Kombinatorische Logik. Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck

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1 Kombinatorische Logik Einführung in die Technische Informatik Falko Dressler, Stefan Podlipnig Universität Innsbruck

2 Überblick Analog- und Digitaltechnik Boolesche Algebra Schaltfunktionen Gatter Normalformen Minimierung von Schaltfunktionen Schaltnetze Realisierung von Schaltnetzen Kombinatorische Logik 2

3 Lernziele Begriffe: Schaltfunktion, Schaltnetz, Minterm, Maxterm, DNF, KNF, KDNF, KKNF, (De-)Multiplexer, (De-)Kodierer,... Transformation Boolescher Ausdrücke gemäß den Axiomen und Sätzen der Booleschen Algebra, z.b. zum Nachweis der Äquivalenz zweier Schaltnetze. Systematischer Entwurf eines Schaltnetzes aus einer Problembeschreibung: Aufstellen der Wahrheitstabelle Bildung der KDNF oder KKNF Minimierung der KDNF oder KKNF mit Karnaugh-Veitch-Diagrammen Realisierung des Schaltnetzes mit Gattern aus einer vorgegeben Menge oder mit programmierbaren Logikbausteinen Kombinatorische Logik 3

4 Kombinatorische Logik 4 ANALOG- UND DIGITALTECHNIK

5 Analogtechnik und Digitaltechnik (1) Kombinatorische Logik 5 Bei analoger Technik kontinuierliche Signale Bei digitaler Technik diskrete, i.a. binäre Signale

6 Analogtechnik und Digitaltechnik (2) Einige Vor- und Nachteile analoger Hardware: Einige Vor- und Nachteile digitaler Hardware: + Multiplikation und Addition leicht zu realisieren + kleiner Flächenbedarf + sehr schnell - temperaturabhängig - nichtlineare Bauteile - Präzision nur bei ca. 6-8 bit - Langzeitspeicherung von Daten schwierig + unempfindlich gegenüber Störungen (z.b. Rauschen) + einfacher Entwurf + beliebig hohe Präzision möglich - hoher Flächenbedarf, insbesondere für Multiplikation - hoher Energieverbrauch Digitaltechnik ermöglicht eine einfache Realisierung robuster Hardware Kombinatorische Logik 6

7 Digitaltechnik (1) Eine einfache Schaltung: Schalter Spannungsquelle Lichquelle Strom fließt nur bei geschlossenem Stromkreis! Zwei Zustände Strom fließt Lampe leuchtet Strom fließt nicht Lampe leuchtet nicht Kombinatorische Logik 7

8 Digitaltechnik (2) Bei Betrachtung aus Sicht der Logik ergeben sich 2 Zustände: Strom fließt / Strom fließt nicht Lampe leuchtet / Lampe leuchtet nicht an / aus wahr / falsch 1 / 0 Im folgenden Betrachtung der Zustandsmenge {0,1}. Zustände werden elektronisch realisiert: Stromfluss / kein (oder ein sehr geringer) Stromfluss Spannung / keine (oder eine sehr geringe) Spannung Beispiel (0 5V): logische 0 bei V, logische 1 bei V Elementare Funktionen auf {0,1} werden durch Gatter realisiert, komplexe Funktionen durch eine geeignete Verschaltung von mehreren Gattern. Kombinatorische Logik 8

9 Kombinatorische Logik 9 BOOLESCHE ALGEBRA

10 Boolesche Algebra (1) Von George Boole (engl. Mathematiker) im Jahre 1854 entwickelt. In dieser Vorlesung ist mit Boolescher Algebra immer eine spezielle Ausprägung der eigentlichen Booleschen Algebra gemeint (die sogenannte Schaltalgebra): Zwei Werte: 0 und 1 Beschreibung von Schaltungen Hilfsmittel zur Berechnung binärer Schaltnetze und Schaltwerke Das Verständnis der booleschen Algebra ist wichtig für die Konstruktion und den Bau von effizienten Strukturen und Schaltungen zur Verarbeitung binärer Größen und bildet damit die Grundlage für die heutige Rechner-Hardware. Kombinatorische Logik 10

