Kryptographie und Codierung für den Mathematikunterricht

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1 Kryptographie und Codierung für den Mathematikunterricht Pädagogische Hochschule Karlsruhe University of Education École Supérieure de Pédagogie Institut für Mathematik und Informatik Th. Borys

2 Was verstehst du unter einem Code? Gulewu tellewen Talewag 2

3 Was verstehst du unter einem Code? Gulewu telewen Talewag 3

6 Was verstehst du unter einem Code? Genetischer Code 6

7 Was verstehst du unter einem Code? Strichcode 7 Bild

8 Was verstehst du unter einem Code? ASCII-Code Zeichen A B Code Bild 8

9 Was verstehst du unter einem Code? RSA-Verfahren 9 Bild

10 Was verstehst du unter einem Code? Brailleschrift a b c d e Bild 0

11 Was verstehst du unter einem Code? Morsecode a b c d e Bild:

12 Was verstehst du unter einem Code? Cäsar-Code Bild: 2

13 Was verstehst du unter einem Code? Cäsar-Code Klar.: a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z Geheim.: D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C Klar.: b o n d Geheim.: E R Q G Bild: 3

14 Aufgaben von Codierungen Anpassung an an technische Gegebenheiten der der Weiterleitung Reduzierung der der Datenmenge Sicherung vor vor Fehlern, insbesondere vor vor zufälligen Veränderungen Geheimhaltung, Sicherung vor vor unbefugter Kenntnisnahme Schutz vor vor unbefugter Veränderung, Beweis der der Urheberschaft, Nachweis der der Abwicklung Schnelle Verständlichkeit für für einen großen Personenkreis auch über über Sprachgrenzen hinweg 4

15 Was Was versteht man man unter Kryptologie? Die Die Wissenschaft, deren Aufgabe die die Entwicklung von von Methoden zur zur Verschlüsselung (Chiffrierung) von von Informationen (Kryptographie) und und deren mathematische Absicherung gegen unberechtigte Entschlüsselung (Dechiffrierung) ist ist (Kryptoanalyse). (Brockhaus (Brockhaus Lexikon) Lexikon) Beutelspacher: Kryptographie ist ist eine eine öffentliche mathematische Wissenschaft, in in der der Vertrauen geschaffen, übertragen und und erhalten wird. 5

16 Vortrags-Gliederung.. Strichcodes Europäische Artikelnummer Huffman-Codierung Verschlüsselungsschablonen 6

17 Strichcodes Pädagogische Hochschule Karlsruhe University of Education École Supérieure de Pédagogie Institut für Mathematik und Informatik Th. Borys 7

18 Einfacher Strichcode Aztec-Code Online-Ticket der Bahn PDF 47 Online-Ticket der Lufthansa Datamatrix der Deutschen Post 8

19 Gepäckanhänger einer Fluggesellschaft PZN eines Medikaments 9

20 Einfacher Strichcode Aztec-Code Online-Ticket der Bahn PDF 47 Online-Ticket der Lufthansa Datamatrix der Deutschen Post 20

21

22 Schülerproduktionen 22

23 Europäische Artikelnummer 23

24 Europäische Artikelnummer (kurz EAN) 24

25 European Article Number = Universal Product Code Daten: UPC = Universal Product Code (2-stellig) in Amerika EAN (3-stellig) Europa - EAN & UPC kompatibel z.b.: UPC EAN Jan.2005 EAN auch in Nordamerika 25

26 Aufbau der Ziffernfolge der EAN 3 Beispiel: 40 () Artikelnummer Herstellerland Hersteller Prüfziffer

27 Berechnung der Prüfziffer Beispiel einer EAN: = = 70 27

28 28

29 29

30 Wie gut ist das Prüfzifferverfahren? Richtige EAN: = 0 Falsche EAN: = 2 Einzelfehler werden erkannt. 30

31 Wie gut ist das Prüfzifferverfahren? Richtige EAN: = 0 Falsche EAN: = 02 Dieser Zahlendreher wird erkannt. 3

32 Wie gut ist das Prüfzifferverfahren? Richtige EAN: = 90 Falsche EAN: = 80 Dieser Zahlendreher wird nicht erkannt. 32

33 Interdisziplinarität 33

34 Weitere Prüfzifferverfahren 34

37 Huffman- Codierung Pädagogische Hochschule Karlsruhe University of Education École Supérieure de Pédagogie Institut für Mathematik und Informatik Th. Borys 37

