Nichtlineare, mehrskalige künstliche Diffusion und L (L )-Beschränktheit bei DG-Lösungen höherer Ordnung von Erhaltungsgleichungen

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1 Nictlieare, merskalige küstlice Diffusio ud L L )-Bescräkteit bei DG-Lösuge öerer Ordug vo Eraltugsgleicuge D i s s e r t a t i o zur Erlagug des Grades eies Doktors der Naturwissescafte vorgelegt vo Cristia Heke aus Kircwalsede geemigt vo der Fakultät für Matematik/Iformatik ud Masciebau der ecisce Uiversität Claustal ag der müdlice Prüfug

2 Bibliograpisce Iformatio Der Deutsce Natioalbibliotek Die Deutsce Natioalbibliotek verzeicet diese Publikatio i der Deutsce Natioalbibliografie; detaillierte bibliografisce Date sid im Iteret über ttp://db.d-b.de abrufbar. Vorsitzeder der Promotioskommissio: Prof. Dr. Micael Demut, ecisce Uiversität Claustal Hauptbericterstatter: Bericterstatter: Prof. Dr. Lutz Agerma, ecisce Uiversität Claustal Prof. Dr. Gert Lube, Georg-August-Uiversität Göttige D 104 c PAPIERFLIEGER VERLAG GmbH, Claustal-Zellerfeld, 2010 elemastraße Claustal-Zellerfeld Alle Recte vorbealte. Oe ausdrücklice Geemigug des Verlages ist es ict gestattet, das Buc oder eile daraus auf fotomecaiscem Wege Fotokopie, Mikrokopie) zu vervielfältige. 1. Auflage, 2010 ISBN:

3 Zusammefassug Viele matematisce Modelle aus de Igeieurwissescafte, der Pysik oder der Wirtscaft etalte Kovektio ud Diffusio. Häufig ist dabei die Diffusio ser scwac ausgeprägt ud ka i eiige Fälle sogar gaz veraclässigt werde. Für die Strömug vo Fluide köte dies bedeute, dass eie reibugsfreie Strömug als Grezfall vo reibugsbeaftete Strömuge gedeutet wird. Diese Idee wird auc i aktuelle umerisce Lösugsverfare für die agesprocee Modellprobleme aufgegriffe. Die Metode wird als Sock-capturig bezeicet ud wird realisiert, idem ei isotroper, küstlicer Diffusiosterm eigefürt wird, der i Abägigkeit der Gitterweite skaliert wird. Die Notwedigkeit eies zusätzlice erms trägt dem Umstad Recug, dass die Gitterweite eies umerisce Verfares stets bescräkt ist ud somit die Effekte vo feiere Prozesse ict berücksictigt werde köe. Der Nacteil dieses Vorgees ist jedoc die gerigere Kovergezordug im Vergleic zum ict modifizierte Verfare. Abilfe scafft ier die Berücksictigug eies residual basierte Diffusiosterms, der allerdigs eie ictlieare Metode zur Folge at. Zusamme mit eier weitere residualbasierte, aisotrope Stabilisierug kote i [JJS95] für eie diskrete Lösug eier Eraltugsgleicug eie gleicmäßige Bescräkteit i der L L )-Norm gezeigt werde. I dieser Arbeit wurde ei Sock-capturig Verfare kostruiert, das oe aisotrope Stabilisierug ebefalls eie gleicmäßige Bescräkteit i der L L )-Norm garatiert. Die dafür vorgeommee Modifikatio zerstört jedoc de residuale Carakter der Metode. Um die Aussict auf eie öere Kovergezordug zu eralte, wurde die Idee verfolgt, die küstlice Diffusio mit eiem speziell kostruierte Fluktuatiosoperator P ur auf feie Skale zu projiziere, sodass die gleicmäßige Bescräkteit der Lösug eralte bleibt. Die i dieser Arbeit etwickelte Ergebisse sid außerdem i der Lage, die L L )-Abscätzuge der Metode aus [JJS95] bei beliebige Polyomgrade ud quasiuiforme Partitioieruge zu gewärleiste. Biser gelag dies ur für lieare Asatzfuktioe auf Dreiecke mit eiem recte Wikel. iii

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5 Ialtsverzeicis Zusammefassug iii 1 Eileitug Matematisce ud pysikalisce Motivatio Numerisce Verfare Gliederug der Arbeit Daksagug Fuktioalaalytisce Grudlage Fuktioeräume Geometrisce Voraussetzuge ud der Spuroperator Wictige Gleicuge ud Ugleicuge Hyperbolisce Eraltugsgleicuge auf bescräkte Gebiete Lösugsteorie i BV Q ) Lösugsteorie i L Q ) Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio Geometrie des Zeit-Raum Gebietes Polyomapproximatio mit esorprodukte Quadratur ud Lumpig Projektios- ud Iterpolatiosfeler bzgl. der GL-Quadraturpukte Iverse Ugleicuge Discotiuous-Galerki Approximatio Formulierug der Metode Sock-capturig L L 2 )-Abscätzug der diskrete Lösug L L )-Abscätzug der diskrete Lösug Koerzivität des Sock-capturig erms für v ud I kvp 1 ) Diskretisierug des Problems mit der estfuktio I kvp 1 ) Kovergezaalysis A priori Felerabscätzug I A priori Felerabscätzug II Numerisce Beispiele Numerisce Kovergezutersucug Modellproblem mit Grezscicte v

6 Ialtsverzeicis 8 Zusammefassede Diskussio ud Ausblick 99 Idex 103 Symbolverzeicis 104 Literaturverzeicis 115 vi

7 Rei gar icts ereiget sic i der Welt, wori ict ei Gesetz des Maximums oder Miimums zutage tritt. Leoard Euler) vii

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9 1 Eileitug Eie wictige Awedug i de Igeieurwissescafte ud i der Pysik ist die Berecug der Strömuge vo Flüssigkeite ud Gase. Es ist eute allgemei aerkat, dass die matematisce Bescreibug der Strömugsvorgäge durc die Navier-Stokes Gleicuge zusamme mit de Radbediguge des zu umströmede Gebiets, sämtlice reale Strömuge vollstädig erfasse. Die Navier-Stokes Gleicuge sid dabei icts aderes als Eraltugsgleicuge für de Impuls, die Masse ud die Eergie im Kotiuum. I eiem ikompressible Medium ka die Eergieeraltugsgleicug uabägig vo de beide adere Gleicuge gelöst werde ud wird aus diesem Grud i der Literatur äufig ict zu de Navier- Stokes Gleicuge gezält. I diesem Fall bescreibe die Gleicuge die Etwicklug des Gescwidigkeitsfeldes ud des Druckfeldes. Lässt sic die iere Reibug des Fluids veraclässige, so etstee aus de Navier-Stokes Gleicuge die Euler Gleicuge. Der Vorteil der allgemeie Awedbarkeit der Navier- Stokes Gleicuge wird jedoc durc ire Komplexität wieder zuicte gemact: Nur i eiige, weige Ausamefälle lasse sic diese Gleicuge aalytisc löse. Nict eimal die Eideutigkeit vo sogeate scwace Lösuge der ikompressible, dreidimesioale Navier-Stokes Gleicuge ka garatiert werde. Eie weitere Fragestellug, die sic mit der Realitätsäe der Navier-Stokes Gleicuge bescäftigt, gilt als eies der ärteste, ugelöste matematisce Probleme userer Zeit: Lasse die Navier-Stokes Gleicug auc Lösuge zu, die a eiem Startpukt glatt sid ud bei der sic zu eiem spätere Zeitpukt die urbuleze so aufscaukel, dass die Strömugseergie uedlic wird [Fef00]? Sollte dies der Fall sei, so wäre die Navier-Stokes Gleicuge ei sclectes Modell für die Realität. Darüberiaus ist die Kovergez vo umerisce Metode für die Navier-Stokes Gleicuge ur bei etspreceder Glatteit der exakte Lösuge garatiert. Da die exakte Lösug der Navier-Stokes Gleicug i.allg. außer Reicweite liegt, ist eie umerisce Approximatio der Lösug äufig der eizige Ausweg um praktisc relevate Strömugsverältisse zu bestimme. Allerdigs offebart das aive Diskretisiere mit eiem beliebige umerisce Verfare auc ier Scwierigkeite. Diese direkte umerisce Simulatio DNS) erfordert eie Feieit der Diskretisierug, die i der Lage ist, auc die kleiste auftretede Wirbel darzustelle. Abscätzuge, die auf dem Kolmogorovsce Eergiespektrum berue, gebe für die dafür otwedige Azal a räumlice ud zeitlice Freieitsgrade eie Größeordug vo Re 3 a [Fri96, S. 107]. Re ist ierbei die dimesioslose Reyoldszal, defiiert als Re = U L/ν, wobei U eie carakterisce Strömugsgescwidigkeit, L eie carakteristisce Lägeeieit ud ν die carakteristisce kiematisce Viskosität darstellt. Da bei turbulete Strömuge eie Reyoldszal vo 10 7 keie Selteeit ist, ist die DNS auc i Zukuft kei praktikables Verfare. Ei Ausweg ist es, die ict aufgelöste, feiste Skale i eiem zusätzlice erm zu modelliere. 1

10 1 Eileitug Das obe agesprocee aive Diskretisiere der kompressible Navier-Stokes Gleicuge i der dimesioslose Form t u + u ) u Re 1 u + p = f, u = 0, 1.1) für die Strömugsgescwidigkeit u = u 1, u 2 ) bzw. u = u 1, u 2, u 3 ), dem Druck p ud eier vo auße eiwirkede Kraft f vgl. z.b. [M98, S. 512 ff.] oder [EGK08, S. 222]) iklusive der Afags- ud Radbediguge, erweist sic auc bei moderate Reyoldszale als tückisc. Als Grud dafür kristallisiert sic bei der Aalysis des Verfares die Nictliearität des erms u ) u ud die Bedigug u = 0 eraus. Die spezielle Form vo 1.1) erlaubt u.a. eie gewisse Modifikatio der Größe U, L ud ν. Solage die Reyoldszal dabei uverädert bleibt, ergebe sic aus der gleicbleibede Differetialgleicug 1.1), uter Beactug der etsprecede Skalierug, stets idetisce Lösuge. Die bereits erwäte Euler Gleicuge ergebe sic für Re bzw. ν 0 : t u + u ) u + p = f, u = ) Beim Studium vo umerisce Verfare ist es aus de geate Grüde ilfreic, die Scwierigkeite getret voeiader azugee ud z.b. folgedes skalarwertige Modellproblem zu betracte: t u + f s u) ɛ u = f, 1.3) wobei die Fuktio f s eie geeigete, ictlieare Fuktio ist. Da der Begriff der Reyoldszal i diesem vereifacte Modell uagemesse ersceit, überimmt der Parameter ɛ Re 1 diese Aufgabe. Der reibugsfreie Fall Re wird daer durc ɛ 0 realisiert: t u + f s u) = f. 1.4) Betractet wird i dieser Arbeit jedoc ur die zu 1.4) geörede Eraltugsgleicug, d.. es trete keie extere Kräfte auf f = 0). 1.1 Matematisce ud pysikalisce Motivatio Die Näerug der reibugsbeaftete Gleicuge 1.1) bzw. 1.3)) durc eie Gleicug oe Reibug 1.2) bzw. 1.4)) stellt aus matematiscer Sict auc bei oer Reyoldszal bzw. kleiem ɛ eie scwerwiegede Eigriff dar, de es etsprict dem Streice des Differetialoperators mit der öcste Ordug. Da i diesem Fall ei aderer yp vo Differetialgleicug etstet, ädert sic i.allg. auc das Veralte der Lösug etsceided. Dieses Veralte fürt zu Probleme bei der Betractug vo scwace Lösuge vo 1.4). Eie eideutige Lösug ka u ict mer gewärleistet werde. Damit ict geug: Ma ka zeige, dass uter diese Lösuge solce existiere, die de zweite Hauptsatz der ermodyamik verletze [AS97, S. 808 ff.]. Lasse wir igege für 1.4) ur solce Lösuge zu, die auc 1.3) für ɛ 0 erfülle Viskositätslösug), so estet eie eideutige Lösug, die pysikalisc gutartig ist. 2

11 1.2 Numerisce Verfare 1.2 Numerisce Verfare Die Idee der Viskositätslösug wird i umerisce Verfare mit der Eigescaft 0 ɛ 0 aufgegriffe. Die Additio eies küstlice Diffusioskoeffiziete der Form ɛ = C U 1.5) oder ɛ = C 2 U, C > 0, 1.6) mit der Gitterweite ud der Lösug des umerisce Verfares U, get zurück auf [NR50] ud [Sma63]. Ziel dieser Modifikatio war ursprüglic ict die Kovergez zur Viskositätslösug, soder die Verbreiterug des Gebiets, i dem die Lösug starke Veräderuge uterworfe ist Grezscict), so dass diese mit der Gitterweite aufgelöst werde ka. Die beide Diffusioskoeffiziete resultiere i eier ictlieare Diskretisierugsmetode. Lieare Verfare ergebe sic etspreced aus ɛ = C bzw. ɛ = C 2. Eie weitere Iterpretatio der küstlice Diffusio, ist die bereits agesprocee Modellierug der ict aufgelöste, feiste Wirbel. So ist 1.6) bekat als Smagorisky-Modell ieralb der Large Eddy Simulatio LES). Durc das Ausweite der Grezscict werde zwar ictoszillierede Lösuge erzeugt, aber der isotrope Carakter der Stabilisierug erzeugt auc Diffusio sekrect zur Stromliierictug, so dass auc i dieser Rictug die Grezscicte ausgeweitet werde. Als Folge etstet ei Feler, der im güstigste Fall vo der Ordug O) ist. Im Gegesatz dazu fügt die Stromliiediffusiosmetode zusätzlice Stabilisatio i Stromliierictug izu [HB79], [H84]. Dies gesciet mittels eies gewictete Residualasatzes ieralb des Stabilisierugsterms, der eie Felerordug vo O k+1/2 ) garatiert [Jo87, eorem 9.2]. Weitere Beiträge fide sic i [HFM86], [HM86a] ud [HFM87]. Eie Modifikatio uter Hizuame eies zweite, ictlieare Stromliiediffusiosterms, mit Stabilisierug i Rictug U Sock-capturig), ist i [HMM86], [HM86b], [JS86a] ud [JS87] bescriebe. Die resultierede ictlieare Metode etält durc die Projektio eie Normalisierug mit U 2. Der Austausc des Normalisierugsterms mit eier größere Potez vo erlaubt i [Sze89a] de Nacweis der Kovergezordug vo O k+1/2 ). Letztgeate Modifikatio erlaubt die Iterpretatio des Sock-capturig erms als residualbasierte, isotrope küstlice Diffusio. Siee ierzu auc [JSH90], [Sze91] ud [JJS95]. Diese Arbeit get der Frage ac, ob die Discotiuous-Galerki-Metode aus [JJS95] derart modifiziert werde ka, dass bei Veraclässigug des Stromliiediffusiosterms die L L )-Bescräkug der diskrete Lösug eralte bleibt. Diese Fragestellug scöpft Motivatio aus der atsace, dass die Discotiuous-Galerki-Metode vo Haus aus mit eiem Feler der Ordug O k+1/2 ) - bzgl. eier Norm, die auc die Ableitug i Stromliierictug umfasst - aufwarte ka [JP86], so dass die Stromliiediffusiosmetode vor diesem Hitergrud keie zusätzlice Stabilität brigt. Es zeigt sic, dass die Stromliiediffusiosmetode i [JJS95] für die L L )-Abscätzug veraclässigbar ist. Die ier vorgestellte Modifikatio beötigt zwar keie Diffusio i Stromliierictug mer, zerstört allerdigs 3

12 1 Eileitug die residuale Struktur der Metode, so dass die Kovergezordug ur oc idetisc ist mit der klassisce küstlice Diffusio. Um trotzdem Aussict auf eie zufriedestellede Kovergezordug zu abe, wirkt der Diffusiosterm mittels Projektio ur auf die dazugeörige feie Skale. I [Hei07] kote mit dieser Strategie, allerdigs bei liearer Diffusio ud oe Berücksictigug der L L )-Frage, eie öere Kovergezordug erzielt werde. 1.3 Gliederug der Arbeit Diese Arbeit umfasst act Kapitel. Das direkt a die Eileitug ascließede Kapitel gibt eie Überblick über grudlegede Defiitioe ud Aussage, die zum Verstädis dieser Arbeit beötigt werde. Isbesodere wird ei Beweis des Spursatzes für Sobolev-Räume vorgelegt, der für die Aalysis des Discotiuous-Galerki-Verfares essetiell ist. Im 3. Kapitel werde zwei Lösugsteorie präsetiert, die mittels der Viskositätsmetode eie eideutige scwace Lösug für 1.3) gewärleiste. Die bereits agesprocee Problematik der ypäderug der Differetialgleicug wird durc die Eifürug eier verallgemeierte Radbedigug berücksictigt. Das 4. Kapitel erläutert die Fiite-Elemete-Metode ud legt mit eiige Projektios- ud Iterpolatiosfeler sowie mit iverse Ugleicuge die Grudlage für die L L 2 )- bzw. L L )-Abscätzuge der diskrete Lösug des Discotiuous-Galerki-Verfares aus Kapitel 5. Die dabei auftretede tecisce Scwierigkeite werde überwude, idem Idee aus der eorie der ierarcisce modale Basisfuktioe mit Hilfe vo mass lumpig auf odale Basisfuktioe übertrage werde. Es zeigt sic, dass auf diesem Weg ei diskreter Fluktuatiosoperator defiiert werde ka, der ieralb eies Sock-capturig erms die L L )-Abscätzug gewärleiste ka. Eie aisotrope Stabilisierug ist i diesem Fall ict mer otwedig. Die i diesem Kapitel bewiesee eoreme sid außerdem i der Lage, die L L )-Abscätzug der Metode [JJS95, 2.7)] bei beliebige Polyomgrade ud quasiuiforme Partitioieruge zu gewärleiste. Biser gelag dies ur für lieare Asatzfuktioe auf Dreiecke mit eiem recte Wikel [Sze89a]. I Kapitel 6 werde Kovergezordugsaussage der ictlieare Discotiuous-Galerki- Metode mit Fluktuatiosoperator ud der Metode aus [JJS95, 2.7)] vorgestellt. Diese Utersucuge erfolge für das lieare, omogee Problem 1.4) ud berücksictige sowol die Abägigkeit der Gitterweite als auc die Abägigkeit des Polyomgrades. Die umerisce Umsetzug des Verfares wurde mit der Fiite-Elemete Bibliotek deal.ii [BHK] vorgeomme ud getestet. Etsprecede Beispiele sid im 7. Kapitel zu fide. Das Kapitel 8 scließt die Arbeit mit eier zusammefassede Diskussio ud eiem Ausblick. Hier werde die Aussage zur Kovergezordug im Hiblick auf die erzielte umerisce Ergebisse kommetiert ud möglice Erweiteruge sowie offee Fragestelluge diskutiert. 4

13 1.4 Daksagug 1.4 Daksagug Die i dieser Arbeit präsetierte Ergebisse etstamme im Wesetlice meier füfjärige ätigkeit als wissescaftlicer Mitarbeiter am Istitut für Matematik a der U Claustal. A dieser Stelle möcte ic mic gaz erzlic bei meiem Doktorvater Prof. Dr. Lutz Agerma für die gute Betreuug, die iteressate Diskussioe ud alterative Sictweise bedake. Prof. Dr. Gert Lube dake ic für die freudlice Überame des Korreferates ud Prof. Dr. Ulric Mertis für die überaus motivierede Begleitug wäred meier erste Studiesemester. Zu guter Letzt möcte ic alle Kircwalseder dake, die speziell i diesem Jar reges Iteresse am Verlauf der Promotio ires aktuelle Scützeköigs gezeigt abe. 5

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15 2 Fuktioalaalytisce Grudlage Für die Betractug der yperbolisce Gleicuge ist es otwedig, sofer die für diese Gleicuge typisce ustetige Lösuge berücksictigt werde solle, auf eie scwace Formulierug der Differetialgleicug zurückzugreife. Die dafür ötige Hilfsmittel solle i der üblice Notatio kurz vorgestellt werde. 2.1 Fuktioeräume Es bezeice C l G, K), l N 0 die l-mal stetig differezierbare Abbilduge vo eiem Gebiet G K m, m N i de Körper K. C l 0G, K) etält Fuktioe aus C l G, K), dere Support kompakt ist. Für 0 < θ 1 ist C l,θ G, K) der Uterraum vo C l G, K), besteed aus Fuktioe, so dass α u, 0 α l für jede Kompoete u mit dem Expoete θ Hölderstetig ist: α ux) α uy) C x y θ, x, y G. Der Lebesgue-Raum L p G, K) mit p [1, ) etält die messbare Fuktioe u : G K für die im Lebesguesce Sie gilt: u p L p G,K) = G u p dx <. Für p = ist L G, K) der Raum der wesetlic bescräkte Fuktioe, d.. u : G K ist messbar ud fast überall bescräkt. I diesem Fall wird die Norm als die kleiste dieser Scrake defiiert: u L G,K) = ess sup ux) = if{k > 0 : ux) K fast überall i G}. x G Mit der eigefürte Notatio bedeutet u v L p G,K) = 0, dass ux) = vx) ur fast überall f.ü.) auf G gilt. Folglic werde die Elemete vo L p G, K) als Äquivalezklasse vo Fuktioe aufgefasst. We trotzdem vo Fuktioe aus L p G, K) die Rede ist, so ist i diesem Fall stets ei Repräsetat der Äquivalezklasse gemeit. Aus diesem Grud werde solce Fuktioe, die sic ur auf eier Mege vom Maß Null utersceide, üblicerweise miteiader idetifiziert. Der Vektor α = α 1,..., α m ) N m 0 eißt Multiidex. Mit x = x 1,..., x m ) R m sid die Screibweise α = α 1 1 m αm, α! = α 1! α m!, x α = x α 1 1 x αm m ud α = m i=1 α i üblic. Für ei l N 0, p [1, ) ud eie Multiidex α defiiert bei scwacer Differetiatio ud geeigetem u u l,p,g = α u p L p G,K) α l 1/p eie Norm. Im Fall p = ist u l,,g = max α l α u L G,K) 7

16 2 Fuktioalaalytisce Grudlage die etsprecede Norm. Die dazugeörige Sobolev-Räume W l,p G, K) etalte die Fuktioe, dere etsprecede Norm edlic ist. Im Fall p = 2 existiere jeweils die kaoisce Ieprodukte u, v) l,g = α u α v dx. α l G Sobolev-Räume mit eiem reelle Idex, etwa l+θ, 0 < θ < 1 für 1 p < werde mit Hilfe der K-Metode der Iterpolatiosteorie defiiert. Etsprecede Defiitioe ud Eigescafte fide sic i [BS08, Capter 14] ud [AF03, Capter 7]. Mit diese Voraussetzuge soll gelte W l+θ,p G) = [W l,p G), W l+1,p G)] θ,p, 2.1) ud u l+θ,p,g = 0 u l+θ,,g = t θ Kt, u) ) p dt t ) 1/p 2.2) sup t θ Kt, u). 2.3) 0<t< Im Zuge dieser Vereibaruge ud der Normäquivalez aus [BS08, , eorem ] ersceit es sivoll, die dazugeörige Halborme für p < durc die Ausdrücke 1/p α =l u l,p,g = α u p L G,K)), l N, p ) 1/p 2.4) α ux) α uy) p α = l dx dy x y, l = l + θ, θ > 0 d+θp G G zu defiiere. Für p = defiiere aalog vgl. [AF75, S. 7.49]) max α =l α u L G,K), l N, u l,,g = max ess sup α ux) α uy), l = l + θ, θ > 0. α = l x y θ x,y G x y 2.5) Bestet K aus dem Körper der reelle Zale, so solle die Kovetioe C l G) = C l G, R), C l,θ G) = C l,θ G, R), L p G) = L p G, R) ud W l,p G) = W l,p G, R) gelte. Ausfürlice Darstelluge ud alterative Defiitioe der Sobolev-Räume sid aczulese i [AF03] ud [Wlo82]. Eifürede Darstelluge fide sic i [Alt06] ud [War99]. Eie Fuktio f L 1 G) ist vo bescräkter Variatio i G, we { Gf dx = G sup gx) 1 x G } f div g dx : g = g 1,..., g ) C0G) 1 < G gilt. Der Raum BV G) wird defiiert als die Mege der Fuktioe aus L 1 G) mit bescräkter Variatio vgl. [Giu84]). Die Kardialzal eier Mege M wird mit #M bezeicet. Ist v = v i ) i I R #I ud I eie Idexmege, so werde wie üblic folgede Norme defiiert: ) 1/p v l p I) = v i p i I für p 0, ) ud v l I) = max i I { v i }. 8