11 Boolesche Algebra (2) Querverweis Wir besprechen hier nur einen Spezialfall. Für präzise Definitionen und eine Besprechung allgemeiner Zusammenhänge siehe Vorlesung Einführung in die Theoretische Informatik. Ausblick Zukünftige Architekturen könnten zum Beispiel auch auf Quantenphysik aufbauen. Hier gibt es dann mehr Werte zwischen 0 und 1. Einführung in die Theoretische Informatik Kombinatorische Logik 11

12 Operatoren (1) Hat man zwei Variablen a, b B, so lassen sich drei Operatoren der booleschen Algebra definieren, wobei sich für die gleichen Operationen unterschiedliche Schreibweisen (Symbole) eingebürgert haben. OR-Operator (logische Summe) geschrieben als + oder. Das Ergebnis einer OR-Operation ist 1, falls mindestens eine der Variablen in a b den Wert 1 besitzt: Kombinatorische Logik 12

13 Operatoren (2) AND-Operator (logisches Produkt) geschrieben als *,, oder als Leerzeichen. Das Ergebnis einer AND-Operation ist 1, falls beide Variablen in a b den Wert 1 besitzen. Hinsichtlich der Aussagenlogik gilt: Zwei mit dem AND-Operator verknüpfte Einzelbedingungen ergeben nur dann eine wahre Gesamtbedingung, wenn beide Einzelbedingungen wahr sind, ansonsten ist die Gesamtbedingung falsch. Kombinatorische Logik 13

14 Operatoren (3) NOT-Operator (Invertierung) geschrieben als a, a oder Das Ergebnis einer NOT-Operation ist 1, falls die entsprechende Variable den Wert 0 besitzt. Besitzt die Variable den Wert 1, so ist das Ergebnis der Wert 0. Kombinatorische Logik 14

15 Operatoren (4) Eine boolesche Menge B zusammen mit diesen drei Operatoren wird als boolesche Algebra bezeichnet. Wird geschrieben als: (B, AND, OR, NOT) oder B,, +, auch B(,, ) Man findet in der Literatur auch Mischvarianten (siehe folgende Folien). Kombinatorische Logik 15

16 Operatoren (5) Kombinatorische Logik 16 Übersicht über gängige Notationen:

17 Axiome In einer booleschen Algebra gelten verschiedene Gesetze (Axiome), die zur Manipulation logischer Gleichungen hilfreich sind. Es gibt 4 grundlegende Axiome: Kommutativität: A+B = B+A A B = B A Distributivität: A (B+C) = (A B)+(A C) A+(B C) = (A+B) (A+C) Neutrales Element: 0 +A = A 1 A = A Komplementäres Element: A+A = 1 A A = 0 Kombinatorische Logik 17

18 Sätze (1) Kombinatorische Logik 18 Folgende Sätze können aus den vier Axiomen abgeleitet werden: Idempotenzgesetze: A+A = A A A = A Assoziativität: A+(B+C) = (A+B)+C A (B C) = (A B) C Substitutionsregeln: A+1 = 1 A 0 = 0 Absorptionsgesetze: A+(A B) = A A (A+B) = A Doppelnegation: A = A

19 Sätze (2) Komplementäre Werte: 0 = 1 1 = 0 Abgeschlossenheit: Boolesche Operationen liefern nur boolesche Werte als Ergebnis. Dualität: Für jede aus den Axiomen ableitbare Aussage gibt es eine duale Aussage, die durch Tausch der Operationen + und sowie durch Tausch der Werte 0 und 1 entsteht. Kombinatorische Logik 19

20 De Morgan sche Regeln De Morgansche Regeln: A+B = A B A B = A+B Anmerkung: De Morgan sche Regeln ermöglichen eine einfache Negation von Termen durch 1) Tausch der Operationen + (ODER) und (UND) 2) Komplementierung aller Variablen Kombinatorische Logik 20

