7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe

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1 7 Untergruppen, Faktorgruppen, Ideale, Restklassenringe und Homomorfismen Wir verallgemeinern den Übergang von Z zu Z/m. Sei im folgenden G eine (additiv geschriebene) abelsche Gruppe, H eine Untergruppe. Definition 7.1 Sei a H. Die Nebenklasse von a modulo H, auch mit (a mod H) bezeichnet, ist die Teilmenge a + H = {a + h h H} von G. Frage: Ist dieser Begriff eine Verallgemeinerung des Begriffs der Restklasse a + mz? A) Klar. B) Die beiden Begriffe haben ja wohl kaum etwas miteinander zu tun. Antwort: A. Analog zu den Restklassen a + mz gilt: Satz 7.2 a) Jedes a G liegt in genau einer Nebenklasse modulo H. b) Jede Nebenklasse modulo H hat so viele Elemente wie H. Beweis: a) Zunächst gilt a a + H, da 0 H. Sei etwa a b + H und a c + H, d.h. es gebe h 1, h 2 H mit a = b + h 1 = c + h 2, Dann gilt für jedes h H, dass b + h = (b + h 1 ) + (h h 1 ) = c + h 2 + h h 1 c + H ist. Somit ist b + H c + H. Die Inklusion c + H b + H ist genauso zu beweisen. b) Die Abbildung H a + H, h a + h ist bijektiv. Sie ist nämlich surjektiv nach Definition von a + H. Und da aus a + h 1 = a + h 2 in der Gruppe G die Gleichung h 1 = h 2 folgt, ist die Abbildung auch injektiv. Definition 7.3 Mit [G : H] wird die Anzahl der Nebenklassen modulo H bezeichnet. Sie heißt Index von H (in G). Satz 7.4 Es ist #G = [G : H] #H. (Dies gilt auch, falls #G = ist, wenn man n = n = = für n N 1 definiert. Es ist auch richtig im Sinne des Produktes von möglicherweise unendlichen Kardinalzahlen.) Insbesondere gilt #H #G, wenn G endlich ist. Beweis: H haben. Es gibt nach Definition [G : H] Nebenklassen, die alle so viele Elemente wie 58

2 Folgerung 7.5 a) Für x G, G endlich, gilt ord(x) #G. b) Insbesondere ist (#G) x = 0. Beweis: a) ord(x) = # x und x ist eine Untergruppe von G. b) Dies folgt aus a) und 5.12 d). Wir erhalten die zahlentheoretische Folgerung 7.6 (Euler) Sei k Z teilerfremd zu m N 1. Dann ist k ϕ(m) 1 (mod m). Beweis: Nach 4.19 und 4.22 ist (k mod m) ein Element der (multiplikativ geschriebenen) Einheitengruppe (Z/m) von Z/m. Diese hat ϕ(m) Elemente. Wende 6.5 b) an. Speziell für eine Primzahl p erhalten wir die (historisch ältere) Folgerung 7.7 ( Kleiner Satz von Fermat) a) Wenn p k, so ist k p 1 1 (mod p). b) Für beliebige k Z ist k p k (mod p). Beweis: a) Gilt wegen ϕ(p) = p 1. b) folgt für k 0 (mod p) aus a) und ist für k 0 (mod p) trivial. Will man den kleinen Fermat in der Schule beweisen, kann man es wie folgt tun: Satz: Für p prim und 1 k p 1 ist der Binomialkoeffizient ( p k) durch p teilbar. Denn der Zähler von p!/(k!(p k)! ist durch p teilbar, der Nenner nicht. Es folgt: Für p prim und a, b Z gilt: (a + b) p a p + b p (mod p) In Z/p lässt sich jedes Element als Summe von 1-en schreiben. Dort ist also a p = ( ) p = 1 p p = a. Definition 7.8 a) Mit G/H wird die Menge der Nebenklassen modulo H bezeichnet. b) Die kanonische Abbildung κ : G G/H wird durch κ(a) = a + H definiert. 7.9 Analog zu 4.9 erhalten wir den 59

