? Einsatz von mathematischen Methoden zur Lösung von wirtschaftlichen Problemen Mathematik: Strukturieren Verstehen Abstraktes Lösen von Problemen Wirtschaften:.. über knappe Mittel so zu verfügen, dass sich die menschlichen Bedürfnisse befriedigen lassen. Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

4 Modellierungszyklus Praktisches Problem (Projekt) Interpretation und Evaluierung der Lösung in Praxis Aufstellen eines mathematischen Modell Lösung des mathematischen Modells GT LP Gliederu Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

5 Produktionsbeispiel Eine Firmenleitung möchte den Gewinn durch neue Produkte erhöhen. P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 Gewinn in Markt in Einheiten Verfügbare Kapazität in % A A A A A Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

6 Kleines SchokoLeb Beispiel Der Gewinn beim Verkauf von Kakaoprodukten soll maximiert werden. Daten: Kakaopulver Schokolade Vorhandene Kapazität Gewinn Anlage Anlage Anlage (Entscheidungs-)Variable:, x 2 Lineares Programm: maximiere x 2 unter x x x 2 12,x 2 0 Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

7 Algorithmus 1.1: Grafisches Verfahren zur Lösung Linearer Programme mit zwei Variablen Input: Lineares Programm der Form max cx + c x unter den Nebenbedingungen. a x + a x b a x + a x b a x + a x b m1 1 m2 2 m x, x Output: Optimallösung ( * x 2 *) mit optimalem Zielfunktionswert z*. Beispiel 1 Beispiel 2 Schritt 1: Für i = 1,,m zeichne nacheinander die Geraden a i1 + a i2 x 2 = b i und di zugehörigen Halbräume a i2 x 2 + a i2 x 2 < b i. Schritt 2: Bestimme den Zulässigkeitsbereich, d.h. das Polyeder P, gegeben als die Meng aller, x 2 > 0, die im Durchschnitt der Halbräume a i1 + a i2 x 2 < b i liegen. Schritt 3. Wähle irgendeine Zahl z und zeichne die Gerade c 1 + c 2 x 2 = z. Schritt 4: Verschiebe diese Gerade parallel, so dass der Wert von z größer wird. Tue die so lange bis ein Wert z =:z* erreicht ist, so dass die Gerade c 1 + c 2 x 2 = z* da Polyeder P nur noch berührt, d.h. das Polyeder vollständig auf einer Seite de Geraden liegt. Wähle ( * x 2 *) als einen der Eckpunkte, in denen die Gerade c + c 2 x 2 = z das Polyeder berührt.

8 x=0 x>0 6 30x + 50y = x + 50y =150 3 Optimallösung (x* y*) = (2 6) Zulässigkeitspolyeder x < 4 x = 4 2y = 12 2y < 12 LP (SchokoLeb Beispiel) Max 30x + 50y udn 3x + 2y < 18 x < 4 2y < 12 x, y > 0 30x + 50y = x + 2y < 18 Algorithm y>0 y= x + 2y = 18

9 x=0 5 x>0 4 -x+y=1 3 -x+y<1 2 Optimallösung (x* y*) = (1 2) 1 max y unter den Nebenbedingunge x+ y 1 x + y 3 xy, 0 z* = 2 = 0 x + 1 y enthält Optimallösung (x* y*) = (1 2) z = 1 = 0 x + 1 y y>0 y= x+y<3 x+y=3 Algorithmus -2 Program

10 Modelländerungen zur Erinnerung: Praktisches Problem (Projekt) Interpretation und Evaluierung der Lösung in Praxis Aufstellen eines mathematischen Modells Lösung des mathematischen Modells Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

11 Programm Modelländerungen Was ist wenn... die Lösung nicht aus der Zeichnung abgelesen werden kann Kosten minimiert, statt Gewinn maximiert wird die Produktionseinheiten ganzzahlig sein müssen Gleichu Min IP Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

12 5 4 =0 >0 Optimallösung ( * x 2 *) = (??) x 2 = x 2 < 126 max 2x + 8x 1 2 unter den Nebenbedingunge 126x + 120x x + 132x x, x z* =?? = 2x z = 16 = x 2 2 enthält Optimallösung 2 ( * x 2 *) = (??) 1 x 2 >0 x 2 = Die Optimallösung erfüllt das Gleichungssystem x 2 = x 2 = x 2 < x 2 =756

13 Lösen von LPs und Gleichungssysteme - Die Lösung erfüllt das Gleichungssystem x 2 = x 2 = ( ) x 2 = ( ) 252 x 2 = 882 x 2 = 7/2 = (120*7/2-126) / 126 = 7/3 Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

14 5 4 =0 >0 Optimallösung ( * x 2 *) = (7/3 7/2) x 2 = x 2 < 126 max 2x + 8x 1 2 unter den Nebenbedingunge 126x + 120x x + 132x x, x z* = 32 2/3 = 2 + 8x enthält Optimallösung ( * x 2 *) = (7/3 7/2 1 x 2 >0 x 2 = x 2 < x 2 =756 Mod