17 2.2 Geometrisce Voraussetzuge ud der Spuroperator Im Fall p = 2 existiert das l 2 -Ieprodukt v, w) l 2 I) = i I v i w i, w = w i ) i I. Erfolgt die Summierug mit der Idexmege I = {0, 1, 2,..., 1} oder I = {1, 2,..., } mit = #I, so fidet die abkürzede Screibweise l p bzw., ) l p Awedug. Für zwei utersciedlice Idizes p 1 < p 2 gelte ac [Gas70, S. 28] die Abscätzuge v l p 2 v l p 1 1/p 1 1/p 2 ) v l p ) Bei Fuktioe auf eiem Gebiet G defiiert { } 1/p f l p M) = fx) p x M eie diskrete Norm auf eier Puktmege M. f l M) wird aalog defiiert. Für A R,, N bezeicet A l p, 1 p die vo x l p, x R iduzierte Norm ud A max = max 1 i,j a ij. 2.2 Geometrisce Voraussetzuge ud der Spuroperator Da die Eigescafte vo Fuktioe aus de Sobolev-Räume W l,p G) stark vo de Eigescafte des Rades G abäge, ist bei der Betractug des zugrude liegede Gebietes besodere Aufmerksamkeit bei der otwedige Glatteit des Rades gefordert vgl. z.b. [Gri85], [Alt06, A6] ud [AF03]). Defiitio Sei G R d, d N ei bescräktes Gebiet. G besitzt eie C m -Rad [C m,1 -Rad], falls sic G durc edlic viele offee Mege U 1,..., U r überdecke lässt, so dass G U j für j = 1,..., r der Grap eier Fuktio aus C m [C m,1 ] ist ud G U j auf jeweils eier Seite dieses Grape liegt. D.. es gibt für 1 j r ei euklidisces Koordiatesystem e j 1,..., e j d i Rd, eie Abbildug ϕ j : R d 1 R, ϕ j C m F j B d 1 )) [ϕ j C m,1 F j B d 1 ))], so dass für die bijektive Fuktio ψ j : B U j mit d 1 ψ j x) = F j x) i e j i + F j x) d + ϕ j F j x) 1,..., F j x) d 1 ))e j d, i=1 F j x) = diagr j,..., r j, j )x, r j, j > 0 die Idetitäte U j G = ψ j B 0 ), U j G = ψ j {y B : y > 0}), gelte solle. Dabei ist B = {y R d : y l < 1}, B d 1 = {y R d 1 : y l < 1} ud B 0 = B d 1 {0}. Hadelt es sic um eie C 0,1 -Rad, so wird auc vo eiem Lipscitz-Rad gesproce. 9

18 2 Fuktioalaalytisce Grudlage Die agetialvektore ergebe sic zu τ s y) = d 1 ) y i e j i y + ϕj y )e j d s i=1 i=1 = e j s + y s ϕ j y )e j d, y F j B 0 ), 2.7) mit y = y 1,..., y d 1 ) für 1 s d 1. Der zu alle agetialvektore sekrect steede äußere Normalevektor ist y) = ) d 1 ) 1 + ϕ j 2 1/2 l ϕ j y )e j 2 i y ed i, y F j B 0 ). 2.8) i Alle Ableituge sid im scwace Si zu verstee ud existiere für ϕ j C 1 F j B d 1 )) ud ϕ j C 0,1 F j B d 1 )), de es gilt ac [Alt06, Satz 8.5 2)] für ei Lipscitz-Gebiet G die Eibettug C 0,1 G) W 1, G) ud somit ϕ j L F j B 0 )). Zur Iterpretatio der Itegratio auf G bzw. zur Defiitio der Sobolev-Räume über de Rad, ist es otwedig die lokale Eigescafte der Defiitio auf de gesamte Rad zu übertrage. Dies gesciet mittels eier Partitioierug der Eis bezüglic der offee ud edlice Überdeckug U j vgl. [Alt06, 2.19, A 6.3]). Durc Hizufüge eier weitere offee Mege U 0 ist es möglic, gaz G zu überdecke. Uter diese Voraussetzuge existiere ω j : R d R, ω j C 0 U j ), ω j 0 ud r i=0 ωj x) = 1 für x G. Ferer ist ψ j i der Form ψ j : R d 1 {0} B d 1 {0} U j G R d eie Parameterdarstellug für das Oberfläcestück U j G, desse Oberfläce sic mit Hilfe vo G = J ψ jj ψ j, J ψ j = ψ x m j ) 1 m d 1 d 1 bestimme lässt durc s ψ j = det Gx )) 1/2 dx = B d 1 gx ) dx. B d 1 Durc Nacrece lässt sic gx ) = ) 1 + ϕ j x ) 2 1/2 l bestätige. Das Raditegral für f 2 ka u mit Hilfe vo supp fω j U j ausgedrückt werde als r r fs) ds = fs)ω j s) ds = fs)ω j s) ds G = = j=1 r j=1 r j=1 G ψ j B 0 ) j=1 U j G fω j ) ψ j x, 0) ds = R d 1 fω j ) ψ j x, 0)gx ) dx. r j=1 B 0 fω j ) ψ j x, 0) ds ψj 2.9) Wie bereits agedeutet gilt ϕ j C m 1 F j B d 1 )) [ ϕ j W m, F j B d 1 ))] ud somit 1 g l) x ) C, fast überall i R d 1, 0 l m 1 [0 l m]. 2.10) 10

19 2.2 Geometrisce Voraussetzuge ud der Spuroperator Mit diese Hilfsmittel ka die L p -Norm für 1 p < defiiert werde: r u p ds = u p ω j ds G = 2.9) = j=1 G r u ψ j x, 0) p ω j ψ j x, 0) gx ) dx j=1 R d 1 r u ψ j p = u p 0,p,ω j ψ j g,r d 1 0,p, G. j=1 Die Defiitio der Sobolev-Norm folgt etspreced: r α u ψ j p 0,p,ω j ψ j g,r d 1 j=1 2.11) α u p 0,p, G = α l α l 2.12) r = u ψ j p = u p l,p,ω j ψ j g,r d 1 l,p, G. j=1 Im Fall p = lasse sic die Normdefiitioe aalog zum Gebiet voreme: u 0,, G = ess sup us), 2.13) s G α u 0,, G. 2.14) u l,, G = max α =l ess sup s G Alle ier vorgestellte Defiitioe, die auf dem lokale Koordiatesystem der Defiitio berue, sid uabägig vo der lokale Zerlegug ud Darstellug des Rades [Alt06, A 6.5]. Wird im Folgede oe weitere Amerkug vo eiem Gebiet G gesproce, so ist stets ei Gebiet mit Lipscitz-Rad gemeit, isbesodere gilt da die Formel der partielle Itegratio ud der Satz vo Gauss [Alt06, A 6.8]. Die Frage ac der Existez der Raditegrale ist für de Fall u C) leict zu beatworte, da u i kaoiscer Weise durc Restriktio etstet. Allerdigs ist für W l,p ) C) die Bedigug l > d/p vgl. [EG04, Corollary B.46]) erforderlic. Somit sceit es für l d/p keie Si zu mace vo Radwerte zu sprece, da ac Defiitio der Lebesgue-Räume miteiader idetifizierte Fuktioe auf versciedee Werte aeme köe. Der acsteede Spursatz für Gebiete garatiert jedoc für l > 1/p die Existez der Raditegrale. I der Literatur sid versciedee Darstelluge i utersciedlicer Allgemeieit zu fide, z.b. i [Gri85, eorem , eorem ], [Wlo82, Satz 8.7]. Die i dieser Arbeit gewälte Formulierug fußt auf eiem Spursatz für γ : R d R d 1 ud verwedet im Beweis sogeate lieare, stetige Erweiterugsoperatore E : W l,p G) W l,p R d ), dere Existez i Abägigkeit der Radglätte gewärleistet werde ka. Die Defiitio vo γ : R d R d 1 gesciet wie bereits ageküdigt durc Restriktio: falls u CR d ). γu) x ) = ux, 0), x R d 1, 2.15) Die otwedige Variablesubstitutio, um de Spursatz auf Gebiete zu übertrage ist durc die Defiitio bereits festgelegt. 11

20 2 Fuktioalaalytisce Grudlage eorem Sei 1 p < ud l R, l > 1/p. Da existiert ei liearer, stetiger Operator γ : W l,p R d ) W l 1/p,p R d 1 ). Beweis Uter de gegebee Voraussetzuge ist die Existez eies C > 0 mit γu l 1/p,p,R d 1 C u l,p,r d 2.16) zu zeige. Für p = 1 erfüllt [AF03, )] die Aufgabe. Im Fall l N, 1 < p < siee [AF03, eorem 7.39] ud für l R \ N, 1 < p < betracte [AF03, eorem 7.43] oder auc [BL76, Defiitio 6.2.2, eorem ud eorem )]. Defiitio starker m-erweiterugsoperator) Eie lieare Abbildug E : W l,p G) W l,p R d ) wird starker m-erweiterugsoperator für G geat, falls für jedes p, 1 p < ud jedes l N 0, 0 l m N 0 eie Kostate C = Cm) existiert, so dass für jedes u W l,p G) die Bediguge erfüllt sid. Eux) = ux) fast überall i G, 2.17) Eu l,p,r d C u l,p,g. 2.18) Defiitio totaler Erweiterugsoperator) E wird totaler Erweiterugsoperator für G geat, falls E ei starker m-erweiterugsoperator für G ud jedes m ist. Bemerkug Ei totaler Erweiterugsoperator garatiert Eux) = ux) für alle x G vgl. [AF03, S. 5.17]). Lemma Sei G R d mit eiem C m -Rad. Da existiert ei starker m-erweiterugsoperator E für G. Beweis [AF03, eorem 5.22]. Lemma Sei G R d mit Lipscitz-Rad. Da existiert ei totaler Erweiterugsoperator E für G. Beweis [AF03, eorem 5.24] bzw. [Ste70, Capter 6]. Zum Beweis des ageküdigte Spursatzes wird das folgede Lemma beötigt: Lemma Faà di Bruo s Formel) Für eie Multiidex α ud zwei Fuktioe f : G R m R, g : D R R, m, N dere Ableituge bis zur Ordug α existiere, gilt mit P = N m 0 \{0,..., 0)} Faà di Bruo s Formel α g f)x) = α! β g)fx)) [ ] 1 γ aγ) f)x). 2.19) aγ)! γ! β α P a:p N 0 γ P aγ)=β P γ P aγ) γ=α γ P 12

21 2.2 Geometrisce Voraussetzuge ud der Spuroperator Beweis [Gzy86]. Vgl. auc [Dix02, Lemma 2.1]. eorem Es sei G ei Gebiet mit eiem C m -Rad [C m,1 -Rad], m N. Da existiert für 1 p < ud 1/p < l, l R ei liearer, stetiger Spuroperator γ : W l,p G) W l 1/p,p G), l m [l m + 1]. 2.20) Ist G ei Gebiet mit Lipscitz-Rad, so gilt falls u W l,p G) CG). γu = u G, 2.21) Beweis Nac Lemma [2.2.7] existiert ei starker m-erweiterugsoperator [totaler Erweiterugsoperator] E. Aus der Defiitio des Raditegrals folgt r γeu) p l 1/p,p, G = γeu) ψ j p l 1/p,p,ω j ψ j g,r d 1 j=1 2.10), ω j ) = r j=1 r γeu) ψ j p l 1/p,p,R d 1 j=1 r Eu ψ j p = l,p,r d j=1 l Eu ψ j p i,p,b. i=0 r Eu ψ j p l,p,b Auf Grud der Voraussetzuge a de Rad vo G gilt für i = α m : α ψsx) j C [i = α m + 1 : α ψsx) j C f. ü. auf B, de [Alt06, Satz 8.5 2)] α ψs j L B)] mit 1 s d ud i = 0,..., l. Aus Faà di Bruo s Formel 2.19) folgt somit ˆ α w ψ j) ˆx) C β w ψ j ˆx) ) β α j=1 ud mit det ˆx ψj ) = 1 l l w ψ j p i,p,b = i=0 = C C = C ˆ α w ψ j p 0,p,B i=0 α =i l i=0 α =i l ˆ α ) w ψ j det ˆx ψj ) 1/p p 0,p,B i=0 α =i β α l β w p 0,p,U j i=0 α =i β i l β w p = C 0,p,U j i=0 β i β w ψ j) det ˆx ψj ) 1/p p 0,p,B l w p C w p. i,p,u j l,p,u j i=0 13

22 2 Fuktioalaalytisce Grudlage Isgesamt ergibt sic u die erste Beauptug γeu) p l 1/p,p, G C Damit wurde die rasformatioskette r j=1 Eu p l,p,u j C r j=1 C Eu l,p,r d C u p l,p,g. Eu p l,p,r d W l,p G) E W l,p R d ) ωj W l,p U j ) ψj ) 1 W l,p B) Id W l,p R d ) γ W l,p R d 1 ) Id W l,p B 0 ) ψ j W l,p U j G) W l,p G) bescritte. Dies liefert die Defiitio des Spuroperators: γu = r ψ j γ ψ j) 1 ω j E ) u. 2.22) j=1 Für die letzte Beauptug ist zu prüfe, ob bei eiem Lipscitz-Gebiet γ u G ) = u G, u C l G) erfüllt ist. Die Existez eies totale Erweiterugsoperators gewärleistet Eu G ) = u G vgl. Bemerkug 2.2.5). Das Bild vo ψ j ) 1 liegt i W l,p U j ) CU j ) ud liefert speziell ψ j ) 1 ω j u G ) = ψ j ) 1 ω j u) B0. Bei diesem Argumet wirkt γ ac Defiitio als Idetität, so dass mit ψ j ψ j ) 1 ω j u) B0 ) = ω j u G ud r j=1 ωj u G = u G alles gezeigt ist. Auc we auf Grud magelder Glatteit vo u die Idetität γu = u G ict gilt, so soll uter u G stets das Bild des Spuroperators verstade werde. Ferer lert der Spursatz, dass die Regularität des Rades de maximal erreicbare Differetiatiosidex l des Sobolev-Raumes W l,p G) bescräkt. Bemerkug Die lokale Argumetatio im Beweis des Spurlemmas sorgt dafür, dass für jede offee Überdeckug U j γu l 1/p,p,U j G C u l,p,g gilt. Ist also G ei Gebiet mit lokal öerer Glatteit als C m [C m,1 ], so ist lokal, vermöge der Uabägigkeit vo der spezielle Wal der offee Überdeckuge, u G W l,p G) mit l > m, [l > m + 1] für G G gewärleistet. 2.3 Wictige Gleicuge ud Ugleicuge Im weitere Verlauf werde folgede Hilfsmittel beötigt: 14

23 2.3 Wictige Gleicuge ud Ugleicuge Lemma verallgemeierte Yougsce Ugleicug) Für die Expoete p, q 1, ) mit 1/p + 1/q = 1 ud jedes ɛ > 0 gilt: ab 1 p ɛap + 1 q Beweis Z.B. [War99] mit ab = ɛ 1/p a)ɛ 1/p b). 1 ɛ q/p bq a, b ) Lemma Ugleicug vo Poicaré-Friedrics) Sei 1 p < ud G ei bescräktes, zusammeägedes Gebiet mit Lipscitz-Rad. Da ist V = {v W 1,p G) : v dx = 0} ei abgesclosseer Uterraum vo W 1,p G) ud es existiert eie Kostate C p,g > 0 derart, dass C p,g v 1,p,G v 0,p,G v V. 2.24) Beweis [EG04, eorem B.37, Lemma B.66]. Bemerkug Der Raum V ist idetisc mit dem Raum {v W 1,p G) : v cost}, de es bilde V 1 = {v W 1,p G) : v dx = 0} ud V G 2 = {v W 1,p G) : v = cost} eie direkte Summe: Jedes v L p G) lässt sic darstelle als v = w + v w mit w = 1/ G v dx V G 2 ud v w V 1, da v w) dx = v dx v dx = 0. G G G Lemma Dey ud Lios) Sei k N 0, p [1, ] ud G R d ei Gebiet. Da existiert ei C DL = C DL d, k, G) > 0, derart, dass G if v + p k+1,p,g C DL v k+1,p,g v W k+1,p G). 2.25) p P k G) Beweis [Cia91, eorem 14.1]. Bemerkug Vgl. auc die Bemerkuge zur Abägigkeit vo C DL i [Ape04, S. 61]. Lemma Höldersce Ugleicug) Es seie p, q, r [1, ] mit 1/r = 1/p + 1/q. Da ist uv L r G) ud mit uv 0,r,G u 0,p,G v 0,q,G 2.26) für u L p G), v L q G). Im Fall u = v mit r = 1, p, q = 2 ud r, p, q = sid beide Seite gleic. Beweis Für p, q, r [1, ) siee [War99]. Sei r, p = 1 ud q =. Damit ist v C fast überall für ei C [0, ) ud es gilt fast überall uv C u. Sei N die etsprecede Nullmege. Da gilt uv 0,1,G = uv dx = uv dx C u dx = C u 0,1,G. G G\N G\N 15

24 2 Fuktioalaalytisce Grudlage Da v 0,,G das Ifimum aller dieser C ist, gilt auc uv 0,1,G v 0,,G u 0,1,G. Ferer gilt aufgrud der Mootoie vo t t m, t R + ud m N für die Folgerug ess sup ux) ) = ux ), x G \ N x G ux) ux ) ux) m ux ) m x G \ N. 2.27) Dieses müdet zusamme mit de Defiitioe der verwedete Norme i { m u m 0,,G = ess sup ux) )} = ux ) m = ess sup ux) m ) = ess sup ux) m ) x G 2.27) x G x G = u m 0,,G. Lemma Iterpolatiosugleicug I) Seie p 0, p 1, p θ + θ p 1. Da ist 1 p θ = 1 θ p 0 u L p 0 G) L p 1 G), [1, ] ud 0 θ 1 mit u 0,pθ,G u 1 θ 0,p 0,G u θ 0,p 1,G. 2.28) Beweis Setze i der Höldersce Ugleicug 2.26) f = u θ, g = u 1 θ : u 0,pθ,G u 1 θ p 0, 0 1 θ,g u θ p 0, 1θ,G ) 1 θ = u p p 0 0 u p 1 dx G G ) θ p 1 = u 1 θ 0,p 0,G u θ 0,p 1,G. Lemma Iterpolatiosugleicug II) Sei l 0, l 1 R +, l 0 l 1, 1 p 0, p 1 ud G ei bescräktes Gebiet mit Lipscitz-Rad. Für 0 < θ < 1 defiiere l θ = 1 θ)l 0 + θl 1, + θ p 1, l 0, l 1 R + \ N 0 bzw. p θ = p 0 = p 1, l 0, l 1 N 0 ud es gilt 1 p θ = 1 θ p 0 u W l 0,p 0 G) W l 1,p 1 G), u lθ,p θ,g C u 1 θ l 0,p 0,G u θ l 1,p 1,G. 2.29) Beweis Mit [ri78, g)] ud [BL76, Defiitio 6.2.2, eorem 6.2.3, eorem ud eorem ),4)] folgt die Beauptug für G = R d. Der Lipscitz-Rad garatiert die Existez eies totale Erweiterugsoperators Lemma 2.2.7): u lθ,p θ,g = 2.17) Eu lθ,p θ,g Eu lθ,p θ,r d C Eu 1 θ l 0,p 0,R d Eu θ l 1,p 1,R d C u 1 θ l 0,p 0,G u θ l 1,p 1,G. 2.18) Korollar Sei l 0, l 1 R +, l 0 l 1, 1 p 0, p 1 ud G R d ei bescräktes Gebiet mit Lipscitz-Rad. Für 0 < θ < 1 defiiere l θ = 1 θ)l 0 +θl 1, 1 p θ = 1 θ p 0 + θ p 1, l 0, l 1 R + \N 0 bzw. p θ = p 0 = p 1, l 0, l 1 N 0. Es folgt u W l 0,p 0 G) W l 1,p 1 G), u lθ,p θ,g C u 1 θ l 0,p 0,G u θ l 1,p 1,G. 2.30) Beweis Es geügt die Abscätzug für l 0 = 0 ud l 1 = 1 zu zeige, da der allgemeie Fall aus dem spezielle Resultat ervorget. Ist u = cost, so ist die Ugleicug durc die Defiitio der Halborme trivial erfüllt. Sei also u cost. Die Awedug der Ugleicug vo Poicaré-Friedrics 2.24) liefert mit 2.29) u W 0,p 0 G) W 1,p 1 G), die gewüscte Aussage. u p 0,p,G + u p θ,p θ,g Cp u p1 θ) 0,p 0,G u pθ 1,p 1,G 16

25 2.3 Wictige Gleicuge ud Ugleicuge Lemma Leibizsce Produktregel) Für eie Multiidex α ud zwei Fuktioe f, g, dere Ableituge bis zur Ordug α existiere, gilt die Leibizsce Produktregel α f g) = ) α β f α β g. 2.31) β β α Beweis [Ce01, eorem 5.4.3]. Lemma Growallsce Ugleicug) Sei R +, t 0 [0, ), a, α, L t 0, ) ud β L 1 t 0, ), βt) 0 fast überall i t 0, ). Ist die Ugleicug at) αt) + t t 0 βs)as) ds für fast alle t t 0, ) erfüllt, so gilt für ebesolces t t t ) at) αt) + exp βτ) dτ αs)βs) ds. t 0 s Ist α ict falled, so gilt auc t ) at) αt) exp βτ) dτ t 0 t t 0, ). Beweis [Emm04] oder [QV94, Lemma 1.4.1]. Lemma diskrete Growallsce Ugleicug) Ist γ eie ictegative Folge ud erfüllt a die Bediguge a 0 α a α 0 + β s + γ s a s, 1, s=0 s=0 so gilt, falls α 0 0 ud β 0 für 0 ) 1 a α 0 + β s exp 1 s=0 s=0 ) γ s, 1. Beweis [QV94, Lemma 1.4.2]. 17

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27 3 Hyperbolisce Eraltugsgleicuge auf bescräkte Gebiete Sei Q = 0, ) R + R dx, > 0 ei Zeit-Raum-Zylider mit dem Rad Σ = 0, ) ud es gelte = Γ D = Γ D Γ+ D mit Γ D Γ+ D =. Ma et Γ D = {x Γ D : f x g D ) < 0} de Eiflussrad ud Γ + D de Ausflussrad. Mit sei der äußere Normaleeieitsvektor bezeicet. Σ + D ud Σ D werde aalog defiiert. Betractet wird für u : Q R die Afags- Radwertaufgabe. Lu) = u t + f xu) = 0 i Q, 3.1) u = g D auf Σ, 3.2) u0, ) = u 0 auf, 3.3) mit der Flussdicte f x : R R dx ud de Date g D : Σ R ud u 0 : R. Wird der Lösugsbegriff für 3.1) vo de klassisce auf die scwace Lösuge erweitert, so ka die Eideutigkeit i.allg. ict mer sicergestellt werde vgl. u.a. [War99, S. 247])). Als Ausweg wird ei regularisiertes parabolisces Hilfsproblem ɛ u ɛ + Lu ɛ ) = 0 i Q, u ɛ = g ɛd auf Σ, u ɛ 0, ) = u ɛ0 auf, 3.4) für u ɛ : Q R eigefürt, dass für ɛ 0, ɛ > 0 i das yperbolisce Problem 3.1) degeeriere soll Viskositätsmetode). Für Existez ud Eideutigkeit vo 3.4) siee z.b. [Fri64]. Damit ist für de Fall ɛ 0 uter Beactug der später geauer erläuterte Rad- ud Afagsbediguge ei Kriterium gegebe, das dem Problem 3.1) eie eideutige Lösug zuordet. Die pysikalisce Iterpretatio der Viskositätsmetode, ist die atsace, dass ei reibugsfreier Prozess, als Grezfall eier Folge vo reibugsbeaftete Prozesse aufgefasst werde ka. Die beide Formulieruge des zweite Hauptsatzes der ermodyamik ud Alle Prozesse, bei dee Reibug auftritt sid irreversibel. Alle atürlice Prozesse sid irreversibel. Reversible Prozesse sid ur idealisierte Grezfälle irreversibler Prozesse. lasse die Viskositätsmetode als matematisces Aalogo des Hauptsatzes ersceie vgl. ierzu [AS97]). Für ei umerisces Verfare mit 0 ɛ 0 ka somit Eideutigkeit erwartet werde, falls es i eiem gewisse Si koform mit dem zweite Hauptsatz der ermodyamik ist. 19

28 3 Hyperbolisce Eraltugsgleicuge auf bescräkte Gebiete 3.1 Lösugsteorie i BV Q ) Nacdem die Viskositätsmetode pysikalisc motiviert wurde, folgt u das matematisce Fudamet für Lösuge u BV Q ) vo 3.1). Die geaue Formulierug der Afags- ud Radbediguge wird ebefalls kokretisiert. Lemma Für u BV Q ) existiere die Spuroperatore γ 1 : BV Q ) L ) mit ess lim ut, x) γ 1 u0, x) dx = 0 t 0+ ud γ 2 : BV Q ) L Σ ) mit ess lim ur + sr)) γ 2 ur) dr = 0. s 0 Σ Ferer gilt für C 1 R) fast überall auf Σ. Beweis [BRN79, Lemma 1]. Aame f x C 2 R) dx 2. f x ist global Lipscitz-stetig 3. u ɛ0, g ɛd ) C 2 ) C 2 Σ ). γ i u)) = γ i u)), i = 1, 2 eorem Existez der Etropie-Lösug) Es gelte die Aame Die Lösuge u ɛ ) ɛ>0 des Problems 3.4) sid folgekompakt i L 1 0, ) ) ud für die Grezfuktio gilt u BV 0, ) ) mit der Radbedigug 3.3) für t = 0. Beweis [BRN79, eorem 1]. Damit das yperbolisce Problem 3.1) wolgestellt ist, darf die Diriclet-Radbedigug ur auf Σ D gefordert werde: Sei x Σ D Startpukt eier i Q verlaufede Carakteristik, da ist die Lösug u der omogee Gleicug 3.1) auf der Carakteristik kostat, so dass eie Radbedigug auf Σ + D i.allg. eie Widerspruc ervorrufe würde. Aus diesem Grud ka für das Problem 3.4) die dazugeörige Radbedigug auf Σ für de Fall ɛ 0 ict mer erfüllt werde. Falls eie scwäcere Radbedigug für 3.1) auf Σ gefude werde ka, die auc vo der Grezfuktio u für ɛ 0 erfüllt wird, so ist die Viskositätsmetode woldefiiert. Es ka gezeigt werde vgl. [BRN79, eorem 2]), dass für die Grezfuktio lim u ɛ = u ɛ 0 mit u BV 0, ) ) vo 3.4) ud alle ictegative φ C 2 0, ) ), φ 0 mit kompakte räger u k φ 0 t + sigu k) f xu) f x k)) φ dxdt 3.5) sigg D k) f x γ 2 u) f x k)) φ dsdt 0, k R Γ D 0 20