3 Satz 7.10 Seien eine abelsche Gruppe G und eine Untergruppe H gegeben. Für a, b G sind folgende Aussagen äquivalent: (i) (a mod H) = (b mod H), d.h. κ(a) = κ(b); (ii) a (b mod H); (iii) b (a mod H); (iv) (a mod H) (b mod H) ; (v) a b H; (vi) a und b liegen in derselben Nebenklasse. Der Beweis stimmt mit dem von 4.9 fast buchstäblich überein. Definition 7.11 Man sagt, a ist kongruent zu b modulo H, und schreibt a b (modh) oder a b (H), wenn a, b, H die äquivalenten Aussagen von 6.10 erfüllen. Die Kongruenzrelation genügt offenbar folgenden Gesetzen: a) a a (mod H), b) a b (mod H) = b a (mod H), c) a b (mod H), b c (mod H) a c (mod H). d) Ist H eine weitere Untergruppe von G mit H H, so gilt die Implikation a b (mod H) = a b (mod H ). e) a a (mod H), b b (mod H) a + b a + b (mod H) Wie in 4.13 können wir wegen 6.12 e) auf der Menge G/H eine Addition definieren: (a mod H) + (b mod H) := (a + b mod H). Bemerkungen 7.13 Mit der oben angegebenen Addition ist G/H eine abelsche Gruppe. H = (0 mod H) ist das neutrale Element, und ( a mod H) ist zu (a mod H) invers. Ferner ist κ : G G/H ein Homomorfismus, der sogenannte kanonische Homomorfismus. Definition 7.14 G/H, mit der oben angegebenen Addition, heißt die Faktorgruppe (oder Restklassengruppe) von G modulo H (oder von G nach H). 60

4 Beispiel 7.15 Sei G := (Z/9) = {1, 2, 4, 5, 7, 8}. Sei H := 4. Es ist 4 2 = 7, 4 3 = 1, also H = {1, 4, 7} eine Gruppe von 3 Elementen. Da #G = 6, muss [G : H] = 2 sein. Die Nebenklassen nach H sind H selbst und 2 H. Denn immer ist H eine Nebenklasse nach H und 2 H = 2, 8, 5} ist das Komplement von H. Es ist G/H = Z/2. Übrigens ist G zyklisch. Denn 2 2 = 4, 2 3 = 8 = 1, 2 4 = 2 = 7, 2 5 = 4 = 5, 2 6 = ˇ1. Beachte (Z/8) ist nicht zyklisch, wohl aber (Z/9) Satz 7.16 Wenn G zyklisch ist, so ist es auch jede Faktorgruppe G/H von G. Ist z ein Erzeuger von G, so ist (z mod H) ein solcher von G/H. Beweis: Wenn G = {nz n Z} gilt, dann erst recht G/H = {nz + H n Z} = {n (z mod H) n Z}. Bemerkung 7.17 Zusammen mit 14 ergibt sich: Ist G eine zyklische Gruppe, H eine Untergruppe, so sind H sowie G/H ebenfalls zyklisch. Die Umkehrung ist i.a. falsch. Beachte jedoch Bemerkungen(für den nicht abelschen Fall, die in diesem Buch nicht gebraucht werden): Man muss ein wenig vorsichtig sein, will man obige Betrachtungen auf nicht (notwendig) kommutative Gruppen verallgemeinern. Man hat dann zwischen Linksnebenklassen ah und Rechtsnebenklassen Ha zu unterscheiden (multiplikative Schreibweise!). Satz 6.2 behält seine Gültigkeit, wenn man ihn entweder auf Linksnebenklassen oder auf Rechtsnebenklassen anwendet. Hingegen kann ah Hb sein und trotzdem ah Hb gelten. Es gibt ebenso viele Rechts- wie Linksnebenklassen nach H. Die Abbildung ah Ha 1 = {x 1 x ah} gibt eine bijektive Zuordnung von der Menge der Links- auf die Menge der Rechtsnebenklassen. (Hingegen wird durch ah Ha keine Abbildung definiert; denn aus ah = bh folgt nicht allgemein Ha = Hb!) Man kann also den Index [G : H] mit Links- oder mit Rechtsnebenklassen definieren. Satz 6.4 bleibt erhalten und auch das Korollar 6.5. Insbesondere ist x #G = 1 (multiplikative Schreibweise) für x G. Satz 6.8 gilt ohne die Voraussetzung, G sei abelsch. 61

