Kommutative Algebra. Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester Erinnerung: Ringe und Polynomringe 1. 1 Noethersche Ringe 5

Transkript

1 Kommutative Algebra Prof. Dr. Uwe Jannsen Sommersemester 2014 Inhaltsverzeichnis 0 Erinnerung: Ringe und Polynomringe 1 1 Noethersche Ringe 5 2 Moduln über Ringen und exakte Sequenzen 7 3 Lokalisierungen und lokale Ringe 16 4 Diskrete Bewertungsringe 23 5 Das Tensorprodukt 26 6 Symmetrische und äußere Produkte, und die Determinante über Ringen 35 7 Kategorien und Funktoren 43 8 Endliche und ganze Ringerweiterungen 54 9 Die Dimension von Ringen und endlich erzeugten k-algebren Der Transzendenzgrad A: Beweis von Satz im allgemeinen Fall Homologische Algebra für Moduln 71

2

3 0 Erinnerung: Ringe und Polynomringe Definition 0.1 (i) Ein Ring ist eine Menge R mit zwei Verknüpfungen + und, so dass gilt: (a) (R, +) ist eine abelsche Gruppe. (b) Die Verknüpfung ist assoziativ. (c) Es gelten die Distributivgesetze a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c. Das neutrale Element von (R, +) wird mit 0 bezeichnet. (ii) R heißt ein Ring mit Eins (oder unitaler Ring), wenn es ein Element 1 R gibt mit 1 a = a = a 1 für alle a R. (iii) R heißt kommutativ, wenn kommutativ ist. Bemerkung 0.2 (i) Schreibe a für das Inverse von a bezüglich +. Oft lässt man weg, schreibt also ab für a b. (ii) Es gilt a 0 = 0 = 0 a für alle a R, das Einselement ist eindeutig, wenn es existiert, und es gilt a = ( 1) a. Beispiele 0.3 (i) Z ist ein kommutativer Ring mit Eins. (ii) M n (Q) ist ein nicht kommutativer Ring mit Eins für n 2. Im Folgenden betrachten wir immer kommutative Ringe mit Eins, falls nichts anderes gesagt wird. Definition 0.4 (i) Ein Homomorphismus von Ringen (kommutativ, mit Eins) ist eine Abbildung φ : R 1 R 2 von Ringen mit φ(a + b) = φ(a) + φ(b) und φ(ab) = φ(a)φ(b) und φ(1) = 1 (Es folgt, dass φ : (R 1, +) (R 2, +) ein Gruppenhomomorphismus ist). (ii) φ heißt Monomorphismus (bzw. Epimorphismus, bzw. Isomorphismus), wenn φ injektiv (bzw. surjektiv, bzw. bijektiv) ist. Definition 0.5 Ein Ideal a R ist eine Untergruppe (bezüglich +) mit ra a für alle r R. Satz 0.6 Auf der Faktorgruppe (R/a, +) gibt es eine eindeutig bestimmte Verknüpfung, so dass (R/a, +, ) ein Ring ist (kommutativ, mit Eins) und die kanonische Surjektion R R/a r F := r + a ein Ringhomomorphismus. R/a heißt der Faktorring (von R modulo a). 1

4 Beweis Die Verknüpfung + auf R/a ist bekanntlich gegeben durch r 1 + r 2 = r 1 + r 2, und die Verknüpfung auf R/a ist notwendigerweise r 1 r 2 = r 1 r 2 für r := r + a. Man rechnet nach, dass dies wohldefiniert ist. Satz 0.7 (Isomorphiesatz) Ist φ : R 1 R 2 ein Ringhomomorphismus, so ist ker(φ) = {r R 1 φ(r) = 0} ein Ideal in R 1, φ(r 1 ) ein Unterring von R 2 (d.h., eine Teilmenge, die mit der Einschränkung von + und wieder ein Ring ist) und ein Ringisomorphismus. R 1 / ker(φ) φ(r 1 ) Bemerkung 0.8 Zu jeder Familie (a i ) i I von Elementen a i R hat man das von den a i erzeugte Ideal a i i I. Dies ist das kleinste Ideal, welches alle a i enthält, und besteht aus allen Linearkombinationen r 1 a i r n a in der a i. Ist a = a i i I, so heißt (a i ) i I ein Erzeugendensystem von a, und a heißt endlich erzeugt, wenn es ein endliches Erzeugendensystem besitzt. Sei R ein Ring. Definition 0.9 (i) Ein Element a R {0} heißt Nullteiler, wenn es ein b R gibt mit b 0 und a b = 0. (ii) R heißt Integritätsring (oder Integritätsbereich, oder integer), wenn R keine Nullteiler besitzt und nicht der Nullring ist (R {0}). Lemma/Definition 0.10 (i) Ein Ideal p R heißt Primideal (oder prim), wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten: (a) Es ist p R, und sind a, b R mit a b p, so ist a p oder b p. (b) R/p ist integer. (ii) Ein Ideal m R heißt Maximalideal (oder maximal), wenn die folgenden äquivalenten Bedingungen gelten: (a) Es ist m R, und es gibt kein Ideal a mit m a R. (b) R/m ist ein Körper. Offenbar folgt: m maximal m prim, denn jeder Körper ist integer. Der Polynomring R[x] (in einer Variablen) über einem Ring R wird wie folgt definiert: Naive Definition 0.11 R[x] besteht aus alle formalen Summen m (0.11.1) f(x) = a i x i mit n N 0 und a i R. Die Addition wird durch Addition der Koeffizienten gegeben: Ist n g(x) = b j x j, i=0 j=0 2

5 so ist (0.11.2) f(x) + g(x) := wobei max(m,n) k=0 (a k + b k )x k, (0.11.3) a k := 0 für k > m und b k := 0 für k > n. Die Multiplikation wird durch formales Ausmultiplizieren gegeben: (0.11.4) f(x) g(x) = mit m+n k=0 c k x k (0.11.5) c k = k a r b k r. r=0 Ein Polynom ist keine Funktion, sondern wird als formaler Ausdruck behandelt! Insbesondere wird ein Polynom im Allgemeinen nicht durch seine Werte bestimmt. Beispiel 0.12 Ist F p = Z/pZ der Körper mit p Elementen (p eine Primzahl), so hat das Polynom f(x) = x p x die Eigenschaft, dass f(a) = 0 für alle a F p (kleiner Satz von Fermat; z.b. ist für p = = 0 und = 0). Die Definition 0.11 ist algebraisch unbefriedigend, weil der Begriff formale Summe nicht richtig definiert wird. Eine formal richtige Definition, die auch auf Polynomringe in beliebig vielen Variablen erweitert werden kann, ist Definition 0.13 Der Polynomring über R in einer Variablen ist die Menge R (N 0) := {(a i ) i N0 a i = 0 für fast alle i N 0 } mit den Verknüpfungen (a i ) i N0 + (b i ) i N0 = (a i + b i ) i N0 (a i ) i N0 (b i ) i N0 = (c i ) i N0 mit c n = n a i b n i. Schreiben wir x für das Element (0, 1, 0,...), so ist i=0 x i = (0,..., 1, 0,...) für i 0, i te Stelle 3

6 und jedes Element im Ring lässt sich eindeutig schreiben als n a i x i mit n N 0 und a 0,..., a n R. Dies entspricht dem Element (a 0,..., a n, 0, 0,...). Umgekehrt können wir ein Element (a 0, a 1,...) schreiben als a i x i i=0 wobei die Summe in Wirklichkeit endlich ist. Die Addition und Multiplikation ist dann wie in 0.11 beschrieben, und wir schreiben auch R[x] für den Polynomring, wenn wir das Element (0, 1, 0,...) mit x bezeichnen. Bemerkungen 0.14 (a) Ein Polynom ist also durch seine Koeffizienten festgelegt und nicht durch seine Werte (im Sinne des Einsetzens, siehe 0.15 unten). (b) Wir haben einen kanonischen Monomorphismus von Ringen R R[x] a a (= ax 0 = (a, 0,...)). Hierüber fassen wir R immer als Unterring von R[x] auf. Satz 0.15 (Universelle Eigenschaft des Polynomrings) Sei R ein Ring (mit Eins!) und φ : R R ein Ringhomomorphismus (mit φ(1) = 1!). Für jedes a R gibt es genau einen Ringhomomorphismus (0.15.1) φ a : R[x] R mit φ a R = φ und φ a(x) = a, nämlich (0.15.2) φ a ( n a i x i ) = n φ(a i )a i. i=1 i=1 i=0 Beweis Es ist klar, dass die Beziehung (0.13.2) gelten muss, wenn φ a ein Ringhomomorphismus mit den beiden vorgegebenen Eigenschaften sein soll. Diese Definition ist andererseits wohldefiniert, und macht φ a zu einem Ringhomomorphismus mit den beiden gewünschten Eigenschaften. Wir haben also einfach die Variable x durch a ersetzt und sprechen auch von dem Einsetzungsmorphismus. Definition 0.16 Der Polynomring k[x 1,..., x n ] in mehreren Variablen wird induktiv definiert durch k[x 1,..., x n ] = k[x 1,..., x n 1 ][x n ]. Offenbar ist jedes Polynom in mehreren Variablen in der Form f(x 1,..., x n ) = a i1,...,i n x i 1 1 x i 2 2 x i n n (i 1,...,i n ) wobei (i 1,..., i n ) über alle Tupel in N n 0 läuft und a i1,...,i n R mit a i1,...,i n = 0 für fast alle (i 1,..., i n ). 4