29 3.1 Lösugsteorie i BV Q ) gilt. Die Fuktio sig : R R ist defiiert durc sigx) = { x/ x, x 0, 0, x = 0. Betracte u die spezielle Wal φ = Ψρ δ für ei ictegatives Ψ C 2 0, )) mit kompakte Support i 0, ) ud ei ρ δ C 2 ), δ > 0 mit de Eigescafte: ρ δ 1 auf {x : distx, ) 1/2 δ}, ρ δ 0 auf {x : distx, ) δ}, 0 ρ δ 1 auf, ρ δ 0,, c δ auf, wobei c eie vo δ uabägige Kostate ist ud dista, B) = if x y x A, y B die Distaz zweier ictleerer Mege A, B bezeicet. Für δ 0 etstet aus 3.5) : sigu k) f x u) f x k)) Ψ ρ δ dxdt 0 Γ D 0 sigg D k) f x γ 2 u) f x k)) Ψ dsdt 0 3.6) ud damit ac partieller Itegratio Γ D 0 sigγ 2 u k) sigg D k)) f x γ 2 u) f x k)) Ψ dsdt ) Es ergibt sic also eie Radbedigug auf Σ, die vo der Grezfuktio u für t, x) Σ erfüllt wird: sigγ 2 ut, x) k) sigg D t, x) k)) f x γ 2 ut, x)) f x k)) 0, k R. 3.8) Für k / Iγ 2 u, g D ), I[a, b] = [mia, b), maxa, b)] folgt durc eifaces Nacrece, dass 3.8) automatisc erfüllt ist. Somit ist für alle k Iγ 2 u, g D ) sigγ 2 ut, x) k) sigg D t, x) k)) f x γ 2 ut, x)) f x k)) 0, 3.9) eie äquivalete Aussage. Für Iγ 2 u, g D ) ergibt sic eie weitere Äquivalez durc sigγ 2 ut, x) g D t, x))) f x γ 2 ut, x)) f x k)) 0, k Iγ 2 u, g D ). 3.10) Adererseits sid die äquivalete Bediguge für eie lieare Fuktio f mit γ 2 u = g D im Eiflussrad immer erfüllt. De für f x 0, = x 0 ), x 0 fest gewält, folgt für jedes u BV 0, ) ) aus f x 0 lokal für f x γ 2 u) f x k) [f x γ 2 u) < f x k) ] 21

30 3 Hyperbolisce Eraltugsgleicuge auf bescräkte Gebiete die Bezieug γ 2 u k [γ 2 u < k] ud somit gilt ebefalls 3.8), de aus dem Mittelwertsatz folgt f x γ 2 u) f x k)) = f ξ) γ 2 u k) = f ξ) γ 2 u k), ξ Iγ 2 u, k). 3.11) Für eie ictlieare Fuktio f ka im Ausflussrad f x g D ) 0) i.allg. ict mer f x ξ) 0 erwartet werde. Mit der acfolgede Defiitio lässt sic die Eideutigkeit der Etropie-Lösug sicerstelle. Defiitio Eie Fuktio u BV 0, ) ) ist eie Lösug des Problems 3.1), 3.8), 3.3), we für alle k R ud alle ictegative estfuktioe φ C 2 0, ) ) mit kompakte Support i 0, ) die Bedigug 3.5) ud die Afagswertbedigug 3.3) fast überall auf erfüllt. eorem Eideutigkeit der Etropie-Lösug) Es gelte die Aame Da ist die Lösug des Problems 3.1), 3.8), 3.3) eideutig ud idetisc mit der Lösug der Viskositätsmetode. Beweis [BRN79, eorem 2]. Damit ist das Ausgagsproblem uter der Aame ud für Fuktioe u BV Q ) wolgestellt ud ka wie folgt defiiert werde. fu)) = 0 i Q, 3.12) sigγ 2 u k) sigg D k)) fγ 2 u) fk)) 0 auf Σ, 3.13) u0, ) = u 0 auf, 3.14) wobei f : R R d, d = d x +1 mit f 0 u) = u ud die Divergez bzgl. x = x 0, x 1,..., x dx ) mit x 0 = t bezeicet. 3.2 Lösugsteorie i L Q ) Der i der Eileitug dieses Kapitels agedeutete Weg zu eier eideutige scwace Lösug vo 3.1) zu gelage, ist motiviert durc pysikalisce Betractuge der Etropie. Hierzu seie η C 1 R) kovex ud q C 1 R) dx Fuktioe, die für glatte Lösuge u C 1 R dx ) vo 3.1) automatisc eie weitere Eraltugsgleicug ηu) + qu) = ) t erfülle. Wird 3.1) mit η u) multipliziert, so muss die Kompatibilitätsbedigug η u) f x u) = qu), u R 3.16) 22

31 3.2 Lösugsteorie i L Q ) erfüllt sei, damit 3.15) gilt. Ma et η, q i diesem Fall Etropie-Flux-Paar. Für skalare Eraltugsgleicuge erzeugt jede kovexe Fuktio η C 1 R) für fest gewältes k R vermöge ei Etropie-Flux-Paar. q j u) = u k η r)f jr) dr, 1 j d x, Ist u / C 1 R dx ) ict glatt geug, so ka mit der Viskositätsmetode vgl. [Mal+96, S. 61]) ud 3.16) folgede Defiitio gerectfertigt werde: Defiitio Eie scwace Lösug vo 3.1) mit = R dx wird Etropie-Lösug geat, we für alle Etropie-Flux-Paare die Etropie-Ugleicug im scwace Si erfüllt ist. ηu) + qu) ) t Im Gegesatz zu η ist die pysikalisce Etropie eie kokave Fuktio, die bei Stöße, d.. zulässige Ustetigkeite, zuimmt. Die Formulierug der scwace Rad- ud Afagswertbediguge ist mit dem Problem verbude, dass Fuktioe aus L Q ) ac dem Spurteorem i.allg. keie Radwerte besitze. Für Fuktioe aus BV Q ) kote i diesem Zusammeag auf Lemma zurückgegriffe werde. Werde die Eigescafte des Spuroperators vo Lemma jedoc i die scwace Rad- ud Afagswertbediguge itegriert, so ka eie wolgestellte, scwace Formulierug des Rad- ud Afagswertproblems gefude werde, die eie eideutige Lösug erlaubt: Defiitio Sei u 0 L ), g D L Σ ) ud f x C 1 R) dx. u wird scwace Lösug vo 3.1), 3.8) ud 3.3) geau da geat, we ud die folgede Bediguge erfüllt sid: 1. Die Etropie-Bedigug im Si vo u L Q ), 3.18) ηu) ϕ dx Q t + q i u) ϕ dt, x) ) x i für alle ϕ C 0 Q ), ϕ 0 ud alle Etropie-Flux-Paare η, q); i=1 2. die Radbedigug g D L Σ ) für k I[u τ r), g D r)], ud fast alle r Σ im Si vo sigu τ r) k) sigg D r) k)) f x u τ r)) f x k)) r) 0, 3.20) falls ei u τ L Σ ) existiert mit ess lim ur + sr)) u τ r) dr = 0; 3.21) s 0 Σ 23

32 3 Hyperbolisce Eraltugsgleicuge auf bescräkte Gebiete 3. die Afagswertbedigug u 0 L ) im Si vo ess lim ut, x) u 0 x) dx = ) t 0+ Bemerkug Diese Defiitio etsprict [Mal+96, Defiitio 7.2], wobei aber die dortige Radbedigug mit eier ac [Mal+96, Defiitio 7.24] äquivalete Bedigug ausgetausct wurde. Vgl. dazu auc die äquivalete Formulieruge aus dem letzte Abscitt. Die Bedigug 3.19) ergibt für η = ±Id ud ϕ C 0 Q ) gerade die scwace Formulierug vgl. [Mal+96, Remark 7.7]). u ϕ dx Q t + f i u) ϕ dt, x) = 0, ϕ C0 Q ). 3.23) x i i=1 Mit dieser Defiitio ka die Existez ud Eideutigkeit der Etropie-Lösug gewärleistet werde. Aame f x C 2 R) dx 2. u ɛ0, u ɛd ) L ) L Σ ). eorem Existez der Etropie-Lösug) Es gelte Für ɛ > 0 bezeice u ɛ eie Lösug vo 3.4). g ɛd, u ɛ0 seie gleicmäßig bescräkt bzgl. der L -Norm ud kovergiere: lim g ɛd = g D i L 1 Σ ) ɛ 0+ lim u ɛ0 = u 0 i L 1 ), ɛ 0+ wobei g D L Σ ) ud u 0 L ). Da ist u ɛ ) ɛ gleicmäßig bescräkt ud kovergiert i C 0 [0, ], L 1 )) gege die Lösug u L Q ) vo 3.19) mit der Radbedigug 3.20) ud de Afagsbediguge vo 3.22). Beweis [Mal+96, eorem 8.20]. Bemerkug eorem zeigt die Notwedigkeit vo f x C 2 R) dx für die Existez eier Etropie-Lösug, wäred für die Eideutigkeit f x C 1 R) dx ausreiced ist: Aame f x C 1 R) dx 2. u i, g D ) i, u 0 ) i ) L Q ) L Σ ) L ), i = 1, 2. eorem Eideutigkeit der Etropie-Lösug) Sei Aame erfüllt ud seie u 1, u 2 scwace Lösuge, die 3.19)-3.22) erfülle. Da gilt für ud alle β C 0, ) R dx ) F z, k) = sigz k)f x z) f x k)) 24

33 3.2 Lösugsteorie i L Q ) mit 0 u 1 u 2 β dx t + F i u 1, u 2 ) β dx dt x i=1 i u 0 ) 1 u 0 ) 2 β0) dx + diamf x, I[g D ) 1, g D ) 2 ])β dr Σ diamf x r)), I[g d ) 1 r), g d ) 2 r)] = sup { f x z 1 ) r) f x z 2 ) r) : z 1, z 2 I[g D ) 1, g D ) 2 ]}. 3.24) Ferer existiert für fast alle t 0, ) eie Lipscitz-Kostate L [fx] bzgl. eier Kugel K mit dem Radius max{ u i 0,,K, g D ) i 0,,K, u 0 ) i 0,,K } mit t u 1 t) u 2 t) dx u 0 ) 1 u 0 ) 2 dx + L [fx] g D ) 1 g D ) 2 dr ds. 3.25) 0 Γ D Defiitio Das Paar u k, sigu k)f x u) f x k))) wird Kružkovsces Etropie-Paar ud u k) ±, sig ± u k)f x u) f x k)) ) wird Semi-Kružkovsces Etropie-Paar geat. Dabei werde x ± = sig ± x)x, { { sig + 1, x > 0, x) = ud sig 1, x < 0, x) = 0, sost 0, sost defiiert. Aame f x C 2 R) dx 2. f x ist global Lipscitz-stetig 3. u ɛ0, u ɛd ) L ) L Σ ). Lemma Es gelte Ist zusätzlic u L Q ), da ist die Formulierug 3.19), 3.20) ud 3.22) äquivalet mit der Bedigug u k) ± ϕ Q t + sig± u k)f x u) f x k))) ϕ dx dt + u 0 k) ± ϕ0, x) dx 3.26) + L [fx] g D k) ± ϕ ds dt 0 Σ ϕ C0, ) R dx ), mit ϕ 0, k R ud der Lipscitz-Kostate L [fx] bzgl. eier Kugel K mit dem Radius max{ u 0,,K, g D 0,,K, u 0 0,,K }. 25

34 3 Hyperbolisce Eraltugsgleicuge auf bescräkte Gebiete Beweis Mit Hu, k) = u k) ± ud Qu, k) = sig ± u k)f x u) f x k)) folgt die Beauptug aus [Mal+96, Defiitio 7.1, eorem 7.31]. Wird das Semi-Kružkovsce Etropie-Paar wie im Fall = R dx vgl. 3.5)) durc das Kružkovsce Etropie-Paar ersetzt, so zeigt ei Beispiel aus [Vov02, S. 5], dass keie Eideutigkeit der scwace Lösug mer gewärleistet werde ka. 26

35 4 Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio Die beadelte eme dieses Kapitels sid die Eckpfeiler für die Aalysis der Discotiuous-Galerki-Metode. Sie stelle eierseits Ergebisse aus Gebiete bereit, die für jedes Studium vo Fiite-Elemete-Metode wictig sid, wie z.b. die stückweise Polyomapproximatio i Sobolev-Räume, Quadraturformel ud iverse Ugleicuge, adererseits aber auc Defiitioe ud Aussage, die speziell die tecisce Scwierigkeite beadel, die bei der L L )-Abscätzug durc die Projektio ieralb des Sock-capturig erms verursact werde, wie z.b. das Lumpig oder de Versuc eie ierarcisce Basis über Kotepukte zu gewärleiste. We möglic, wird dabei ebe der Abägigkeit der Gitterweite auc der Polyomgrad explizit mit aufgefürt. 4.1 Geometrie des Zeit-Raum Gebietes Es seie Q,+1 = t, t +1 ), Q = {t } ud Q +1 = {t +1 } für die Zeitpukte 0 = t 0 < t 1 < < t N, N N eie Partitioierug des Zeit-Raum Zyliders Q. Σ ±,+1 = t, t +1 ) Γ ± D, Σ± = {t } Γ ± D ud Σ± +1 = {t +1 } Γ ± D bezeice de Eiflussrad der Partitio. ist eie Zeit-Raum Partitioierug im Sie vo [EG04, Defiitio 1.49] vo Q,+1 i esorproduktelemete mit dem Durcmesser = max x y l 2 ud desse x,y Maximum = max { :, = 1,..., N}. Ferer ist = 0. R,+1, R +1 ud R bezeicet alle Kate, die i Q,+1, Q +1 bzw. Q etalte sid. Aalog kezeicet Λ ±,+1, Λ ± +1 ud Λ ± die Kate i Σ ±,+1, Σ ± +1 ud Σ ±. Die iere Kate werde über R,+1 i = R,+1 \ Λ,+1 defiiert. I dieser Arbeit werde die üblice Defiitioe vo Fiite-Elemete {, P, Σ} beutzt, siee ierzu z.b. [EG04, Defiitio 1.23]. Der verwedete Fiite-Elemete-Raum wird u mit Hilfe vo W = { w L 2 Q,+1 ) : w P ) } 4.1) defiiert durc W = 0 W ud ist ei Uterraum vo W l,p Q, ) = 0 { } w L 2 Q,+1 ) : w W l,p ), 4.2) da a P ) die Forderug P ) W l, ) gestellt wird. 27

36 4 Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio Abbildug 4.1: Geometrie des Zeit-Raum Gebietes Das erwäte Fiite-Elemet {, P, Σ} wird aus eiem Fiite-Referezelemet { ˆ, ˆP, ˆΣ} erzeugt. Mit Hilfe eies C 1 -Diffeomorpismus F : ˆ erfolgt die rasformatio eies Referezelemets ˆ auf das Elemet. Hadelt es sic bei { ˆ, ˆP, ˆΣ} um ei Lagragesces } Fiites-Elemet vgl. [EG04, Defiitio 1.27]) mit der Kotemege N = {x 1,..., x, k kdof dof = #ˆΣ ud de Liearforme so köe die Defiitioe ud verwedet werde. ˆσ i ˆv) = ˆvx i ), 1 i k dof, ˆv ˆP, P ) = ˆP F 1 )) σ i vx)) = ˆσ i vf ˆx))) = ˆσ i ˆvˆx)), x = F ˆx), 1 i k dof Die dazugeörige odale Basis besteed aus de Formfuktioe { ˆϕ 1,..., ˆϕ k dof } mit ˆϕ i x j ) = δ ij, 1 i, j k dof werde etspreced trasformiert. Die Partitioierug eißt affi, we F : ˆ ˆx J ˆx + b 28

37 4.2 Polyomapproximatio mit esorprodukte mit J R d,d, detj ) 0, b R d ist. Darüber iaus soll besitze: folgede Eigescafte Defiitio lokal quasiuiform, sape regular) Eie Familie vo affie Partitioieruge { } >0 eißt lokal quasiuiform, we ei σ 0 derart existiert, dass gilt:,, σ = ρ σ ) Hierbei bezeicet ρ de Durcmesser der größte i etaltee Kugel. Defiitio quasiuiform) Eie Familie vo Partitioieruge { } >0 eißt geau da quasiuiform, we sie lokal quasiuiform ist ud ei C qu > 0 existiert mit,, C qu. 4.4) 4.2 Polyomapproximatio mit esorprodukte Bei de später betractete Ugleicuge werde speziell die Eigescafte der esorprodukt Fiite-Elemete geutzt. Das Referezelemet ist ier ˆ = I d, I = 1, 1) ud der Vektorraum wird defiiert als ˆP = Q k ˆ ) mit Q k x) = spa {x α }, x, k N 0. α N d 0, α l k Die Formfuktio ˆϕ α { ˆϕ 1,..., ˆϕ k dof }, α N d 0 lässt sic ierbei als Produkt der eidimesioale Lagrage-Polyome screibe: Für x R sid { ˆϕ k 0, ˆϕ k 1,..., ˆϕ k k } die etsprecede Polyome vom Grad k. Dadurc gilt für de Multiidex α mit α l k die Darstellug: ˆϕ α ˆx) = ˆϕ k α 0 ˆx 0 ) ˆϕ k α 1 ˆx 1 ) ˆϕ k α dx ˆx dx ). Die rasformatio zwisce dem Referezelemet ˆ ud gesciet i etsprecede Abscätzuge mit dem folgede Lemma, desse Gestalt im Wesetlice auf die affie Struktur der rasformatio zurückzufüre ist. Lemma Für l 0 ud 1 p, 0 = 1/ existiert ei C l,d 1 derart, dass für, affi ud w W l,p ), ŵ = w F ŵ l,p, ˆ C l,d J l l 2 detj ) 1/p w l,p,, 4.5) w l,p, C l,d J 1 l l 2 detj ) 1/p ŵ l,p, ˆ, 4.6) wobei C l,d ur vo l ud d abägig ist. Speziell gilt C 0,d = 1. Beweis Faà di Bruo s Formel ergibt für ŵ = w F, α = l, P = N d 0 \ {0} ud { } A = a : P N d 0 : γ P aγ) = β ud γ P aγ) γ = α 29

38 4 Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio die Darstellug ˆ α w F )ˆx) = α! β α β w)f ˆx)) a A γ P = α! β α β w)f ˆx)) d a A j=1 = α! β w)f ˆx)) d β =l a A j=1 [ 1 aγ)! ] aγ) ˆ γ F )ˆx) γ! 1 [ ] aej ) ˆ j F ) ae j )! 1 [ aej ) ˆ j F )], ae j )! de die Bediguge l = α = γ N aγ) γ = d m j=1 ae j) e j = d j=1 ae j) ud β = d j=1 ae j) = d j=1 ae j) ergebe uter Veraclässigug vo leere Summe die Summierugsbedigug α = β = l. Für de Betrag der like Seite ergebe sic die Abscätzuge ˆ α w F )ˆx) α! β =l α! β =l α! β =l = C α,d β w)f ˆx)) a A β w)f ˆx)) a A β =l C α,d d 1 ˆ j F ) ae j) ae j )! j=1 d j=1 β w)f ˆx)) d a A j=1 β w)f ˆx)) J l max β =l β w)f ˆx)) J l l 2, so dass für das Referezelemet bei p < ud β =l 1 = d+l 1 l d + l 1 ˆ α ŵ p 0,p, ˆ 2.6) l ) p 1) C p α,d J lp l 2 β =l 1 ae j ) ˆ j F ae j )! l 1 ae j )! J l max ) folgt β w F p 0,p, ˆ ud ac Awedug der Substitutiosregel ) p 1) d + l 1 ˆ α ŵ p 0,p, ˆ C p α,d l J lp l detj 2 ) 1 w p l,p,. Aufsummierug über α liefert ŵ p l,p, ˆ = α =l ˆ α ŵ p 0,p, ˆ d + l 1 l α =l ) p d + l 1 max C α,d ) α =l l ) p 1) C p α,d J lp l 2 detj ) 1 w p l,p, ) p J lp l 2 detj ) 1 w p l,p,, 30

39 4.2 Polyomapproximatio mit esorprodukte mit ) d+l 1 l max C α,d) = C l,d die Beauptug. Für p = liefert α =l ŵ l,, ˆ = max α =l ˆ α ŵ 0,, ˆ max C α,d) J l l 2 α =l β =l = max C α,d) J l l 2 α =l β =l ) d + l 1 max C α,d) J l l α =l 2 = C l,d J l l 2max β =l β w 0,, β w ) F ˆx)) 0,, ˆ β w ) x) 0,, l max β =l β w 0,, de Beweis. Da F : ˆ bijektiv ist, folgt die zweite Gleicug etspreced. Lemma Mit de Bezeicuge dieses Kapitels gilt Beweis [EG04, Lemma 1.100]. detj ) = ˆ, J l 2 ρ ˆ ud J 1 l 2 ˆ. 4.7) ρ Korollar Sei { } >0 eie lokal quasiuiforme Familie vo affie Partitioieruge mit dem Referezelemet ˆ = 1, 1) d. Da gilt ud J l 2 2, J 1 l 2 2 dσ 0 4.8) detj ) = d x i=0 λi λ max d = J d l 2 2 d d, = ˆ detj ) d, 4.9) wobei λ i, 0 λ i d x die Eigewerte der Matrix J J sid. Uter diese Voraussetzuge ka der Lagragesce Iterpolatiosoperator wie folgt defiiert werde: k dof I k : C 0 ) v Iv k = vx i )ϕ i Q k ) W l, ), x i N. i=1 Die Ergebisse aus diesem Abscitt über de Lagragesce Iterpolatiosoperator stelle keie Bediguge a die Lage der Kotepukte x i N. Später werde Aussage über de Iterpolatiosoperator getroffe, die die spezielle Eigescafte der Gauss-Lobatto Quadraturpukte utze. 31

40 4 Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio Durc Nacrece köe die Eigescafte I k v = v, v Q k ), 4.10) I k v l,p, C v 0,,, C > 0, l 0, p [0, ] 4.11) bestätigt werde. Ferer gelte die Felerabscätzuge: Lemma Es sei ei Elemet eier affie Partitioierug, dere zugeörige Familie vo Partitioieruge { } >0 lokal quasiuiform ist ud 1 l k + 1, l N 0, p [1, ] derart, dass lp > d gilt. Da existiere für de Lagragesce Iterpolatiosoperator I k Kostate C > 0 uabägig vo mit v I k v r,p, C l r v l,p,, r l, 4.12) v I k v r,p,e C l 1/p r v l,p,, 1/p + r < l, 4.13) für alle v W l,p ), 0 r. E bezeice ierbei eie Kate vo. Beweis Für 1 l k + 1, r N 0, r l gilt mit [EG04, eorem B. 46] für lp > d ˆv I k ˆv r,p, ˆ ˆv r,p, ˆ + I k ˆv r,p, ˆ C ˆv l,p, ˆ, v W l,p ˆ ), ˆv l,p, ˆ + C ˆv 0,, ˆ 4.11) 4.14) so dass als weitere Kosequez folgt I I)ˆv k r,p, ˆ I I)ˆv k r,p, ˆ = if I I 4.10) )ˆv k + ˆp) r,p, ˆp Q k ˆ ˆ ) l 1 k if I I)ˆv k + ˆp) r,p, ˆp Q l 1 ˆ ˆ ) I I k LW l,p ˆ ),W r,p ˆ )) 4.14) C if ˆp Q l 1 ˆ ) if ˆp Q l 1 ˆ ) ˆv + ˆp l,p, ˆ C ˆv l,p, ˆ, ˆv + ˆp l,p, ˆ 4.15) wobei die letzte Sclussfolgerug auf Lemma berut. Die Awedug des Lemmas liefert die rasformatio auf das pysikalisce Elemet v Iv k r,p, C J 1 r l 2 detj ) 1/p ˆv I k ˆv r,p, ˆ C J 1 r l 2 detj ) 1/p ˆv l,p, ˆ C J l 2 J 1 ) r l 2 J l r l v 2 l,p, ) r C l r v l,p, C l r v l,p,. 4.3) Ist r R \ N 0, so erzeugt sic mit 2.29) ρ v I k v r,p, C v I k v 1 θ r,p, v Ik v θ r,p,, θ = r r C l r v l,p,, r l. 32