21 Kombinatorische Logik 21 SCHALTFUNKTIONEN

22 Schaltfunktionen Funktionen f : {0,1} n {0,1} m mit n,m 1 werden auch als Schaltfunktionen bezeichnet. Eine Schaltfunktion f : {0,1} n {0,1} heißt eine n-stellige Boolesche Funktion. Jede Schaltfunktion f : {0,1} n {0,1} m kann durch m Boolesche Funktionen ausgedrückt werden. Jede Boolesche Funktion lässt sich beschreiben durch eine Wahrheitstabelle (auch Wahrheitstafel genannt), durch einen Booleschen Ausdruck (gebildet durch Boolesche Variablen und Operationen aus der Booleschen Algebra, nicht eindeutig!). Kombinatorische Logik 22

23 Wie viele n-stellige Boolesche Funktionen gibt es? Eine Funktion bildet die Menge aller möglichen n-tupel aus {0,1} auf {0,1} ab und kann in Form einer Tabelle mit 2 2n Werten dargestellt werden. Beispiel: n = 1 ergibt vier einstellige boolesche Funktionen f(x)=0 f(x)=1 f(x)=x f(x)=-x Kombinatorische Logik 23

24 Zweistellige boolesche Funktionen (1) Kombinatorische Logik 24 n = 2 ergibt 16 zweistellige boolesche Funktionen

25 Zweistellige boolesche Funktionen (2) Kombinatorische Logik 25

26 Funktionen (1) Für die einzelnen Funktionen gilt dabei Folgendes: Null- bzw. einstellige Funktionen sind nicht von Interesse. Die Funktionen f0, f3, f5, f10, f12 und f15 sind uninteressant, da es gewissermaßen auf zwei Argumente erweiterte null- bzw. einstellige Funktionen sind. Einfache Funktionen mit den Operatoren AND, OR und NOT: Kombinatorische Logik 26

27 Funktionen (2) Andere Funktionen und ihre Nachbildung mit AND, OR und NOT Für die restlichen Funktionen wird in der letzten Zeile noch gezeigt, wie diese sich mittels der Operatoren AND, OR und NOT realisieren lassen: Kombinatorische Logik 27

28 Funktionen (3) Es lassen sich nun folgende Sätze aufstellen: 1. Satz: Alle zweistelligen booleschen Funktionen können mit Hilfe der Negation ( ), der Konjunktion ( ) und der Disjunktion (+) dargestellt werden. 2. Satz: Alle zweistelligen booleschen Funktionen können entweder mit Hilfe der Negation und der Konjunktion, oder mit Hilfe der Negation und der Disjunktion dargestellt werden. 3. Satz: Alle zweistelligen booleschen Funktionen können entweder mit Hilfe der NAND-Verknüpfung oder mit Hilfe der NOR-Verknüpfung dargestellt werden. Wichtig: Grundlage für den Aufbau von CPUs und Speicher. Kombinatorische Logik 28

29 Kombinatorische Logik 29 GATTER

30 Wie funktionieren Computer? Computer besteht aus Milliarden von Transistoren Transistor = elektronischer Schalter Zusammenwirken recht kompliziert Physikalische Wirkungsweise nicht leicht zu verstehen Trotzdem einfach, wenn wir die physikalische Wirkungsweise nicht genau untersuchen und mit vereinfachten Modellen arbeiten. Vereinfachung ist kein Problem, da die Bauelemente nur eine Verwirklichung der Funktionsweise von Computern unter mehreren möglichen darstellen. Sehr abstrakt gesehen beruht die Wirkungsweise moderner Computer auf: Ein-Aus-Schaltern (0 oder 1) Logische Verknüpfungen boolescher Werte Kombinatorische Logik 30

31 Abstraktionsschichten Kombinatorische Logik 31 Programmierung Rechner wird nur als Gerät gesehen, das Daten speichert und Befehle ausführt Architektur Struktur eines Rechners mit Registern, ALU, Steuerwerk, interne Bussysteme, Ein- /Ausgabeeinheit Instruktionen, Registersatz und Adressierungsarten (Schnittstelle zwischen Hardund Software ) Logik Schaltnetze und Schaltwerke zur Verknüpfung und Speicherung der Daten durch Gatter und Flipflops Elektronik Elektronische Schaltkreise, die binäre Signale erzeugen, verknüpfen und speichern