7 1 Noethersche Ringe Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Definition 1.1 Der Ring R heißt noethersch (nach Emmy Noether), wenn jedes Ideal a R endlich erzeugt ist. Satz 1.2 Die folgenden Aussagen sind äquivalent. (a) R ist noethersch. (b) Jede aufsteigende Kette a 0 a 1 a 2... von Idealen wird stationär, d.h., es gibt ein n N mit a n = a n+k für alle k 0. (c) Jede nichtleere Menge I von Idealen von R besitzt ein maximales Element, d.h., es existiert ein b I derart, dass kein a I existiert mit b a. Beweis (a) (b): Man zeigt leicht, dass n 0 a n =: a ein Ideal ist (je endlich viele Elemente von a liegen in einem a m für geeignetes m N). Ist a = a 1,..., a r, so gibt es auch ein a n mit a 1,..., a r a n. Die Inklusionen sind dann alles Gleichheiten. a 1,..., a r a n a n+k a = a 1,..., a r (b) (c): Gäbe es in I kein maximales Element, so hätte man eine aufsteigende Kette a 0 a 1 a (c) (a): Sei a ein Ideal von R und I die Menge aller in a enthaltenen endlich erzeugten Ideale. Wegen {0} I ist I nichtleer, nach (c) gibt es also ein maximales Element c = c 1,..., c r I. Es ist nach Definition c a. Ist a a, so ist c = c 1,..., c r, a a, c c, also c = c wegen der Maximalität von c, d.h., a c. Damit ist a = c endlich erzeugt. Beispiele 1.3 (a) Körper und Hauptidealringe sind trivialerweise noethersch; insbesondere ist Z noethersch. (b) Der Ring C([0, 1], R) der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1] ist nicht noethersch: für jedes n N ist die Menge a n = {f C([0, 1], R) f [0, 1 = 0} ein Ideal, ] n und es ist a 1 a 2 a (c) Ist R noethersch, so ist jedes epimorphe Bild R von R wieder noethersch. Satz 1.4 (Hilbertscher Basissatz) Ist R noethersch, so auch R[X]. Beweis (nach Heidrun Sarges) Angenommen a {0} ist ein nicht endlich erzeugtes Ideal in R[X]. Dann sei f 1 ein Polynom minimalen Grades in a {0}, f 2 minimalen Grades in a (f 1 ) usw., so dass man eine Folge f 1, f 2, f 3,... in a erhält mit f k minimalen Grades in a f 1,..., f k 1. Sei n k = deg(f k ) und a k der Leitkoeffizient von f k. Dann ist n k+1 n k (nach Definition) und a 1,..., a k a 1,... a k+1 für alle k, also R nicht noethersch. Wäre nämlich a k+1 = k r i a i mit r i R, i=1 5

8 so läge das Polynom g = k r i x n k+1 n i f i i=1 in f 1,..., f k und hätte den Leitkoeffizienten a k+1 und den Grad n k+1. Dann wäre f k+1 g a f 1,..., f k und deg(f k+1 g) < n k+1 = deg(f k+1 ), im Widerspruch zur Wahl von f k+1. Durch vollständige Induktion folgt: Corollar 1.5 Ist R noethersch (z.b. R = Z oder R = ein Körper K), so ist R[X 1,..., X n ] noethersch. 6

9 2 Moduln über Ringen und exakte Sequenzen Sei R ein Ring mit Eins (nicht notwendig kommutativ). Der Begriff eines Moduls verallgemeinert den Begriff eines Vektorraums über einem Körper. Definition 2.1 (a) Ein (linker) R-Modul ist eine abelsche Gruppe (M, +) zusammen mit einer Verknüpfung R M M (r, m) rm so dass gilt (i) r(m + n) = rm + rn (ii) (r + s)m = rm + sn (iii) (rs)m = r(sm) (iv) 1m = m für alle r, s R und m, n M. (b) Seien M und N R-Moduln. Eine Abbildung φ : M N heißt Homomorphismus von R-Moduln (oder R-linear), wenn gilt: (i) φ(m 1 + m 2 ) = φ(m 1 ) + φ(m 2 ) für alle m 1, m 2 M (d.h., φ ist ein Gruppenhomomorphismus von (M, +) nach (N, +)), (ii) φ(rm) = rφ(m) für alle m M, r R. Sei Hom R (M, N) die abelsche Gruppe der R-linearen Abbildungen von M nach N. Bemerkungen 2.2 (a) Ein rechter R-Modul M ist ebenso definiert, wobei man allerdings die Eigenschaft (iii) ersetzt durch (iii ) (rs)m = s(rm). Schreibt man die Verknüpfung anders, nämlich M R M (m, r) mr, so wird hieraus die einleuchtendere Beziehung m(rs) = (mr)s. (b) Für einen kommutativen Ring sind Links- und Rechtsmoduln dasselbe. (c) Wie üblich nennt man eine R-lineare Abbildung φ : M N Monomorphismus (bzw. Epimorphismus, bzw. Isomorphismus), wenn sie injektiv (bzw. surjektiv, bzw. bijektiv) ist. (d) Die Komposition von R-linearen Abbildungen ist wieder linear. Das Inverse eines R- Moduls-Isomorphismus ist wieder R-linear. 7

10 Beispiele 2.3 (a) Jede abelsche Gruppe A wird zu einem Z-Modul durch die Definition na = a a (n-mal) für n N, 0a = 0 ( n)a = (na) für n N. Man sieht, dass abelsche Gruppen und Z-Moduln dasselbe sind. (b) Ist (M i ) i I eine Familie von R-Moduln, so werden die abelschen Gruppen i I M i i I M i zu R-Moduln durch die Definition r(m i ) i I := (rm i ) i I. Bezeichnung: direktes Produkt bzw. direkte Summe der R-Moduln M i. (c) Ist K ein Körper, so ist ein K-Modul dasselbe wie ein K-Vektorraum. (d) Die Multiplikation in einem Ring R macht R zu einem R-Modul. Definition 2.4 Ein R-Modul M heißt freier R-Modul, wenn es eine Familie (m i ) i I von Elementen m i M gibt, so dass gilt: Jedes Element m M besitzt eine eindeutige Darstellung m = i I r i m i, mit r i R und r i = 0 für fast alle i I (so dass die Summe rechts endlich ist, wenn wir die Summanden mit r i = 0 weglassen). Eine solche Familie (m i ) i I heißt Basis von M. Beispiele 2.5 (a) Sei I eine Menge. Dann ist der R-Modul F R (I) := i I R frei mit Basis (e i ) i I, wobei e i = (δ ji ) j I, mit dem Frolicker-Symbol { 1, j = i δ ji = 0, j i (mit 0, 1 R). F R (I) heißt auch der freie R-Modul über I. Manchmal identifiziert man e i mit i und schreibt die Elemente als formale Linearkombinationen r i i, mit r i R wobei r i = 0 für fast alle i. i I (b) Der Z-Modul M = Z/5Z ist nicht frei, denn für jedes m Z/5Z ist 1 m = m = 6 m. Aber M ist ein freier Modul über dem Ring Z/5Z. Lemma 2.6 (universelle Eigenschaft des freien Moduls) Sei M ein R-Modul und (m i ) i I eine Familie von Elementen m i M. Dann gibt es genau einen R-Modul-Homomorphismus φ : F R (I) M 8