41 4.2 Polyomapproximatio mit esorprodukte Die Felerabscätzug auf dem Rad erfolgt fast aalog. Für 1 l k + 1, r R + liefert das Spurteorem mit der Bemerkug für jede Kate Ê des Referezelemets ˆ mit E = F Ê ud 0 < r l 1/p somit ˆv I k ˆv 0,p, Ê C ˆv Ik ˆv r,p, Ê C ˆv Ik ˆv r+1/p,p, ˆ C ˆv l,p, ˆ, ˆv W l,p ˆ ), 4.14) 4.16) bzw. mit ɛ < } r {{ } ɛ l 1/p ɛ < l 1/p, 0 < ɛ r =r ˆv I k ˆv r,p, Ê C ˆv Ik ˆv r+ɛ,p, Ê C ˆv l,p, ˆ, 0 r < l 1/p. Ferer gilt I I k )ˆv r,p, Ê I Ik )ˆv r,p, Ê = 4.10) l 1 k if I I)ˆv k + ˆp) r,p, ˆp Q l 1 ˆ Ê ) I I k LW l,p ˆ ),W 4.16) C if ˆp Q l 1 ˆ ) if I I)ˆv k + ˆp) r,p, ˆp Q k ˆ Ê ) r,p Ê)) if ˆp Q l 1 ˆ ) ˆv + ˆp l,p, ˆ C ˆv l,p, ˆ. ˆv + ˆp l,p, ˆ 4.17) Die rasformatio auf erfolgt uter der Beactug E C ebefalls aalog. v Iv k r,p,e C v Iv k 1 θ r,p,e v Ik v θ r,p,e 2.29) C J 1 E r l 2 detj E) 1/p ˆv l,p, ˆ C J l 2 J 1 E ) r l 2 J l r l 2 C ρ E ) r l r C l 1/p r v l,p,. 4.3) 1/p v l,p, E ˆ ) 1/p Ê v l,p, Bemerkug Ist r < 1 1/p l 1/p so sicert das Spurteorem für v W l,p ) bzw. v I k v W r+1/p,p ) v I k v) W r,p ). Außerdem gilt da mit v I kv p r,p, = E v Ik v p r,p,e eie Abscätzug der Form v I k v r,p, C l 1/p r v l,p,. Korollar Es sei ei Elemet eier affie Partitioierug, dere zugeörige Familie vo Partitioieruge { } >0 lokal quasiuiform ist ud 1 l N 0, p [1, ] derart, 33

42 4 Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio dass lp > d gilt. Da existiere für de Lagragesce Iterpolatiosoperator I k Kostate C > 0 uabägig vo mit für alle v W l,p ), 0 r. v I k v r,p, C mi{k+1,l} r v l,p,, r l, 4.18) v I k v r,p,e C mi{k+1,l} 1/p r v l,p,, 1/p + r < l, 4.19) Beweis Für 1 l k + 1 ist icts zu zeige. Sei jetzt k + 1 < l, r R. Aus dem Lemma folgt die Ugleicug v Iv k r,p, C k+1 r v k+1,p, ud mit k+1 r v k+1,p, C mi{k+1,l} r v l,p, die Beauptug. Der Rest des Beweises verläuft aalog. Eie weitere Möglickeit Fuktioe i Sobolev-Räume zu approximiere, stellt die Projektio bzgl. des L 2 -Ieproduktes dar: Defiitio Die ortogoale L 2 -Projektio P k : L2 ) Q k ) wird für v L 2 ) defiiert durc v P k v, w) 0, = 0, w Q k ). 4.20) Die Lösug des resultierede Gleicugssystems zur Bestimmug der L 2 -Projektio, lässt sic vermeide, sobald eie ortogoale Basis existiert. Vermöge der affie Partitioierug gilt ψ α ψ β dx = detj ) ˆ ˆψ α ˆψβ dˆx = detj ) d x i=0 1 2α i + 1 δ αβ = ρ J αδ α,β, 4.21) für eie Multiidex α, α l k ud der esorproduktbasis aus Legedre-Polyome wobei ˆψ α ˆx) = ˆψ α 0 α 0 ˆx 0 ) ˆψ α 1 α 1 ˆx 1 ) ˆψ α dx α dx ˆx dx ), ˆψ α i α i ˆx i ) = 1 2 α i αi! d α i dˆx α i i ˆx i + 1) α i ˆx i 1) α i das α i -te eidimesioale Legedre-Polyom vom Grad α i bzgl. 1 ˆx i 1, 0 i d x ist. I diesem Fall ud etspreceder Idizierug ist P k v = k dof i=1 ρj i ) 1 v, ψ i ) 0, ψ i. Zusammefassede Darstelluge über Legedre-Polyome fide sic i [KS05, Appedix A] ud [QV94, Capter 4]. Aus der Defiitio der L 2 -Projektio ergebe sic die Eigescafte: P k v = v, v Q k ), 4.22) P k v 0,2, v 0,2,, v W 0,2 ). 4.23) 34

43 4.2 Polyomapproximatio mit esorprodukte Lemma Es sei ei Elemet eier affie Partitioierug, dere zugeörige Familie vo Partitioieruge { } >0 lokal quasiuiform ist. Da existiere für 0 l k + 1, l N 0 Kostate C > 0 uabägig vo ud k mit ud v P k v r,2, C l r k v er,l) l,2,, r l, 4.24) v P k v r,2,e C l 1/2 r k v er+1/2+ɛ,l) l,2,, 1/2 + r < l, 0 < ɛ 1, 4.25) er, l) = { l + 1/2 2r r 1 l 3r/2 0 r ) für alle v W l,2 ), 0 r. Beweis Die Existez eies C > 0 uabägig vo k mit ˆv P k ˆv r,2, ˆ Ck er,l) ˆv l,2, ˆ für r, l R, 0 r l ist durc [CQ82, eorem 2.4] gesicert. Mit 4.22) folgt aalog zum Iterpolatiosfeler auf dem Referezelemet für 0 l k + 1 I P k )ˆv r,2, ˆ Ck er,l) ˆv l,2, ˆ. Es gilt für ei durc ˆv festgelegtes l mit Lemma 2.3.4: C = Cd, l, ˆ ). Die Kostate ist somit uabägig vom Polyomgrad k. Auf de Kate igege, fürt die Ugleicugskette zu ˆv P k ˆv r,2, Ê C ˆv P k ˆv r+ɛ,2, Ê C ˆv P k ˆv r+ɛ+1/2,2, ˆ Ck er+ɛ+1/2,l) ˆv l,2, ˆ, 0 r < l 1/2 I P k )ˆv r,2, Ê Ck er+ɛ+1/2,l) ˆv l,2, ˆ. Die abscließede rasformatio auf verläuft aalog zum Iterpolatiosfeler. Bemerkug Speziell ergibt sic für die L 2 -Norm vgl. acfolgedes Lemma) die Abscätzug: v P k v 0,2,E C l 1/2 k v l 3/21/2+ɛ) l,2, ɛ<1/6 C l 1/2 k v l 1 l,2,. 4.27) Bemerkug Die Bemerkug ud das Korollar besitze ir etsprecedes Aalogo. Im Uterscied zu de ebe präsetierte Projektiosfelerabscätzuge, ka die acsteede Aussage auc oe die Verwedug des Lemmas vo Dey-Lios gezeigt werde. 35

44 4 Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio Lemma Es sei Elemet eier affie Partitioierug, dere zugeörige Familie vo Partitioieruge { } >0 lokal quasiuiform ist. Da existiere Kostate uabägig vo ud k, derart, dass mit 0 l ud v W l,2 ) für 1 s mi{k + 1, l} gilt: ) s v P k v 0,2, C v s,2,, 4.28) k v P k v 1,2, C s 1 k v s 3/2 s,2,, 4.29) v P k v 0,2, C s 1/2 k v s 1 s,2,. 4.30) Beweis [Geo03, Corollary 3.15, 3.19, 3.1)-3.3)], [SVD06, Lemma 6.1, Remark 6.2]. Bemerkug Die Abscätzuge 4.27) ud 4.30) sid beide suboptimal vo der Größeordug k 1/2. Der Grud ist das ict optimale Veralte des L 2 -Projektiosfelers i r,2, für r > 0. Berut der Beweis der geate Abscätzuge auf eier, wie auc immer geartete Spuraussage, so etstee zwagsläufig auf der recte Seite Norme i dee das ictoptimale Veralte eie Rolle spielt. 4.3 Quadratur ud Lumpig Zur äerugsweise Berecug der auftretede Itegrale werde iterpolatorisce Quadraturformel betractet vgl. [EG04, Defiitio 8.1]): Defiitio Sei R dx ei ictleeres, zusammeägedes ud kompaktes Lipscitz- Gebiet. Eie Quadraturformel mit k dof Pukte bestet aus: { } 1. Eier Mege aus k dof reelle Zale ω1 J,..., ω J, geat Itegratiosgewicte. k dof 2. Eier Mege Q aus k dof Pukte {x 1,..., x k dof } i mit x i x j falls i j, geat Quadraturpukte. Die größte atürlice Zal k, für die k dof px) dx = ωi J px i ) p Q k ) 4.31) i=1 gilt, eißt Geauigkeitsgrad der Quadraturformel. Aus der zugrudeliegede Idee px) dx = pf ˆx)) detj ) dˆx ˆ = pf ˆx α )) ˆϕ α ˆx) detj ) dˆx ˆ α N d 0, α l k = ˆϕ α ˆx) detj ) dˆx px α ) = α N d 0, α l k ˆ α N d 0, α l k ω J α px α ), x α Q, 36

45 4.3 Quadratur ud Lumpig ergebe sic die Itegratiosgewicte ωi J = ˆϕ i ˆx) detj ) dˆx = ˆ ϕ i x) dx, 1 i k dof, zu de Quadraturpukte x i = F ˆx i ), wobei ˆϕ i die Lagrage-Basis zu de Pukte ˆx i ist. Um eie gute Koditioierug des Quadraturverfares zu gewärleiste, wird gefordert. ω J i > 0 für 1 i k dof 4.32) Die Defiitio der odale Quadraturformel ka zur Defiitio eies diskrete Ieproduktes geutzt werde. Mit der daraus resultierede Norm köe für diskrete Argumete Normäquivalezabscätzuge bzgl. der L p -Norm agegebe werde, dere Kostate ur vo p, dem Polyomgrad k ud vo der Verteilug der Quadraturpukte abäge. Um solce Ugleicuge agebe zu köe, werde Kotrollvolume kostruiert, die die Defiitio eies Lumpigoperators erlaube. Wie agedeutet wird die diskrete L 2 -Norm defiiert als v 2 0,2,, = v, v) 0,, = = k α 0 =0 k α dx =0 α N d 0, α l k ω J α vx α ) 2 ω J α 0 ω J d x vx α ) 2, x α Q, 4.33) mit α N d 0, α l k ωj α =, ω α > 0, α N d 0. Die Verallgemeierug für die L p -Norm gesciet aalog. Die Kostruktio der Kotrollvolume erfolgt durc α0 ) 1 α 0 α = ωi J, i=0 so dass sic für das Kotrollvolume ud i=0 ω J i αdx 1 i=0 α dx ωi J ωi J, i=0 ), 4.34) α = ω J α 0 ω J α 1 ω J α dx = ω J α 4.35) α N d 0, α l k α = 4.36) ergibt. Der Lumpigoperator wird u defiiert als L = C ) L ) mit wobei k dof L v = vx i )χ i, x i Q, 4.37) i=1 χ G x) = { 0 x / G, 1 x G. 37

46 4 Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio Die Itegratio der p-te Potez des Lumpigoperators brigt mit 4.35), 4.36) ud der affie rasformatio des Referezelemets folgede Idetität zum Vorscei L v) p 0,p, = ˆ k dof = j=1 k dof L v) p dˆx = j L v) p dˆx j=1 ˆ k p dof k dof vx i )χ i x) dx = j vx j ) p j i=0 = v p 0,p,,, x i Q. j=1 4.38) Ferer ist v p 0,p,, = N =Q k dof vx j ) p ϕ j x) dx = j=1 I k v p ) dx. 4.39) Lemma Es existiere Kostate C L1, C L2 > 0 uabägig vo, so dass die Äquivalezabscätzuge gelte. C L1 v 0,p, L v) 0,p, C L2 v 0,p,, v Q k ) 4.40) Beweis Die Uabägigkeit der Kostate vo ergibt sic für alle, die durc eie affie rasformatio aus dem Referezelemet ervorgegage sid, direkt aus der Substitutiosregel. Aus L v) p 0,p, = k dof j=1 j vx j ) p folgt sofort v 0,p, ˆ 4.62) 2.6) 3k 2 ) d p 2 2p v 0,2, ˆ 3k 2 ) d p 2 2p λmax ˆM) 1/2 v N l 2 3k 2 k + 1)) d p 2 2p λmax ˆM) 1/2 v N l p 3k 2 k + 1)) d p 2 2p λmax ˆM) 1/2 mi 1 j k dof j ) 1/p L v) 0,p, ˆ ud 1/p 1/p L v) 0,p, ˆ max j ) v l p max j ) v l 2 1 j k dof 1 j k dof ) 1/p max j v 0,2, ˆ λ 1/2 mi ˆM) 1 j k dof 1/p ˆ p 2)/2p max j ) v 0,p, ˆ λ mi ˆM) 1/2, 1 j k dof wobei Λ mi ˆM) ud Λ max ˆM) die etsprecede Eigewerte der zugeörige Massematrix ˆM ij = ˆ ˆϕ i ˆϕ j dˆx sid. 38

47 4.3 Quadratur ud Lumpig Für die Approximatio des L 2 -Projektors, d.. für die Berecug der auftretede Itegrale mit Quadraturformel, ist die Frage ac der Wal der Quadraturpukte vo etsceideder Bedeutug. Ferer ka auc bei Verwedug der Lagragesce Basispolyome ˆϕ k i für 0 i k Eifluss auf die Puktwal geomme werde. Sid beide Puktmege N ud Q idetisc, so folgt aus der Defiitio des L 2 -Projektors ud der Lagragesce Basispolyome k dof ωi J 0 =! v P k v, w) 0,, = i=1 { vxi ) P k v)x i ) } wx i ), w Q k ) 4.41) die Bedigug vx i ) = P k v)x i) für alle Quadraturpukte. Mit der Darstellug des Projektors P k v)x) = k dof j=1 P k v) jϕ j x) ergibt sic P k v) i = vx i ). Bei der Approximatio der L 2 - Projektio gilt somit N = Q P k = Ik. Die öcste Geauigkeit liefert die Gauss-Quadratur. Sie ist bei k + 1) d Quadraturpukte exakt für Polyome vom Grad 2k + 1 vgl. z.b. [EG04, Propositio 8.2], [BM97, S. 294 ff.] oder [Ca+07, S. 448 ff.]). Die Quadraturpukte i 1, 1) ergebe sic aus de Nullstelle ˆψ k+1 k+1 des k + 1)-te Legedre-Polyoms x), 1 x 1. Allerdigs gelte für de Iterpolatiosfeler bzgl. der Gauss-Quadraturpukte ict immer optimale Abscätzuge [BM97, 13.15)]): Lemma Für alle reelle Zale r ud l, r l, l 1 existiert ei C > 0 uabägig vo k mit ˆv IGˆv k r,2,i Ck er,l) ˆv l,2,i, ˆv W l,2 I) ud er, l) aus dem Lemma Eie Alterative bestet i der Wal der Quadraturpukte ac Gauss-Lobatto. Sie sid als die Nullstelle des Polyoms x + 1)x 1) ˆψ k k) x), 1 x ) defiiert ud ergebe eie exakte Quadratur für Polyome vom Grad 2k 1 vgl. [Ca+07, S. 448]). Offesictlic sid die Radpukte stets Quadraturpukte. Im Uterscied zum vorerige Lemma gilt für die Gauss-Lobatto-Iterpolatio: Lemma Für die reelle Zale r ud l mit 2l > d + r ud 0 r 1 existiert ei C uabägig vo k, so dass die folgede Abscätzug gilt ˆv I k GLˆv r,2, ˆ Ck r l ˆv l,2, ˆ, ˆv W l,2 ˆ ). 4.43) Beweis [BM97, eorem 14.2]. Bei der etsprecede Quadratur gilt das folgede Resultat vgl. Lemma 4.3.2). 39

48 4 Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio Lemma Sei Q die Mege der Gauss-Lobatto-Quadraturpukte. Da existiert eie Kostate C uabägig vo ud k, so dass die Äquivalezabscätzuge gelte. v 0,2, L v) 0,2, C v 0,2,, v Q k ) 4.44) Beweis Die affie rasformatio auf das Referezelemet liefert die Uabägigkeit der Kostate vo. Der Beweis für das Referezelemet erfolgt mit L v) 2 0,2, ˆ = 4.38) v 2 0,2, ˆ,GL ac [CQ82, 3.9)]. Bemerkug Aalog zu Lemma ka eie Ugleicugskette für p 2 gefolgert werde. Eie weitere iteressate Eigescaft der Gauss-Lobatto-Quadraturpukte kommt i der Quadratsumme der Lagrage-Polyome zum Vorscei: Lemma Seie ˆϕ α ˆx) die Lagrage-Polyome bzgl. der Gauss-Lobatto-Quadraturpukte. Da gilt ˆϕ α ˆx) 2 1, ˆx ˆ. 4.45) α N d 0, α l k Beweis Aus der esorproduktdarstellug folgt mit [Fej32, 1] direkt die Beauptug: α N d 0, α l k ˆϕ α ˆx) 2 = k α 0 =0 ˆϕ k α 0 ˆx 0 ) 2 } {{ } 1 k α dx =0 ˆϕ k α dx ˆx dx ) 2 1. } {{ } Projektios- ud Iterpolatiosfeler bzgl. der Gauss-Lobatto-Quadraturpukte Die zur Darstellug des L 2 -Projektors verwedete ortogoale Legedre-Polyome ψ i für 1 i k dof besitze zwei ützlice Eigescafte: Zum eie bilde sie eie ortogoale Basis vo Q k ), so dass die Massematrix Diagoalgestalt aimmt. Des Weitere sorge die Polyome für eie ierarcisce Zerlegug vo Q k ) im Sie vo: Defiitio Hierarcisce modale Basis) Eie Familie {B k } k 0, wobei B k eie Mege vo Polyome ist, wird geau da ierarcisce modale Basis geat, we für alle k 0 die folgede Eigescafte erfüllt sid: 1. B k ist eie Basis vo Q k, 2. B k B k+1. 40

49 4.4 Projektios- ud Iterpolatiosfeler bzgl. der GL-Quadraturpukte Die ierarcisce Basis, besteed aus Legedre-Polyome ψ i, 1 i k dof, liefert uter Beutzug der Ortogoalitäteigescaft für die L 2 -Projektio vo v Q k ) z.b.: I P K ) v, I P K ) v ) = k dof 0, i= K dof +1 ) 2 v, ψi ) 0, ψ i, ψ i ) 0, 0. ρ J i Diese Nictegativität ka allerdigs ict auf die Argumete v, v p 1, p = 2m, m N verallgemeiert werde: I P K ) v, I P K ) v p 1) = k dof v, ψ i ) 0, 0, ρ J i= K dof +1 i v p 1, ψ i ) 0, ρ J i ψ i, ψ i ) 0, 0. Eie solce Abscätzug ist allerdigs für die L L )-Aalysis der lokale Projektio des Sock-capturig erms otwedig, so dass es erforderlic wird ac eiem adere Projektor Ausscau zu alte. Der Rest dieses Abscittes widmet sic dieser Aufgabe ud stellt eiige Eigescafte des eue Projektors bereit. Die geforderte Bedigug wird da im Lemma bewiese. Wird die L 2 -Projektio mit Lagragesce Polyome ud N = Q diskretisiert, so erält sic dak der Hilfe vo ϕ i x j ) = δ ij, 1 i, j k dof die Ortogoalitätseigescaft der Basis. Aus diesem Grud ist die dazugeörige Massematrix ebefalls eie Diagoalmatrix. Die Ausutzug vo k dof i=1 ϕ ix) = 1, x ud ebefalls N = Q mact deutlic, dass diese Diskretisierug geau der Summierug der Zeile- bzw. Spalteeiträge der exakte Massematrix etsprict. Dieser Prozess wird i der Literatur auc als mass lumpig bezeicet ud etstet atlos aus L ϕ i ), L ϕ j )) 0, = 4.38) ϕ i, ϕ j ) 0,, = N =Q ω J i δ ij, 1 i, j, k dof. 4.46) Der bei der Diskretisierug erfolgte Übergag der Basis zwisce de Legedre-Polyome zu de Lagrage-Polyome rettete zwar speziell für N = Q die Ortogoalitätseigescaft, erfüllt mit de Lagrage-Polyome aber ict mer die Bediguge der ierarcisce Basis. Allerdigs ka folgede Defiitio erfüllt werde: Defiitio Eigebettete ierarcisce odale Basis vom Grad K) Eie Familie {B j } 0 j k, wobei B j eie Mege vo Polyome vom Grad k ist, wird geau da eigebettete ierarcisce odale Basis vom Grad K, K 0 geat, we eie Mege vo Polyome B K vom Grad K mit de folgede Eigescafte existiert: 1. BK mit N B K ) NB k ) ist eie Basis vo Q K, 2. B K B k, NB K ) = N B K ), 3. B k ist eie Basis vo Q k, wobei N : B j ϕ x R d, 0 j k die bijektive Fuktio ist, die de odale Basispolyome ire zugeordete Pukte zuweist. 41

50 4 Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio Beispiel Die Lagrage-Polyome bzgl. der Gauss-Lobatto Quadraturpukte bilde eie eigebettete ierarcisce odale Basis vom Grad 1 ud 2, de für d = 1 gilt 1, 1 NB k ), k 1 ud 1, 0, 1 NB k ), k = 2, 4, 6,..., d.. N B 1 ) NB k ), k 1 ud N B 2 ) NB k ), k = 2, 4, 6, Die Lagrage-Polyome bzgl. der Gauss-Krorod Quadraturpukte bilde eie eigebettete ierarcisce odale Basis vom Grad K. Bei de Gauss-Krorod Quadraturpukte für d = 1 adelt es sic um K + 1-Gausspukte, die um K + 2 Pukte ergäzt werde vgl. z.b. [Cal+00]), so dass gilt { x i } K i=0 {x i } 2K+2 i=0, 4.47) 2K+2 u dx = ux i )ω i, u Q 3K+4 1, 1). 4.48) 1 0 i=0 Nac Defiitio gilt somit N B K ) NB k ), K 0, k = 2K + 2. Defiitio Sei {B j } 0 j k eie eigebettete ierarcisce odale Basis vom Grad K. Da ist für Q k ) = V K,k ) V K,k ) mit V ) = spa{b K } ud V ) = spa{b k \ B K } der Projektor P K,k : L 2 ) V K,k ) defiiert als v P K,k v, w) 0,, = 0, w V K,k ). 4.49) I diesem Zusammeag soll uter dem Fluktuatiosoperator der Projektor verstade werde. P = I P K,k 4.50) a) Lagragesce Basispolyome vo Q 4 1, 1) zu de Gauss-Lobatto Pukte. b) Etsprecede Basispolyome vo V 2,4 GL 1, 1). Abbildug 4.2 Es folge eiige Eigescafte der beide Projektore P K,k ud P : 42

51 4.4 Projektios- ud Iterpolatiosfeler bzgl. der GL-Quadraturpukte Lemma Sei {B j } 0 j k eie eigebettete ierarcisce odale Basis vom Grad K aus Lagrage-Polyome ud I K der Lagragesce Iterpolatiosoperator bzgl. NB K). Da gilt: ) v P K,k v r,2, C l r v l,2, + P K,k v l,2,, r l, ) v P K,k v r,2,e C l 1/2 r v l,2, + P K,k v l,2,, 1/2 + r < l für alle v W l,p ). Beweis Uter de gegebee Voraussetzuge gilt für alle Lagragesce Basispolyome ϕ K,k j B K : ϕ K,k j x i ) = δ ij, 1 i, j K dof, x i N B K ) = NB K ). Aus der Defiitio des Projektors P K,k folgt mit die Bedigug w V K,k ) wx i ) = 0, x i NB k ) \ NB K ) 4.51) bzw. 0! = v P K,k v, w) 0,, = = 4.51) K dof i=1 vx i ) =! k dof i=1 ω i {vx i ) P K,k v)x i )}wx i ) K dof j=1 P K,k Als Kosequez etstet die Idetität I K P K,k v) = K dof P K,k i=1 K dof P K,k = i=1 ω i {vx i ) P K,k v)x i )}wx i ) v) j ϕ K,k j x i ) = N =Q P K,k v) i, 1 i K dof. 4.52) K dof v)x i )ϕ K i = v) i ϕ K i = 4.52) i=1 I K v, K dof j=1 P K,k v) j ϕ K,k j x i )ϕ K i die bei der Abscätzug des Projektiosfeler im Zusammeag mit Lemma gute Dieste leistet: v P K,k v r,p, v I K v r,p, + I K v P K,k v r,p, v I K v r,p, + P K,k v I K P K,k v) r,p,. 4.53) 43

52 4 Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio Lemma Sei {B j } 0 j k eie eigebettete ierarcisce odale Basis vom Grad K aus Lagrage-Polyome. Da ist 1. P K,k liear, 2. P K,k v CK, k, ) v 0,,, beliebig, 3. p = 2m, m N, v Q k ) : ˆɛ vms v, v p 1 ) = P v), P vp 1 )) 0,, v, v p 1 ) 0, ) Beweis Zu i) : Zu ii) : P K,k αv + βw) = 4.52) P K,k v K dof i=1 K dof i=1 K dof i=1 αvx i ) + βwx i ))ϕ K,k = αp K,k vx i )ϕ K,k i ϕ K,k i K dof i=1 vx i ) ϕ K,k i v + βp K,k w. v 0,, CK, k, ) v 0,,. Zu iii) : Es v v p 1 = 4p 1) v p/2 v p/2 0, so dass p 2 P v), P v p 1 )) 0,, = v, v p 1 ) 0,, P K,k v), P K,k v p 1 )) 0,, 4.49) = 4.52) = k dof ωi J vx i ) v p 1 x i ) ωi J vx i ) v p 1 x i ) i=1 k dof i= K dof +1 ω J i vx i ) v p 1 x i ) K dof i=1 = 4p 1) p 2 k dof i= K dof +1 ω J i v p/2 x i ) v p/2 x i ) 0. Die Vertauscug vo P mit P K,k liefert aalog P K,k v), P K,k v p 1 )) 0,, 0. Motiviert durc Lemma ud die Felerabscätzug 4.43) etstet die Frage ac dem lokale Iterpolatiosfeler des Gauss-Lobatto-Iterpolatiosoperators. 44

