(Markowitz-Portfoliotheorie)

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1 Thema : ortfolo-selekto ud m-s-rzp (Markowtz-ortfolotheore) Beurtelugskrtere be quadratscher Nutzefukto: Beroull-rzp + quadratsche Nutzefukto Thema Höhekompoete: Erwartugswert µ Rskokompoete: Stadardabwechug σ m-s-rzp: Der Ivestor beurtelt alle Alteratve ahad des Redte- Erwartugswertes ud ahad der Redte-Stadardabwechug (oder der Redte-Varaz). Defto.: (µ-σ-domaz, µ-σ-effzez) See, zwe ortfolos vo Wertpapere. () Das ortfolo domert das ortfolo (m µ-σ-se), falls be glecher erwarteter Redte über ee gergere Redtevaraz, be glecher Redtevaraz über ee höhere erwartete Redte oder über ee höhere erwartete Redte be glechzetg edrgerer Redtevaraz als verfügt. bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema

2 () Das ortfolo heßt µ-σ-effzet, falls ke ortfolo e- xstert, daß (m µ-σ-se) domert. räferezfuktoal: Φ Φ Φ ( µ, σ) mt >, < µ σ Zel: Φ ( µ, σ ) max.! Vorgeheswese m ortfolo-maagemet: Zwestufger Etschedugsprozeß:.) Ermttlug der µ-σ-effzete ortfolos.) Aus deser Mege Auswahl der dvduell optmale ortfolos Relevate Date bem m-s-rzp: W ~ = x A (+ r = : A (+ r~ ) ) + x = A ( + r~ ) = A + x = r~ r~ = x = r~ bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema

3 Also: µ x = = µ σ = = = Var[r % ] Cov[r %,r % ] Cov x % r,r % = = x Cov[r %,r] % = x Cov r, % x % r j j = = j= = x x Cov[r %,r] % = j= = j= j j = x x Cov[r %,r] % j j Bespel.: Wertpaper Wertpaper µ 5 % 5 % σ % % ρ =, x,,,3,4,5,6,7,8,9, µ,5,6,7,8,9,,,,3,4,5 σ,,,,9,86,8,8,8,86,9, bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema 3

4 σ % x = % % x = 9 % 8 % 5 % 7 % 9 % % 3 % 5 % µ Wchtge Erketsse: () Wertpapere köe grudsätzlch cht solert beurtelt werde. Rskozusammehag st etscheded. () I effzete ortfolos köe vo adere Wertpapere domerte Wertpapere ehalte se. () Durch Dversfkato sd Wertpaperportfolos errechbar, dere Rsko uter dem des rskoärmste Wertpapers legt. bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema 4

5 Vortele des m-s-rzps: Gerger Iformatosbedarf, da ur zwe Momete jeder Wahrschelchketsvertelug vo Ergebsse ermttelt werde müsse. Itutv eleuchtedes rzp: µ det zur Erfassug der Höhe -Kompoete, σ zur Erfassug der Rsko - Kompoete. roblem: µ-σ-rzp ur uter bestmmte Voraussetzuge aus Beroull-rzp herletbar:.) Quadratsche Nutzefukto voraussetze (s.o.) robleme: Nutzefukto st ach ute geöffete arabel. Möglche ortfoloezahluge dürfe cht belebg hoch se! Quadratsche Nutzefukto mplzert ceters parbus wachsede Rskoscheu mt stegedem Vermöge. Mt zuehmedem Rechtum wrd e Etschedugsträger ceters parbus mmer weger Mttel uscher alege. bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema 5

6 .) Multvarate Normalvertelug der Wertpaperredte voraussetze. Dabe wchtg: Normalvertelug st ezger Vertelugstyp, der sch be Learkombato reproduzert. Falls µ-σ-rzp cht aus Beroull-rzp hergeletet wrd,.) st es bestefalls approxmatv erwartugsutzemaxmered,.) köe Verstöße gege de dem Beroull-rzp zugrudelegede Axome ratoale Hadels auftrete, 3.) sd sogar Verstöße gege das Zustads-Domaz-rzp möglch. Bespel.: s ) ( φ,5) s ( ) ( φ =,5) ( = W ~ 5 W ~. E[W ~ ] 5 E[W ~ = < ] = 5 Var[W ~ ] = 6.5< Var[W ~ ] = 5. (Kosequez?) bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema 6

7 Bestmmug effzeter ortfolos ohe rskolose Alage: Gegebee Date: µ, σ, σ j, (, j =,, ). Optmerugsproblem: % % j j = j= σ = x x Cov[r,r] m.! x,...,x mt! µ = x µ =µ, x = = = (Was wrd her bestmmt?) Darstellug Matrxschrebwese als Lagragefukto: σ... σ x L( x) = (x... x) σ... σ x µ λ (x... x )... µ λ (x... x )... µ = x'c x λ ( x' M µ) λ ( x' ). bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema 7