11 mit φ(e i ) = m i für alle i I (Es gilt also Hom R (F R (I), M) Abb(I, M) vermöge φ (φ(e i )) i I ). Beweis: Setze φ((r i )) = i I r i m i. Bemerkung 2.7 M ist genau dann frei mit Basis (m i ) i I wenn das obige φ ein Isomorphismus ist. Definition 2.8 Sei M ein R-Modul. Ein (R-)Untermodul von M ist eine Teilmenge N M, für die gilt: (i) N ist Untergruppe bezüglich +, (ii) für alle n N und r R gilt rn N. Beispiel 2.9 Die Untermoduln des R-Moduls R (siehe 2.3 (d)) sind gerade die Ideale von R. Lemma 2.10 Ist φ : M N ein Homomorphismus von R-Moduln, so ist ker φ ein Untermodul von M und im φ ein Untermodul von N. Beweis: leicht! Satz 2.11 Ist M ein R-Modul und N M ein Untermodul, so wird die Faktorgruppe zu einem R-Modul durch die Definition M/N r(m + N) := rm + N für r R, m M (also r m = rm, wenn m die Nebenklasse von m M bezeichnet). Die Surjektion π : M M/N ist R-linear. Der Modul M/N wird als Quotientenmodul (oder Faktormodul) von M nach (oder modulo) N bezeichnet. Beweis: selbst! Ebenso folgt sofort: Bemerkungen 2.12 Der Homomorphiesatz sowie erster und zweiter Isomorphiesatz übertragen sich auf R-Moduln: (a) Eine R-lineare Abbildung φ : M N induziert einen R-Modul-Isomorphismus M/ ker φ im φ. (b) Für Untermoduln N 1, N 2 M hat man einen R-Modul-Isomorphismus N 1 /(N 1 N 2 ) (N 1 + N 2 )/N 2. (c) Für Untermoduln M 3 M 2 M 1 hat man einen R-Isomorphismus (M 1 /M 3 )/(M 2 /M 3 ) M 1 /M 2. 9

12 Definition 2.13 (a) Ein Komplex von R-Moduln ist eine Sequenz... M n d n M n+1 d n+1 M n+2..., wobei die M n R-Moduln sind und die d n lineare Abbildungen mit d n+1 d n = 0 (Wir lassen offen, ob die Sequenz unendlich ist oder irgendwo abbricht). Offenbar folgt aus d n+1 d n = 0 im d n ker d n+1. (b) Die n-te Kohomologie des Komplexes ist der R-Modul H n (M ) = ker d n / im d n 1 (c) Der Komplex heißt exakt an der Stelle n, wenn H n (M ) = 0, bzw. exakt, wenn er an allen Stellen exakt ist. Definition 2.14 Eine exakte Sequenz von R-Moduln heißt kurze exakte Sequenz. Lemma 2.15 Eine Sequenz von R-Moduln ist genau dann exakt, wenn gilt: (i) i ist injektiv. (ii) p ist surjektiv. (iii) im(i) = ker(p). 0 M N P 0 0 M i N p P 0 Beweis ker(i) = im(0 M) = 0 gilt genau dann, wenn i injektiv ist, und im(p) = ker(p 0) = P gilt genau dann, wenn p surjektiv ist. Bemerkung 2.16 Für eine kurze exakte Sequenz wie oben liefert der Homomorphiesatz eine Isomorphie N/i(M) P, und wir können M mit i(m) identifizieren. Ist umgekehrt p : N P ein Epimorphismus von R-Moduln und M = ker(p), so erhalten wir eine exakte Sequenz 0 M i N p P 0, wobei i die Inklusion ist. In diesem Sinne entspricht eine kurze exakte Sequenz 0 M N P 0 einer Beziehung N/M P. 10

13 Definition 2.17 Für einen Morphismus φ : M N von R-Moduln heißt der Quotient N/im(φ) der Cokern von φ; Bezeichnung coker(φ). Bemerkung 2.18 Wir erhalten also eine exakte Sequenz 0 ker(φ) M φ N coker(φ) 0. Lemma 2.19 Sei M φ N f M φ ein kommutatives Diagramm von R-Moduln (das heißt, alle Abbildungen sind R-Modulhomomorphismen, und es ist φ f = gφ). Dann erhalten wir eindeutig bestimmte R-Modulhomomorphismen die das Diagramm N f : ker(φ) ker(φ ) und g : coker(φ) coker(φ ), 0 ker(φ ) M φ N coker(φ ) 0 f f g g g 0 ker(φ) M φ N coker(φ) 0 kommutativ machen (d.h., alle Quadrate sind kommutativ). Man sagt, dass f und g von f bzw. g induziert sind. Beweis Offenbar muss f = f ker(φ) sein, und wir haben nur zu zeigen, dass f(ker(φ)) ker(φ ). Ist aber x ker(φ), d.h., x M mit φ(x) = 0, so ist also f(x) ker(φ ). 0 = gφ(x) = φ (f(x)) [Kommutativität des mittleren Quadrats], Für die Abbildung g folgt notwendigerweise g : coker(φ) = N/im(φ) N /im(φ ) = coker(φ) y + im(φ) g(y) + im(φ ) und wir haben zu zeigen, dass dies wohldefiniert ist. Sei also y + im(φ) = y + im(φ), d.h., y y im(φ), d.h., y y = φ(x) für ein x M. Dann ist g(y) g(y ) = g(y y ) = gφ(x) = φ f(x) im(φ ), d.h., g(y) + im(φ ) = g(y ) + im(φ ). Offenbar sind f und g eindeutig bestimmt. 11

14 Satz 2.20 (Schlangenlemma) Sei 0 M i N p P 0 0 M i N f ein kommutatives Diagramm von R-Moduln (und R-Modul-Homomorphismen), mit exakten Zeilen. Dann haben wir eine kanonische exakte Sequenz von R-Moduln (2.20.1) 0 ker(f) ĩ ker(g) p ker(h) δ coker(f) ĩ coker(g) p coker(h) 0 g p P h 0 Beweis Der Name kommt von dem folgenden Gesamtdiagramm δ coker f ĩ coker g 0 M i N p p coker h 0 f g h 0 M 0 ker f i ĩ N ker g p p P P ker h Hier sind die Spalten nach Bemerkung 2.18 exakt, und die Modulhomomorphismen ĩ, p, ĩ, p sind nach Lemma 2.19 von i, p, i und p induziert. Die Definition von δ ist weniger offensichtlich. Sie folgt dem gestrichelten Weg: Ist x ker(h), so liegt x P, und wegen der Surjektivität von p gibt es ein n N mit p(n) = x. Sei n = g(n) N. Dann ist p (n ) = 0, denn es ist p (n ) = p g(n) = hp(n) = h(x) = 0, da x ker(h) nach Voraussetzung. Da die Sequenz 0 M i N p P 0 exakt ist und p (n ) = 0 ist, gibt es ein m M mit i (m ) = n (im(i ) = ker(p )). Wir definieren nun δ(x) = Bild von m in coker f. Wir müssen zeigen, dass dies wohldefiniert ist, denn wir haben eine Wahl für n N mit p(n) = x getroffen. Ist n 1 N ein anderes Element mit p(n 1 ) = x, so folgt wie oben die Existenz eines Elementes m 1 M mit i (m 1) = n 1 := g(n 1 ). Wir haben nun zu zeigen, dass m und m 1 dasselbe Bild in coker(f) haben. Es ist aber n 1 n ker(p), denn es ist p(n 1 n) = p(n 1 ) p(n) = x x = 0. Wegen der Exaktheit von 0 M i N P 0 gibt es also ein m M mit i(m) = n 1 n. Damit gilt i (m 1 m 1 ) = n 1 n = g(n 1 ) g(n) = g(n 1 n) = gi(m) = i f(m), 12