32 Gatter Gatter (engl. gate) Sind elektronische Schalter, die binäre Werte verknüpfen. Gatter werden aus einfachen elektronischen Bauteilen (Transistoren, Dioden, Widerstände) zusammengesetzt. Gatter realisieren boolesche Funktionen. Ein Gatter ist eine Black Box mit einem, zwei oder mehreren Eingängen A,B,C,... {0,1} und genau einem Ausgang Y {0,1} zur Realisierung einer Funktion Y = f (A,B,C,...) Kombinatorische Logik 32

33 Gatter (Übersicht und Beispiel) Kombinatorische Logik 33 US ANSI DIN (veraltet) IEC Beispiel:

34 Zeitverhalten eines realen Gatters (Wiederholung) Jede Veränderung des Eingangssignals führt erst nach einer Verzögerung zu einer Änderung des Ausgangssignals. ist definiert als Zeitspanne zwischen den Zeitpunkten der Überschreitung des 50% Pegels. Kombinatorische Logik 34

35 Beispiel einer logischen Schaltung (1) Gesucht ist eine Schaltung, die eine logische 1 generiert, wenn ein oder zwei von drei Eingängen A,B,C den Wert 1 haben. Erste Lösungsvariante: Kombinatorische Logik 35

36 Beispiel einer logischen Schaltung (2) Kombinatorische Logik 36 Zweite Lösungsvariante: Frage: Welche Variante ist besser?

37 Kombinatorische Logik 37 NORMALFORMEN

38 Ausgezeichnete Terme Produktterm: Einfache Variable (ggf. negiert) Konjunktion mehrerer Variablen (ggf. negiert) Beispiele: x, y, x y, x y z Summenterm: Wie Produktterm, jedoch Disjunktion statt Konjunktion Beispiele: x, y, x + y, x + y + z Minterm: Produktterm, in dem jede Variable einer Booleschen Funktion genau einmal vorkommt (einfach oder negiert) Beispiel: x y z ist ein Minterm der Funktion f(x,y,z) Maxterm: Summenterm, in dem jede Variable einer Booleschen Funktion genau einmal vorkommt (einfach oder negiert) Beispiel: x + y + z ist ein Maxterm der Funktion f(x,y,z) Kombinatorische Logik 38

39 Normalformen (1) Disjunktive Normalform (DNF, Summe von Produkten): Disjunktion von Produkttermen Beispiel: ( x y ) + ( x y z ) Konjunktive Normalform (KNF, Produkt von Summen): Konjunktion von Summentermen Beispiel: ( x + y ) ( x + y + z ) Kanonische Disjunktive Normalform (KDNF): Eindeutige Darstellung einer Booleschen Funktion f als Disjunktion von Mintermen Beispiel: ( x y z ) + ( x y z ) + ( x y z ) ist KDNF von f(x,y,z) Kanonische Konjunktive Normalform (KKNF): Eindeutige Darstellung einer Booleschen Funktion f als Konjunktion von Maxtermen Beispiel: ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ist KKNF von f(x,y) Kombinatorische Logik 39

40 Normalformen (2) Satz: Jede Boolesche Funktion lässt sich als genau eine KDNF darstellen. Bildung der KDNF für n-stellige Boolesche Funktion f: Für jede Zeile der Wahrheitstabelle mit f(x 1, x 2,..., x n ) = 1 wird ein Minterm aufgestellt. Hierin wird jede Variable x i negiert, wenn in der entsprechenden Zeile der Wert der Variablen 0 ist. Beispiel: Darstellung als KDNF ist abgesehen von Reihenfolge eindeutig! Kombinatorische Logik 40

41 Normalformen (3) Satz: Jede Boolesche Funktion lässt sich als genau eine KKNF darstellen. Bildung der KKNF für n-stellige Boolesche Funktion f : Für jede Zeile der Wahrheitstabelle mit f(x 1, x 2,..., x n ) = 0 wird ein Maxterm aufgestellt. Hierin wird jede Variable x i negiert, wenn in der entsprechenden Zeile der Wert der Variablen 1 ist. Beispiel: Darstellung als KKNF ist abgesehen von Reihenfolge eindeutig! Kombinatorische Logik 41