53 4.4 Projektios- ud Iterpolatiosfeler bzgl. der GL-Quadraturpukte Lemma Es sei ei Elemet eier affie Partitioierug, dere zugeörige Familie vo Partitioieruge { } >0 lokal quasiuiform ist ud 1 l k + 1, l N 0 derart, dass 2l > d + r gilt. Da existiere für de Lagragesce Iterpolatiosoperator IGL k Kostate C > 0 uabägig vo ud k mit v I k GLv r,2, C k v I k GLv r,2,e Ck ɛ k für alle v W l,p ). ) l r v l,2,, 0 r 1, 4.55) ) l 1/2 r v l,2,, 0 r, 1/2 + r < 1, 0 < ɛ ) Beweis Uter Rückgriff auf Lemma verläuft der Beweis aalog zu de Lemmata ud Korollar Sei 1 l K + 1. Uter de Voraussetzuge der Lemmata ud existiere Kostate C > 0 uabägig vo ud k mit ) l r v P K,k GL v ) r,2, C v l,2, + P K,k GL K v l,2,, 0 r 1, 4.57) v P K,k GL v r,2,e Ck ɛ K 1/2 + r < 1, 0 < ɛ 1 für alle v W l,p ). ) l 1/2 r ) v l,2, + P K,k GL v l,2,, 0 r, 4.58) Bemerkug Die Kovergezeigescaft des Projektors P K,k GL wird geau wie im Lemma auf das Veralte vo P K,k GL i eier Halborm zurückgefürt. Über de Feler, der durc die Nictkommutativität vo ud IGL k Aussage getroffe werde: etstet, ka folgede Lemma Uter de Voraussetzuge vo Lemma existiert ei C > 0 uabägig vo ud k mit ) l 1 IGL v) k IGLv k 0,2,,GL C v l,2,. 4.59) k Beweis IGL v) k IGLv k }{{} Q k ) 0,2,,GL C IGL v) k IGLv k 0,2, 4.44) C v IGLv) k 0,2, + C v IGL v) k 0,2, ) l 1 ) l 1 C v l,2, + C v l 1,2, 4.55) k k ) l 1 C v l,2,. k 45

54 4 Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio 4.5 Iverse Ugleicuge Ei wesetlices Istrumet für die Aalysis vo umerisce Verfare sid iverse Ugleicuge. Sie sid die Abscätzuge i de Normäquivalezrelatioe, die sic ict direkt aus der Höldersce Ugleicug ergebe. Die Ugleicug utzt die spezielle Eigescafte der esorproduktdarstellug. Als Ergebis liegt eie scarfe iverse Ugleicug vor, die mit Ausame der Differez der Ableitugsorduge ud der räumlice Dimesio alle adere Abägigkeite explizit etält. Die Abägigkeit des Polyomgrads, die aus der Nikolskii-Ugleicug resultiert, lässt sic, wie das Beispiel ) px) = x) 1 x 2 zeigt, ict weiter verbesser vgl. [im63, S. 236]), obwol i [GNP08, Lemma 2.4] ud [CB93, Lemma 1] aderslautede Resultate zu lese sid. x) etsprict ierbei dem -te scebysceff-polyom. Es adelt sic bei px) um ei algebraisces Polyom, de mit Hilfe der Darstellug der scebysceff-polyome durc x) = 1 2 [x + x 2 1) + x x 2 1) ], lasse sic für 1 2 x) die Nullstelle 1 ud 1 verifiziere. Aufgrud der utersciedlice Aussage bzgl. der Polyomabägigkeit werde die Ugleicuge ac Nikolskii [Nik51] ud Markov [HS37, Sectio III] auf esorprodukte verallgemeiert ud i de Beweis der iverse Ugleicug ac [EG04, Lemma 1.138] itegriert. Mit dieser Strategie ka das folgede Lemma gezeigt werde: Lemma lokale iverse Ugleicug) Für das Referezelemet { ˆ, ˆP, ˆΣ} sei l 0, so dass die Iklusio ˆP W l, ˆ ) erfüllt ist. { } >0 sei eie lokal quasiuiforme Familie vo affie Partitioieruge mit < 1. Ist zusätzlic 0 m l, da existiert 1. für 1 p, q ei C abägig vo l, m, p, q, d, σ 0, ˆ, P ˆ ) mit v l,p, C m l+d 1 p 1 q ) v m,q, v P ), 4.60) 2. für 1 q p ud ˆ = 1, 1) d, ˆP = Qk ˆ ) ei Cl, m, p, d, σ 0 ) mit v l,p, C k 2 ) m l ) d 1 p 1 q ) v 2q + 1)k 2 m,q, v P ). 4.61) Der Beweis dieses Lemmas wird ac der Präsetatio der erwäte Ugleicuge am Ede des Kapitels vorgelegt. Lemma Nikolskii) Für 0 < q p ud ˆv Q k ˆ ) gilt ˆv 0,p, ˆ q + 1)k 2) d1/p 1/q) ˆv 0,q, ˆ. 4.62) 46

55 4.5 Iverse Ugleicuge Beweis Uter de agegebee Voraussetzuge gilt ac [DL93, S. 102, eorem 2.6] für I = 1, 1) die Ugleicug Damit gilt für 0 i d x auc ˆv 0,p,I q + 1)k 2) 1/p 1/q) ˆv 0,q,I. ˆvˆx 0,..., ˆx i 1,, ˆx i+1,..., ˆx dx ) 0,,I q + 1)k 2) 1/q ˆvˆx0,..., ˆx i 1,, ˆx i+1,..., ˆx dx ) 0,q,I. Mit Hilfe dieser Ugleicug erfolgt der äcste Scritt ˆv q = max 0,, ˆ max ˆvˆx 0,..., ˆx dx ) q ˆx 0 I ˆx dx I max max q + ˆx 0 I ˆx dx 1 I 1)k2 ) ˆvˆx 0,..., ˆx dx ) q dˆx dx I q + 1)k 2 )max max max ˆvˆx 0,..., ˆx dx ) q dˆx dx ˆx 0 I ˆx dx 2 I I ˆx dx 1 q + 1)k 2 ) 2 max max ˆvˆx 0,..., ˆx dx ) q dˆx ˆx 0 I ˆx dx 2 I dx 1dˆx dx q + 1)k 2 ) d ˆv q, 0 < q <. 0,q, ˆ Die Awedug der Iterpolatiosugleicug 2.28) liefert mit obiger Ugleicug die Beauptug: q p ˆv 0,p, ˆ ˆv ˆv 0,q, q p 0,q, ˆ q p 0,, ˆ ˆv 1 ˆ ) q + 1)k 2 d q 1 q p ) ˆv 1 q p 0,q, ˆ q + 1)k 2) d 1 p 1 q ) ˆv 0,q, ˆ, 0 < q p. Lemma Verallgemeierte Markov-Ugleicug) Für v Q k I), I = 1, 1) ud p > 1 gilt v 0,p,I C M p)k 2 v 0,p,I, 4.63) mit C M,p = C M p) = 2p 1) 1/p 1 p + 1 ) ) k 1+1/p p 1 +. k kp p + 1 Für p = gilt sogar C M, = 1 < lim p C M p) = 2e. Darüber iaus gilt für alle p N : C M p) C M = 6e 1+1/e. Beweis I [HS37, Sectio III] wird für p < die Beauptug bewiese. Für p N : C M p) C M = 6e 1+1/e siee [MMR94, S. 590] ud für p = ergibt sic das Ergebis mit obiger Substitutio ud [DL93, S. 98, eorem 1.4]. Bemerkug Es ist möglic, die Kostate C M p) weiter zu verbesser. So zeigt [Bar98, Corollary 2.10] die Existez eies C M p) mit lim p CM p) = 1, p > 2. I I 47

56 4 Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio Folgerug 1 Für 1 p ud ˆv Q k ˆ ) gilt d + l ˆv l,p, ˆ l mit de Kostate vo 4.63). Beweis Mit Iteratio über die Ableitugsordug geügt es für ) 1 p CM,p k 2) l ˆv 0,p, ˆ 4.64) αˆv 0,p, ˆ C M,p k 2 ) α ˆv 0,p, ˆ zu zeige, dass die Ugleicug für α = 1 gilt. Sei dazu α = e i, mit e i als der i-te Eieitsvektor. Für p < gilt mit der verallgemeierte Markov-Ugleicug für 0 i d x : ud somit für das Referezelemet αˆv p 0,p, ˆ =... ˆv ˆx 0,..., ˆx i 1,, ˆx i+1,..., ˆx dx ) p 0,p,I C p M,p k2p ˆvˆx 0,..., ˆx i 1,, ˆx i+1,..., ˆx dx ) p 0,p,I I C p M,p k2p ˆv p 0,p, ˆ, wäred für p = ei ŷ ˆ existiert, so dass I iˆvˆx) p dˆx i dˆx 0... dˆx i 1 dˆx i+1... dˆx dx αˆv 0,, ˆ = iˆvŷ) = max ˆx i I iˆvŷ 0,..., ŷ i 1, ˆx i, ŷ i+1,..., ŷ dx ) C M, k 2 ˆvŷ 0,..., ŷ i 1,, ŷ i+1,..., ŷ dx ) 0,,I C M, k 2 ˆv 0,, ˆ gilt. Ausgeed vo diese Betractuge resultiere ud ˆv p l,p, ˆ = = l αˆv p 0,p, ˆ i=0 α =i l d + i 1 i=0 d + l l l i=0 α =i ) CM,pk 2) ip ˆv p 0,p, ˆ i ) CM,pk 2) lp ˆv p 0,p, ˆ CM,p k 2) α p ˆv p 0,p, ˆ ˆv l,, ˆ = max 0 α l αˆv 0,, ˆ max 0 α l CM, k 2) α ˆv 0,, ˆ C M, k 2) l ˆv 0,, ˆ. 48

57 4.5 Iverse Ugleicuge Der oc felede Beweis der lokale iverse Ugleicug aus Lemma ka u wie folgt gefürt werde. Beweis vo Lemma 4.5.1) Der erste Fall wird i [EG04, Lemma 1.138] beadelt. Im Spezialfall des Lagragesce Referezelemets bleibt die Beweisidee eralte, wobei allerdigs die Lemmata ud Folgeruge aus diesem Kapitel verwedet werde. Wie üblic zeigt ma die Aussage zuerst für m = 0. Mit 4.64) ud 4.62) folgt zuäcst für das Referezelemet ) 1 d + l p ˆv l,p, ˆ CM,p k 2) l ) q + 1)k 2 d 1 p 1 q ) ˆv l 0,q, ˆ. 4.65) Um diese Abscätzug für ei trasformiertes Elemet zu eralte, verwede 4.6), 4.8) ud 4.9) für 0 j l : v p j,p, { C j,d J 1 j l detj 2 ) 1/p} p ˆv p j,p, { ˆ C j,d 2 ) ) } d p j dσ 0 1 p ˆv p 2 j,p, ˆ { d + j 4.65) j ) 1 ) p j ) d p Cj, p, d, σ 0 ) ) } p q + 1)k 2 d 1 p 1 q ) ˆv p k 2 2 0,q, ˆ mit Cj, p, d, σ 0 ) = C j,d 2 ) j dσ 0 C M,p. Die Rücktrasformatio erfolgt mit 4.5), l = 0 ud liefert ) 1 ) d + j p j ) d 1 p v j,p, Cj, 1 q ) p, d, σ 0 ) v j k 2 2q + 1)k 2 0,q,. 4.66) Für die etsprecede Sobolev-Norm gilt somit uter der Voraussetzug 1 j v p j,p, = s=0 v p s,p, j ) { d + s Cs, p, d, σ0 ) s=0 s d j j k 2 ) { Cj, p, d, σ0 ) k 2 ) s 2q + 1)k 2 ) j 2q + 1)k 2 ) d 1 p 1 q )} p ) d 1 p 1 q )} p 1 für 0 j l v p 0,q, v p 0,q, 4.67) ud die Beauptug ist für m = 0 bewiese. Sei jetzt 0 m l ud α ei Multiidex mit 0 α l. Im Fall vo α l m folgt mit 4.67) aus α v p 0,p, α v p 0,p, = v p l m,p, die Ugleicug α l m α v 0,p, Cl m, p, d, σ 0 ) k 2 Cl m, p, d, σ 0 ) k 2 ) m l 2q + 1)k 2 ) m l 2q + 1)k 2 ) d 1 p 1 q ) v 0,q, ) d 1 p 1 q ) v m,q, 49

58 4 Grudlage zur Fiite-Elemete-Approximatio mit Cj, p, d, σ 0 ) = ) d+1+j 1/p Cj, j p, d, σ0 ). Diese Ugleicug ist auc für l m α l rictig, de ier lasse sic zwei weitere Multiidizes β ud γ agebe, für die α = β + γ, β = l m ud γ m erfüllt ist. Aalog zum erste Fall folgt jetzt α v 0,p, = β γ v) 0,p, Cl m, p, d, σ 0 ) k 2 Cl m, p, d, σ 0 ) k 2 ) m l 2q + 1)k 2 ) m l 2q + 1)k 2 Da diese Ugleicug für 0 α l gilt, ka auc v p l,p, werde ud ma erält die Beauptug mit ) d 1 p 1 q ) γ v 0,q, ) d 1 p 1 q ) v m,q,. über die Defiitio abgescätzt Cl, m, p, d, σ 0 ) = C l m,d 2 ) ) l m 1/p ) 1/p d l m d + l dσ 0 C M,p. l m l Die Gleiceit tritt bei der iverse Ugleicug ei, falls l = m = 0 ud p = q ist. Lemma globale iverse Ugleicug) Uter de Voraussetzuge des Lemmas existiert für eie quasiuiforme Familie { } vo Partitioieruge für alle v W ud 1. für 1 p, q ei C abägig vo l, m, p, q, d, σ 0, ˆ, P ˆ ), C qu mit v p l,p, ) 1 p C m l+mi0,d 1 p 1 q )) v q m,q, ) 1 q, 4.68) 2. für 1 q p ud ˆP = Q k ˆ ) ei C = Cl, m, p, d, σ 0 ) mit v p l,p, ) 1 p ) m l Cqu C Cqu ) d 1 p 1 q ) k 2 2q + 1)k 2 v q m,q, ) 1 q. 4.69) Beweis Der Beweis der erste Abscätzug ist i [EG04, Lemma 1.141] zu fide. Die zweite Abscätzug folgt mit C = Cl, m, p, d, σ 0 ) aus Lemma ud der Quasiuiformität vo { } >0 ) pm l) ) pd 1 v p l,p, Cqu Cqu p 1 q ) Cp k 2 2q + 1)k 2 v p m,q,. 4.70) Das Ziee der p-te Wurzel liefert zusamme mit l p l q die Beauptug für p, q. Der Beweis für p, q = erfolgt etspreced aus de zugeörige Norme. 50

59 5 Discotiuous-Galerki Approximatio 5.1 Formulierug der Metode Dieses Kapitel bescreibt die Mecaisme zur Lösug yperboliscer, partieller Differetialgleicuge erster Ordug. Die erste Discotiuous-Galerki-Metode für diese Aufgabe wurde i [RH73] vorgestellt. Numerisce ests, Stabilitätsaussage ud a priori Abscätzuge z.b. aus [JP86, eoreme 2.1, 4.3], [EG04, eoreme 5.73, 6.56] ud [Jo87, S. 194, 208] zeige für statioäre ud istatioäre Probleme ser deutlic die Überlegeeit gegeüber der Stadard-Galerki-Metode. Sei x ei Pukt auf τ = +, wobei + = ud ei Nacbarelemet bezeicet. = + ud bezeice die dazugeörige Eieitsormalevektore zu ± am Pukt x ud = +, de Eieitsormalevektor bzgl. τ R,+1 bzw. τ Λ,+1. Damit lasse sic folgede Defiitioe voreme vgl. Abbildug 4.1): v ± x) = lim µ +0 vx µ± ), v ±x) = vt ± 0, x 1,..., x d ). 5.1) Es gilt U x) = g D x) falls x Σ. Im Folgede sei fv) = f 0 v), f 1 v),..., f dx v)) ud f x v) = f 1 v),..., f dx v)) mit f 0 v) = v. Eie scwace Formulierug vo 3.12), 3.13) ud 3.14) ist z.b.: Fide u W = W 1, Q ) derart, dass erfüllt ist. au, v) = 0 v W 1,2 Q, ) 5.2) Hierbei ist av, w) = =0 { } Lv)w dx + Hv) fv + ) + )w+ ds 5.3) mit der modifizierte Flussdicte vo Lax-Friedric HU) = 1 2 fu + ) + fu )) + + C U + U ). 5.4) Die allg. Flussdicte vo Lax-Friedric lautet für f : R m R d m, f 0 v) = v, m N HU) = 1 2 fu + ) + fu )) αu +, U ) U + U ), 5.5) 51

60 5 Discotiuous-Galerki Approximatio wobei αv, w) = max sup 1 i m [BO04, Sectio 4.4]). z [v,w] { λi f z) + ) } mit dem Eigewert λ i A) vo A ist vgl. I der allgemeie Flussdicte vo Lax-Friedric ud m = 1 wäre somit x) = ±1, 0,..., 0), C x, v, w) = 1 sup f 2 x z) + x x) sost. z [vx),wx)] 5.6) Die modifizierte Flussdicte vo Lax-Friedric igege etstet aus der Defiitio x) = ±1, 0,..., 0), C x) = C0 x, sost, C 0 5.7) mit C 0, C 0 > 0 kostat. Zusätzlic wird ud gefordert. f 0,, = max f v) l 2 1 v 2 C 0, f 0,,R = max r R f r) l 2 C 0 5.8) f0) = 0 5.9) Bemerkug Eie weitere Möglickeit, die Aufgabe zu formuliere, liefert die partielle Itegratio vo 5.3) : av, w) = =0 { } fv) w dx + Hv)w + ds. 5.10) Ist fv) = bv liear mit eiem Vektorfeld b CQ ) d, b 0 = 1 ud b L Q ), so folgt aus 5.2) mit Lu) = b u ud 5.6) direkt die Discotiuous-Galerki-Metode =0 + =0 = R i,+1 u 0 v 0 + dx x + b U) v dx + =1 b x x + U + U )v + ds + =0 Λ,+1 U+ U )v + dx x + =0 Λ,+1 b x x + g D v + ds v W, U 0 +v 0 + dx x b x x + U + v + ds 5.11) bzw. i statioäre Fall U+ U = 0 für alle 0 N 1 { b x U) v dx + b x + x U + U )v+ ds = ) 52

61 Dies ist die Formulierug aus [JP86], jedoc mit v ± JP x) = lim v ± JP x) = lim vx + µb x ) = lim vx µ) = µ ±0 µ ±0 v± x). 5.2 Sock-capturig µ ±0 vx + µb x). Auf gilt da Für diese Metode ist es möglic eie Feler vo der Ordug O k+1/2 ) bzgl. eier Norm, die auc die Ableitug i Stromliierictug beialtet, zu zeige. Diese Eigescaft weist die Stadard-Galerki-Metode ur i Verbidug mit eier Stabilisierugsmetode auf. Numerisce ests zeige zudem, dass die Metode bei Partitioieruge aus der Praxis äufig eie Feler der Form O k+1 ) besitzt. rotz dieser erweiterte Kotrolle des Felers trete bei moderate Gitterweite ictpysikalisce Oszillatioe auf. 5.2 Sock-capturig Als Ausweg bietet sic das Hizufüge eies ermes mit isotroper küstlicer Diffusio, der für 0 verscwidet, a. Eie solce Metode, die z.b. de klassisce küstlice Diffusiosterm C U, v) 0,2, etält, erzeugt ictoszillierede Lösuge. Der Nacteil dieses Vorgees liegt zum eie i der Additio vo Diffusio i sämtlice Rictuge ud zum adere i der Skalierug der Diffusio. Als Kosequez ist der Feler bestefalls vo der Ordug O). Sogar bei eier glatte, kotiuierlice Lösug im Zusammeag mit eier Diskretisierug öerer Ordug ka die Felerordug ict verbessert werde. Die Aufgabe bestet u dari, ict zu viel küstlice Diffusio i der rictige Art ud Weise izuzufüge, so dass der Feler vo akzeptabler Ordug ist. Im Gegezug muss jedoc auc sicergestellt werde, dass die zusätzlice Diffusio ausreiced ist, um übermäßiges Oszilliere zu vermeide. Eie Möglickeit, die zusätzlice Diffusio zu kostruiere, bestet i der Verwedug eier Diskretisierugsmetode, die mit eier Kostate C > 0 uabägig vo eie Ugleicug der Form U 0,,Q C { u 0 0,, + g D 0,,Σ }, > 0 erfüllt. Diese Aussage garatiert, uabägig vo der Gitterweite, zusätzlice Stabilität der diskrete Lösug. Eie solce Metode im Discotiuous-Galerki Kotext wird i [JJS95] vorgestellt. Zum Ziel fürte ier die Additio vo aisotroper küstlicer Diffusio i Stromliierictug ud eie residual basierte, isotrope Diffusio. Alterative Sock-capturig-Metode fide sic i de Übersicte [JK07] ud [JK08b]. Die isotrope Diffusio aus [JJS95] fidet sic ier i eier ormierte Variate uter [JK07, 18)] wieder. I dieser Arbeit igege soll u.a. utersuct werde, ob die geate Stabilitätsaussage auc mit eier isotrope Diffusio garatiert werde ka. Die dafür etwickelte Aalysis siee Lemma 5.4.8) verallgemeiert darüber iaus für quasiuiforme Familie vo Partitioieruge { } >0 die L L )-Abscätzug aus [Sze89a], [Sze91] ud [JJS95] auf Asatzfuktioe öerer Ordug. Ferer soll die Frage beatwortet werde, ob die Veraclässigug des Stromliiediffusiosterms der Metode erlaubt mit eiem Feler aufzuwarte, desse Ordug ict durc Eis 53

62 5 Discotiuous-Galerki Approximatio bescräkt ist. Als Vorteil gegeüber der Metode i [JJS95] ist die gerigere Abägigkeit vom Differetialoperator L zu see. Die obe agesprocee Art der Stabilisierug wird realisiert, idem die küstlice Diffusio geeiget auf die feie Skale projiziert wird. Dies ergibt eie Stabilisierugsterm, der Fluktuatioe des Gradiete etält. Eie derartige Vorgeesweise wird als lokale Projektios Stabilisierug LPS) bezeicet [BB04], [Hei07], [MS07], [KL09]. Im Gegesatz dazu existiere i der Literatur Metode, die die feie Skale mit küstlicer Diffusio stabilisiere, d.. es wird der Gradiet der Fluktuatioe verwedet [Gue99], [EG04]. Beide ecike köe auc als ei Modell für de Eifluss der ictaufgelöste Skale auf die feie Skale gedeutet werde ud sid daer ebeso de Variatioelle Merskale VMS) Metode zuzuorde. Siee ierzu uter aderem die Arbeite [JK08a], [JKL06] ud [KR05], iklusive der dort agegebee Quelle. I der Literatur werde die grobe Skale zum eie durc ei Gitter mit größerer Masceweite subgrid artificial viscosity) ud zum adere durc eie Polyomraum iedrigerer Ordug dargestellt. Im weitere Verlauf werde die grobe Skale allerdigs durc eie Liearkombiatio vo ausgewälte Basispolyome aus Q k ) repräsetiert. Die Verwirklicug dieses Vorabes leistet der sco i 4.50) defiierte Fluktuatiosoperator P bzw. die VMS- Skalierug der küstlice Diffusio ˆɛ vms U, v) aus 4.54): P U), P v)) 0,, = ˆɛ vms U, v) U, v) 0, sˆɛ vms U, v)) U, v) }{{}. 0, =ˆɛ coer vms U,v) Die Fuktio s : R R ist eie Lipscitz-stetige Fuktio, die im Wesetlice wie die Idetität wirkt. Allerdigs ist sie i eier Umgebug der Null modifiziert, so dass für ictegatives ˆɛ vms U, v) die für die Aalysis otwedige Bedigug ˆɛ coer vmsu, v) ˆɛ mi vms > 0 erfüllt ist. Mit der Lipscitz-Stetigkeit vo s folgt direkt Eie Möglickeit bestet i der Wal vo s x z )z sy z )z L [s] x y z R. 5.13) sx) = C 4 + x C 4 )e C x C 4 ) 8, C 4 > ) Bei dieser Wal liegt die eizige Nullstelle zwisce C 4 ud C 4 /2. Ferer ist sx) ˆɛ mi vms C 4, x 0 ud a de beide Wedestelle C 4 /2 ud 5/2C 4 immt s x) das Maximum 8 exp 7/8) a. Für kleies ˆɛ vms U, v) > 0 erlisct somit der VMS-Carakter des Verfares auf dem etsprecede Elemet ud resultiert sclectestefalls i eiem Feler der Ordug O 1/2 /k 1/2 ) vgl. eorem 6.1.3). Betracte jetzt das Problem: Fide U W derart, dass für = 0, 1,..., N 1 ud U U Q,+1 W au, v) + ˆɛU)ˆɛ coer vmsu, v) U, v) 0, = 0 v W. 5.15) 54