15 da wegen der Kommutativität des Diagramm gi = i f gilt. Da weiter i injektiv ist, gilt sogar m 1 m 1 = f(m). Da per Definition coker(f) = M /im(f), haben also m 1 und m 1 dasselbe Bild in dieser Gruppe, was zu zeigen war. Nachdem wir alle Abbildungen definiert haben, zeigen wir nun die Exaktheit von (2.20.1). Der Homomorphismus ĩ ist injektiv, da die Abbildungen ker(f) M i N injektiv sind, also auch die Komposition, also auch ker(f) ĩ ker(g) N. Dies kann nur sein, wenn schon ĩ injektiv ist. Ähnlich zeigt man die Surjektivität von p. Nun zeigen wir die Exaktheit bei ker(g). Offenbar ist pĩ = 0, denn dies ist die Einschränkung von pi = 0 auf ker f. Sei weiter y ker(g) mit p(y) = 0. Dann ist auch p(y) = 0, also y = i(z) für ein z M wegen der Exaktheit dieser Zeile (so dass im(i) = ker(p)). Wir bemerken nun, dass z ker(f): Es ist nämlich i f(z) = gi(z) = g(y) = 0, da y ker(g) Da i injektiv ist, folgt hieraus aber, dass f(z) = 0, also z ker(f). Damit liegt y im Bild von ker(f). Nun zeigen wir die Exaktheit bei ker(h). Mit den Bezeichnungen von oben folgern wir: Ist x ker(h) mit δ(x) = 0, so wird m auf 0 in coker(f) abgebildet, liegt also im Bild von f. Sei m M mit f(m) = m. Betrachte nun n i(m). Es ist p(n i(m)) = p(n) = x (da pi = 0) und andererseits g(n i(m)) = g(n) gi(m) = n i f(m) = n i (m ) = 0 nach Konstruktion von m. Also ist x = p(n i(m)) mit n i(m) ker(g), d.h., x im( p). Exaktheit an den anderen Stellen (d.h., in der Kokern-Sequenz): selbst! Satz 2.20 Als Variante erhält man: Ist 0 M i N p P M f g g i p N P 0 ein kommutatives Diagramm von R-Moduln mit exakten Zeilen, so hat man eine exakte Sequenz ker(f) ker(g) ker(h) δ coker(f) coker(g) coker(h) Beweis: Dies folgt genauso wie in Satz 2.20, wobei nicht benötigt wird, dass i injektiv und p surjektiv ist. Wir erhalten die folgende Anwendung auf Komplexe. Sprechweise 2.21: Für einen Komplex (M n, d n ) heißen die Elemente in ker d n n-zykel und die Elemente in im d n 1 n-ränder. Definition 2.22 Ein Morphismus von Komplexen von R-Moduln f : M N 13

16 besteht aus einer Familie von R-Modul-Homomorphismen f n : M n N n, so dass alle Diagramme (2.22.1) M n+1 f n+1 N n+1 kommutieren (also d n+1 N f n = f n+1 d n M ). (a) Eine Sequenz von Komplexen d n M M n f n N n dn N 0 M f N g P 0 heißt exakt, wenn alle Sequenzen 0 M n fn N m gn P n 0 Lemma 2.23 Ist f : M N ein Morphismus von Komplexen von R-Moduln, so induziert f kanonische Morphismen der Kohomologiemoduln f = H n (f ) : H n (M ) H n (N ) für alle n. Beweis Nach Lemma 2.19, angewandt auf die Diagramme (2.22.1), induziert f n : M n N n R-Modulhomomorphismen ker d n M ker d n N im d n 1 M im d n 1 N (beachte: im d n 1 M ker dn M wegen dn M dn 1 M = 0; entsprechend für N), und damit, wieder nach 2.19, einen Homomorphismus der Cokerne f : H n (M ) = ker d n M/im d n 1 M ker dn N/im d n 1 N = Hn (N ). Bezeichnet [m] die Kohomologieklasse eines Zykels m ker d n M, so wird also [m] einfach auf [f n (m)] abgebildet. Satz 2.24 Ist 0 M f N g P 0 eine kurze exakte Sequenz von Komplexen, so erhält man eine kanonische exakte Sequenz... H n (M ) Hn (f) H n (N ) Hn (g) H n (P ) δn H n+1 (M )... Diese heißt die assoziierte lange exakte Kohomologiesequenz, und δ n heißt der Verbindungshomomorphismus. 14

17 Beweis Die Abbildungen H n (f) und H n (g) wurden oben definiert. Wir definieren nun δ n. Die obige exakte Sequenz von Komplexen induziert ein kommutatives Diagramm (2.24.1) 0 ker d n+1 M ker d n+1 M ker d n+1 P d n M d n N d n P M n /im d n 1 M f n N n /im d n 1 N g n P n /im d n 1 p 0 Hierbei ist der R-Modulhomomorphismus d n M von d n M : M n M n+1 induziert, mittels des Homomorphiesatzes, denn im d n 1 M liegt nach Definition eines Komplexes in ker d n M (dn M dn 1 M = 0). Entsprechend sind dann d n N und d n P (wohl-)definiert. Ebenso induziert f n : M n N n wegen der Kommutativität von M n f n N n d n 1 M M n 1 d n 1 N f n 1 N n 1 einen R-Modulhomomorphismus f n : M n /im d n 1 M wir g n. Weiter sind die Zeilen in (2.24.1) exakt. N n /in d n 1 N nach Analog erhalten Für die obere Zeile folgt dies mit dem Schlangenlemma für die Kerne in dem kommutativen Diagramm mit exakten Zeilen 0 M n+2 N n+2 P n+2 0 d n+1 M 0 M n+1 d n+1 N N n+1 d n+1 P P n+1 Für die untere Zeile benutzt man das Schlangenlemma für die Cokerne in 0 M n N n P n 0 d n 1 M 0 M n 1 d n 1 N N n 1 d n 1 P P n 1 Mit der Variante 2.20 des Schlangenlemmas folgt nun aus (2.24.1) die Exaktheit von denn es ist H n (M ) H n (N ) H n (P ) δ H n+1 (M ) H n+1 (N ) H n+1 (P ), und dies gilt analog auch für N und P. ker d n M = ker dn M /im dn 1 M = H n (M ) coker d n M = ker dn+1 M /im dn M = Hn+1 (M ),

18 3 Lokalisierungen und lokale Ringe Der folgende Begriff verallgemeinert den Begriff des Quotientenkörpers. Sei A ein kommutativer Ring mit Eins. Definition 3.1 Eine Teilmenge S A heißt multiplikativ (oder multiplikativ abgeschlossen), wenn 1 S und wenn mit a und b in S auch a b in S liegt. Beispiele 3.2 (a) Für jedes f A ist die Menge {f n n N 0 } multiplikativ (wobei wir setzen: f 0 := 1). (b) (wichtig!) Sei a A ein Ideal. Die Menge A a ist genau dann multiplikativ, wenn a ein Primideal ist. (c) Erinnerung: ein Element f A heißt Nullteiler wenn es ein g 0 in A gibt mit f g = 0. Die Menge U A der Nicht-Nullteiler in A ist multiplikativ. Sei S A multiplikativ. Betrachte auf der Menge A S die folgende Relation (a, s) (a, s ) : es ex. ein t S mit ts a = tsa Dann ist eine Äquivalenzrelation: Reflexivität und Symmetrie sind klar, und für die Transitivität braucht man das t in der Definition, falls S Nullteiler hat: t(s a s a ) = 0, t (s a s a ) = 0 t t s (s a s a ) = 0 Für (a, s) A S sei a die Äquivalenzklasse von (a,s) bezüglich. Die Menge A S/ s der Äquivalenzklassen wird mit A S (oder S 1 A oder A[S 1 ]) bezeichnet. Satz/Definition 3.3 (a) A S wird mit den Verknüpfungen a s + b t a s b t := at+bs st := ab st ein Ring (kommutativ, mit Eins) und heißt die Lokalisierung von A nach S. (b) Die Abbildung φ univ : A A S a a 1 ist ein Ringhomomorphismus und alle Elemente in φ univ (S) sind invertierbar in A S. (c) (universelle Eigenschaft) Ist φ : A B ein Ringhomomorphismus derart, dass φ(s) aus lauter invertierbaren Elementen besteht, so gibt es einen eindeutig bestimmmten Ringhomomorphismus φ : A S B, der das Diagramm A φ univ A S φ ! φ B 16