5 Satz 6.10 gilt für Linksnebenklassen, wenn man (v) durch b 1 a H ersetzt. Für Rechtsnebenklassen gilt er, wenn man (v) durch ab 1 H ersetzt. Auf G/H kann man genau dann eine kanonische Gruppenstruktur erklären, wenn ah = Ha für alle a G gilt. In diesem Falle heißt H ein Normalteiler von G. Jede Untergruppe einer abelschen Grupe ist ein Normalteiler. Im folgenden wollen wir eine wichtige Beziehung zwischen den Begriffen Faktorgruppe und Gruppenhomomorfismus (5.6) beschreiben. Definition 7.19 Sei f : G H ein Gruppenhomomorfismus. Der Kern von f ist die Menge ker(f) := {a G f(a) = 0 H }. Das Bild von f ist die Menge im(f) := f(g) := {f(a) a G}. Bemerkungen 7.20 a) ker(f) ist eine Untergruppe von G und im(f) eine solche von H. Denn wegen f(0 G ) = 0 H (5.7) ist 0 G ker(f), 0 H im(f). Und wegen f(a b) = f(a) + f( b) = f(a) f(b) ist sowohl ker(f) als auch im(f) gegen Differenzenbildung abgeschlossen. b) Für a, b G gilt f(a) = f(b) genau dann, wenn f(a b) = 0, d.h. a b ker(f) ist. Insbesondere ist f genau dann injektiv, wenn ker(f) = {0} ist Satz (Homomorfiesatz, Verallgemeinerung von 5.9): Sei f : G H ein Homomorfismus abelscher Gruppen und U G eine Untergruppe von G mit U ker(f). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Homomorfismus g : G/U H derart, dass das Diagramm G f H κ g G/U kommutativ ist, d.h. f = g κ gilt. Hierbei ist κ die kanonische Abbildung. Wenn U =ker(f) ist, ist g injektiv. D.h. es gibt einen Isomorfismus G/ker(f) = im(f). Beweis: Seien a, b G. So gilt a b (mod ker(f)) genau dann, wenn f(a) = f(b) ist (6.20 b). Da U ker(f), folgt aus a b (mod U), dass a b (mod ker(f)), d.h. f(a) = f(b) ist. Deshalb ist die Abbildung g : G/U H durch g((a mod U)) := f(a) wohldefiniert. Da mithin g vermittels f definiert ist, sieht man sowohl, dass g ein Homomorfismus, als auch, dass g κ = f ist. Ferner folgt im(f) = im(g). Die Eindeutigkeit von g folgt so: Wenn g κ = f ist, so ist 62

6 g (a mod U) = g κ(a) = f(a); d.h. g = g. Sei jetzt U = ker(f) und g((a mod U)) = g((b mod U)), d.h. f(a) = f(b). Dann ist a b ker(f) = U, also (a mod U) = (b mod U). Somit ist g injektiv und bildet G/ ker(f) bijektiv, also isomorf auf im(g) = im(f) ab. Bemerkung (für den nichtabelschen Fall, die ebenfalls in diesem Buch nicht gebraucht wird): Seien in 6.19ff G und H nicht notwendig abelsch. Dann ist ker(f) ein Normalteiler. Satz 6.21 bleibt richtig, wenn man zusätzlich voraussetzt, U sei ein Normalteiler. Wie sieht die Sache bei Ringen aus? Ganz ähnlich, da diese ja bezüglich der Addition Gruppen sind. Definition 7.22 Ein Ideal eines Ringes A ist eine Teilmenge I von A mit folgenden Eigenschaften: 1) I ist bzgl. der Addition eine Untergruppe von A; 2) für a A und x I gilt ax I. Bemerkung 7.23 Eine Untergruppe H der additiven Gruppe von Z ist bereits ein Ideal. Denn für a Z, x H gilt ax = ±(x + x x). Die Ideale von Z sind also die Mengen mz. Definitionen 7.24 a) Ein Ringhomomorfismus ist eine Abbildung von Ringen: f : A B mit (i) f(a + b) = f(a) + f(b), d.h. f ist ein Homomorfismus der additiven Gruppen, (ii) f(ab) = f(a) f(b); (iii) f(1 A ) = 1 B. b) Der Kern eines solchen Ringhomomorfismus ist ker(f) := {a A f(a) = 0 B }. b) Das Bild von f ist im(f) := f(a) = {f(a) a A}. d) Ein Isomorfismus von Ringen ist ein bijektiver Ringhomomorfismus. 63

