C Die Gleichung. Passive Netzwerke Differentialgleichungen H. Friedli. Darstellung der passiven Bauelemente Widerstand Kondensator Spule

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1 Passive Neweke Diffeenialgleichungen H. Fiedli Dasellung de passiven auelemene Widesand Kondensao Spule du U R I( ) I U& di( ) ( ) U L L I& d d Mi diesen Definiionen lassen sich alle passiven Kombinaionen von R und L in Seie- und/ode Paallelschalungen diskuieen. Wi beschänken uns auf dei klassische eispiele: Laden eines Kondensaos: Wie goss wid U () wenn um Zeipunk de Schale geschlossen wid? eache man den geschlossenen Somkeis (Maschengleichung!) egib sich: Fene gil fü den Kondensao: I du U () d & R I + U U () () und () sellen ein Gleichungsssem fü die unbekannen Funkionen U () und I() da. () enhäl eine bleiung. Lösen kann man das Ssem indem man um eispiel () auf beiden Seien nach ableie und dann () einse. Dami eliminie man U (): R I& + U& I U& R I& + U& R I& + Die Gleichung R I & + I (DGL) is eine Diffeenialgleichung fü I().Man lös sie mi dem nsa: Fiedli

2 I( ) I e inseen in de DGL egib folgende Zeile: α α R α I e + I e. α Da die Gleichung fü alle efüll sein muss folg daaus eine edingung fü α : α ( R α + ) I e R α + α R Wenn fü de Kondensao nich geladen is folg U () und mi () α U I ( ) I e I. R Die Spannung U () übe dem Kondensao is une Vewendung von () als Funkion somi vollsändig besimm: α α R I e + U U U U R I e U U U e U(V) I(m) U U Laden von uf übe R5k ( e R 4 6 (ms) ) U() I() α Schwingkeis Speis man übe einen Widesand eine sinusfömige Spannung in eine Paallelschalung aus einem Kondensao und eine Spule ein so wid diese Paallelschwingkeis ode L-Keis bei eine gewissen Fequen Resonan eigen. Zu nalse genüg es die Paallelschalung von und L u sudieen. Nach den Definiionen folg nämlich: di( ) U L () d du und I () d Fiedli

3 3 Leien wi () nach de ab: di d U I& ( ) U&. (3) d d Duch inseen von (3) in () eliminie man I(). Dies füh auf eine DGL fü die unbekanne Funkion U(): di( ) d U U L L L U& (DGL) d d Diese DGL lös man mi dem nsa: U sinω. inseen in die DGL egib: U L ( ) sinω ω sinω L ω ω L Daaus leie sich die Thomsonsche Schwingungsfomel fü die Resonanfequen ab: f π L Die mpliude is wie beim Fedependel fei wählba. Sie wid beim idealen d.h. velusfeien Schwingkeis bei Resonan unendlich goss bei Dämpfung maimal. Tiefpass Wid an einen Spannungseile besehend aus Widesand und Kondensao eine sinusfömige Spannung angeleg egib sich je nach Fequen f eine andee mpliude am usgang. Fü f (Gleichspannung) is U U sobald de Kondensao aufgeladen is. Je höhe f gewähl wid umso öfe muss de Kondensao umgeladen weden und umso gösse is also de in R und fliessende Som. U wid mi unehmende Fequen eine imme kleine wedende mpliude aufweisen und meh ode wenige phasenveschoben sein. Fü die Diskussion de Schalung beufen wi uns wiede auf die Definiion und ehalen: U R I + U () I U& () inseen von () in () eliminie I() und füh auf eine DGL fü die unbekanne Funkion U (): U R U& ( ) + U ( ) (DGL) Mi dem nsa U ˆ U sin( ω) und U ˆ ˆ U sin( ω + ϕ) U (sinω cosϕ + cosω sinϕ) sowie U& ω cos( ω + ϕ) ω (cosω cosϕ sinω sinϕ) ehäl man folgende Zeile: sinω Rω (cosω cosϕ sinω sinϕ) + (sinω cosϕ + cosω sinϕ) Fiedli 3

4 4 Diese Gleichung muss fü alle efüll sein d.h. die Vofakoen von sin ω und cos ω müssen links und echs vom Gleichheiseichen übeeinsimmen. (Mi Vekoechnung: sinω und cos ω sind die wei linea unabhängigen asisvekoen eines weidimensionalen Vekoaums; die Spalenvekoen müssen dahe links und echs vom Gleichheiseichen übeeinsimmen.) lso: ω ˆ ω ω ϕ ˆ sin U R sin sin + U sinω cosϕ Rω cosω cosϕ + cosω sinϕ Das füh auf ein Gleichungsssem mi den unbekannen und ϕ : U ˆ ˆ ω sinϕ ˆ U R + U cosϕ (3) U ˆ Rω cosϕ + sinϕ (4) ˆ cosϕ Division von (4) duch U füh auf an ϕ Rω. (5) Dami is die Fequenabhängigkei de Phasenveschiebung wischen ingangsund usgangsspannung besimm: ϕ acan( Rω) Dividie man (3) duch und mi (5) ˆ U cosϕ ehäl man Rω anϕ + cosϕ an ϕ +. (6) cosϕ Nach F&T S.5 gil + an ϕ und dami + an ϕ. cos ϕ cosϕ Gleichung (6) wid dann u ˆ U + an ϕ + an ϕ + an ϕ Dami is die fequenabhängige usgangsampliude besimm: ˆ ˆ U U + ( Rω) ω Inepeaion des Tiefpasses: Fü iefe Fequenen f π << is de Nenne πr im wesenlichen und ; iefe Fequenen weden pakisch ungehinde ω duchgelassen. Fü hohe Fequenen f π >> is de Nenne in wesenlichen πr πfr und nimm mi / f ab; hohe Fequenen weden ausgefile. Fiedli 4