42 Normalformen (4) Satz: Jede KDNF kann in eine KKNF umgewandelt, jede KKNF kann in eine KDNF umgewandelt werden. Aufgrund der Dualität gilt: KKNF( f(x 1, x 2,..., x n ) ) = KDNF( f(x 1, x 2,..., x n ) ) und KDNF( f(x 1, x 2,..., x n ) ) = KKNF( f(x 1, x 2,..., x n ) ) Zwei Darstellungen Boolescher Funktionen sind äquivalent, wenn sie durch Umformungen gemäß den Sätzen der Booleschen Algebra auf die gleiche KDNF bzw. KKNF zurückgeführt werden können. Kombinatorische Logik 42

43 Normalformen (5) Eine Schaltung zur Realisierung einer Booleschen Funktion f kann erzeugt werden durch: Aufstellen der Wahrheitstafel von f Bilden der KDNF (oder KKNF) von f Realisierung der KDNF (oder KKNF) mit Gattern Eine KDNF ist günstiger als eine KKNF, wenn nur für wenige Kombinationen der Eingabewerte f(x 1, x 2,..., x n ) = 1 gilt. Beispiel: Implikation Kombinatorische Logik 43

44 Normalformen (6) Kombinatorische Logik 44 Gelegentlich ist in Schaltungen der Wert am Ausgang Y für einige Eingangskombinationen irrelevant - in diesem Fall wird in den entsprechenden Zeilen der Wahrheitstabelle für Y ein d eingetragen ( don t care ), werden die mit d gekennzeichneten Zeilen bei der Bildung von KDNF bzw. KKNF nicht berücksichtigt. Beispiel: Eingabemelder Eine Schaltung soll am Ausgang Y = (y 2, y 1 ) den Index derjenigen Eingabeleitung ausgeben, die auf 1 liegt; es kann nicht mehr als eine Eingabe- leitung gleichzeitig aktiv sein. Bildung der KDNFs: y 2 = f 2 (x 3, x 2, x 1 ) = x 3 x 2 x 1 + x 3 x 2 x 1 y 1 = f 1 (x 3, x 2, x 1 ) = x 3 x 2 x 1 + x 3 x 2 x 1

45 Kombinatorische Logik 45 MINIMIEREN VON SCHALTFUNKTIONEN

46 Minimierung von Schaltfunktionen Kanonische Normalformen stellen zwar eine eindeutige, jedoch nicht minimale Darstellung einer Schaltfunktion dar. Wann heißt eine Darstellung minimal? Kleinste Anzahl an Gattern? Kleinste Anzahl an Verbindungsleitungen? Kleinste Anzahl an Produkttermen bzw. Summentermen? Hier verwendet: Kleinste Anzahl an Booleschen Operationen! Lösungsmöglichkeiten: Geeignetes Umformen mit Gesetzen der Booleschen Algebra. Einsatz eines graphischen Verfahrens (z.b. ein Karnaugh-Veitch-Diagramm, nur möglich bei Schaltfunktionen mit wenigen Variablen). Algorithmisches Minimieren (z.b. Verfahren nach Quine-Mc-Cluskey, geeignet auch für Schaltfunktionen mit vielen Variablen). Kombinatorische Logik 46

47 Minimierung mit Boolescher Algebra Idee: Resolutionsregel Wenn sich in einer disjunktiven Normalform zwei Summanden nur in genau einer komplementären Variablen unterscheiden, so können beide Summanden durch ihren gemeinsamen Teil ersetzt werden. Beispiel: f(x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 (Idempotenzgesetz) = x 1 x 2 (x 3 + x 3 ) + x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 (Distributivgesetz) = x 1 x 2 (x 3 + x 3 ) + x 1 x 3 x 2 + x 1 x 3 x 2 (Kommutativgesetz) = x 1 x 2 (x 3 + x 3 ) + x 1 x 3 (x 2 + x 2 ) (Distributivgesetz) = x 1 x x 1 x 3 1 (Komplementäres Element) = x 1 x 2 + x 1 x 3 (Neutrales Element) Kombinatorische Logik 47