63 5.2 Sock-capturig Abbildug 5.1: sx) = C 4 + x C 4 )e C x C 4 ) 8, C 4 = 0.1 I dieser Formulierug ist mit ˆɛU) = ˆɛ 1 U) + ˆɛ 2 U) + ˆɛ 3 U) = C 1 k) max f U) l 2) + C 2 k) 2 β + C 3 k) 2 β RU), 0 < β < 1/2 [ RU) = 1 max fu + ) fu )] + max f U) l 2)max U l 2) ) + max C U + U 5.16) )) 5.17) ud = {x : x R +1 } kostat auf. Bei der Kovergezaalysis wird darüber iaus die Abägigkeit des Felers vom Polyomgrad betractet. Dazu wird bei der küstlice Diffusio das Ieprodukt, ) 0,,GL verwedet ud die Defiitio des Koeffiziete ˆɛU) modifiziert: ˆɛU) = ˆɛ 1 U) + ˆɛ 2 U) + ˆɛ 3 U) = C 1 k max f U) l 2) + C 2 ) 2 β + C 3 RU) k 2+d/2 mit 0 < β < mi 1, 3 2 d+4) ud RU) = k [ max fu + k 2+d/2 ) fu )] + ) 2 β max f U) l 2)max U l 2) ) + max C U + U 5.18) )). 5.19) Die Kostate C 1, C 2, C 3 > 0 werde jeweils i de etsprecede Kapitel defiiert. Nebe diese Kostate sid β, die verwedete Quadraturformel ud der Raum mit de grobe Skale P K,k Q k )) Q k ) Parameter des küstlice Diffusiosterms. Für P K,k Q k )) sid teoretisc die beide Grezfälle 55

64 5 Discotiuous-Galerki Approximatio 1. P K,k Q k )) = Q k ) : Der Grobraum etält alle Skale, so dass keie feiskalige Elemete auftrete ud der küstlice Diffusiosterm verscwidet. 2. P K,k Q k )) = {0} : Die Stabilisierug wirkt auf alle Skale. möglic, wobei für de erste Fall icts zu zeige ist. Bemerkug Zur Existez ud Eideutigkeit der diskrete Lösug vgl. z.b. [JS86b]. Bemerkug Die scwace Formulierug 5.15) ergibt für k = 0 auc eie Fiite- Volume-Metode ac [BO04, Defiitio 2.3]. Vgl. dazu auc de Abscitt i der gleice Quelle. Bemerkug Uter de Voraussetzuge vo 5.11) ud mit der Defiitio 5.7) ergibt sic die Formulierug =0 + =1 + =0 + =0 = { b U) v dx + ˆɛU)ˆɛ coer vmsu, v) U, v) 0, } U+ U )v + dx x + R i,+1 Λ,+1 u 0 v 0 + dx x + U 0 +v 0 + dx x 1 2 b x x + U U + )v + + v ) + C 0 U + U )v + v ) ds 1 2 b x x + U + v + + C 0 U + v + ds =0 Λ, b x x + g D v + + C 0 g D v + ds v W. 5.20) 5.3 L L 2 )-Abscätzug der diskrete Lösug Dieser Abscitt diet dazu eiige Bezeicuge ud Hilfsaussage für die L L )-Abscätzug eizufüre ud mit dem eorem das Hauptresultat dieses Kapitels vorzubereite. Für die Defiitio bv, w) = =0 { + fv)w dx + ˆɛ 1 v)ˆɛ coer vmsv, w) v, w) 0, [Hv) fv + ) + ]w+ ds } 5.21) 56

65 5.3 L L 2 )-Abscätzug der diskrete Lösug folgt mit Hv) fv + ) + = 1 2 bv, η v)ϕ) { = =0 + [ fv ) fv+ )] + +C v + v ) ud w = η v)ϕ fv)η v)ϕ dx + ˆɛ 1 v)ˆɛ coer vmsv, η v)ϕ) v, η v)ϕ)) 0, } 1 [ fv 2 ) fv+ )] + η v)ϕ ds + C v + v )η v)ϕ ds. 5.22) Hierbei bezeicet q = η, q 1,..., q dx ) das Etropie-Paar, wobei zusätzlic die Forderug erfüllt sei soll. Mit der Kompatibilitätsbedigug 3.16) folgt fv)η v) = so dass sic fv)η v)ϕ dx = ergibt. Isgesamt resultiert bv, η v)ϕ) = + + =0 d x i=0 η 0) = ) η v)f iv)v xi = d x i=0 q iv)v xi = qv), qv)ϕ dx = qv) ϕ dx + qv) ϕ ds { ˆɛ 1 v)ˆɛ coer vmsv, η v)ϕ) v, η v)ϕ)) 0, 1 [ fv 2 ) fv+ )] + η v)ϕ ds + qv) ϕ ds qv) ϕ dx. [0,t N ] } C v + v )η v)ϕ ds 5.24) Für die äcste Überleguge ist es wictig, dass ϕ x) = ϕ +x) = ϕ x) erfüllt ist. Mit dx x = dx 1 dx 2... dx dx folgt die Idetität qv) ϕ ds = τ R +1 + = τ R i,+1 + τ qv) ϕ ds + ηv +1 τ R i,+1 τ τ R τ qv) ϕ ds [ qv + ) qv ) ] + ϕ ds + τ Λ,+1 )ϕ +1 dx x ηv+)ϕ dx x [ qv + ) qv ) ] + ϕ ds + τ τ Λ,+1 τ τ qv + ) + ϕ ds qv + ) + ϕ ds. 57

66 5 Discotiuous-Galerki Approximatio Aufsummierug über liefert =0 = + =0 qv) ϕ ds ηv N )ϕ N dx x τ R i,+1 τ ηv 0 )ϕ 0 dx x + =0 [ qv + ) qv ) ] + ϕ ds + [ ηv ) ηv +) ] ϕ dx x τ Λ,+1 τ qv + ) + ϕ ds. Scließlic folgt bv, η v)ϕ) = + + =0 ˆɛ 1 v)ˆɛ coer vmsv, η v)ϕ) v, η v)ϕ)) 0, ηv N )ϕ N dx x [0,t N ] = =0 τ R,+1 i qv) ϕ dx ηv 0 )ϕ 0 dx x [ ηv ) ηv +) ] ϕ dx x =0 τ Λ,+1 + =0 { τ τ [ qv + ) qv ) ] + ϕ ds qv + ) + ϕ ds 1 [ fv 2 ) fv+ )] + η v)ϕ ds }. C v + v )η v)ϕ ds 5.25) 58

67 5.3 L L 2 )-Abscätzug der diskrete Lösug Damit köe die beide letzte Raditegrale aalog beadelt werde: 1 [ fu 2 ) fu + )] + η U)ϕ ds = 1 τ R τ 2 U U + )η U)ϕ ds 1 +1 τ R τ 2 U U + )η U)ϕ ds + { 1 [ fu ) fu + ) ] + η U + )ϕ ds τ R,+1 i τ 2 } 1 + τ 2 [fu + ) fu )] η U )ϕ ds + 1 [ fgd ) fu + ) ] + η U + )ϕ ds τ Λ τ 2, = U+ U +1 )η U +1 )ϕ +1 1 dx x 2 2 U U+)η U+)ϕ dx x + 1 [ fu ) fu + ) ] [ + η U + ) + η U ) ] ϕ ds τ R,+1 i τ [ fgd ) fu + ) ] + η U + )ϕ ds, 2 τ Λ,+1 τ τ R i,+1 C U + τ U )η U)ϕ ds = 1 τ R τ 2 U + U )η U)ϕ ds τ R τ 2 U + U )η U)ϕ ds + { } C0 U + U )η U + )ϕ ds + C0 U U + )η U )ϕ ds + τ Λ,+1 τ C 0 U + g D )η U + )ϕ ds 1 +1 = U U+ +1 )η U +1 )ϕ +1 dx x τ R i,+1 + τ Λ,+1 τ τ C 0 U + U ) [ η U + ) η U ) ] ϕ ds C 0 U + g D )η U + )ϕ ds. τ 1 2 U + U )η U +)ϕ dx x 59

68 5 Discotiuous-Galerki Approximatio Letztedlic ergibt sic die Idetität { 1 [ fu 2 ) fu + )] + η U)ϕ ds + = U U+)η U+)ϕ dx x + Setze ud τ R i,+1 + τ R i,+1 + τ Λ,+1 + τ Λ,+1 τ τ τ τ C U + 1 [ fu ) fu + ) ] [ + η U + ) + η U ) ] ϕ ds 2 C 0 U + U ) [ η U + ) η U ) ] ϕ ds 1 [ fgd ) f0) fu + ) + f0) ] + η U + )ϕ ds 2 C 0 U + g D )η U + )ϕ ds. E 0 f, η, v, ϕ) = E 1 f, η, v, ϕ) = E 2 f, η, v, ϕ) = =0 =0 1 2 =0 τ R,+1 i } U )η U)ϕ ds ˆɛ 1 v)ˆɛ coer vmsv, η v)ϕ) v, η v)ϕ)) 0,, 5.26) [ ηv ) ηv +) η v +)v v +) ] ϕ dx x 5.27) τ [ qv + ) qv ) [ fv + ) fv ) ] [ η v + ) + η v ) ]] + ϕ ds. 5.28) Aus folgt η v + ) η v ) = v + v ) E 3 f, η, v, ϕ) = = =0 τ R,+1 i =0 τ R,+1 i τ τ 1 C 0 v + v ) 2 [ 1 0 η v + rv + v ))dr C 0 v + v ) [ η v + ) η v ) ] ϕ ds 0 ] η v + rv + v ))dr ϕ ds. 5.29) Die Berücksictigug der Kate i Λ,+1 erfolgt für qv) = v 0 η r)f r) dr 60

69 5.3 L L 2 )-Abscätzug der diskrete Lösug mit ud E 4 f, η, v, ϕ) = E 5 f, η, v, ϕ) = =0 τ Λ,+1 =0 τ Λ,+1 F 4 f, η, v, ϕ) = τ τ =0 τ Λ,+1 [ qv + ) q0) 1 [ fv + ) f0) ] η v )] + + ϕ ds, 2 C 0 v + η v + )ϕ ds, 5.30) F 5 f, η, v, ϕ) = τ 1 2 fg D) + η v + )ϕ ds 5.31) =0 τ Λ,+1 τ 5.32) C 0 g D η v + )ϕ ds. 5.33) Mit de eu eigefürte Bezeicuge lässt sic die diskrete, stabilisierte Aufgabe 5.15) für v = η U)ϕ screibe als b 1 U, η U)ϕ) + = =0 ˆɛ 2 U) + ˆɛ 3 U)) ˆɛ coer vmsu, η U)ϕ) U, η U)ϕ)) 0, 5 F i f, η, U, ϕ), i=4 5.34) wobei b 1 v, η v)ϕ) = + ηv N )ϕ N dx x [0,t N ] qv) ϕ dx 5 E i f, η, v, ϕ) i=0 ηv 0 )ϕ 0 dx x 5.35) ist. Zusätzlic wird a 1, ) oe de etsprecede Ateil der küstlice Diffusio vo b 1, ) defiiert: a 1 v, η v)ϕ) = ηv N )ϕ N dx x ηv )ϕ 0 0 dx x qv) ϕ dx 5.36) [0,t N ] 5 + E i f, η, v, ϕ). i=1 61

70 5 Discotiuous-Galerki Approximatio Für die acfolgede Zwecke ist es wictig, dass 5 i=1 E if, η, v, ϕ) ict egativ ist. Die äcste Überleguge gewärleiste diese Forderug. Die Nictegativität vo E 1 folgt direkt aus eier Eigescaft über kovexe Fuktioe [Alt02, Satz 3.2.1]. Betracte jetzt [ qv + ) qv ) 1 2 [ v + = v [q f η ] dr + [ fv + ) fv ) ] [ η v + ) + η v ) ]] + v + v f η 1 [ η v + ) + η v ) ]) ] dr +. 2 Das erste Itegral verscwidet wege der Kompatibilitätsbedigug 3.16). Mit [v] = v + v ud der Substitutio r = v + s[v] folgt [ qv + ) qv ) 1 [ fv + ) fv ) ] [ η v + ) + η v ) ]] = f v + s[v]) + η v + s[v]) 1 [ η v + ) + η v ) ]) [v] ds. 2 0 Die Kovexität vo η bzw. die wacsede Mootoie vo η liefert [η v + s[v]) η v )][v] 0 ud [η v + s[v]) η v + )][v] = [η v + 1 s)[v]) η v + )][v] 0. Damit gilt η v + s[v]) 1 [ η v + ) + η v ) ]) [v] 2 = 1 2 [η v + s[v]) η v )] + 1 ) 2 [η v + s[v]) η v + )] [v] 1 [η v + s[v]) η v )] [η v + 1 s)[v]) η v + )] ) [v] = I ud scließlic [ qv + ) qv ) 1 [ fv + ) fv ) ] [ η v + ) + η v ) ]] f 0,,R I ds. 0 Die utere Scrake ergibt mit der Substitutio ξ = 1 s ud durc 5.8) [ qv + ) qv ) 1 [ fv + ) fv ) ] [ η v + ) + η v ) ]]

71 1 1 2 f 0,,R [η v + s[v]) η v )][v] ds L L 2 )-Abscätzug der diskrete Lösug 1 0 ) [η v + ξ[v]) η v + )][v] dξ sowie ac Awedug des Mittelwertsatzes [ qv + ) qv ) 1 [ fv + ) fv ) ] [ η v + ) + η v ) ]] f 0,,R = 1 2 [v]2 f 0,,R [v]2 f 0,,R [η v + ts[v]) + η v + ts[v])][v] 2 sdtds s [η v + r[v]) + η v + r[v])] drds [η v + r[v]) + η v + r[v])] drds = [v]2 f 0,,R [η v + r[v]) + η v + r[v])] dr 1 = [v] 2 f 0,,R η v + r[v]) dr, 0 0 wobei η 0 ud 1 0 η v + r[v])dr = 1 0 η v + r[v])dr beutzt wurde. E 2 lässt sic somit für ictegative ϕ wie folgt abscätze: E 2 f, η, v, ϕ) =0 τ R,+1 i τ f 0,,R 1 Zusamme mit der Defiitio 5.29) für E 3 ergibt sic u 0 ) η v + r[v]) dr [v] 2 ϕ ds. E 2 f, η, v, ϕ) + E 3 f, η, v, ϕ) ) 1 C 0 f 0,,R =0 τ R,+1 i τ 0 ) η v + r[v]) dr [v] 2 ϕ ds, 5.37) so dass mit der Aame 5.8) jetzt E 2 f, η, v, ϕ) + E 3 f, η, v, ϕ) 0 gewärleistet ist. Wege 5.23) köe E 4 ud E 5 aalog zu E 2 ud E 3 beadelt werde: E 4 f, η, v, ϕ) + E 5 f, η, v, ϕ) ) 1 C 0 f 0,, η rv + ) drv + ) 2 ϕ ds =0 τ Λ,+1 =0 τ Λ,+1 τ τ 1 2 C η rv + ) drv + ) 2 ϕ ds ) 63

72 5 Discotiuous-Galerki Approximatio Betracte jetzt ei weiteres Mal die diskrete, stabilisierte Aufgabe 5.15) bzw. 5.34) speziell mit ηv) = v 2 /2, v = U, ϕ = 1 : b 1 U, U) + =0 Isgesamt gilt damit die Idetität b 1 U, U) = b 1 U, η U)ϕ) = ηu N )ϕ N dx x + = 1 2 ˆɛ 2 U) + ˆɛ 3 U)) ˆɛ coer vmsu, U) U, U) 0, = 5 E i f, η, U, ϕ) i=0 U N ) 2 dx x 1 2 ηu )ϕ 0 0 dx x U 0 ) 2 dx x + [0,t N ] 5 F i f, U 2 /2, U, 1). i=4 qu) ϕ dx 5 E i f, U 2 /2, U, 1). i=0 5.39) 5.40) Aufgrud der Nictegativität der erme 3 i=1 E if, U 2 /2, U, 1) erlaubt 5.39), 5.40) ud U 0 = u 0 die Aufstellug der Ugleicug 1 2 U N ) 2 dx x =0 ˆɛ 1 U)ˆɛ coer vmsu, U) U, U) 0, C 0 U + 2 0,2,Σ u 0 ) 2 dx x + 5 F i f, U 2 /2, U, 1). 5.41) Abscließed folgt die Beadlug der Radterme F i f, U 2 /2, U, 1), i = 4, 5. i=4 Es folgt F 4 f, U 2 /2, U, 1) + F 5 f, U 2 /2, U, 1) 1 = 2 fg D) + U + ds + =0 τ Λ,+1 5.9) =0 τ Λ, Σ 2 0 τ τ 1 0 τ C 0 g D U + ds 1 f rg D ) ) + dr + C 2 0 gd U + ds 5.42) 1 f rg D ) + dr + C C 0 g D 2 0,2,Σ C 0 U + 2 0,2,Σ. 1 2 U N 2 0,2, + =0 0 ) 2 1 C0 gd 2 ds + Σ 1 2 C 0 U + ) 2 ds ˆɛU)ˆɛ coer vmsu, U) U 2 0,2, C 0 U + 2 0,2,Σ 1 2 u 0 2 0,2, + C 0 g D 2 0,2,Σ C 0 U + 2 0,2,Σ, 5.43) 64

73 5.3 L L 2 )-Abscätzug der diskrete Lösug bzw. 1 2 U N 2 0,2, + =0 ˆɛU)ˆɛ coer vmsu, U) U 2 0,2, 1 2 u 0 2 0,2, + C 0 g D 2 0,2,Σ = C ) Das äcste Ziel ist, eie Abscätzug der diskrete Lösug für alle t 0, ) zu eralte. Betracte dazu die Darstellug vo eiem festem X als Startpukt eier Carakteristik x = xt, t s, X) zum Zeitpukt t = t s. Es wird ageomme, dass x lokal existiert ud eideutig ist. Für 3.1) ist xt, t s, X) = f x ut s, X))t t s ) + X. Somit gilt für ei fixes t, p N ud F X) = xt, t s, X) vt, ) p 0,p, = = vt, y) p dy = F 1 ) y = F X) dy = F/ X dx=dx vt, xt, t s, X)) p dx. 5.45) Für t t t N gilt damit tn Ut, ) p 0,p, = U N p 0,p, t t Ut, ) p 0,p, dt tn = U N p 0,p, t F 1 ) t Ut, xt, t s, X)) p dxdt tn = U N p 0,p, p U p 1 U t + U ẋ) dxdt tn = U N p 0,p, p tn = y = F X) dy = dx = U N p 0,p, p t tn = xx = y = U N p 0,p, p t t t F 1 ) F 1 ) U p 1 U t + U f x U)) dxdt U p 1 U t + U f x U) dydt U p 1 t, x x ) div fut, x x )) dx x dt. 5.46) Vermöge dieser Darstellug erfolgt für p = 2 die Abscätzug der diskrete Lösug i der 65

74 5 Discotiuous-Galerki Approximatio L 2 -Norm: Ut, ) 2 0,2, U N 2 0,2, + 2 tn tn U N 2 0,2, + 2 tn + 2 t tn U N 2 0,2, + 2 f 0,,R + 2C 1 mi { } U N 2 0,2, + 2C 1 + 2C 1 C 0 mi t t Ut, x x ) div fut, x x )) dx x dt C 1 mi f U) l 2 { } f U) l 2 4C 1 mi { } U 2 dx x dt t { } tn t C 1 tn t mi f U) l 2 { } Ut, ) 2 0,2, dt div fu) 2 dx x dt f U) 2 l 2 U 2 l 2 dx xdt max f U) l 2 U U dx x Ut, ) 2 0,2, dt. 5.47) Isgesamt gilt mit 5.8) ud der Growallsce Ugleicug Lemma ) Ut, ) 2 0,2, U N 2 0,2, + 2C 1 + 2C 1 C 6 2C 1 C 6 ˆɛ mi vms 2C 1 C 0 mi { } max x f U) l 2 tn t Ut, ) 2 0,2, dt U U dx max f U) l 2 U 2 0,2, + U N 2 0,2, x max x f U) l 2ˆɛ coer vmsu, U) U 2 0,2, + U N 2 0,2, 5.48) mit exp C0 2C 1 mi u das folgede eorem: t { } N t)) < exp C 0 C 1 C qu ) = C 6, falls quasiuiform ist. 5.44) liefert eorem Es sei ei Gebiet mit Lipscitz-Rad ud { } eie quasiuiforme >0 Familie vo Partitioieruge vo t, t N ). Da existiert ei C uabägig vo, so 66

75 5.4 L L )-Abscätzug der diskrete Lösug dass für die Lösug U vo 5.15) zusamme mit der Aame 5.8) ud 5.9) die Ugleicug Ut, ) 0,2, für t t, t N ) gilt. C6 ˆɛ mi vms ) 1/2 [ ] u 0 0,2, + 2C0 g D 0,2,Σ C 5.49) 5.4 L L )-Abscätzug der diskrete Lösug Koerzivität des Sock-capturig erms für v ud I k vp 1 ) Die Scwierigkeit für p = 2m, m N eie Ugleicug der Form v, I k v p 1) C v 2 0, l 2 v p 2 0,, dx mit eiem C > 0 uabägig vo zu gewärleiste, liegt für p 2 i der Versciedeeit der Argumete. Vergleicbare Ergebisse sid dem Autor biser ur aus [Sze89a, Lemma 4.2] ud [Sze91, Lemma 3.3] bekat. Allerdigs gelte diese Aussage ur für spezielle Dreiecke bzw. etraeder ud auc ur für lieare Asatzfuktioe. Darüber iaus etält die Koerzivitätskostate C i diese Abscätzuge oc de Faktor p. Die i diesem Abscitt gewälte Vorgeesweise beseitigt alle geate Defizite. Vorausgesetzt wird lediglic, dass die lokale Diskretisierugsmatrix A des Sock-capturig erms de eiface Eigewert λ = 0 zum Eigevektor 1,, 1) besitzt ud überdies symmetrisc, positiv semidefiit ist. Für diese Zweck wird zuäcst die beötigte Notatio ud eorie zum ema umeriscer Wertebereic für lieare Operatore i Baac-Räume bereitgestellt. Defiitio Sei X, ) ei ormierter Raum, SX) die Eieitsspäre ud X der Dualraum vo X. Für eie lieare Operator A auf X, ist W A, ) = {fax) : x, f) Π} 5.50) der räumlice umerisce Wertebereic mit Π = {x, f) SX) SX ) : fx) = 1}. Die Existez eies f X für ei x X mit x = 1 ist durc eie Folgerug aus dem Fortsetzugssatz vo Ha-Baac vgl. [Heu92, Satz 36.4]) gewärleistet. Im Gegesatz zum Spektrum σa) ägt der Wertebereic W A, ) auc vo der verwedete Norm ab. Bemerkug Diese Defiitio des Wertebereics ist äquivalet zu W A, ) = {fax) : fx) = x f = 1}, 5.51) de es gilt: f = sup fx) f x = 1. x =1 }{{} =1 67

76 5 Discotiuous-Galerki Approximatio Der für die Koerzivitätsabscätzug geeigete Raum R, l p) liefert dak der Darstellug fx) = i=1 x ife i ) = x y f ud der Normisomorpie vo l p ) ud l q für 1/p + 1/q = 1 die Idetität f = y f l q. Die Bedigug i der äquivalete Defiitio des Wertebereics ist somit die Idetität der Höldersce Ugleicug x y f = x l p y f l q = 1, i Zeice x y f vgl. [Bau62]). Für de Spezialfall p = q = 2 etstet der bekate umerisce Wertebereic W A) ac oeplitz [oe18] für lieare Operatore auf Hilbert-Räume. W A, ) ist im Gegesatz zu W A) ict otweig kovex [NS64, S. 357]). Ei zweiter umeriscer Bereic ka defiiert werde, idem die Matrix A als Elemet eier ormierte Algebra A mit Eiselemet aufgefasst wird. Defiitio Sei A eie ormierte Algebra, SA) = {x A : x = 1} die Eieitsspäre ud A ist der Dualraum vo A. Für ei x A ist ud DA, x) = {f A : fx) = 1 = f } 5.52) V A a, x, ) = {fax) : f DA, x)}. 5.53) Der algebraisce umerisce Wertebereic wird defiiert als vgl. [BD71, S. 15]) V A a, ) = {V A a, x, ) : x SA)}. 5.54) Für de algebraisce umerisce Wertebereic geügt es, ur das Eiselemet zu betracte, de es gilt Lemma V A a, ) = V A a, 1, ), a A. Beweis [BD71, Lemma 2.2]. Der Zusammeag zwisce V A ud W ist mit dem folgede Lemma gegebe, sofer die Matrix A als a A aufgefasst wird: Lemma cov W A, ) = V A a, ). 5.55) Beweis [BD71, S. 84] oder [LS04, Corollary 2.2]. Für ermitesce V A a, ) R ) Elemete a der komplexe ormierte Algebra A gilt ferer eorem Vidav) Sei a A ermitesc. Da gilt: Beweis [BD71, Corollary 5.11]. cov σa) = V A a, ). 5.56) 68