38 Huffman im Alltag MPEG Telefax JPEG MP3 ZIP 38

39 David Huffman David Huffman [ ] 39

40 Gliederung Huffman-Codierung.. Interessante Aspekte des des Huffman-Algorithmus für für den den Mathematikunterricht an an der der Schule Grundidee des des Huffman-Algorithmus Der DerHuffman-Algorithmus exemplarisch an an einem Beispiel Eigenschaften des des Huffman-Codes Anwendung beim Telefax Tipp Tipp für für den den Unterricht 40

41 Interessante Aspekte des Huffman-Algorithmus für den Mathematikunterricht an der Schule Heinrich Winter sagt sagt zu zu den den allgemeinen besseres Zielen Verständnis des des Mathematikunterrichts: der der modernen Welt Erscheinungen der der Welt Welt um um uns, uns, die die uns uns alle alle Elementarität angehen oder oder angehen sollten, aus aus Natur, Gesellschaft und und Kultur, in in einer spezifischen Schulung Art Art wahrnehmen des des algorithmischen und und zu zu Denkens verstehen. Fundamentale Prinzipien von von Komprimierungsverfahren Schülerinnen und und Schüler sollen Exemplarisch exemplarisch für für moderne Mathematisierungen Strukturen der der Mathematik in in und und Informatik Technik und und Naturwissenschaften erleben 4

42 Grundidee des Huffman-Algorithmus Kompressionsverfahren Verlustfreie Kompression Verlustbehaftete Kompression 42

43 Grundidee des Huffman-Algorithmus Luft weglassen Verlustfreie Kompression 43

44 Grundidee des Huffman-Algorithmus Zusammenfassung Unwichtiges weglassen skda fjlsakd lksdaj lskdaf lsdakj ölsadk jflaskfj sadflk lkdsjf lksdajf ölsakjf ölsakf lksadjflksajfdölsakdjfl sdlkfj sdalökj fldsak fjsaldök jlsadk jfaölskjd flsadkjfaslökjf aölskjfdiejlökajdsfiealkfjaiejlkasjfoiasejlkf saelifjlask jfsalifdjlksdajf ölskaj ldksaj ldsakfjlisafjlkds lkdsajfiejlkdsajfiesf lksadjfaeslksadjisaejflkdsjf lkdsjfilesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjl esajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjlesajflkd isajfelkjldskjfasilfj esalkjflisadfjelkdjsafi eölakfjesaoi ölaskjflsakdjfoiasjelkjesalfjafsalfj sdlakf jldsakfjfsaiejlksadjfiesa lkdsaj lidjsfa lkeaj iaejlkdf ielkf ösaldkfjl Verlustbehaftete Kompression 44

45 Grundidee des Huffman-Algorithmus Der Der Huffman-Algorithmus Huffman-Algorithmus arbeitet arbeitet verlustfrei verlustfrei!!!!!! Luft weglassen Verlustfreie Kompression 45

46 Grundidee des Huffman-Algorithmus ABRAKADABRA ASCII A= B= Bit Bit Idee: häufig vorkommende Zeichen bekommen einen kürzeren Code, selten vorkommende Zeichen ein ein längeres Codewort z.b. z.b. A=0 A=0 B=

47 Grundidee des Huffman-Algorithmus Häufig benötigte Bücher stellt man in greifbare Nähe (Augenhöhe) Selten benötigte Bücher verstaut man weiter oben oder unten 47

48 Grundidee des Huffman-Algorithmus Morse-Code A -- B -- C D -- E F - - G H I I J ---- K L -- M N -- O P --- Q R -- S T Samuel - Morse - U - - V - - W --- X [79-872] Y Z Der Der Huffman-Algorithmus Huffman-Algorithmus erzeugt erzeugt systematisch systematisch einen einen optimalen optimalen Code! Code! 48

49 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel Ziel: Ziel: Jedem im im Text Text vorkommenden Zeichen wird wird ein ein Binärcode zugewiesen! Wurzel Kanten Wurzelbaum Knoten Blätter A 0 D E B C 49

50 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel Text: ABRAKADABRA Häufigkeitsanalyse: Buchstaben A B R K D Häufigkeit 5 50

51 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel Text: ABRAKADABRA Häufigkeitsanalyse: Buchstaben A B R K D Häufigkeit 5 2 5

52 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel Text: ABRAKADABRA Häufigkeitsanalyse: Buchstaben A B R K D Häufigkeit

53 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel Text: ABRAKADABRA Häufigkeitsanalyse: Buchstaben A B R K D Häufigkeit

54 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel Text: ABRAKADABRA Häufigkeitsanalyse: Buchstaben A B R K D Häufigkeit A 5 B 2 R 2 D K Huffman-Liste 54

55 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel Zusammenführung DK 2 D K D K A 5 DK 2 B 2 R 2 D K Huffman-Liste 2 55