19 kommutativ macht. Beweis: (a) Wohldefiniertheit: Ist a = a und b = b, so gibt es s s s t t 1, s 2 S mit s 1 (s a sa) = 0 und s 2 (t b tb ) = 0. Dann ist s 1 s 2 [(s t (at + bs) st(a t + b s ))] = 0, also at + bs st = a t + b s s t, sowie s 1 s 2 [s t ab sta b ] = 0, also ab st = a b. s t Der Beweis der Ring-Eigenschaften ist einfach unter der Benutzung der Kürzungsregel a s = ta ts für t S. (b) Wegen a+b = a + b ab und = a b ist φ univ ein Ringhomomorphismus, und für s S ist 1 ein Inverses von φ(s) = s. s 1 (c) Setze φ( a) = s φ(s) 1 φ(a). Dann folgen alle Eigenschaften einfach (Eindeutigkeit: φ(a) = φ( a) = φ( a s) = φ( a) φ( s) = φ( a) φ(s) φ( a) = 1 s 1 s 1 s s φ(s) 1 φ(a). Beispiele 3.4 (a) Enthält S die Null, so ist A S = 0 (der Nullring). (b) Für f A und S f := {f n n N 0 } (vergl. 3.2 (a)) schreibt man auch A f (oder A[f 1 ]) für A Sf. (c) Allgemein sei für eine beliebige Menge M A definiert: A[M 1 ] := A[S 1 M ], wobei S M die von M erzeugte multiplikative Teilmenge von A ist (existiert, als Durchschnitt aller multiplikativen Teilmengen S, die M enthalten). Dann hat A[M 1 ] eine analoge universelle Eigenschaft für Morphismen φ : A B, für die φ(m) invertierbar ist für alle m M. (d) Ist p A ein Primideal, so setze A p := A[(A p) 1 ]. (e) Ist U A A die Menge der Nicht-Nullteiler (vgl. 4.2.(c)), so heißt der totale Quotientenring von A. Quot(A) := A[U 1 A ] (f) Ist A ein Integritätsbereich, so ist U A = A{0} und Quot(A) ist ein Körper (jedes a b 0 hat ein Inverses!), der übliche Quotientenkörper von A. Lemma 3.5 Die Abbildung A A S ist genau dann injektiv, wenn S keine Nullteiler enthält. Insbesondere ist also A Quot(A) injektiv. Beweis: selbst 17

20 Satz 3.6. Sei φ : A B ein Homomorphismus von Ringen, und seien S A und T B multiplikative Teilmengen mit φ(s) T. Dann existiert genau ein Ringhomomorphismus φ : A S B T der φ fortsetzt, d.h., der kommutativ macht. φ univ A φ B A S φ B T Beweis: (φ univ φ)(s) besteht ganz aus Einheiten; nach der universellen Eigenschaft 3.3. (c) gibt es also genau einen Ringhomomorphismus, der das untere Dreieck in kommutativ macht. Corollar 3.7. Seien Dann gilt ψ φ = (ψ φ) : A S C U. A A S φ univ φ B B T φ univ A φ B ψ C Ringhomomorphismen S T U multiplikative Teilmengen Beweis: ψ φ leistet dieselbe Kommutativität wie ψ φ. Satz/Definition 3.8 Für einen A-Modul M und eine multiplikative Teilmenge S A definiere M S = (M S)/ wobei (m, s) (m, s ) falls ein t S existiert mit ts m = tsm (Andere Bezeichnungen: S 1 M oder M[S 1 ]). Die Äquivalenzklasse von (m, s) sei mit m bezeichnet. Dann wird M s S ein A S -Modul durch die Definitionen m s + n t für m, n M, s, t S und a A. = tm + sn st, a s m t = am st (b) (universelle Eigenschaft) Es gibt einen kanonischen A-Modul-Homomorphismus φ univ : M M S, und für s S ist L s : M S M S x s x ein Isomorphismus. Ist N ein weiterer A-Modul derart, dass für jedes s S die Abbildung L s : N N, n sn, ein Isomorphismus ist, und ist φ : M N ein A- Modul-Homomorphismus, so gibt es einen eindeutig bestimmten A-Modul-Homomorphismus 18

21 φ : M S N der M φ φ univ M S ! φ N kommutativ macht. Weiter ist φ ein A S -Modul-Homomorphismus, wobei N ein A S -Modul ist vermöge a s n = (L s) 1 (an) für n N, a A und s S. (c) Insbesondere induziert jeder A-Modul-Homomorphismus f : M N einen A S -Modul- Homomorphismus f S : M S N S mit f S ( m s ) = f(m) s für m M, s S. Beweis der Behauptungen: Ähnlich wie für Satz 3.3. Definition 3.9 (a) Für ein Primideal p A und die multiplikative Menge S p schreibe M p statt M Sp (dies ist also ein A p -Modul). (b) Für S f = {f n f N 0 }, f A, schreibe M f statt M Sf (dies ist ein A f -Modul). = A p Satz 3.10 Lokalisierung ist exakt, d.h., ist S A eine multiplikative Teilmenge und M 1 f M2 g M3 eine exakte Sequenz von A-Moduln, so ist auch (M 1 ) S f S (M2 ) S g S (M3 ) S exakt (Daher folgt dasselbe für beliebige exakte Sequenzen). m Beweis: Sei 2 s (M 2 ) S mit 0 = g S ( m 2 s ) = g(m 2). Dann existiert ein r S mit 0 = s rg(m 2 ) = g(rm 2 ). Nach Voraussetzung existiert ein m 1 M 1 mit rm 2 = f(m 1 ). Es folgt m 2 s = f(m 1) = f rs S ( m 1 ), d.h., ker g rs S imf S. Die Inklusion imf S ker g S ist klar, denn es gilt g S f S = 0, wegen gf = 0. Beispiele 3.11: (a) Ist N M ein Untermodul, p ein Primideal, so gilt (betrachte 0 N M M/N 0). (b) Ist (M/N) p = Mp /N p 0 A B C 0 eine exakte Sequenz von abelschen Gruppen, so ist (3.11.1) 0 A Q B Q C Q 0 exakt, wobei wir definieren: A Q := A (0) = (Z {0}) 1 A. Dies ist ein Modul über (Z {0}) 1 Z = Q, also ein Q-Vektorraum, und es gilt dim Q A Q = rg A. Aus der exakten Sequenz (3.11.1) und der Additivität der Dimension in exakten Sequenzen folgt rg B = rg A + rg C. 19

22 Definition/Lemma 3.12 (a) Ein Ring A heißt lokal, wenn die folgenden äquivalenten Eigenschaften gelten: (i) A hat genau ein maximales Ideal m. (ii) Die Menge A A der Nichteinheiten ist ein Ideal. (b) Es ist in diesem Fall m = A A, und der Körper A/m heißt der Restklassenkörper von A. Beweis der Behauptungen: Für jeden Ring A ist (3.12.1) A A = a, aa Ideal denn es gilt für f A : f A A 1 / (f) (f) A. Gilt nun (i), so ist A A = m (da alle a m), und es folgt (ii). Gilt umgekehrt (ii), ist also A A ein Ideal, so enthält es alle Ideale a A, ist also maximal und das einzige maximale Ideal. Beispiele 3.13: (a) Ein Körper ist ein lokaler Ring (mit maximalem Ideal (0)). (b) Der Nullring ist kein lokaler Ring. (c) Ist A ein lokaler Ring, so ist der Ring R = A[[x 1,..., x n ]] der formalen Potenzreihen in den Variablen x 1,..., x n ein lokaler Ring und der Ringhomomorphismus A A[[x 1,..., x n ]] induziert einen Isomorphismus der Restklassenkörper: Wegen A[[x 1,..., x n ]] = A[[x 1,..., x n 1 ]][[x n ]] können wir dies durch Induktion über n beweisen; es ist also ohne Einschränkung n = 1. Ein Element f = a n x n A[[x]] ist aber genau dann eine Einheit, wenn der konstante Term n=0 a 0 eine Einheit ist (Beweis selbst: löse f g = 1). Es folgt A[[x]] A[[x]] = (x) + m A[[x]] (m das maximale Ideal von A); dies ist aber ein Ideal. Der folgende Satz liefert viele Beispiele für lokale Ringe. Satz 3.14 Sei A ein Ring und p A ein Primideal. Dann ist die Lokalisierung A p ein lokaler Ring mit maximalen Ideal pa p = (A p) 1 p = { a a p, b / p}. Der Restklassenkörper b A p /pa p ist isomorph zu Quot(A/p). { n Für einen Ringhomomorphismus φ : A B und ein Ideal a A sei dabei ab = a i b i i=1 n N, a i a, b i B} das von a in B erzeugte Ideal, wobei wir für a A und b B setzen: ab := φ(a) b. Beweis: 1) Wir zeigen zunächst die Gleichheit { } b (3.14.1) pa p = s b p, s A p. 20