7 Bemerkungen 7.25 a) Der Kern eines Ringhomomorfismus f : A B ist ein Ideal von A. Denn zunächst stimmt der Kern von f als Ringhomomorfismus mit dem von f als Homomorfismus der additiven Gruppen überein, ist also eine Untergruppe der additiven Gruppe von A. Wenn ferner x ker(f) und a A ist, gilt f(ax) = f(a) f(x) = f(a) 0 = 0, also ax ker(f). b) Das Bild eines Ringhomomorfismus f : A B ist ein Unterring von B. c) Die kanonische Abbildung κ : Z Z/m ist ein Ringhomomorfismus mit dem Kern mz. Satz 7.26 Sei I ein Ideal des Ringes A. In der Faktorgruppe (der additiven Gruppen) A/I kann man (auf kanonische Weise) eine Multiplikation (A/I) (A/I) A/I einführen, derart dass 1) A/I ein Ring und 2) der kanonische Gruppenhomomorfismus κ : A A/I ein Ringhomomorfismus wird. Beweis: Die Vorschrift (a mod I) (b mod I) := (ab mod I) ist wohldefiniert. Seien nämlich a a (mod I) und b b (mod I). Dann ist ab a b = ab a b + a b a b = (a a )b + a (b b ) I, da a a, b b I und I ein Ideal ist. Es folgt ab a b (mod I). Die Ringgesetze in A/I folgen unmittelbar aus ihrer Gültigkeit in A. Offenbar ist (1 mod I) ein neutrales Element für die Multiplikation in A/I. Die Abbildung κ : A A/I, κ(a) = (a mod I) ist bekanntlich (6.14) ein Homomorfismus der additiven Gruppen. Nach der oben gegebenen Definition der Multiplikation in A/I und weil (1 mod I) die Eins in A/I ist, ist κ auch ein Ringhomomorfismus. Sei I ein Ideal von Z. Dann ist wie wir bereits wissen I = mz für ein m Z, und es ist Z/mZ = Z/m. Satz 7.27 (Homomorfiesatz für Ringe) Sei f : A B ein Ringhomomorfismus und I ein Ideal von A mit I ker(f). Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorfismus g : A/I B derart, dass das Diagramm A κ f A/I kommutativ ist, d.h. f = g κ gilt. Hierbei ist κ die kanonische Abbildung. Wenn I = ker(f) ist, ist g injektiv. D.h. es gibt einen Isomorfismus A/ker(f) = Im(f) 64 B g

8 Beweis: Aus dem entsprechenden Satz und Beweis über abelsche Gruppen (6.21) wissen wir bereits, dass man g(a mod I) = f(a) definieren muss und dass dies wohldefiniert ist. Ferner ist g ein Homomorfismus für die additiven Gruppen und f = g κ. Schließlich ist noch g((a mod I) (b mod I)) = g(ab mod I) = f(ab) = f(a) f(b) = g(a mod I) g(b mod I) und g(1 A mod I) = f(1 A ) = 1 B, also g ein Ringhomomorfismus. Das beweist den Satz. Folgerung 7.28 Seien m, n N, m n. Dann wird durch (a mod n) (a mod m) ein surjektiver Ringhomomorfismus Z/n Z/m definiert. Beweis: Seien κ : Z Z/n und κ : Z Z/m die kanonischen Homomorfismen. Nach 6.29 gibt es genau einen Homomorfismus g : Z/nZ/m, so dass kommutativ ist. Aus g κ = κ folgt Z κ κ Z/n Z/m g g(a mod n) = g(κ(a)) = κ (a) = (a mod m). Frage: Z ist eine Untergruppe von Q. Ist Z auch ein Ideal des Ringes Q? A) Ja. B) Nein. Antwort: Nein. Denn 1 Z, 1 Q, aber 1 1 = 1 / Z. Bezüglich der Addition ist Q/Z eine Gruppe. Aber die Multiplikation auf Q definiert keine solche auf Q/Z. Die Nebenklassen 1 + Z und 3 + Z stimmen überein. Aber = 1 4 und = 3 4 liegen nicht in derselben Nebenklasse modulo Z. Frage: {0} und Q sind offenbar Ideale von Q. Gibt es noch weitere? 65