15 Maximieren Minimieren f( ) g( ) Optimallösung: =3 3 2 max f( ) = unter den Nebenbedingungen < 3 > Optimallösung: =1 min g( ) = - unter den Nebenbedingungen < 3 > 1 Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

16 Mod Maximieren Minimieren max c 1 x + c x min ( c ) x + ( c ) x unter den Nebenbedingungen a x + a x b a x + a x b a x + a x b m1 1 m2 2 m x, x unter den Nebenbedingungen a x + a x b a x + a x b a x + a x b m1 1 m2 2 m x, x Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

17 Ganzzahlige Produktionspläne Was passiert, wenn Produktionseinheiten nur ganzzahlige Werte annehmen können? Ganzzahliges, lineares Programm: max cx + c x unter den Nebenbedingungen a x + a x b a x + a x b a x + a x b m1 1 m2 2 m x, x ganzzahlig Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

18 Beispiel: Transport von Gefahrengütern Wieviel Einheiten eines Gutes 1 bzw. 2 kann man transportieren, wenn pro Einheit: Gut 1 Gut 2 Profit: 2 7 (Mill. Euro) Kapazität: 1 4 (Platzeinheiten) Gefahrenwert: 9-4 ( -10 bis +10 Skala) (additiv) Dabei Gesamtkapazität: 14 Gefahrenhöchstwert: 36 Lehrerfortbildung, Speyer, Juni zurück

19 Ganzzahliges, Lineares Programm pro Einheit: Gut 1 Gut 2 Gesam Profit: 2 7 (Mill. ECUs) Kapazität: 1 4 (Platzeinheiten) 14 wissensch. Wert: -9 4 ( -10 bis +10 Skala) 36 Maximiere 2 + 7x 2 unter den Nebenbedingungen 1 + 4x 2 < x 2 < 36 Vorzeichenbedingungen,x 2 > 0 Ganzzahligkeitsbedingungen,x 2 ganzzahlig Lehrerfortbildung, Speyer, Juni zurück

20 x 2 Lösung der LP- Relaxierung 9-4x 2 < 3 Ganzzahligkeitsbedingungen,x 2 ganzzah Maximiere 2 + 7x 2 unter den Nebenbedingungen 1 + 4x 2 < 1 Vorzeichenbedingungen,x 2 > 0 + 4x 2 < x 2 < 36 Optimallösung ohne Ganzzahligkei * =5, x 2* = Zielfunktionswert: 2 + 7x 2 =25, Zielfunktionswert: 2 + 7x 2 =8 Zielfunktion: 2 + 7x 2 = 0

21 Partition des Problems in zwei Teilprobleme x 2 + 4x 2 < x 2 < 36 x 2 * > 3 * =5, x 2* = x 2 * < 2 Zielfunktion 2x Zielfunktion 1 + 7x 2 = x 2 = 23, Lehrerfortbildung, Speyer, Juni zurück

22 Konvexe Hülle der ganzzahligen Lösungen x 2 + 4x 4 < 14 * =2, x 2* = x 4 < Zielfunktion: 2 + 7x 2 = Lehrerfortbildung, Speyer, Juni Zielfunktion: 2 + 7x 2 Gliederun

23 4-Farbenproblem Kann man alle Staaten Deutschlands mit 4 Farben färben? 4-Farb D Wieviele Farben sind nötig, um eine beliebige Landkarte zu färben? 4-Farb nicht Vier Farben Satz (Apel und Haken, 1976): Jede Landkarte ist mit 4 Farben färbbar * Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

24 4-Farbenproblem und Graphentheorie Das Färben von Landkarten hat etwas mit sog. Graphen zu tun? D C A C B A D Färben von Flächen Knotenfärbung B Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

25 4-Farbenproblem und Graphentheorie C C A D A D Knotenfärbung B B Vier Farben Satz (Apel und Haken, 1976): Jeder planare Graph ist mit 4 Farben färbbar Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

26 4-Farbenproblem als wirtschaftsmathematisches Modell Ist das Färben von Graphen nur eine Spielerei? Anwendungen im Design von Funknetzwerken: Knoten = Sender Kante (i,j) = Sender i und j haben Interferenz Farben = verschiedene Sendefrequenzen Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

27 Sender-Netzwerke A B E C F D Durchschnittsgraph: A B E Jede zulässige Knotenfärbung im Durchschnittsgraphen entspricht einer zulässigen Frequenzzuweisung (und umgekehrt). C D F Gliederun Lehrerfortbildung, Speyer, Juni

28 Gliederun Wirtschaftsmathematik in Schulen: Literatur (und Links auf dieser Seite) Hamacher, Korn 2, Schwarze: Mathematik und Ökonomie, Universum Verlag, Oktober 2004 (Zwei Kapitel bekommen Sie am Ende der Fortbildung auf CD) Lehrerfortbildung, Speyer, Juni