48 Karnaugh-Veitch-Diagramme (1) Graphische Darstellung der Wahrheitstafel durch eine Matrix. Jedes Element repräsentiert einen Minterm. Die Anordnung der Elemente erfolgt derart, dass sich zwei (zyklisch) benachbarte Elemente genau im Vorzeichen einer Komponente unterscheiden. Benachbarte Minterme können zusammengefasst werden! Karnaugh-Veitch-Diagramm Für eine zweistellige Boolesche Funktion f(x 1, x 2 ): Erste (zweite) Spalte repräsentiert x 1 (bzw. x 1 ) Erste (zweite) Zeile repräsentiert x 2 (bzw. x 2 ) Kombinatorische Logik 48

49 Karnaugh-Veitch-Diagramme (2) Zur Minimierung der KDNF einer n-stelligen Funktion f wird für jeden Minterm mit f(x 1,...,x n ) = 1 eine 1 im Diagramm eingetragen. wird für jeden Minterm mit f(x 1,...,x n ) = 0 eine 0 im Diagramm eingetragen. werden möglichst wenige und möglichst große zusammenhängende ggf. überlappende Bereiche aus Einsen markiert, wobei jeder Bereich aus 2 k Elementen (mit 0 k n) besteht und letztendlich alle Einsen überdeckt sein müssen. wird eine minimale DNF gebildet, indem den einzelnen markierten Bereichen Produktterme zugeordnet werden, die summiert werden. Beispiel: Implikation Kombinatorische Logik 49

50 Karnaugh-Veitch-Diagramme (3) Karnaugh-Veitch-Diagramm für eine dreistellige Boolesche Funktion f(x 1, x 2, x 3 ): Alternative Beschriftung zeigt: Zwei disjunkte Bereiche für x 2! Nachbarschaft ergibt sich hier durch zyklische Fortsetzung in horizontaler Richtung! Auch zyklisch fortgesetzte Markierungen möglich! Kombinatorische Logik 50

51 Karnaugh-Veitch-Diagramme (4) Kombinatorische Logik 51 Beispiel:

52 Karnaugh-Veitch-Diagramme (5) Bei Auftreten von don t care Termen in der Wahrheitstafel wird in das entsprechende Element des Diagramms ein d eingetragen. können die d-elemente bei der Markierung berücksichtigt werden, wenn sich hierdurch größere zusammenhängende Bereiche ergeben. Beispiel: Eingabemelder KDNFs aus Wahrheitstafel (vgl. Folie 44): f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 3 aus Karnaugh-Veitch-Diagrammen resultierende minimale Darstellungen: f 2 (x 1, x 2, x 3 ) = x 2 + x 3 f 1 (x 1, x 2, x 3 ) = x 1 + x 3 Kombinatorische Logik 52

53 Karnaugh-Veitch-Diagramme (6) Kombinatorische Logik 53 Karnaugh-Veitch-Diagramm für eine vierstellige Boolesche Funktion f(x 1, x 2, x 3, x 4 ):

54 Karnaugh-Veitch-Diagramme (7) Kombinatorische Logik 54 Alternative Beschriftung: Sowohl für x 2 als auch für x 4 existieren zwei disjunkte Bereiche; zyklische Nachbarschaften in horizontaler Richtung (bei x 2 ) und in vertikaler Richtung (bei x 4 ).

55 Karnaugh-Veitch-Diagramme (8) Kombinatorische Logik 55 Beispiel: 2-Bit Multiplizierer

56 Karnaugh-Veitch-Diagramme (9) Kombinatorische Logik 56 Minimierung von y 0 und y 1 : y 0 : y 1 : y 0 = x 2 x 4 y 1 = x 1 x 2 x 3 + x 2 x 3 x 4 + x 1 x 3 x 4 + x 1 x 2 x 4 = a 0 b 0 = a 1 a 0 b 1 + a 0 b 1 b 0 + a 1 b 1 b 0 + a 1 a 0 b 0

57 Karnaugh-Veitch-Diagramme (10) Minimierung von y 2 und y 3 : y 2 : y 3 : y 2 = x 1 x 2 x 3 + x 1 x 3 x 4 y 3 = x 1 x 2 x 3 x 4 = a 1 a 0 b 1 + a 1 b 1 b 0 = a 1 a 0 b 1 b 0 Kombinatorische Logik 57