56 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel A 5 BR 4 DK 2 B 2 R 2 D K Huffman-Liste 3 56

57 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel A 5 BDKR 6 BR 4 DK 2 B 2 R 2 D K Huffman-Liste 4 57

58 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel ABDKR A 5 BDKR 6 BR 4 DK 2 B 2 R 2 D K Huffman-Liste 5 58

59 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel Codebaum ABDKR Codetabelle Buchstaben Binärcode A 0 A BDKR 6 BR 4 DK B 2 R 2 D K 59

60 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel Codebaum Codetabelle ABDKR Buchstaben Binärcode A 0 A BDKR 6 B 00 BR 4 DK B 2 R 2 D K 60

61 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel Codebaum Codetabelle ABDKR Buchstaben Binärcode A 0 A BDKR 6 B 00 D 0 BR 4 DK B 2 R 2 D K 6

62 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel Codebaum Codetabelle ABDKR Buchstaben Binärcode A 0 A BDKR 6 B 00 D 0 K BR 4 DK B 2 R 2 D K 62

63 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel Codebaum Codetabelle ABDKR Buchstaben Binärcode A 0 A BDKR 6 B 00 D 0 K BR 4 DK 2 R B 2 R 2 D K 63

64 Der Huffman-Algorithmus exemplarisch an einem Beispiel Codierung des des Textes: A B R A K A D A B R A Buchstaben Binärcode A 0 B 00 D 0 K R 0 Eingabe: Eingabe: Hauptteil: Hauptteil: Ausgabe: Ausgabe: Zusammenfassung des des Algorithmus: Häufigkeitstabelle Häufigkeitstabelle.. Erstelle Erstelle die die Huffman-Liste. Huffman-Liste Wiederhole Wiederhole die die Zusammenführung Zusammenführung der der beiden beiden mit mit der der geringsten geringsten Häufigkeit Häufigkeit beschrifteten beschrifteten Bäume Bäume so so lange, lange, bis bis die die Huffman-Liste Huffman-Liste nur nur noch noch aus aus einem einem Baum, Baum, dem dem Huffman-Baum, Huffman-Baum, besteht. besteht. Codebaum Codebaum Interaktives Interaktives Experimentiersystem: Experimentiersystem:

65 Eigenschaften des Huffman-Codes A 5 DK 2 B 2 R 2 D K Huffman-Liste 2 In In der der Huffman-Liste zwei zwei haben wir wir B B und und R R zu zu einem Baum zusammengeführt, wir wir hätten auch DK DK und und B B wählen können. 65

66 Eigenschaften des Huffman-Codes Codebaum* A 5 0 ABDKR 0 BDKR 6 Codetabelle* Buchstaben Binärcode A 0 B 0 D 0 R 2 BDK 4 0 K R 0 B 2 DK 2 0 D K 66

67 Eigenschaften des Huffman-Codes Codierung* des des Textes: A B R A K A D A B R A Buchstaben Binärcode A 0 B 0 D 0 K R 0 Mittlere Mittlere Codewortlänge Codewortlänge 23/ 2,. 23/ 2,. L n = i= p i l Die Die Formel Formel liefert liefert den den Erwartungswert Erwartungswert der der Zufallsvariablen Zufallsvariablen Codewortlänge. Codewortlänge. Der Der Huffman-Algorithmus minimiert minimiert die die mittlere mittlere Codewortlänge Codewortlänge und und liefert liefert eine eine möglichst möglichst kurze kurze also also eine eine optimalen optimalen Codierung. Codierung. i 67

68 Eigenschaften des Huffman-Codes A 5 0 ABDKR 0 BDKR 6 Decodieren wir wir den den Text: 0000 D BR 4 DK B 2 R 2 D K 68

69 Eigenschaften des Huffman-Codes A 5 0 ABDKR 0 BDKR 6 Decodieren wir wir den den Text: D A BR 4 DK B 2 R 2 D K 69

70 Eigenschaften des Huffman-Codes A 5 0 ABDKR 0 BDKR 6 Decodieren wir wir den den Text: D A K BR 4 DK B 2 R 2 D K 70

71 Eigenschaften des Huffman-Codes A 5 0 ABDKR 0 BDKR 6 Decodieren wir wir den den Text: D A K A BR 4 DK B 2 R 2 D K 7

72 Eigenschaften des Huffman-Codes A 5 0 ABDKR 0 BDKR 6 Decodieren wir wir den den Text: D A K A R BR 4 DK B 2 R 2 D K 72