5 5 In de Pais wid häufig das Vehälnis von usgangs- u ingangsspannung dagesell: + ( Rω) Tiefpass Tiefpass Ua/Ue Fequen Phase (Gad) Fequen Fü den Hochpass egeben sich mi analogen Übelegungen die folgenden eiehungen: Rω und ϕ acan( / Rω) + ( Rω) Hochpass Hochpass Ua/Ue Fequen Phase (Gad) Fequen Fiedli 5

6 6 beisbla Passive Neweke F. eechnen Sie: a) den ohmschen Widesand eines 5.3m langen ludahes mi eine Queschnisfläche von.mm b) die Kapaiä eines Plaenkondensaos mi bsand mm und 5cm Plaenfläche und c) die Indukiviä eine langen einlagig gewickelen Lufspule mi Windungen de Länge cm und 3.5cm Duchmesse.. ine sinusfömige Spannung U() mi de Spienspannung V und de Fequen 4H wid a) an eine ohmschen Widesand von Ω b) an einen Kondensao mi eine Kapaiä von.33 µf bw. c) an eine Spule mi eine Indukiviä von 8mH angeleg. eechnen Sie in jedem Fall die duch das jeweilige lemen fliessende Somsäke in Funkion de Zei. 3. nläd man einen Kondensao übe einem Widesand R so sink die Spannung unächs asch dann imme langsame. Wie goss is die Spannung wei Sekunden nach nladebeginn falls R.7M Ω 4.7nF und U 3V? 4. in Kondensao.5 µf wid an eine Gleichspannung UV übe einen Widesand R4kΩ aufgeladen. Zum Zeipunk is die Spannung übe dem Kondensao V. eechnen Sie die Spannung U() übe dem Kondensao. 5. n einen L-Paallelschwingkeis (L4.7 µ H; nf) wid eine sinusfömige Spannung angeleg. ei welche Fequen geä de Schwingkeis in Resonan? 6. eechnen Sie fü das folgende File (nf R47k Ω ) das numeische Rω Vehälnis fü Fequenen wischen und H (in -e- ˆ U + ( Rω) Poenschien) und eichnen Sie ein Diagamm U ˆ U ˆ / gegen log(f). Fü welche Fequen is U ˆ / U ˆ genau.5? Welche Funkion efüll das File? Fiedli 6

7 7 Pakikum Passive Neweke Schwingkeis Maeial: Funkionsgeneao Kahodensahlosillogaph (KO) Widesände Kondensaoen Indukiviäen. Schliessen Sie den usgang des FG (auf Sellung Sinus ) an den linken ingang (KO ) an und sellen Sie eine Fequen von H und eine mpliude von V ein. uf dem KO muss eine sehende Sinuskuve escheinen. Dau muss de Tigge auf hannel sehen (KO).. auen Sie mi R k Ω und. µ F folgendes Newek auf: Übeeugen Sie sich von de Funkionsweise de Schalung indem Sie die Fequen in e-poenschien änden (.. ). Fessellung: Vaiieen Sie ebenfalls die mpliude. Was sellen Sie fes? Wie können Sie die Funkion de Schalung bescheiben? 3. Veauschen Sie Widesand und Kondensao. Dami egib sich ein so genanne Tiefpass: sellen Sie ein Diagamm indem Sie U usgang (Spannung an KO) in Funkion des -e Logaihmus de Fequen aufagen. Vegleichen Sie U ) U ) mi de Theoie. Fü welche Fequen is U ) U ).5? f H eobachen Sie ebenfalls die Phasenveschiebung. Fiedli 7

