Kapitel 4 Schaltungen mit Delays (Schaltwerke) Literatur: Oberschelp/Vossen, Kapitel 4. Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 1

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1 Kapitel 4 Schaltungen mit Delays (Schaltwerke) Literatur: Oberschelp/Vossen, Kapitel 4 Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 1

2 Schaltungen mit Delays Inhaltsverzeichnis 4.1 Einführung 4.2 Addierwerke 4.3 Lineare Schaltkreise und Schieberegister (LSR) 4.4 Anwendungen von LSRs Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 2

3 4.1 Asynchrone Schaltnetze Bisher haben wir die Möglichkeit kennen gelernt, das Verhalten einer Black Box logisch durch Schaltfunktionen zu beschreiben. Ferner haben wir erläutert, wie sich vorgegebene Schaltfunktionen, insbesondere Boolesche Funktionen durch Schaltnetze realisieren lassen. Die Zeit, die vom Anlegen eines Inputs bis zum Ablesen des Outputs verging, wurde dabei vernachlässigt. Außerdem war für die Berechnung eines Outputs nur der aktuelle Input maßgebend, nicht jedoch z.b. irgendeine frühere Eingabe. Solche Schaltungen bezeichnet man allgemein als asynchrone Schaltnetze. In diesem Kapitel geht es um Schaltnetze, die sich etwas merken können (einen Zustand haben): synchrone/getaktete Schaltungen, auch Schaltwerke genannt. Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 3

4 4-Bit Ringzähler Beispiel 4.1: Gesucht ist ein Ringzähler für vierstellige Dualzahlen, d.h. eine Schaltung für folgende Funktion: R :B 4 B 4, definiert durch R (d(i)) := d(i+1 mod 16). Dabei sei d(i) die vierstellige Dualdarstellung von i {0,,15}. Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 4

5 Beispiel 4.1 (Forts.): 4-Bit Ringzähler Die Schaltung hat dann das folgende Aussehen: R Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 5

6 4-Bit-Ringzähler - Problem Wird in unseren Ringzähler R z.b. x 3 = 0, x 2 = 1, x 1 = 1, x 0 = 0 eingegeben, kann nach einer gewissen Zeit das Ergebnis y 3 = 0, y 2 = 1, y 1 = 1, y 0 = 1 abgelesen werden. Problem: Die Schaltung kann in dieser Form noch nicht benutzt werden, denn die Aufgabe des Ringzählers besteht darin, zyklisch bis 15 zu zählen, dann alle Outputs auf 0 zu setzen und wieder bis 15 zu zählen usw. Lösung: Die Ausgabe von R kann als nächste Eingabe benutzt werden, d.h. die Outputs werden mit den Inputs per Rückkopplung verbunden. Nach Definition 2.7 lassen Schaltnetze (als zykelfreie Graphen) derartige Konstruktionen jedoch nicht zu. Abhilfe kann mit so genannten Delays geschaffen werden. Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 6

7 Delays - Arbeitsweise Ein Delay besteht aus einem Vorspeicher V und einem Speicher S. Es ist in der Lage, ein Bit zu speichern. Einer Schleuse ähnlich arbeitet es in zwei Phasen, welche durch den Takt unterschieden werden: (1) Arbeitsphase (2) Setzphase Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 7

8 Delays - Arbeitsweise (1) Arbeitsphase: Der Inhalt von S wird nach rechts abgegeben; er steht als Signal y i für eine längere Zeit zur Verfügung. Ein (eventuell anderes) Signal x i wird in V abgelegt. V und S sind durch eine Sperre getrennt. (2) Setzphase: Eine zentrale Synchronisation (Clock) hebt die Sperre kurzzeitig auf und bewirkt dadurch die als Setzen bezeichnete Abgabe des Inhalts von V an S. Befindet sich zum Zeitpunkt i der Wert x i im Vorspeicher und der Wert y i im Speicher, so wird beim nächsten Takt, der den Übergang von Zeitpunkt i zum Zeitpunkt i+1 markiert, der Wert x i in den Speicher geschrieben, d.h. formal y i+1 x i. Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 8

9 4-Bit-Ringzähler mit Delays Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 9

10 Zulässige Flimmerschaltung Eine Flimmerschaltung kann aufgebaut werden, indem wir durch die Einführung von Delays eine Schnittstelle schaffen, welche Rückkopplungen erlaubt, da ein Delay eine saubere Trennung kurz geschlossener Signale bewirkt. z x unzulässige (instabile) Schaltung (Flimmerschaltung) zulässige Flimmerschaltung Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 10

11 Realisierung von Delays In der Praxis wird ein Delay durch ein so genanntes Flip-Flop realisiert. Je nach Anwendung kommen dabei verschiedene Typen (z.b. SR-, D-, JK-, Master-Slave-Flip-Flop) zum Einsatz, die sich aus logischer Sicht nicht unterscheiden. Im Folgenden werden wir deshalb nicht mehr auf sie eingehen. Zur Legitimation, hier die Basisschaltung eines Flip-Flop: Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 11