73 Eigenschaften des Huffman-Codes Der Der Huffman-Code Huffman-Code ist istpräfixfrei. Vergleich Vergleich mit mit dem dem Telefonsystem: Telefonsystem: Das Das Telefonnummernsystem ist ist auch auch präfixfrei. präfixfrei. Beispiel: Beispiel: Wählt Wählt man man 0, 0, weiß weiß das das System, System, dass dass man man fertig fertig mit mit wählen wählen ist. ist. Das Das liegt liegt daran, daran, dass dass die die Nummer Nummer 0 0 nie nie Anfangsteil Anfangsteil (Präfix) (Präfix) einer einer anderen anderen Nummer Nummer ist, ist, z.b. z.b. gibt gibt es es keine keine Telefonnummer Telefonnummer Woran Woran erkennt erkennt man man einen einen präfixfreien präfixfreien Code? Code? Ein Ein Codebaum Codebaum liefert liefert einen einen präfixfreien präfixfreien Code, Code, wenn wenn die die zu zu codierenden codierenden Zeichen Zeichen nur nur in in den den Blättern Blättern des des Baumes Baumes stehen. stehen. Beim Beim Morsecode Morsecode ist ist dies dies beispielsweise beispielsweise nicht nicht der der Fall, Fall, daher daher muss muss nach nach jedem jedem Buchstaben Buchstaben eine eine kleine kleine Pause Pause mitgeteilt mitgeteilt werden. werden E T - - A B C D I N N M präfixfrei präfixfrei Morsecode Morsecode 73

74 Anwendungsbeispiele MPEG Telefax JPEG MP3 ZIP 74

75 728 Pixel pro Zeile Telefax-Codierung Speicherplatzbedarf: 0*728= Bit (ca.,7 MBit) Übertragung würde bit/2400 bit/sec=727sec bzw. 2 min dauern. 0 Zeilen 75

76 Lauflängencodierung 7w, 4s, 8w, 0s, 4w, 3s, 7w, 3s, 8w, 3s, 4w, 3s, 5w, 3s, 5w, 6s, 5w, 6s, 2w, 3s, 8w, 3s, 7w Lauflängencodierung (run-length) Häufigkeitsanalyse: s 4w 8w 7w 5w 0s 4s 6s 6s 2w 76

77 Telefax Häufigkeitsanalyse Huffman-Algorithmus 77

78 Telefax-Code: (Ausschnitt) Lauflänge Codes für Schwarz s 00 2s 3s 0 4s 0 5s 00 6s 000 7s 000 8s s s s s s s s s s s s s

79 Effizienz der Kompression Es lassen sich Kompressionsraten von bis zu :50 erreichen. Ohne Kompression Mit Kompression Datenmenge Übertragungsdauer,7 MBit 0,04 MBit 2 min (720 sec) 5 sec 79

80 Tipp für den Unterricht Werbeslogan Karlsruhevielvorvieldahinter ASCII-Code: Huffman-Codierung:

81 Verschlüsselungsschablonen Pädagogische Hochschule Karlsruhe University of Education École Supérieure de Pédagogie Institut für Mathematik und Informatik Th. Borys 8

82 Verschlüsselungsschablonen 82

85 Verschlüsselungsschablonen K 85

86 Verschlüsselungsschablonen K A 86

87 Verschlüsselungsschablonen K A R 87

88 Verschlüsselungsschablonen K A R L 88

89 Verschlüsselungsschablonen K A R S L 89

90 Verschlüsselungsschablonen K A R L S R 90

91 Verschlüsselungsschablonen K A R S L R U 9

92 Verschlüsselungsschablonen K A R S L R U H 92

93 Verschlüsselungsschablonen K A R S L R U H E 93

96 Verschlüsselungsschablonen K E N N E N K A R 96

97 Verschlüsslungsschablonen 97

98 Verschlüsslungsschablonen 98

99 Verschlüsselungsschablonen S L R U H E L I E 99

102 Verschlüsselungsschablonen B E N 02

103 Verschlüsselungsschablonen B E N A B C D E F 03

104 Verschlüsselungsschablonen B K L A E R S N K A L E B R S N U C N R D H U E E E N F K H L A I E E R bklaer snkale brsnuc nrdhue eenfkh laieer 04

105 Verschlüsslungsschablonen B K L A E R S N K A L E B R S N U C N R D H U E E E N F K H L A I E E R bklaer snkale brsnuc nrdhue eenfkh laieer 05

106 Verschlüsselungsschablonen

107 Verschlüsselungsschablonen Arbeit einer Schülerin 07

108 Kryptographie und Codierung für den Mathematikunterricht Danke Danke für für Ihre Ihre Aufmerksamkeit Aufmerksamkeit Pädagogische Hochschule Karlsruhe University of Education École Supérieure de Pédagogie Institut für Mathematik und Informatik Th. Borys 08