8 8 4. Gedämpfe Schwingkeis auen Sie folgende Schalung auf: Wählen Sie: R 47 k Ω und. µ F Recheckfequen fh. Vaiieen Sie f in kleinen Schien. Skiieen Sie in einem Diagamm U(KO). Inepeaion? esimmen Sie von uge auf dem KO die Schwingungsfequen f. (Hinweis: Time/Div mein die Zei die von einem Häuschen bis um nächsen veseich diese Häuschen sind auf dem KO-ild ca. cm bei.) Schwingungsfequen f : H (aus KO-ild) Resonankuve Schalen Sie den Funkionsgeneao in Sellung Sinus um: Vaiieen Sie die Fequen bis Sie die Resonanselle gefunden haben. Noieen Sie sich die Resonanfequen f (evenuell mi Seinegge-Fequenmessgeä nachmessen) und beechnen Sie daaus die bishe unbekanne Indukiviä L de Spule. Resonanfequen f H ) ( mi eechnung: Indukiviä L mh (via eechnung) Zeichnen Sie ein Diagamm in dem Sie die Schwingkeisspannung in Funkion de Fequen aufagen. Skiieen Sie ebenfalls ein gobes Phasen-Fequendiagamm und konenieen Sie sich besondes auf seh iefe und seh hohe Fequenen (in -e Poenschien). Wie goss is die Phasenveschiebung im Resonanfall? Fiedli 8

9 9 NHNG Zu egündung elekomagneische Wellen Die Mawellgleichungen lauen in diffeenielle Scheibweise: ( I) ( II) ( III) ( IV ) ρ εε µµ j + µµ εε Dabei bedeue den Nabla-Opeao und usw die sogenannen paiellen bleiungen nach usw. Wid eine Funkion f().. nach paiell abgeleie so weden die in de Funkionsvoschif vokommenden Vaiablen als Konsanen behandel wie folgendes eispiel eig: Sei e dann is das Skalapoduk + + e + e + ( + + ) + e Fü elekomagneische Wellen im Vakuum ode duchsichigen Maeialien sind keine Ladungen vohanden (Ladungsdiche ρ ) und es fliessen keine Söme (Somdiche j ). Zunächs düfen -Feld und -Feld igendwelche Funkionen de vie Vaiablen sein. Wi machen folgende Veeinfachungen: Die elekomagneische Welle soll sich eak in -Richung bewegen. Das elekische Feld wede in -Richung gewähl dami liegen alle -Vekoen in - Richung wie Figu eig. Dami nimm man naülich einen Teil de Lösung von (I) bis (IV) beeis voweg; d.h. man beeie und fü den geeigneen nsa vo. Fiedli 9

10 Fiedli Figu Fü die Felde egeben sich folgende Funkionen: ) ( ) ( und us (I) folg dami )) ( ( ) ( was nichs andees bedeue als dass keine Funkion von sein kann. us (VI) folg analog dass ) ( und dahe keine Funkion von sein kann. eachen wi nun Gleichung (II). Das Vekopoduk von mi auf de linken Seie sell die sogenanne Roaion von da echs seh die paielle bleiung von nach de Zei: εε µµ εε µµ v is eine of vewendee bküung fü den Diffeenialopeao. De Uebesichlichkei halbe scheiben wi () und ()). Die Gleichung eig dass keine Funkion von sein kann und dass die die Komponene die folgende paielle Diffeenialgleichung PDGL liefe ) ( εε µµ nalog ehäl man aus MG (III) dass keine Funkion von sein kann; die weie

11 PDGL laue demnach: ( ) Leie man () nach und () nach ab egeben sich die folgenden Gleichungen: ( *) ( ) µµ εε ( ) ( *) ( ) ( ) Man kann eigen dass es keine Rolle spiel ob man () ues nach und dann nach ableie ode umgekeh; hie egib sich daaus Gleichhei fü (*) und (*). Man ehäl die folgende homogene paielle Diffeenialgleichung weie Odnung fü (): ( ) ( ) µµ εε ( ) In Woen: gesuch is eine Funkion () deen weie bleiung nach bis auf einen konsanen Fako mi de weien bleiung nach übeeinsimm. Hie bieen sich ponenialfunkionen mi geeigneen Paameen an; ein einfache nsa de de PDGL auch genüg sind hamonische Wellen fü : π π (. ) ˆ sin( ω k) mi ω und k T λ Konolle: ˆ ˆ ω cos( ω k) und ( ) ω sin( ω k) ˆ cos( ) ( ) ˆ k ω k und k sin( ω k) ( ) : ˆ sin( ) ˆ in eingese µµ εε ω ω k k sin( ω k) Nach Division duch ˆ sin( ω k) egib sich folgende eiehung wischen den eiund osunabhängigen Gössen: k µµ εε ω Da fü die usbeiungsgeschwindigkei c / T is folg k λ c T µµ εε ω µµ εε und π λ λ π µµ εε T also Folgeungen und emekungen: Fü Vakuum gil ε und µ. Die Vakuumlichgeschwindigkei egib sich dahe u 8 c Vac ms 3 ms 7 µ ε 4π 8.85 Dami is die Lichgeschwindigkei c aus den Naukonsanen ε und µ ableiba! Das is allein aufgund de Mawellgleichungen möglich die iheseis aus de lekodnamik heühen. Fü duchsichige Medien wie Glas Wasse usw. is Fiedli

12 daübehinaus eine Inepeaion des echungsindees möglich: cvac cmed und dami n µε n µ ε µε Die Opik wid u einem Teilgebie de lekiiäslehe! Med Fiedli