23 Zunächst ist die rechte Seite ein Ideal in A p = (A p) 1 A, denn für a A, b, c p und s, t A p gilt b s + c tb + sc = (A p) 1 p, t st a s c ac = (A p) 1 p. t st Jedes Element b i a i t i = b ia i t i r i=1 b i a i t i pa p (mit b i p, a i A, t i A p) liegt also in (A p) 1 p (da ). Die umgekehrte Inklusion ist klar. 2) Hiermit sieht man, dass die folgenden Aussagen für a s A p (a A, s Ap) äquivalent sind: (3.14.2) a s / pa p a A p a s A p. Denn nach (3.14.1) gilt a s / pap a / p; weiter gilt a A p a s A p (ein Inverses von a s ist dann s a ). Schließlich gilt: a s A p a s / pa p, denn sonst wäre 1 = a s ( a s ) 1 pa p, also 1 = b t mit b p, t A p. Dann gäbe es ein t A p mit t t = b im Widerspruch dazu, dass t t A p aber b p. Mit (3.14.2) folgt nun pa p = A p A p, d.h., nach 3.12 ist A p lokal mit maximalem Ideal pa p. 3) Der Ringhomomorphismus A A p /pa p induziert eine Einbettung A/p A p /pa p, und die universelle Eigenschaft des Quotientenkörpers induziert eine Einbettung Quot(A/p) A p /pa p. Diese ist auch surjektiv: Ist a b A p, mit a A und b A p, so ist für die Restklassen a, b in A/p offenbar b 0, und das Element a b Quot(A/p) wird auf die Restklasse von a b abgebildet. Lokale Ringe sind insbesondere wegen der folgenden zwei Sätze interessant. Satz 3.15 Für einen A-Modul M gilt M = 0 M p = 0 für alle Primideale p A. Beweis: Für die nicht-triviale Richtung sei M p = 0 für alle Primideale p A. Sei x M. Dann ist der Annulator von x ann(x) := {a A ax = 0} offenbar ein Ideal in A. Gilt x 0, so ist 1 / ann(x), also ann(x) ein echtes Ideal in A. Dann gibt es ein maximales Ideal m A mit ann(x) m (siehe Algebra I, Satz 16.8). Wegen M m = 0 gibt es aber ein b / m mit bx = 0, also b ann(x), Widerspruch! Corollar 3.16 Ein Homomorphismus von A-Moduln φ : M N 21

24 ist genau dann injektiv (bzw. surjektiv, bzw. bijektiv), wenn dies für alle induzierten Homomorphismen φ p : M p N p (p A Primideal) (siehe 3.8 (c)) gilt. Beweis: Sei 0 K M φ N C 0 exakt (also K = ker φ und C = coker φ). Nach Satz 3.10 sind dann alle Sequenzen φ p 0 K p M p Np C p 0 exakt. Zusammen mit Satz 3.15 folgt die Behauptung (Zum Beispiel: φ injektiv K = 0 K p = 0 p φ p injektiv p). Satz 3.17 (Krull-Nakayama-Lemma) Sei A ein Ring und I A ein Ideal, welches in allen maximalen Idealen von A enthalten ist. Sei M ein A-Modul und N M ein Untermodul derart, dass M/N endlich erzeugt ist. Gilt M = N + IM, so ist schon M = N. (Die Beziehung M = N + IM sollte so gelesen werden, dass der Homomorphismus φ : N/IN M/IM surjektiv ist, d.h., dass im φ = N +IM/IM = M/IM; es ist also M = N modulo I ). Beweis Seien m 1,..., m t M derart, dass die Bilder in M := M/N ein minimales Erzeugendensystem bilden. Angenommen t > 0. Wegen M = IM gibt es eine Gleichung Es folgt m t = t j=1 a j m j, mit a j I, j = 1,..., t. (1 a t )m t = i 1 j=1 a j m j. Aber 1 a t ist eine Einheit, denn sonst wäre (1 a t ) ein echtes Ideal, also 1 a t in einem maximalen Ideal m erhalten, woraus 1 m folgen würde Widerspruch! Durch Multiplikation mit (1 a t ) 1 folgt, dass M schon von m 1,..., m t 1 erzeugt wird Widerspruch! Corollar 3.18 Sei A ein lokaler Ring mit maximalem Ideal m und M ein endlich erzeugter A-Modul. Sind m 1,..., m t M Elemente, deren Restklassen m 1,..., m t den Modul M/mM erzeugen, so wird M von m 1,..., m t erzeugt. Beachte: M/mM ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum über dem Restklassenkörper k = A/m! Beweis: Anwendung von Satz 3.17 auf den von m 1,..., m t erzeugten Untermodul N = m 1,... m t A M und I = m. Bemerkung 3.19 Corollar 3.18 wird im Allgemeinen falsch, wenn M nicht endlich erzeugt ist: Sei p eine Primzahl. Für den Z p -Modul Q gilt Q/ p Z p Q = Q/pQ = 0, aber Q 0. Tatsächlich ist Q auch kein endlich erzeugter Z p -Modul. 22

25 4 Diskrete Bewertungsringe Diese sind interessant für die (Kommutative) Algebra und die Zahlentheorie. Definition 4.1 Sei K ein Körper. Eine diskrete Bewertung auf K ist eine Abbildung mit den Eigenschaften (i) v(x y) = v(x) + v(y), (ii) v(x + y) min{v(x), v(y)}, für alle x, y K {0}. v : K {0} Z Bemerkung 4.2 Offenbar bedeutet (i) gerade, dass v : K Z ein Gruppenhomomorphismus ist. Ist die Bewertung nicht-trivial, d.h., v nicht der Nullhomomorphismus, so ist im v = nz für ein eindeutig bestimmtes n N, und v heißt normiert, wenn im v = Z ist. Beachte: Ist v nicht-trivial, im v = nz mit n N, so ist 1 n v normiert. Beispiele 4.3 (a) Für eine Primzahl p definiere die p-adische Bewertung v p auf Q durch v p (x) = n p, falls x = ± q q n q (n q Z, fast alle null) die Primfaktorzerlegung von x ist (q läuft über alle Primzahlen). Zum Beispiel ist v 3 (12) = 1, v 2 (12) = 2, v p (12) = 0 für p > 3. Für jedes p ist v p eine normierte diskrete Bewertung auf Q (Übungsaufgabe!). (b) Sei k ein Körper und k[x] der Polynomring. Für f = p(x) q(x) k(x) setze v (f) = deg p(x) + deg q(x), wobei deg p(x) der Grad eines Polynoms p(x) ist. Dies ist eine normierte diskrete Bewertung auf k(x) (Übungsaufgabe!). Lemma/Definition 4.4 Sei v eine nicht-triviale diskrete Bewertung auf dem Körper K. Dann ist (4.4.1) A v = {x K v(x) 0} {0} ein lokaler Ring und heißt der Bewertungsring von v. Das maximale Ideal von A v ist (4.4.2) p v = {x K v(x) > 0} {0}, und es ist (4.4.3) A v = {x K v(x) = 0} 23

26 die Gruppe der Einheiten von A v. Beweis der Behauptungen: Für x, y K {0} mit v(x), v(y) 0 ist v(xy) = v(x)+v(y) 0 und v(x + y) min{v(x), v(y)} 0. Hieraus folgt leicht, dass A v ein Unterring von K ist (Fallunterscheidung für x = 0 oder y = 0). Ebenso sieht man, dass p v ein Ideal in A v ist. Weiter sieht man wegen der Homomorphieeigenschaft von v sofort, dass (4.4.3) gilt (xy = 1 v(x) + v(y) = v(1) = 0). Zusammen mit (4.4.2) folgt p v = A v A v ; mit 5.12 (ii) folgt also, dass A v lokal mit maximalen Ideal p v ist. Beispiele 4.5 (a) Der Bewertungsring zur p-adischen Bewertung v p auf Q ist { a } Z p = b a, b Z, p b, mit maximalem Ideal pz p. (b) Der Bewertungsring zur Grad-Bewertung v auf k(x) (siehe 4.3 (b)) ist { } p(x) A = k(x) deg q deg p. q(x) (c) Ist v : K Z eine nicht-triviale diskrete Bewertung und ṽ die zugehörige normierte Bewertung (siehe Bemerkung 4.2), so ist A v = Aṽ. Definition 4.6 Ein Integritätsring A heißt diskreter Bewertungsring, wenn es eine nichttriviale diskrete Bewertung v auf K = Quot(A) gibt, so dass A = A v, der Bewertungsring von v ist. Beispiele 4.7 Nach Beispiel 4.5 (a) ist für jede Primzahl p der Ring Z p Bewertungsring. ein diskreter Satz 4.8 Für einen Integritätsring A sind äquivalent: (a) A ist diskreter Bewertungsring. (b) A ist lokal und ein Hauptidealring und A ist kein Körper. Beweis (a) (b): Sei A = A v für die diskrete Bewertung v auf K. Ohne Einschränkung sei v normiert (Bemerkung 4.5 (c)). Nach 4.4 ist A v ein lokaler Ring und kein Körper. Sei π A ein Element mit v(π) = 1 und sei a A ein Ideal. Sei (Beachte: v(x) 0 für alle x A). Dann gilt m = min{v(x) x a} N 0 (4.8.1) a = π m. Sei nämlich x a {0}. Dann ist n := v(x) m und für u := x π n K gilt v(u) = v(x) + v(π n ) = n n = 0. Also ist u A eine Einheit und x = u π n π m 24