77 5.4 L L )-Abscätzug der diskrete Lösug Korollar Sei A eie symmetrisce, positiv semidefiite Matrix. Da gilt: W A, ) [0, λ max A)], 5.57) wobei λ max A) de größte Eigewert der Matrix A bezeicet. Mit dem letzte Korollar ist es u möglic, die Koerzivität des Sock-capturig erms zu gewärleiste: Lemma Uter de Vorausssetzuge der Defiitio 4.50) ud für Lagragesce Fiite- Elemete gilt für alle v W ud p = 2m, m N : v, I k v p 1) λ mi A) v 2 0, k + 1) d l Λ k λ max A) 2 v p 2 0,, dx 5.58) ud P v), P I v k p 1 ) ) 0, 5.59) 0,, mit A ij = ϕ j, ϕ i ) 0, ˆ, 1 i, j k dof ud Λ k = k dof i=1 ϕ i 0,, ˆ der Lebesgue-Kostate. λ mi A) ist der kleiste, positive Eigewert vo A ud λ max A) der größte Eigewert. Beweis Der Beweis vo 5.58) erfolgt auf dem Referezelemet ˆ ud besitzt dak eies Homogeitätsargumets ud v 0,, = ˆv 0,, ˆ auc Gültigkeit auf. 5.59) folgt aalog. Für v = cost ist die Ugleicug trivial erfüllt. Sei also zuäcst v cost. Es erfolgt die Aufteilug vo Q k ˆ ) = V 0 ˆ ) V ˆ ) mit V 0 ˆ ) = {v Q k ˆ ) \ {0} : v = cost} = {v Q k ˆ ) \ {0} : w v dx = 0, w Q k ˆ )}. Für Lagragesce Fiite-Elemete ist der Koeffizieteraum vo V 0 somit ˆ V 0 N = spa{1,..., 1) } \ {0}, dim V 0 N = ) Betracte jetzt mit ϕ = ϕ 1,..., ϕ k dof ), v N = vx)) x N, v p 1 N = vp 1 x)) x N : v, I k v p 1 ) ) 0, ˆ v N p l p = v N Avp 1 N vn vp 1 N = v N Av p 1 N, falls vn vp 1 N = 1. Diese Normierug ist dak der Homogeität des Quotiete jedoc stets möglic. Durc Nacrece folgt weiter 1 = vn vp 1 N = v N l p v p 1 N l p/p 1) ud somit vn Av p 1 N W A, l p) [0, λ max A)]. 5.57) Die Matrix A ist symmetrisc, positiv semidefiit, wobei die Eigewerte der Größe ac sortiert seie: 0 = λ 1 < λ 2 λ k dof. 69

78 5 Discotiuous-Galerki Approximatio Der Eigeraum zum Eigewert 0 ist ac Defiitio der Matrix A gerade VN 0. Die Berücksictigug der atsace v N cost mit vn vp 1 N = 1 geligt, da eie spektrale Zerlegug der Matrix A i dyadisce Produkte der Eigevektore ξ i, 1 i k dof möglic ist vgl. z.b. [ZF84, S. 274]): v N Av p 1 N = v N k dof i=1 λ i ξ i ξ i v p 1 N Zuäcst gilt mit 5.57) : v N ξ iξ i v p 1 N ud somit ist v N ξ iξ i v p 1 N k dof = i=1 λ i v N ξ i ξ i v p 1 N k dof = i=2 λ i v N ξ i ξ i v p 1 N. [0, 1]. Da allerdigs v N cost ist, sid v N, v p 1 N / spa{ξ 1} > 0 für weigstes ei i = 2,..., k dof. Isgesamt folgt Ferer gilt v p 2 0,, ˆ v 2 0,2, ˆ v, I k v p 1 ) ) 0, ˆ v N p l p λ 2, v N cost. 5.61) λ max A) v p 2 0,, ˆ v N 2 l ) λ max A)Λ k v N p 2 l v N 2 l 2 λ max A)Λ k v N p 2 l v p N 2 l 2 2.6) k dof ) 1 2/p λmax A)Λ k v N p l p k + 1) d λ maxa) λ 2 Λ k v, I k v p 1 ) ) 0, ˆ. Lemma Es existiert eie Kostate C > 0 uabägig vo, k ud p N derart, dass gilt: v p 1 k+1,, Cp k+1 k 2 ) k+1 v 2 0,, v p 3 0,, 5.62) für p 3 ud alle v W mit v Q,+1 P ). Beweis Iduktio über k : Für k = 1 ist die Ugleicug erfüllt, de es gilt ij v p 1 = i j v p 1 ) = p 1) i v p 2 j v) = p 1) [ p 2)v p 3 i v j v + v p 2 ij v ] = p 1)p 2)v p 3 i v j v. Aame: 5.62) ist war für ei k 1. Sei β ei Multiidex mit β = k + 1 ud 0 i d x. Da gilt mit der Leibizregel 2.31): i β v p 1 ) = p 1) β v p 2 i v ) = p 1) ) β α v p 2 ) β α i v. α α β 70

79 5.4 L L )-Abscätzug der diskrete Lösug 5.62) liefert α v p 2) 0,, Cp 1) α /k 2 ) 2 α v 2 0,, v p 4 0,,, ud mit der iverse Ugleicug 4.61) : folgt wege α β β α = β α i β v p 1) 0,, Cp 1) α β β α i v 0,, C/k 2 ) β α 1 v 0,, ) ) 1 β β p 1) α v 2 α k 2 0,, v p 3 0,, Cp 1) k+2 k 2 ) 1 k+1) v 2 0,, v p 3 0,,. Also gilt 5.62) auc für k = k Diskretisierug des Problems mit der estfuktio I k vp 1 ) I diesem Abscitt wird scließlic die gleicmäßige Bescräkteit bzgl. der Gitterweite der diskrete Lösug vo 5.15) i der L L )-Norm bewiese. Ausgagspukt ist die Formulierug 5.34) mit ηv) = 1 p vp ud ϕ = 1. Da η U)ϕ = U p 1 für p 2 ict i dem Fiite-Elemete-Raum W liegt, wird die scwace Formulierug mit v = I k U p 1 ) getestet: bu, I k U p 1 )) + =0 ˆɛ 2 U) + ˆɛ 3 U)) ˆɛ coer vmsu, I k U p 1 )) U, I k U p 1 ) ) 0, = ) Die zetrale Idee des Beweises ist es de Iterpolatiosfeler U p 1 I k U p 1 ) mit Hilfe der Liearität im zweite Argumet vo b, ) durc die spezielle Bauart des Sock-capturig erms zu kotrolliere. Im Detail folgt ud aalog zum Fall p = 2 gilt bu, I k U p 1 )) = bu, U p 1 ) [ bu, U p 1 ) bu, I k U p 1 )) ] bu, U p 1 ) = b 1 U, U p 1 ) 5 F i f, U p /p, U, 1) i=4 mit b 1 U, U p 1 ) = 1 p U N ) p dx x 1 p u 0 ) p dx x + 5 E i f, U p /p, U, 1), i=0 71

80 5 Discotiuous-Galerki Approximatio so dass 5.63) lautet + 1 ) U N p p dxx + = 1 p =0 5 E i f, U p /p, U, 1) [ bu, U p 1 ) bu, IU k p 1 )) ] i=0 ˆɛ 2 U) + ˆɛ 3 U)) ˆɛ coer vmsu, I k U p 1 )) U, I k U p 1 ) ) 0, u 0 ) p dx x + 5 F i f, U p /p, U, 1). i=4 5.64) Aufgrud der Ergebisse des Abscitts 5.3 für kovexe Etropiefuktioe η sid die erme E 1 f, U p /p, U, 1), E 2 f, U p /p, U, 1) + E 3 f, U p /p, U, 1) ictegativ. Aalog zu 5.38) resultiert für E 4, E 5 : Mit folgt für de Iterpolatiosfeler [ bu, U p 1 ) bu, I k U p 1 )) ] E 4 f, U p /p, U, 1) + E 5 f, U p /p, U, 1) 1 2 C 0 U + p 0,p,Σ 0. R [fu ) fu + )] + + C U + U ) dx x = 0 { = fu) [ U p 1 IU k p 1 ) ] dx 5.22) =0 + ˆɛ 1 U) ˆɛ coer vmsu, U p 1 ) U, U p 1) 0, ˆɛcoer vmsu, IU k p 1 )) U, IU k p 1 ) ) ) 0, 1 [ + fu 2 ) fu + )] [ + U p 1 IU k p 1 ) ] ds + C U + U ) [ U p 1 IU k p 1 ) ] } 4 ds = A i. =0 i=1 5.65) Die eizele Bestadteile des Iterpolatiosfelers lasse sic mit de Lemmata ud abscätze: A 1 I I)U k p 1 0,, 4.12) C k+1 U p 1 k+1,, Cp k+1 2 U 2 0,, U p 3 0,, 5.62) fu) dx fu) dx fu) dx 72

81 5.4 L L )-Abscätzug der diskrete Lösug = Cp k+1 2 U 2 0,, U p 3 0,, fu) dx Cp k+1 2 U 2 0,, U p 2 0,, fu) dx { U >1} + Cp k+1 2 U 2 0,, fu) dx { U 1} Cp k+1 2 max fu) ) U p 2 U 2 0,, dx 0,, + Cp k+1 2 max fu) ) U 2 0,, dx. Wege der lokale Quasiuiformität der Familie { } >0 zusamme mit eier iverse Ugleicug für v W Isgesamt gilt mit v 2 0,, dx = v 2 0,, = C C d 4.9) vo affie Partitioieruge gilt d/2 v 0,2, ) 2 v 2 l 2 dx. 5.66) P U), P I U k p 1 )) 0,, 0 ˆɛ coer 5.59) 5.58) vmsu, IU k p 1 )) ˆɛ mi vms > ) für de erste Iterpolatiosfeler { A 1 Cp k+1 2 max fu) ) 5.58), 5.66) k+1 ˆɛcoer Cp k+1 ˆɛcoer + Cp vmsu, I k U p 1 )) ˆɛ mi vms vmsu, U) ˆɛ mi vms U IU k p 1 ) dx + U 2 l 2 dx } 2 max fu) ) U, I k U p 1 ) ) 0, 2 max fu) ) U 2 0,2, ud für de äcste erm A 2 L [s]ˆɛ 1 U) P U), P [U p 1 IU k p 1 )]) ) 0,, 5.13) 4.52) 2.6), 4.40) L [s]ˆɛ 1 U) k dof i= K dof +1 ω J i U)xi ) [U p 1 I k U p 1 )])x i ) L [s]ˆɛ 1 U) U [U p 1 I k U p 1 )] 0,1,, L [s]ˆɛ 1 U)max [U p 1 I k x i U p 1 )])x i ) l 2) k dof ωi J U)x i ) l 2 Q C ) dˆɛ 1 U)max [U p 1 I k x i U p 1 )])x i ) l U l 2 dx Q i=1 73

82 5 Discotiuous-Galerki Approximatio C [U p 1 IU k p 1 )] 0,, ˆɛ 1 U) U l 2 dx C k U p 1 k+1,, ˆɛ 1 U) U l 2 dx 4.12) Cp k+1 U 2 0,, U p 3 0,, ˆɛ 1 U) U l 2 dx 5.62) Cp k+1 2 max f U) l 2)max U l x x 2) U p 2 0,, + Cp k+1 2 max f U) l 2)max U l 2) U x x 2 l dx 2 vmsu, I ku p 1 )) k+1 ˆɛcoer Cp 5.58) k+1 ˆɛcoer + Cp ˆɛ mi vms vmsu, U) ˆɛ mi vms U 2 l 2 dx 2 max x f U) l 2)max x U l 2) U, I k U p 1 ) ) 0, 2 max x f U) l 2)max x U l 2) U 2 0,2,. Die Radterme des Iterpolatiosfelers werde wie folgt abgescätzt: A 3 I I)U k p 1 0,, C k+1 U p 1 k+1,, 4.13) 1 [fu 2 ) fu + )] + ds [fu Cp k+1 2 U 2 0,, U p 3 0,, 5.62) ) fu + )] + ds [fu ) fu + )] + ds Cp k+1 2 U 2 0,, U p 3 0,, max [fu ) fu + )] + ) Cp k+1 U 2 0,2, U p 3 0,, max [fu + ) fu )] + ) Cp k+1 max [fu + ) fu )] + ) U 2 l 2 U p 3 0,, dx Cp k+1 max [fu + ) fu )] + ) U 2 l 2 U p 2 0,, + U 2 l dx 2 Cp k+1 max [fu ) ) fu )] + ) U IU k p 1 ) + U 2 l dx. 2 Etspreced ergibt sic A 4 Cp k+1 max C U + U ) U IU k p 1 ) + U 2 l dx, 2 so dass für de Gesamtiterpolatiosfeler mit de a dieser Stelle gültige Kostate C 7 74

83 5.4 L L )-Abscätzug der diskrete Lösug resultiert [ bu, U p 1 ) bu, IU k p 1 )) ] { } C 7 p k+1 max f U) l 2)max U l 2) + RU) x x 2 =0 ˆɛ coer vmsu, IU k p 1 )) U, IU k p 1 ) ) 0, { } + C 7 p k+1 max f U) l 2)max U l 2) + RU) x x 2 =0 ˆɛ coer vmsu, U) U 2 0,2, { } C 7 p k+1 2 max f U) l 2)max U l 2) + RU) 5.44), x x C 3 =C 2 =0 ˆɛ coer vmsu, I k U p 1 )) U, I k U p 1 ) ) 0, + C 7 C 2 β pk+1 C ) lässt sic somit screibe als ) U N p dxx C 7 p k+2 2 =0 { } max f U) l 2)max U l 2) + RU) x x ˆɛ coer vmsu, I k U p 1 )) U, I k U p 1 ) ) 0, + p =0 + p =0 ˆɛ 2 U) + ˆɛ 3 U))ˆɛ coer vmsu, I k U p 1 )) U, I k U p 1 ) ) 0, ˆɛ 1 U)ˆɛ coer vmsu, U p 1 ) U, U p 1 ) ) 0, 5.68) 5.69) + p 2 C 0 U + p 0,p,Σ u 0 ) p dx x + p 5 i=4 Wird C 7 p k+2 β, 0 β 1/2 gewält, so folgt ) U N p dxx + p 1) + p =0 =0 u 0 ) p dx x + p F i f, U p /p, U, 1) + C 7 C 2 β p k+2 C 5. ˆɛ 2 U) + ˆɛ 3 U))ˆɛ coer vmsu, IU k p 1 )) U, IU k p 1 ) ) 0, ˆɛ 1 U)ˆɛ coer vmsu, U p 1 ) U, U p 1 ) ) 0, + p 2 C 0 U + p 0,p,Σ 5 i=4 F i f, U p /p, U, 1) + C 5 C ) 75

84 5 Discotiuous-Galerki Approximatio Die Scrake β 1/2 ist otwedig für die Kovergez des Verfares vgl. 6.19)). Da ireiced klei gewält werde ka, bedeutet dies keie Eiscräkug a p. Der erm p 1) =0 ˆɛ 2 + ˆɛ 3 )ˆɛ coer vmsu, I k U p 1 )) U, I k U p 1 ) ) 0, ist ac Defitio vo p, ˆɛU) ud Lemma ect positiv. Die erme F 4 ud F 5 lasse sic aalog zu p = 2 beadel ud ergebe mit der Yougsce Ugleicug für de Parameter ) p 1) 1 p ɛ = 2 p 1 C 0 die Ugleicug 5 4 pc 0 g D U + p 1 ds 1 Σ 2 C 0 Also gilt ) U N p dxx + p 1) + p =0 =0 5 2 ) p p 1 p ) p 1 g D p 0,p,Σ + p 2 C 0 U + p 0,p,Σ. ˆɛ 2 U) + ˆɛ 3 U))ˆɛ coer vmsu, IU k p 1 )) U, IU k p 1 ) ) 0, ˆɛ 1 U)ˆɛ coer vmsu, U p 1 ) U, U p 1 ) ) 0, u 0 ) p dx x C 0 ) p 5 g D p 0,p,Σ 2 + C 5. C ) Im äcste Scritt ergibt sic ac 5.46) für t t t N tn Ut, ) p 0,p, U N p 0,p, + p Aus der Höldersce ud Yougsce Ugleicug resultiert für tn p t p p 2 Ut, ) p 1 div fut, )) dx x dt tn t { tn t t Ut, ) p 1 div fut, )) dx x dt. ) 1/2 tn div fu) 2 U p 2 dx x dt t tn ɛ div fu) 2 U p 2 dx x dt + t U p dx x dt ) 1/2 1 ɛ U p dx x dt } 76

85 5.4 L L )-Abscätzug der diskrete Lösug mit p 2 ɛ f U) U 2 U p 2 dx p 2 = p = p ) ɛ max f U) 2 l U 2 x 2 l 2 U p 2 dx ˆɛ 1 U) U 2 l 2p 1)U p 2 dx ˆɛ 1 U) U U p 1) dx ud dem Parameter die Abscätzug ɛ = 2p 1)C 1 max f U) l 2 x Ut, ) p 0,p, U N p 0,p, + p + pc 0 4p 1)C 1 mi ˆɛ 1 U) U U p 1) dx { } tn t Ut, ) p 0,p, dt. Isgesamt liefert die letzte Ugleicug für t t t N mit der Growallsce Ugleicug ud mit 5.71) [ Ut, ) p 0,p, C 6 p C 6 ˆɛ mi vms C 6 ˆɛ mi vms [ p [ ˆɛ 1 U) U U p 1) dx + U N p 0,p, u 0 p 0,p, C 0 ˆɛ 1 U)ˆɛ coer vmsu, U p 1 ) U U p 1) ] dx + U N p 0,p, ) p 5 g D p 0,p,Σ 2 + C ] 5, C 2 ] 5.72) wobei pc 0 exp 4p 1)C 1 mi { } t N t)) < C 6 gesetzt wird vgl. 5.48)). Dies gewärleistet die Gültigkeit der Ugleicug ) [ 1/p C6 sup Ut, ) 0,p, u t 0 ˆɛ mi 0 0,p, + 5 ) 1/p ) ] 1/p 1 vms 2 2 C 0 g D + C5 0,p,Σ C ) 77

86 5 Discotiuous-Galerki Approximatio für 4 p C 1 k+2 7 β k+2. Die Bescräkteit vo U 0,,Q ergibt sic aus der Awedug der iverse Ugleicug 4.69) U 0,,Q 2p + 1)k 2 C qu 5k 2 2C qu 1+ β k+2 5k 2 = 2C qu ) dx p sup Ut, ) 0,p, t 0 ) dx p sup Ut, ) 0,p, t 0 ) dx p exp 1 + β k + 2 ) dx p l )) 1 sup Ut, ) 0,p,. t 0 Ferer gilt speziell für β 0 = β/k+2), p = C 1 k+2 7 β 0 ud 1 U 0,,Q C 8 sup Ut, ) 0,p, 5.74) t 0 mit 5k 2 C 8 = C 8 ) = 2C qu Damit ist folgedes eorem gezeigt: ) C 1 k+2 7 d x β 0 exp 1 + β 0 ) C 1 k+2 7 d x β 0 l )) 1. eorem Es sei ei Gebiet mit Lipscitz-Rad ud { } >0 eie quasiuiforme Familie vo Partitioieruge vo 0, ). Da existiert mit C 2 = C 3 = C 5 ei C uabägig vo, so dass für die Lösug U W vo 5.15) zusamme mit der Aame 5.8) ud 5.9) die Ugleicug U 0,,Q max C 8) max{ C [ 6, 1} max{, 1} u 0< 1 ˆɛ mi 0 0,, vms + max{ Σ, 1} 5 ] 2 max{1 2 C 0, 1} g D 0,,Σ + 1 C. gilt. Bemerkug Die Aussage des vorsteede eorems ka mit de ier präsetierte Metode im VMS-Kotext ur erreict werde, sofer der verwedete Fluktuatiosoperator die Eigescafte P v), P v p 1 ) ) 0,, 0, P v), P I k v p 1 )) ) 0,, 0, für v Q k ) ud p = 2m, m N besitzt. Die erste Ugleicug motiviert die Kostruktio vo P, wäred die zweite ukritisc ist, da P ϕ i), P ϕ j)) 0,,, 1 i, j k dof symmetrisc, positiv semidefiit ist siee Lemma 5.4.8). eorem Uter de Voraussetzuge des eorems gilt mit 0 U 0,,Q u 0 0,, g D 0,,Σ ) 78

87 5.4 L L )-Abscätzug der diskrete Lösug Beweis Folgt mit = C 1 β 7 p 1/β 0 0 direkt aus 5.73) ud 5.74). Bemerkug I [Sze91] wird ebefalls der Fall k > 1 für die Abscätzug vo U 0,,Q beadelt. Da allerdigs die Abscätzug 5.58) biser ur für de Fall k = 1 bewiese wurde, wird dort der Sock-capturig erm realisiert, idem er auf eie etspreced feiere riagulierug mit lieare Polyome iterpoliert wird. Diese atsace at zur Folge, dass mit agepasste β eie Scrake der Form C p p k+2 β etstet vgl. [Sze91, 3.16)]), die erfüllt ist, falls p C l1/) gilt. Somit gilt lim C 8) 1 0 ud ei zu 5.75) vergleicbares Ergebis ka ict erzielt werde. eorem Uter de Voraussetzuge des eorems gilt mit k = 0 U 0,,Q u 0 0,, g D 0,,Σ, > ) Beweis Mit k = 0 folgt [ bu, U p 1 ) bu, I ku p 1 )) ] = 0 ud U p 1 k+1,, = 0. Aus diesem Grud bestet keie Notwedigkeit für die Bescräkug C 7 p k+2 β, so dass für p mit 5.73) ud 5.74) die Beauptug folgt. 79

88

89 6 Kovergezaalysis Im erste eil dieses Kapitels wird utersuct, ob die i der Eileitug agedeutete öere Kovergezordug durc Eifürug eier lokale Projektio mit Hilfe des Fluktuatiosoperators im ictlieare Sock-capturig erm erreict werde ka. Zum Vergleic wird ascließed die residualbasierte Metode aus [JJS95], die eie zusätzlice Stromliiediffusiosterm besitzt, aalysiert. Es ist azumerke, dass keie a priori Abscätzug der bekate Metode, weder bzgl. oc bzgl. k, i der Literatur zu fide ist. Allerdigs wird i [Sze89a, Capter 7] eie a priori Utersucug bzgl. eier Stadard-Galerki-Metode mit Stromliiediffusiosterm ud Sock-capturig vorgeomme. Diese ist jedoc auf die residuale Struktur der Metode agewiese. Um bei de Felerabscätzuge eie explizite Abägigkeit des Polyomgrades zu erreice, werde Lagragesce Fiite-Elemete bzgl. der Gauss-Lobatto Quadraturpukte verwedet. 6.1 A priori Felerabscätzug I I de vorerige Kapitel wurde die scwace Formulierug 5.15) mit dem Etropie-Flux Paar η, q ausgestattet vgl. 5.22) ud 5.24)). Oe die Verwedug des Etropie-Flux Paares, oder aber mit ηv) = v 2 /2 ud ϕ = 1, folgt für die Aufgabe 5.15) mit 5.22) ud 5.26) sofort Fide U W derart, dass gilt b 1 U, v) + + =0 =0 ˆɛ 2 U)ˆɛ coer vmsu, v) U, v) 0, ˆɛ 3 U)ˆɛ coer vmsu, v) U, v) 0, = lv), v W. 6.1) 81

90 6 Kovergezaalysis I diesem Fall ist ud b 1 v, w) = + =0 =1 + =0 + =0 =0 lv) = fv)w dx + v+ v )w + dx x + R i,+1 R i,+1 Λ,+1 =0 v 0 +w 0 + dx x 1 fv ) fv + ) ) + w + + w ) ds 2 C 0 v + v )w + w ) ds 1 2 fv+ ) + w + ds + u 0 v 0 + dx x =0 Λ,+1 =0 ˆɛ 1 v)ˆɛ coer vmsv, w) v, w) 0, Λ,+1 Wie bereits agedeutet, get mit 5.14) auf Elemete für die C 4 /2 ˆɛ vms U, v) 5/2C 4 C 0 v + w + ds 6.2) 1 2 fg D) + v + + C 0 g D v + ds. 6.3) mit v W gilt, der VMS-Carakter verlore, ud es resultiert im güstigste Fall ei Verfare mit eier Felerordug O). Für die acfolgede Aalysis sei also sx) = x bzw. ˆɛ vms v, w) = ˆɛ coer vmsv, w), v, w W. 6.4) Die Kovergezutersucug erfolgt für das lieare Problem mit so dass es mit der Aame fv) = bv, b CQ ) d, b 0 = 1, b L Q ), 6.5) 1 2 bx) µ 0 > 0, fast überall i Q 6.6) möglic ist, eie dem Problem agepasste Norm zu defiiere. Dies gesciet mit Hilfe der Idetität Q fv)v dx = =0 1 b + v + ) 2 ds 1 b) v 2 dx 2 2 = 1 v N ) 2 dx x + 2 =1 + 1 b x + x v + ) 2 v ) 2 ) ds 2 =0 R,+1 i + 1 b x + x v + ) 2 ds 2 Λ,+1 =0 1 2 ) v 2 v+) 2 dx x 1 v 2 +) 0 2 dx x =0 1 b) v 2 dx, 2 82