58 Karnaugh-Veitch-Diagramme (11) Einige Anmerkungen: Zyklisch fortgesetzte Markierungen können sehr leicht übersehen werden, insbesondere im Diagramm für vierstellige Boolesche Funktionen! Karnaugh-Veitch-Diagramme für Boolesche Funktionen mit 5 oder mehr Stellen sind zu unübersichtlich und werden kaum verwendet! Zur Minimierung einer KKNF: werden möglichst wenige und möglichst große zusammenhängende Bereiche aus Nullen markiert. wird eine minimale DNF gebildet, indem den einzelnen markierten Bereichen Produktterme zugeordnet werden, die summiert werden. wird hieraus durch Negation eine minimale KNF generiert. Kombinatorische Logik 58

59 Kombinatorische Logik 59 SCHALTNETZE

60 Schaltnetze (1) Ein Schaltnetz ist eine schaltungstechnische Realisierung einer Schaltfunktion: f : {0,1} n {0,1} m mit n, m 1 f ist zerlegbar in m Boolesche Funktionen mit den gleichen n Eingangsvariablen : f 1 (x 1, x 2,..., x n ), f 2 (x 1, x 2,..., x n ),..., f m (x 1, x 2,..., x n ) Schaltnetz Ein Schaltnetz bezeichnet man auch als kombinatorische Logik. Kombinatorische Logik 60

61 Schaltnetze (2) Schaltnetze können einstufig (eine Gatterebene), zweistufig (zwei Gatterebenen) oder mehrstufig sein. Aus der Darstellung als kanonische Normalform resultiert, dass jede Schaltfunktion f(x 1, x 2,..., x n ) durch ein zweistufiges Schaltnetz realisierbar ist, wenn alle Eingangssignale x i sowohl einfach als auch negiert vorliegen. Gatter mit ausreichender Anzahl an Eingängen zur Verfügung stehen. Bei Realisierung einer KDNF werden benötigt: Je Minterm ein UND-Gatter Ein ODER-Gatter zur Disjunktion aller Minterme Bei Realisierung einer KKNF werden benötigt: Je Maxterm ein ODER-Gatter Ein UND-Gatter zur Konjunktion aller Maxterme Kombinatorische Logik 61

62 Schaltnetze (3) Anzahl der benötigten Gatter zur Realisierung der KDNF (bzw. KKNF) einer n-stelligen Schaltfunktion: Je Boolescher Funktion max. 2 n UND-Gatter (bzw. ODER-Gatter) mit jeweils max. n Eingängen Je Boolescher Funktion ein ODER-Gatter (bzw. UND-Gatter) mit max. 2 n Eingängen Kombinatorische Logik 62

63 Typische Schaltnetze (1) Kombinatorische Logik 63 1-aus-k Multiplexer: n Steuerleitungen s n-1,..., s 1, s 0 k = 2 n Eingänge x 0, x 1,..., x k-1 Ein Ausgang y y = x i für (s n-1,..., s 1, s 0 ) 2 = i Beispiel: Realisierung eines 1-aus-4 Multiplexers KDNF: y = s 1 s 0 x 0 + s 1 s 0 x 1 + s 1 s 0 x 2 + s 1 s 0 x 3 Benötigt z.b. zur Auswahl einer Datenquelle!

64 Typische Schaltnetze (2) 1-zu-k Demultiplexer: n Steuerleitungen s n-1,..., s 1, s 0 Ein Eingang x k = 2 n Ausgänge y 0, y 1,..., y k-1 y i = x für (s n-1,..., s 1, s 0 ) 2 = i Beispiel: Realisierung eines 1-zu-4 Demultiplexers: y 0 = s 1 s 0 x, y 1 = s 1 s 0 x, y 2 = s 1 s 0 x, y 3 = s 1 s 0 x Benötigt z.b. zur Auswahl einer Datensenke (E/A-Gerät, Speicherzeile)! Kombinatorische Logik 64

65 Typische Schaltnetze (3) Kombinatorische Logik 65 k-zu-n Kodierer: n Ausgänge y 0,y 1,...,y n-1 k = 2 n Eingänge x 0, x 1,...,x k-1 Nur genau eine Eingangsleitung darf auf 1 sein: x i = 1, x j i = 0 (y n-1,..., y 1, y 0 ) 2 = i Beispiel: Realisierung eines 8-zu-3 Kodierers: y 0 = x 1 + x 3 + x 5 + x 7 y 1 = x 2 + x 3 + x 6 + x 7 y 2 = x 4 + x 5 + x 6 + x 7 Benötigt z.b. zur Kodierung von Tasten an einer Tastatur!