27 wegen n m. Umgekehrt gibt es nach Definition von m ein y a mit v(y) = m, und wie eben folgt y = vπ m mit einer Einheit v A. Es folgt π m = v 1 y a und damit π m a. (b) (a): Sei A ein lokaler Hauptidealring und kein Körper. Das eindeutig bestimmte maximale Ideal m A ist dann ein Hauptideal; etwa m = π für ein Element 0 π A. Dann ist π ein Primelement. Ist π ein weiteres Primelement in A, so ist π ein maximales Ideal (da A ein Hauptidealring ist, siehe Algebra), also gleich m = π, da A nur ein maximales Ideal hat. Also sind π und π assoziiert. Es gibt also bis auf Assoziiertheit nur das Primelement π. Da A als Hauptidealring ein faktorieller Ring ist (siehe Algebra), gilt für jedes x A {0} (4.8.2) x = u π n mit einem eindeutig bestimmten n N 0 und einer (eindeutig bestimmten) Einheit u. Entsprechend gilt dies für jedes x K, wobei n Z. Definiere nun die Abbildung v : K Z durch (4.8.3) v(x) = n falls (4.8.2) gilt. Dann ist v eine diskrete Bewertung (Übungsaufgabe). Weiter gilt offenbar x A {0} v(x) 0, also A = A v. Bemerkung 4.9 Sei A ein diskreter Bewertungsring. (a) Ist v eine normierte diskrete Bewertung auf K = Quot(A) mit A = A v, so ist v eindeutig bestimmt. Sei nämlich v eine zweite solche Bewertung und seien π, π A Elemente mit v π = 1 = v (π ). Dann gilt nach dem Beweis von 4.8 (siehe (4.8.1)) π = m = π für das maximale Ideal m A, also π = uπ für eine Einheit u A, und damit v(x) = v (x) für alle x K (warum?). (b) Jedes Element π A mit π = m (also mit v(π) = 1 für die eindeutig bestimmte normierte diskrete Bewertung v zu A) heißt Primelement von A (oder Primelement für v). Beispiele 4.10 Ist p eine Primzahl, so ist p ein Primelement für die p-adische Bewertung v p auf Q. 25

28 5 Das Tensorprodukt Sei R ein kommutativer Ring mit Eins. Satz/Definition 5.1 (a) Für zwei R-Moduln M, N gibt es einen bis auf eindeutige Isomorphie eindeutig bestimmten R-Modul M R N, genannt das Tensorprodukt von M und N, mit der folgenden universellen Eigenschaft: Es gibt eine R-bilineare Abbildung ψ univ : M N M R N derart, dass für jede R- bilineare Abbildung ψ : M N P in einem R-Modul P ein eindeutig bestimmter R- Modul-Homomorphismus ψ : M R N P existiert mit ψ = ψ ψ univ, d.h., so dass das Diagramm: ψ univ (5.1.1) M N ψ P! ψ M R N kommutativ ist. Das Element ψ univ ((m, n)) wird mit m n bezeichnet. (b) Jedes Element in M R N ist von der Form k m i n i i=1 für ein k N und m 1,..., m k M, n 1,..., n k N. (c) Es gilt: (5.1.2) (m + m ) n = m n + m n m (n + n ) = m n + m n rm n = r(m n) = m rn Zum Beweis: Man kann M R N durch Erzeugende und Relationen definieren, nämlich durch M R N = F R (M N)/U, wobei F R (M N) der freie R-Modul auf M N ist (siehe 2.5) und U = (rm + r m, n) r(m, n) r (m, n), (m, sn + s n ) s(m, n) s (m, n ) der von den angegebenen Elementen (mit m, m M, n, n N und r, r, s, s R) erzeugte Untermodul. Wir schreiben hier zur Vereinfachung auch (m, n) für das zu (m, n) gehörige Basiselement von F R (M N). Durch das Herausdividieren von U, also der richtigen Relationen, wird gerade erreicht, dass die Abbildung ψ univ : M N F R (M N) F R (M N)/U (m, n) (m, n) m n := Klasse von(m, n) bilinear ist, und die universelle Eigenschaft ergibt sich aus der universellen Eigenschaft von F R (M N). Die Aussage in (b) folgt aus der Konstruktion, und (c) ist gerade die Bilinearität von ψ univ. Die Details seien dem Leser überlassen. 26

29 Im Folgenden braucht man nur die in 5.1 stehenden Eigenschaften, nicht die Konstruktion des Tensorproduktes! Dies gilt zum Beispiel für den Beweis von Proposition 5.2 Es gibt kanonische Isomorphismen für R-Moduln M, N, P : (a) R R M = M (b) M R N = N R M (c) (M R N) R P = M R (N R P ). Beweis von (b): Wir haben eine Abbildung M R N N R M m n n m für m M, n N. Dies soll heißen: diese Abbildung ist wohldefiniert, weil sie aufgrund der universellen Eigenschaft von der bilinearen (folgt mit 5.1 (c)!) Abbildung M N M R N (m, n) n m induziert wird. Die Umkehrabbildung ist dann die analoge Abbildung N R M M R N n m m n. Um dies nachzurechnen, braucht man nur die Verknüpfung auf den Erzeugenden m n auszurechnen, wo die Behauptung trivial ist. Entsprechend werden die Isomorphismen in (a) und (c) gegeben r m rm (mit Umkehrabbildung m 1 m) beziehungsweise (m n) p m (n p) (mit Umkehrabbildung m (n p) (m n) p). Lemma 5.3 Für R-Moduln M, N werden die Mengen Abb(M, N) := Menge aller Abbildungen f : M N durch Hom R (M, N := {f : M N f R-Modul-Homomorphismus} zu R-Moduln vermöge der Definition (f + g)(m) = f(m) + g(m) (rf)(m) = r(f(m)) Hom R (M, N) ist ein Untermodul von Abb(M, N). 27

30 Beweis selbst. Satz 5.4 Für R-Moduln M,N,P gibt es einen kanonischen R-Modul-Isomorphismus Hom R (M, Hom R (N, P )) = Hom R (M R N, P ) Beweis: Sei Bil R (M, N, P ) die Menge der R-bilinearen Abbildungen von M N nach P. Dies ist ein Untermodul von Abb(M N, P ) (nachrechnen!) und man erhält eine Bijektion Ψ : Hom R (M, Hom R (N, P )) Bil R (M, N, P ) ϕ (ψ ϕ : (m, n) ϕ(m)(n)) (ψ ϕ ist offenbar bilinear!). Die Umkehrabbildung ist nämlich (n ψ(m, n) und ϕ ψ sind R-linear!). (ϕ ψ : m (n ψ(m, n))) ψ Weiter ist die Bijektion Ψ R-linear: rϕ + r ϕ wird auf die Abbildung abgebildet, also auf rψ ϕ + r ψ ϕ. (m, n) (rϕ + r ϕ )(m)(n) = (rϕ(m) + r ϕ (m))(n) = r(ϕ(m)(n)) + r (ϕ (m))(n) Durch Verknüpfung mit der Bijektion (universelle Eigenschaft des Tensorproduktes) Bil R (M, N, P ) Hom R (M R N, P ), ψ ψ, die ebenfalls R-linear ist (mit der universellen Eigenschaft nachrechnen!) erhält man den gewünschten Isomorphismus von R-Moduln. Wir betrachten im Folgenden immer kommutative Ringe mit Eins. Bemerkung 5.5 Sei φ : A B ein Ringhomomorphismus. Dann wird B zu einem A-Modul durch die Verknüpfung ab := φ(a) b für a A, b B. Die Schreibweise ab bedeutet im folgenden immer diese Verknüpfung. Genauer gesagt wird B hierdurch zu einer A-Algebra, d.h., einem Ring mit einer A-Modul-Struktur derart, dass die Addition im Ring B und A-Modul B übereinstimmt und dass (ab) b = a(b b ) (aa )b = a(a b) für alle a, a A und b, b B, wobei hier der Punkt für die Ringmultiplikation in B steht, aber im Folgenden auch meist weggelassen wird. Hat man umgekehrt eine A-Algebra B, so erhält man einen Ringhomomorphismus (von Ringen mit Eins) φ : A B, a a1 B und die Konstruktionen sind zueinander invers. 28