91 6.1 A priori Felerabscätzug I so dass eie gitterabägige Norm via b 1 v, v) = C C 0 { =0 v N 2 0,2, + =0 k max x b l 2) P v) 2 0,2,, b)1/2 v 2 0,2,Q =1 v + v 2 0,2,R i, b x + x ) 1/2 v ,2,Λ +,+1 =0 v + v 2 0,2, + v ,2, } + C0 v + 2 0,2,Λ,+1 =0 6.7) defiiert werde ka. = v 2, v W Ausgagspukt der Utersucug sid wie üblic zwei scwace Formulieruge, die jeweils die kotiuierlice ud diskrete Lösug etalte. Die Scwierigkeite ergebe sic zum eie aus der ictresiduale Struktur der Metode ud zum adere aus dem ictlieare Sockcapturig erm. Eie Galerki-Ortogoalität ka daer ict erwartet werde. Sei u W = W 1, Q ) CQ ) eie scwace Lösug ac Defiitio Die ascließede Bemerkug liefert zusamme mit 5.10) de Nacweis, dass u auc ud bzw. b 1 u, v) a 1 u, v) = lv) v W 1,2 Q, ) 6.8) =0 a 1 u, v) = lv) v W, 6.9) ˆɛ 1 P u), P v)) 0,, = lv) v W, 6.10) erfüllt. Aus der Differez der Gleicuge 6.1) ud 6.10) folgt die Aussage b 1 u U, v) =0 =0 =0 ˆɛ 1 P u), P v)) 0,, ˆɛ 2 U) P U), P v)) 0,, ˆɛ 3 U) P U), P v)) 0,, = 0, v W. 6.11) Mit de Notatioe e k = U Ik GL u), e = u U ud ξ = u Ik GL u) folgt b 1 e k, e k ) + =0 ˆɛ 2 U) P e k ) 2 0,2,, + ˆɛ 3 U) P e k ) 2 0,2,, 83

92 6 Kovergezaalysis bzw. = b 1 ξ, e k ) b 1 e, e k ) + + =0 = b 1ξ, e k ) 6.11) =0 =0 =0 ˆɛ 2 U) P U) P I k GLu)), P e k ) ) 0,, ˆɛ 3 U) P U) P I k GLu)), P e k ) ) 0,, =0 ˆɛ 1 P u), P e k ) ) 0,, ˆɛ 2 U) P I k GLu)), P e k ) ) 0,, ˆɛ 3 U) P I GLu)), k P e k ) ) = I + II + III + IV 0,, b 1 e k, e k ) b 1 ξ, e k ) + II + III + IV. Für die abscließede Beadlug der erme I IV wird aufgrud des diskrete Ieproduktes, ) 0,, bzw., ) 0,,GL äufig die Eigescaft 4.44) des Lumpigoperators geutzt. Dabei wecselt die Bezeicug vo, ) 0,, zu, ) 0,,GL sobald die spezielle Lage der Gauss- Lobatto Pukte vo Bedeutug wird. Bei der Abscätzug vo I liefert die Stetigkeit der Lösug u die Idetitäte ξ+ = ξ ud ξ + = ξ. Letzteres bedeutet für 6.2) b 1 ξ, e k ) = + =0 ξ 0 +e 0 + dx x bξ)e k dx + =0 Λ,+1 =0 ˆɛ 1 ξ) P ξ), P e k ) ) 0,, 1 2 b x + x ξ + e + ds + =0 Λ,+1 C 0 ξ + e + ds. Um die Notatio auf de Kate ict zu überfracte, werde die Idizes ud k bei e k veraclässigt. Geau wie zuvor folgt für de erste erm ac partieller Itegratio die Darstellug = =0 = =0 { =0 bξ)e k dx 1 b + ξ + e + 2 ds 1 b) ξe k dx 2 ξ N e N dx x + R i,+1 =1 b x x + ξe + e ) ds ξ e e +) dx x ξ 0 e 0 + dx x } 84

93 6.1 A priori Felerabscätzug I ud somit I 1 4 { C 0 = C 0 + Λ,+1 b x x + ξe + ds ξ N 2 0,2, + e N 2 0,2, + =0 =0 = C 0 =0 =1 =0 ξ 2 0,2, + { ξ 2 0,2,R + e + e 2,+1 i 0,2,R,+1 i ξ 2 + e + 2 0,2,Λ +,+1 0,2,Λ +,+1 }{{} =0 1 b) ξe k dx 2 =1 ˆɛ 1 P ξ) 2 0,2,, P e k ) 2 0,2,, ) ξ 2 + e + 2 0,2,Λ,+1 0,2,Λ,+1 } e + e 2 0,2, ) } b)1/2 ξ 2 0,2,Q b)1/2 e k 2 0,2,Q 1 4 b 1e k, e k ) C 0 =0 N ξ 2 0,2, C 0 =1 ξ 2 0,2,Λ,+1 + =0 =0 ξ 2 0,2,R i,+1 ˆɛ 1 P ξ) 2 0,2,, b)1/2 ξ 2 0,2,Q b 1e k, e k ) + max 4, 1 2 C 0, 1 ) N 2 C 0 + =0 ˆɛ 1 P ξ) 2 0,2,, =0 =1 ξ 2 0,2, max x b) ξ 2 0,2,. Ferer gilt aufgrud der Defiitio 4.50) des Fluktuatiosoperators P : ud isgesamt P ξ) 0,2,, ξ 0,2,, I 1 4 b 1e k, e k ) + C =GL, 4.44) 4.55) =0 C ξ 0,2, C 9 k k ɛ 2k+1 ) k u k+1,2,, C 9 > ) k + ˆɛ 2k+1 1 k 2k + 2k+2 2k k 2k+2 ) u 2 k+1,2, 85

94 6 Kovergezaalysis ) 4 b 1e k, e k ) + C =0 k ɛ 2k+1 k 2k+1 u 2 k+1,2,, 0 < ɛ 1. Für die Abscätzug der äcste erme erweist sic P Ik GL u)), P ek ) Q k ) sowie die Zwisceüberleguge ud P I k GLu)) 0,2, C 4.57) K C C mit C 10, C 11 > 0 als ilfreic. K K ) K+1 { I k GLu) K+1,2, + P K,k I k GLu)) K+1,2, } ) K+1 { I k GLu) K+2,2, + P K,k I k GLu)) K+1,2, } ) K+1 { u K+2,2, + u I k GLu) K+2,2, } + P K,k IGLu)) k K+1,2, ) K+1 { } C 10 u K+2,2, + P K,k I k 4.55) K GLu)) K+1,2, dof IGLu) k 0,, i=1 dof i=1 u 1) i ϕ i 0,, 6.13) u 1) i ϕ i 0,, C 11 u 1) l ) 4.45) II =0 ˆɛ 1 P u), P e k ) ) 0,, =0 =0 ˆɛ 1 P u) 0,2,, P e k ) 0,2,, ˆɛ 1 { P u) 2 0,2,, + 1 } 4 P e k ) 2 0,2,, =0 { } 2ˆɛ 1 P IGLu)) k 2 0,2,, + P u IGLu)) k 2 0,2,, =GL, 6.12) = b 1e k, e k ) { 2ˆɛ 1 P GL I GLu)) k 2 0,2,,GL + C 9 k ) 2k u 2 k+1,2, } 86

95 6.1 A priori Felerabscätzug I 4.44) 6.13) b 1e k, e k ) C ) 2K+1) { } u 2 K+2,2, + P K,k GL k K Ik GLu)) 2 K+1,2, ) 2k+1 +C u 2 k+1,2, + 1 k 4 b 1e k, e k ), =0 III =0 ˆɛ 2 P IGLu)), k P e k ) ) 0,, =GL, 4.44) =0 =0 C 12ˆɛ 2 P GL I k GLu)) 0,2,,GL P GL e k ) 0,2, C 12 C 2 k 2+d/2 ) 2 β max x b l 2)max x U l 2) P GL I k GLu)) 0,2, P GL e k ) 0,2, =0 C 12 C2 2 C 13 max b l 2) x + C 12 2k =0 C 12 C2 2 max x b l 2)2 max x U l 2)2 k C 13 2max x b l 2) P GL e k ) 2 0,2, max x b l 2)max x ek l 2)2 k C 13 max b + C 12 C2 2 l 2)max x x Ik GL u) l 2)2 k C 13 C 13 max b l 2) x + C 12 P 2k GL e k ) 2 0,2, max b C 12 C2 2 l x 2)d ek 2 1,, k C ) 6.13) =0 + C 2 10C 2 11C 12 C 2 2 d max x b l 2) C 13 k k 2+d/2 k 2+d/2 k 2+d/2 k 2+d/2 k 2+d/2 ) 22 β) P GL I k GLu)) 2 0,2,,GL ) 22 β) P GL I k GLu)) 2 0,2,,GL ) 22 β) P GL I k GLu)) 2 0,2,,GL ) 22 β) I k GLu) 2 0,2,,GL ) 22 β) ) 2K+1) { K } C 13 max b + P K,k GL Ik GLu)) 2 l 2) x K+1,2, + C 12 2k 4.61) 6.14) =0 + C 2 10C 2 11C 12 C 2 2 C 2 11C 12 C 2 14C 2 2 d max x b l 2) C 13 d max x b l 2) C β k 3 β4+d) k 1 2β u1) 3 β4+d) P GL e k ) 2 0,2, 2 l 1 ek 2 0,2, 2 ) 2K+1) { k 2d+2) K u 1) 2 l 1 u 2 K+2,2, u 1) 2 l 1 u 2 K+2,2, 87

96 6 Kovergezaalysis } C 13 max b + P K,k GL Ik GLu)) 2 l 2) x K+1,2, + C 12 P 2k GL e k ) 2 0,2,. Mit de Defiitioe C 1 = 2C 12 C 13 ud C 13 = dc 2 11C 12 C 2 2 maxc 2 10, C 2 14)max x b l 2), C 12 > 0 ud der Voraussetzug mi1/2, 3/4 + d)) β folgt weiter III =0 + 2 k 2d+2) u 1) 2 l 1 ek 2 0,2, + 1 4ˆɛ 1 P e k ) 2 0,2, K Aus der Betractug des lieare Residuums RU) 3 2 k ergibt sic isbesodere ) 2K+1) { } u 1) 2 l u 2 1 K+2,2, + P K,k GL Ik GLu)) 2 K+1,2,. max U + U ) + 2 maxc0, C0 ) k max U + R U ) 6.15) \R Rv + w) Rv) + Rw). 6.16) Dies ermöglict mit etspreceder Wal vo C 14, die am Ede der Abscätzug des erms IV 1 vorgeomme wird, die weitere Beadlug vo IV 6.16) =0 =0 =0 RU) 2 2k 2d max b l 2)C 14 x C 14 max b l x 2)k2d + C2 2 2 Re k ) + RIk GL u)))2 2k 2d max b l 2)C 14 x C 14 max b l x 2)k2d + C2 2 2 = IV 1 + IV 2 + IV 3. Re k )2 k 2d max b l 2)C 14 x C 14 max b l x 2)k2d + C2 2 2 k 2+d/2 k 2+d/2 ) 22 β) P I k GLu)) 2 l 2 P e k 2 l 2 dx ) 22 β) P I k GLu)) 2 l 2 P e k ) 2 l 2 dx + RI k GL u))2 k 2d max x b l 2)C 14 k 2+d/2 ) 22 β) P I k GLu)) 2 l 2 P e k ) 2 l 2 dx IV 1 + =0 =0 1 k 2d 1) max x b l 2)C max e + R e ) 2 1 k 2d 1) max b l 2)C 4 maxc0, C0 ) ) 2 max e + 14 \R e ) 2 x 88

97 9C ) 4max b =0 l 2)C e + e 2 0,2, 14 x 4 maxc0, C + =0 9C max x b l 2)C 14 max x b l 2)C maxc 0, C 0 ) ) 2 C 2 15 max x b l 2)C 14 0 ) ) 2 C 2 15 e + e 2 0,2, \R { e ,2, + =0 =1 e + e 2 0,2, 18C15 2 { } 8max b l 2)C e ,2, + e + e 2 0,2, 14 x = maxc 0, C 0 ) ) 2 C max x b l 2)C e ,2, =0 =1 =0 e + e 2 0,2, { e + e 2 0,2,R + e + 2,+1 i 0,2,Λ,+1 Für die aaloge Beadlug vo IV 2 ist die Ugleicug =0 6.1 A priori Felerabscätzug I } { } 2 e + e 2 0,2,R + e + e 2,+1 i 0,2,Λ,+1 { e + e 2 0,2,R + e + 2,+1 i 0,2,Λ,+1 }, C 15 > 0. RIGLu)) k = Ru ξ) Ru) +R ξ) = Rξ) }{{} =0 dielic ud liefert Rξ) 2 IV 2 k 2d 1) max b l 2)C dx 14 x IV 3 =0 C C 6.14), 4.61) =0 =0 C =0 =0 1 8 ξ+ ξ 2 0,2, R ξ+ ξ 2 0,2, \R k ɛ 2k+1 k 2k+1 u 2 k+1,2,, 6.17) 1 2 max x b l 2)C 14C 2 2 k 1 2β u1) 4 βd+4) 3 2β k 2d k P I GLu)) k 2 2+d/2)4 2β) 0,, P e k ) 2 0,2, 2 l 1 ek 2 0,2, u 1) 2 l 1 ek 2 0,2,, β mi 1 2, 4 d + 4 ). } 89

98 6 Kovergezaalysis Die Additio aller Abscätzuge ergibt mit b N 1 = b 1 für u W k+1,2 Q ) W 1, Q ) b N 1 e k, e k ) C falls + C + C =0 =0 =0 = C 16 =0 ) 2 2K+1) { } u 1) k 2d+2) K 2 l u 2 1 K+2,2, + P K,k GL Ik GLu)) 2 K+1,2, k ) 2K+1) { } u 2 K+2,2, + P K,k GL K Ik GLu)) 2 K+1,2, k ɛ 2k+1 k 2k+1 u 2 k+1,2, + C α + C 17 max u 1) 2 l 1 =0 =0 u 1) 2 l 1 ek 2 0,2,, 0 < ɛ 1 e k 2 0,2,, C 16, C 17 > 0, 6.18) ) 1 0 < β mi 2, ) d + 4 Eie Möglickeit die Abägigkeit der recte Seite vo e k zu etfere, bestet i der Awedug vo 5.47) für t t t +1 : so dass weiter folgt e k t, ) 2 0,2, e ,2, + 2C 1 C 0 + 2C 1 mi { } 2C 6 2C ) 2C 6 k ɛ mi vms k ɛ mi vms t+1 t max b l x 2 e k e k dx e k t, ) 2 0,2, dt ˆɛ 1 k e k 2 0,2, e+1 2 0,2, ˆɛ 1 ɛ mi vms e k 2 0,2, e+1 ˆɛ 1 P e k ) 2 0,2,, e+1 2 0,2, 2 0,2,, =0 e k 2 0,2, = =0 2C 6k ˆɛ mi vms 2C 6k ˆɛ mi vms t+1 t e k t, ) 2 0,2, dt t+1 =0 t t+1 =0 ˆɛ 1 P e k ) 2 0,2,, e+1 2 0,2, dt b +1 1 e k, e k ) dt 2C 6k t ˆɛ mi vms =0 b +1 1 e k, e k ). 90

99 6.1 A priori Felerabscätzug I Die Awedug des diskrete Lemmas vo Growall leistet, falls ireiced klei ist mi 1 2 ˆɛ vms) C6 C 17 kmax u 1) 2 l C 1 18 < 1, C 18 > 0 das Gewüscte: N 2 b N 1 e k, e k ) C 16 α 0 + C 16 =0 α +1 + C 18 =0 b +1 1 e k, e k ) C 16α 0 + C N 2 16 =0 α +1 + C N 2 18 =0 b+1 1 e k, ek ) 1 C 18 C 16α 0 + C N 2 16 =0 α ) +1 C18 N 1) exp 1 C 18 C 16 1 C 18 exp N 1 1 C 18 ) =0 α. 1 C ) Aus u U e k + ξ folgt mit der Abscätzug vo ξ aalog zur Beadlug des erms I ξ 2 C ) k ɛ 2k+1 k + ˆɛ 2k 2k+1 1 k + 2k+2 u 2 2k k 2k+2 k+1,2,, =0 die edgültige Felerabscätzug Zusamme mit der Aame u U 2 C =0 1. Es existiert ei C > 0 uabägig vo ud k derart, dass gilt 2. Es gilt die Abscätzug folgt das mit ɛ mi vms > 0 uabägig vo ud k. α. 6.21) P K,k GL v) K+1,2, C v K+1,2,. 6.22) ɛ mi vms e k 2 0,2, P e k ) 2 0,2,, 6.23) eorem Es sei ei Gebiet mit Lipscitz-Rad ud { } >0 eie quasiuiforme Familie vo Partitioieruge vo 0, ). Da existiert ei C > 0 uabägig vo ud k, so dass mit 5.8) ud uter der Aame für die Lösuge U W vo 5.15) mit Lagragesce Fiite-Elemete bzgl. der Gauss-Lobatto Quadraturpukte ud u W 1, Q ) ac Defiitio folgede Ugleicug gilt: u U C =0 1/2 K ) k 1/2 KK+1 91

100 6 Kovergezaalysis = {0} ist die Kovergez des Verfares ebeso sicer- I dem eigags erwäte Fall P K,k GL gestellt. eorem Es sei ei Gebiet mit Lipscitz-Rad ud { } >0 eie quasiuiforme Familie vo Partitioieruge vo 0, ). Da existiert ei C > 0 uabägig vo ud k, so dass mit 5.8) für die Lösuge U W vo 5.15) mit P K,k GL = {0} ud Lagragesce Fiite-Elemete bzgl. der Gauss-Lobatto Quadraturpukte folgede Ugleicug gilt: u U C =0 1/ ) k1/2 u W 1, Q ) ist ierbei eie Lösug ac Defiitio Beweis Aalog zu 6.21). 6.2 A priori Felerabscätzug II Gegebe sei die scwace Formulierug vgl. [JJS95, 2.7)]): Fide U W derart, dass für = 0, 1,..., N 1, U U Q,+1 W au, v) + } {δ LU), f U) v) 0, + ˆɛ U, v) 0, = 0 v W 6.26) mit LU) = fu), 0 < β < mi 1 2, 4 d+4) ud δ = δu) = C 1 k ˆɛ = ˆɛU) = max C 2 RU) = max LU) ) + k max x f U) l 2 k 2+d/2 ) 1, ) 2 β ) ) k+1/2 RU), C 3, k [ max fu + ) fu )] + ) + max C U + U )). Naezu aalog zum vorerige Abscitt ka eie weitere a priori Felerabscätzug für das lieare Problem mit 6.5) ud der Aame 6.6) gezeigt werde. Ausgagspukt sid die Gleicuge b 1 u, v) = lv) v W 1,2 Q, ) 6.27) ud b 1 u, v) = lv) v W, 6.28) 92

101 6.2 A priori Felerabscätzug II mit b 1 v, w) = + =0 =1 + =0 + =0 =0 fv)w dx + v+ v )w + dx x + R i,+1 R i,+1 Λ,+1 =0 v 0 +w 0 + dx x δv) Lv), b w) 0, 1 fv ) fv + ) ) + w + + w ) ds 2 C 0 v + v )w + w ) ds 1 2 fv+ ) + w + ds + =0 Λ,+1 C 0 v + w + ds. 6.29) Weitere Zwisceergebisse auf dem Weg zum äcste eorem sid b 1 e k, e k ) = b 1 ξ, e k ) I 1 4 b 1e k, e k ) + C II 1 8 e ,2, =0 + C + C =0 ˆɛU) ) IGLu), k e k = I + II, 0, =0 =1 k ɛ 2k+1 k 2k+1 u 2 k+1,2,, 0 < ɛ 1, e + e 2 0,2, δ Lek ) 2 0,2, { e + e 2 0,2,R + e + 2,+1 i 0,2,Λ,+1 =0 =0 k ɛ 2k+1 k 2k+1 u 2 k+1,2, u 1) 2 l 1 ek 2 0,2,, β mi 1 2, 4 d + 4 ). } eorem Es sei ei Gebiet mit Lipscitz-Rad ud { } >0 eie quasiuiforme Familie vo Partitioieruge vo 0, ). Da existiert ei C > 0 uabägig vo ud k, so dass für die Lösuge U W vo 6.26) mit Lagragesce Fiite-Elemete bzgl. der Gauss-Lobatto Quadraturpukte ud u W 1, Q ) ac Defiitio folgede Ugleicug gilt: u U C =0 k ɛ k+1/2, 0 < ɛ ) kk+1/2 93

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103 7 Numerisce Beispiele I diesem Kapitel werde zwei Beispiele mit de Verfare 5.15) umerisc gelöst, um zum eie die erreicte Kovergezordug mit der Aussage des eorems zu vergleice ud zum adere die Qualität der stabilisierte Lösug zu beurteile. Für diese umerisce Utersucuge werde für das statioäre Modellproblem mit extere Quellterm f Beispiele mit ud oe Grezscicte verwedet. Lu) = b u = f i, 7.1) u = g D auf Γ D 7.2) Die Diskretisierug vo 5.15) beutzt die Parameter C0 = C0 = 3.0, C 1 = C 2 = C 3 = 0.1 ud β = 0.1 aus 5.19). Für Vergleicszwecke wird die Metode 5.34) mit eier vergleicbare Parameterwal C0 = C0 = 3.0, C 1, C 2 = 0.1, C 3 = 0 ud β = 0.1 ebefalls zur Lösug der Beispiele eragezoge. Bei de umerisce ests wird auc der Fluktuatiosoperator P = I P 0,k berücksictigt, obwol er ict i die eorie vo Kapitel 4 eigegliedert ist, da die Gauss-Lobatto-Quadraturpukte erst ab 1 k defiiert sid vgl. 4.42)). Desse ugeactet bilde die Lagrage- Polyome vom Grad 2 eie eigebettete ierarcisce odale Basis vom Grad Numerisce Kovergezutersucug Beispiel Glatte Lösug oe Grezscicte) Vgl. [HJS02, Example 4.2]) Im erste Beipiel ist = 1, 1) 2, b 1 x, y), b 2 x, y)) = 8/10, 6/10) ud g D = 1. Die recte Seite wird so gewält, das die aalytisce Lösug ist. ux, y) = 1 + siπ1 + x)1 + y) 2 /8) Für die exemplarisce Kovergezutersucug am Beispiel werde die Gitterweite {1/4, 1/8, 1/16, 1/32} ud die Polyomgrade k {1, 2, 3, 4} gewält. I de Abbilduge 7.1a ud 7.1c wird deutlic, dass der Feler u U 0,2, der Metode 5.15) für jedes betractete k mit O) für 0 kovergiert. Die Ausame für k = 1 i der Abbildug 7.1c liefert eie Feler der Form O 2 ). Dies ist jedoc der Feler der ustabilisierte Discotiuous- Galerki-Metode, de mit K = k = 1 gilt P 1,1 = I P = 0. 95

104 7 Numerisce Beispiele a) Kovergez vo 5.15), P = I P 0,k mit - Verfeierug. b) Kovergez vo 5.15), P = I P 0,k mit k- Verfeierug. c) Kovergez vo 5.15), P = I P 1,k mit - Verfeierug. Abbildug 7.1: Beispiel 1 d) Kovergez vo 5.15), P = I P 1,k mit k- Verfeierug. Darüber iaus wird i de Abbilduge 7.1b ud 7.1d bei fixierter Gitterweite die Abägigkeit des Feler vom Polyomgrad k betractet. Da sic i de umerisce Ergebisse keierlei Übereistimmug mit de Aussage des eorems etdecke lässt, ist davo auszugee, dass die Aame ict befriedigt werde ka. Die Abbilduge 7.2a ud 7.2b beadel die Ergebisse für de Fall, dass der Sock-capturig erm auf alle Skale wirkt ud gee koform mit dem eorem Als Abscluss der umerisce Kovergezutersucug liefer die letzte beide Abbilduge die Ergebisse des Verfares 6.26). I ie fidet sic das teoretisce Resultat des eorems wieder. Abbildug 7.2d liefert, uter Berücksictigug der Skalierug, mit de ageäerte Gerade des Kovergezplots eie Idiz für expoetielle Kovergez der diskrete Lösug bzgl. des Polyomgrades. 96

105 7.2 Modellproblem mit Grezscicte a) Kovergez vo 5.15), P = I mit -Verfeierug. b) Kovergez vo 5.15), P = I mit k-verfeierug. c) Kovergez vo 6.26) mit -Verfeierug. d) Kovergez vo 6.26) mit k-verfeierug. Abbildug 7.2: Beispiel Modellproblem mit Grezscicte Beispiel Iere Grezscict) Vgl. [Ag95, Problem 1]) I diesem Fall ist = 0, 1) 2, b 1 x, y), b 2 x, y)) = 2, 1) ud f = 0. Die Radbedigug geügt der folgede Fuktio 0, x 2 < 3x gx) = 1 2, x = 0, 1) 4 1, sost. Die umerisce Lösuge sid i Abbilduge 7.3a-7.3d dargestellt. Im Vergleic der beide Lösuge mit dem Fluktuatiosoperatore P = I P 0,2 ud P = I P 1,2 fällt auf, dass die erste Lösug eie steilere Grezscict im Ausströmrad besitzt. Dieses Veralte ersceit isofer merkwürdig, als dass I P 0,2 mer Skale bei der Stabilisierug erfasst als 97

106 7 Numerisce Beispiele I P 1,2. Bei der Berücksictigug vo sämtlice Skale mit P = I i Abbildug 7.3c, etstet jedoc wieder eie Grezscict vo der Form aus Abbildug 7.3b. Die Grezscict im Eiströmrad ist ier dagege etwas breiter als i de Abbilduge 7.3a ud 7.3b. Der abscließede Vergleic mit der Metode 6.26) zeigt, dass die etsprecede Lösug eie deutlic steilere Grezscict besitzt als die Metode oe Stromliiediffusiosterm, aber im Gegesatz dazu auc mit Oszillatio aufwartet. a) Metode 5.15) mit P = I P 0,2. b) Metode 5.15) mit P = I P 1,2. Abbildug 7.3: Beispiel 2 c) Metode 5.15) mit P = I. d) Metode 6.26). 98