66 Typische Schaltnetze (4) Kombinatorische Logik 66 n-zu-k Dekodierer: n Eingänge x 0, x 1,..., x n-1 k = 2 n Ausgänge y 0, y 1,..., y k-1 Wenn (x n-1,..., x 1, x 0 ) 2 = i, dann ist y i = 1 und y j i = 0 Beispiel: Realisierung eines 2-zu-4 Dekodierers: y 0 = x 1 x 0, y 1 = x 1 x 0 y 2 = x 1 x 0, y 3 = x 1 x 0 Benötigt z.b. zur Dekodierung von Adressen oder Instruktionen!

67 Kombinatorische Logik 67 REALISIERUNG EINES SCHALTNETZES

68 Realisierung eines Schaltnetzes (1) Aus der (ggf. minimierten) Schaltfunktion kann direkt eine Realisierung mit Gattern erzeugt werden. Beispiel: Realisierung eines 2-Bit Multiplizierers mit Nicht-, UND-, und ODER-Gattern: Kombinatorische Logik 68

69 Realisierung eines Schaltnetzes (2) Ein Schaltnetz wird heute nicht mehr mit diskreten Gattern aufgebaut, statt dessen verwendet man: Integrierte Bausteine (ICs) in SSI-Technologie (SSI = Small Scale Integration ) In TTL (Transistor-Transistor-Logik) oder CMOS ( Complementary Metal Oxide Semiconductor ). Stets mehrere Gatter des gleichen Typs je Baustein. Programmierbare Logikbausteine PROM PLA PAL/GAL FPGAs ( Field-Programmable Gate Arrays ) Hochintegrierte Schaltkreise (ASICs = Application-Specific Integrated Circuits ) in VLSI-Technologie (VLSI = Very Large Scale Integration ). Kombinatorische Logik 69

70 Realisierung eines Schaltnetzes (3) Kombinatorische Logik 70 Einige Integrierte Bausteine (TTL-ICs) mit Gattern:

71 Realisierung eines Schaltnetzes (4) Realisierung mit PROM ( Programmable Read-Only Memory ) Schematische Darstellung (hier ein PROM mit 16 Worten zu 4 Bit): Adressdekoder entspricht einer festen UND- Matrix. Koppelelemente bilden eine programmierbare ODER-Matrix. Realisiert unmittelbar die Wahrheitstabelle in Hardware! Ein PROM mit 2 m n-bit Worten kann jede beliebige Schaltfunktion f : {0,1} m {0,1} n ohne Minimierung implementieren. Kombinatorische Logik 71

72 Realisierung eines Schaltnetzes (5) Kombinatorische Logik 72 Beispiel: 2 2 Bit Multiplizierer mit 16 4 Bit PROM

73 Realisierung eines Schaltnetzes (6) Realisierung mit PAL / GAL ( Programmable / Generic Array Logic ) Schematische Darstellung eines PAL- Bausteins (hier mit 4 Ein- und Ausgängen und 4 Produkttermen je Ausgang). Aufbau: Programmierbare UND-Matrix Produktterme werden mit fester ODER- Matrix verknüpft GAL ist reprogrammierbar. Kann jede (ggf. minimierte) DNF realisieren, wenn Zahl der Produktterme je ODER ausreicht. Kombinatorische Logik 73

74 Realisierung eines Schaltnetzes (7) Realisierung mit PLA ( Programmable Logic Array ) Schematische Darstellung eines PLA- Bausteins (hier mit 4 Ein- und Ausgängen und 16 Produkttermen): Aufbau: Programmierbare UND-Matrix Programmierbare ODER-Matrix Kann jede (ggf. minimierte) DNF realisieren, wenn die Gesamtzahl der Produktterme im PLA ausreicht! Kombinatorische Logik 74