12 Register und ihre Darstellung Wie das Beispiel des 4-Bit-Ringzählers bereits andeutete, wird man zu Speicherzwecken im Allgemeinen nicht mit nur einem Delay auskommen; meistens benötigt man Folgen von Delays, welche man auch als Register bezeichnet. Im Beispiel haben wir ein vierstelliges Register verwendet, dessen Komponenten paarweise voneinander unabhängig waren, d.h. zwischen ihnen bestand keine Verbindung. Als Abkürzung dafür werden wir folgende Darstellungsweise verwenden:.... D n-1 D n-2 D 1 D 0 D n-1 D n-2 D 1 D 0 Prinzip Darstellung Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 12

13 Register in Rechnern Register sind also in der Lage, Worte der Länge n über dem Alphabet B zu speichern. Diese können z.b. als n-stellige Dualzahlen interpretiert werden. D i stellt dabei die Ziffer an der i-ten Stelle des Wortes dar. Daher bezeichnet man n auch als Wortlänge eines Rechners, der mit n- stelligen Registern arbeitet. Gängige Wortlängen sind n=8, 16, 32, 48, 60, 64. Zur Vereinfachung fasst man im Allgemeinen 8 Bits zu einem Byte oder auch drei Bits zu einer Oktal- und 4 Bits zu einer Hexadezimalzahl zusammen. Prinzipiell werden alle Delays eines solchen Registers gleichzeitig getaktet, wobei zwischen zwei Taktimpulsen in jedem Delay Arbeits- und Setzphase ablaufen. Die Zeit zwischen zwei Impulsen nennt man die Taktzeit eines Rechners. Taktzeiten liegen heute in Größenordnungen von 10-8 bis 10-9 sec. Im Prinzip kann man sich jede Art von Speicher im Rechner auch als eine Sammlung einzelner Register vorstellen. Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 13

14 Beschreibungsmöglichkeiten von Schaltwerken Schaltwerke sind zustandbehaftete Schaltnetze. Wir benötigen also eine neue formale Beschreibungsmöglichkeit derartiger Netze. Vorbetrachtungen: Betrachtet man den Inhalt eines Speichers, so kann ein einzelnes Delay nur die beiden Zustände 0 und 1 annehmen. Der Zustand des gesamten Schaltwerks ist bei n Delays ein Wort aus B n. Der nächste Zustand eines Schaltwerks wird durch die implementierte Funktion bestimmt. Daher ist ein Schaltwerk S, d.h. ein Schaltnetz mit Delays, durch einen (deterministischen) endlichen Automaten A S mit Ausgabe (sog. Mealy Automat) beschreibbar. Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 14

15 Mealy-Automat Definition: (Mealy-Automat) A S ist der Mealy-Automat zum Schaltwerk S mit folgenden Komponenten: A S = (Q, Σ,, q 0, F, δ) mit Q : endliche Zustandsmenge Σ : endliches Eingabealphabet : endliches Ausgabealphabet q 0 Q : Startzustand F Q : Menge der ausgezeichneten Zustände δ : Q (Σ {ε}) Q ( {ε}), mit ε = das leere Wort. Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 15

16 Funktionsweise des Mealy-Automaten Hat S etwa n Delays (n-stelliges Register), so ist das n-tupel der Zustände dieser Delays der aktuelle Zustand von S. Eingaben bzw. Ausgaben sind Worte über Σ bzw.. Befindet sich A S im Zustand q, und ist für x Σ {ε} δ(q,x) = (q,y) so geht der Automat als nächstes in den Zustand q über und gibt y aus. Wesentliches Merkmal eines endlichen Automaten ist seine endliche Gedächtnisleistung, die er durch seine nur endlich vielen Zuständen besitzt. Durch den Übergang in einen bestimmten Zustand merkt sich der Automat eine bestimmte Situation; dieses Merken aber bedeutet im entsprechenden Schaltwerk gerade Speichern in den Delays. Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 16

17 Mealy-Automat - Beispiel Beispiel 4.1: (Der 4-Bit-Ringzähler als Mealy-Automat) Sei R der 4-Bit-Ringzähler mit den 4 Delays D 3, D 2, D 1, D 0. Eine Beschreibung von R durch einen endlichen Automaten lautet: A R = (Q R, Σ R, R, q R, F R, δ R ) mit 1. Q = R B4 ; jedes q Q R hat die Form q = (d 3,d 2,d 1,d 0 ); dabei ist d i der Zustand von D i. 2. Σ = R R = ; der Ringzähler arbeitet autonom, d.h. er hat weder Einnoch Ausgabe. 3. q ist daher beliebig wählbar, etwa q R R = (0,0,0,0). 4. F R = 5. δ R : Q R {ε} Q R {ε} ist definiert durch δ R mit R wie in Beispiel 5.1 (1). (q, ε) := (R (q), ε); Kapitel 4: Schaltungen mit Delays Seite 17