31 Lemma/Definition 5.6 Dann wird Sei φ : A B ein Ringhomomorphismus und M ein A-Modul. B A M in eindeutiger Weise zu einem B-Modul, so dass gilt: (5.6.1) b (b m) := b b m (für b, b B, m M). B A M mit dieser Struktur heißt die Skalarerweiterung von M (mit φ oder zu B). Beweis: Wohldefiniertheit: Zu b definiere die Abb. ψ b : B M B A M (b, m) b b m Diese ist A-bilinear und definiert also eine A-lineare Abb. ψ b : B A M B A M mit b m b b m, die wir als die Multiplikation mit b definieren; es sei also b y = ψ b (y) für y B A M. Die Modulaxiome sind neben der Additivität von ψ b die Eigenschaften ψ 1 = id, ψ(b +b ) = ψ b + ψ b und ψ(b b ) = ψ b ψ b und diese gelten, weil sie für die ψ s gelten. Die Eigenschaft (5.6.1) macht die Verknüpfung eindeutig, weil die b m Erzeugende von B A M sind. Proposition 5.7 Seien φ : A B und ψ : A C Ringhomomorphismen. Dann hat B A C eine eindeutig bestimmte A-Algebren-Struktur, für die gilt: (5.7.1) b c b c = b b c c Beweis: Nur die Wohldefiniertheit ist zu zeigen! Nach Konstruktion ist B A C ein A-Modul. Nach 5.6 wird B A C ein B-Modul mit b(b c ) = b b c für b, b B und c C. Analog wird B A C ein C-Modul (Operation rechts geschrieben), wobei (b c ) c = b c c. Weiter ist B C Hom A (B A C, B A C) (b, c) (α bαc) A-bilinear, induziert also nach Satz 5.1 (a) eine A-lineare Abbildung ψ : B A C Hom A (B A C, B A C), nach (dem Beweis von) Satz 5.4 also eine A-bilineare Verknüpfung für die (5.7.1) gilt: B A C B A C B A C. (α, β) α β := ψ(α)(β) (b c) (b c ) = ψ(b c)(b c ) = b b c c 29

32 Hieraus folgt, dass B A C ein kommutativer Ring mit eins 1 wird (nachrechnen!). Satz 5.8 (a) Die Abbildungen i B : B B A C b b 1 i C : C B A C c 1 c sind Ringhomomorphismen, und das folgende Diagramm ist kommutativ: (b) (universelle Eigenschaft) Ist B φ i B 8 A B A C ψ 8 i C C B φ λ 7 A R ψ µ 7 C ein kommutatives Diagramm von Ringhomomorphismen, so gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus α : B A C R der das Diagramm kommutativ macht. Beweis: (a): klar. (b) Die Abbildung B i B λ 8 A B A C α R 8 i A µ C λ µ : B C R (b, c) λ(b) µ(c) ist A-bilinear und induziert daher nach 2.4. einen eindeutig bestimmten Morphismus von A-Moduln α : B A C R, der b c auf γ(b) µ(c) abbildet. Dieser leistet das Gewünschte (nachrechnen!). Eine weitere nützliche Eigenschaft für das Tensorprodukt ist: 30

33 Lemma 5.9 Ist (M i ) i I eine Familie von R-Moduln und N ein weiterer R-Modul, so gibt es einen kanonischen R-Modul-Isomorphismus ( ) M i N (M i N), i I i I mit (m i ) n (m i n). Beweis Die Abbildung ergibt sich mittels der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts aus der R-bilinearen Abbildung ((m i ) i I, n) (m i n) i I. Die Umkehrabbildung ist definiert durch die universelle Eigenschaft der direkten Summe und die Abbildungen M i N ( i I M i ) N, die durch m i n φ i (m i ) n definiert sind, wobei φ j : M j i I M i der kanonische Monomorphismus ist, mit φ j (m j ) = (n i ) i I, wobei n j = m j and n i = 0 für i j. Corollar 5.10 Sei I eine Menge und R S ein Ringhomomorphismus. Für die Skalarerweiterung zu S des freien R-Moduls F R (I) über I gibt es einen kanonischen Isomorphismus von S-Moduln S R F R (I) F S (I) mit s e i se i für die kanonische Basis (e i ) i I von F R (I) bzw. F S (I). Beweis Wir haben die Isomorphismen ( ) 5.9 S R F R (I) = S R Re i i I i I S R Re i 5.2 (a) Se i = F S (I). i I Wir zeigen nun eine Exaktheitsaussage für das Tensorprodukt. Wenn der Grundring R klar ist, schreiben wir auch nur für R. Vorbemerkung 5.11 Für Morphismen von R-Moduln f : M 1 M 2 und g : N 1 N 2 hat man einen kanonischen Morphismus von R-Moduln f g : M 1 N 1 M 2 N 2 m 1 n 1 f(m 1 ) g(n 1 ), entsprechend der bilinearen Abbildung (m 1, n 1 ) f(m 1 ) g(n 1 ). Insbesondere hat man für jeden R-Modul N eine kanonische Abbildung f id = f id N : M 1 N M 2 N (Man sagt hierzu, das Tensorprodukt ist funktoriell ). Der folgende Satz ist extrem nützlich für das Rechnen mit Tensorprodukten. 31

34 Satz 5.12 (Rechtsexaktheit des Tensorproduktes) Ist M 1 f M2 g M3 0 eine exakte Sequenz von R-Moduln, so ist für jeden R-Modul N auch die Sequenz M 1 R N f id M 2 R N g id M 3 R N 0 exakt, wobei f id = f id N und g id = g id N wie in Beweis: (1) g id ist surjektiv: M 3 R N wird erzeugt von Elementen m 3 n mit m 3 M, n N. Für m 3 existiert m 2 M 2, mit g(m 2 ) = m 3. Dann ist m 3 n = (g id)(m 2 n). (2) im (f id) ker (g id) : Es ist (g id) (f id) = (g f) id = 0, da g f = 0. (3) im (f id) ker (g id) : Sei φ : M 2 R N coker (f id) die kanonische (surjektive) Abbildung. Wir konstruieren nun eine Abbildung ψ : M 3 N coker (f id), die das Diagramm φ M 2 N coker (f id) ψ g id M 3 N kommutativ macht (ψ (g id) = φ). Dann folgt ker(g id) ker φ = im (f id). Nach Definition ist φ (f id) = 0. Definiere nun eine bilineare Abbildung b : M 3 N coker (f id), (m 3, n) φ(m 2 n), wobei m 2 M 2 mit g(m 2 ) = m 3. Ein solches m 2 existiert, da g surjektiv ist. Weiter ist b wohldefiniert: Ist m 2 M 2 mit g(m 2) = m 3 = g(m 2 ), so ist m 2 m 2 ker g = im f, also m 2 m 2 = f(m 1 ) für ein m 1 M 1. Es folgt m 2 n m 2 n = f(m 1 ) n = (f id)(m 1 n), also φ(m 2 n) = φ(m 2 n) wegen φ (f id) = 0. Die bilineare Abbildung b induziert nun einen R-Modul-Homomorphismus ψ : M 3 R N coker (f id). Nach Konstruktion gilt dabei für m 2 M 2 und n N (ψ (g id))(m 2 n) = ψ(g(m 2 ) n) = b(g(m 2 ), n) = φ(m 2 n). Also ist ψ (g id) = φ. Bemerkung 5.13 Ist 0 M 1 M M 2 0 exakt, so ist die Sequenz 0 M 1 R N M 2 R N M 3 R N 0 ist im Allgemeinen nicht an der Stelle M 1 R N exakt (das Tensorprodukt ist nur rechtsexakt und nicht exakt). Ein Gegenbeispiel ist das Folgende: Wir haben eine exakte Sequenz von Z-Moduln 0 Z n Z Z/nZ 0, 32