8 Notwedge Bedguge:! L k = ( x) = x σ + x σ λ µ λ x = k k k k k ˆ ˆ ˆ λ = σ =λ µ +λ λ = = = x :,k,...,. k k Also weder Matrxschrebwese: C x=λ ˆ M +λˆ x=λ ˆ C M +λˆ C. (*) Multplkato der letzte Glechug mt bzw. M vo lks ergbt ˆ ˆ I. ( = ) ' x=λ 443 ' C M +λ 443 ' C, = :b = :c ˆ ˆ II.(µ = ) M' x=λ M' C M +λ M' C = :a = :b Lösug vo I. ud II. ergbt de Lagragemultplkatore, Esetze (*) führt letztlch zu σ c a c b b c = + µ arabel mt Schetelpukt c ( µ, σ ) b =, c c s s bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema 8

9 σ rechter Ast = effzete ortfolos σ S µ S µ Scho mt Excel st Berechug der Effzezle ke roblem (Befehl MINV(Matrx) zur Berechug vo C ) Awedug der Formel vo Had asoste sehr mühselg, außer m Fall =. De her glt: σ σ C =. σ σ σ σ σ Bespel.3: (Fortsetzug Bespel.) Wertpaper Wertpaper µ 5 % 5 % σ % % σ =, bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema 9

10 σ µ σ µ µ + σ µ =,3, σ σ σ a σ µ σ ( µ + µ ) + σ µ = 6,975, σ σ σ b σ σ +σ = 54,3. σ σ σ c c b σ =, µ + + a c b c c ( µ,), 648 (Frelch st für = roblem auch ohe obge Formel lecht lösbar we?) σ x < % x < % % 9 % 8 % 5 % Bemerkuge: 7 % 9 % % 3 % 5 % µ () Der effzete Rad wrd stets durch de rechte Ast eer Normalparabel m (µ-σ )-Dagramm beschrebe. bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema

11 () De Mege aller ortfolos st kovex m (µ-σ )-Raum. Aus der Mege der effzete ortfolos wählt der Ivestor se dvduell optmales ortfolo. Ermttlug des optmale ortfolos: Bespelhaftes räferezfuktoal: Φ ( µ, σ ) = µ a σ Kokretserug der räfereze durch Kokretserug vo a (Iterpretato?). Isopräferezkurve bzw. Rsko-Idfferezkurve: Φ ( µ, σ ) = µ a σ = c (kostat) σ = ( µ c) a σ c wächst (was heßt das?) µ bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema

12 Graphsche Ermttlug des optmale ortfolos: σ Optmales ortfolo Jedem ukt ka ee Isopräferezkurve zugeordet werde. Der ukt mt der am weteste auße legede Kurve st optmal. Ermttlug effzeter ortfolos mt rskoloser Alage: Nu verfügbar: Wertpapere,..., + rskolose Alage mt scherer Redte r ortfolo = (x, x,..., x ) etsprcht folgedem ortfolo: Atel x rskolose Alage + Atel ( x ) ortfolo = (, y,..., y ) mt µ y = ( =,...,), x x x bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema

13 Da glt für de ortfolo-redte: r~ = x r + ( x ) ~ r ' µ = x r + ( x ) µ ' = = ( x r + ( σ ( σ (Warum?) = x ) ' ) r x + ( ) ( µ ' x r ) µ ) ' + r µ ' µ = r + σ (Erläuterug?) σ ' r σ (µ,σ ) r µ Alle möglche µ-σ-kombatoe lege auf eer Gerade durch de ukte (r, ) ud (µ,σ ) (Was bedeutet σ > σ?) bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema 3

14 Ma erhält für jede Wahl ees rskate ortfolos ee solche Gerade. (Welche ortfolos sd effzet? Welche Effzezmege ergbt sch m Fall r > µ S?) Effzete ortfolos: σ (µ,σ ) g g (µ *,σ * ) r µ Es sd geau de ortfolos effzet, de auf der Tagete a de Effzezmege ohe rskolose Alage lege. (Warum?) Ergebs: Exstert ee rskolose Alage, so sd alle effzete ortfolos als Learkombato der schere Alage mt demselbe ortfolo * uscherer Wertpapere darstellbar. bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema 4

15 Heraus resultert de sog. Tob-Separato: Im Rahme der Etschedugsfdug köe folgede Schrtte separert werde:.) Festlegug des rskate ortfolos * uabhägg vom Afagsvermöge ud de kokrete räfereze. (Was heßt letzteres her?) Erhalt aller (µ-σ-)effzete ortfolos.) Auswahl des kokrete ortfolos auf der Effzezgerade. Bestmmug des optmale ortfolos durch Kokretserug der räfereze (ud des Afagsvermöges) bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema 5

16 Beurtelug Markowtz-ortfolotheore: postv: explzte Berückschtgug vo Rskoaspekte Vermttlug wchtger Eschte Dversfkatosphäomee Ermttlug effzeter ortfolos als Vorauswahl ohe geaue Kets der Rskopräfereze möglch Charakterserug hrecheder Bedguge für Tob-Separato egatv: Uter Umstäde Verstoß gege Axome des Beroull- rzps (sogar Verstoß gege das Zustads-Domaz-rzp möglch) Datebeschaffugsproblem: We erforderlche Redtemomete schätze? Thema 3 (Immer och) Erheblches Dateverarbetugsproblem: We Recheaufwad reduzerbar? Theme 4 bs 6 bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema 6

17 Ergäzug: x σ x... x σ x σ... σ x = (x... x) x x... x x... x σ σ σ σ bfw, rof. Dr. W. Breuer, Thema 7