9 A) Ja. B) Nein. Antwort: Nein. Wäre nämlich I ein solches und m/n I {0}. Dann gehört jedes beliebige k/l Q zu I. Denn kn m = k. lm n l Das sieht so aus, als ob jeder Körper K nur die Ideale {0} und K hat. Frage: Ist das so? Antwort: Ja. Ist nämlich I K ein Ideal mit a I, a 0. Dann gilt für beliebige b K, dass b = (ba 1 )a I. Frage: Gilt auch die Umkehrung, d.h. hat ein kommutativer Ring A nur die Ideale {0} und A, ist dann A = {0} oder A ein Körper? Antwort: Ja. Sei nämlich 1 0 in A und a A, a 0. Dann ist Aa := {ba b A} ein Ideal von A, das nicht gleich dem Nullideal ist. Also ist Aa = A. Somit gibt es ein b A mit ba = 1, also ein multiplikativ Inverses. 66

10 8 Direkte Produkte, Chinesischer Restsatz Definition 8.1 Seien G 1,..., G n (bzw. A 1,..., A n ) endlich viele Gruppen (bzw. Ringe). Das direkte Produkt G i = G 1... G n (bzw. A i = A 1... A n ) ist als Menge das kartesische Produkt. Die Verknüpfungen +, sind komponentenweise definiert: (x 1,..., x n ) + (y 1,..., y n ) := (x 1 + y 1,..., x n + y n ), (x 1,..., x n ) (y 1,..., y n ) := (x 1 y 1,..., x n y n ). Bei additiv geschriebenen abelschen Gruppen schreibt man auch statt G 1... G n und spricht von direkter Summe. Man sieht sofort, dass Elemente von G i, n G i = G 1... G n ( n ) A i wieder eine Gruppe (ein Ring) ist. Das neutrale G i ist (0 G1,..., 0 Gn ), wo 0 Gi das neutrale Element von G i bezeichnet, das multiplikativ neutrale Element von A i ist (1 A1,..., 1 An ). Bemerkung 8.2 Ein Ringhomomorfismus von A nach B ist insbesondere ein Homomorfismus für die additiven Gruppen der Ringe. Deshalb ist f(0) = 0. Hingegen folgt f(1 A ) = 1 B nicht allgemein aus f(ab) = f(a) f(b). Beispiel: f : A A B, a (a, 0), wo B nicht isomorf zum Nullring ist. Bemerkung 8.3 Seien f 1,..., f n Gruppen- (Ring-) Homomorfismen f i : B A i, so erhält man auf kanonische Weise einen Gruppen- (Ring-) Homomorfismus (f 1,..., f n ) : B durch (f 1,..., f n )(x) := (f 1 (x),..., f n (x)). n Hierfür gilt: ker(f 1,..., f n ) = kerf i. 67 A i

11 Dass dieses beides so ist, liegt an der Definition des direkten Produktes. Satz 8.4 (Chinesischer Restsatz Sun Tsu, Chhin Chiu Shao Seien m 1,..., m n N 1 paarweise teilerfremd. (D.h. für i j sei ggt(m i, m j ) = 1.) Die kanonischen Homomorfismen κ i : Z Z/m i induzieren auf kanonische Weise einen surjektiven Homomorfismus: und einen Isomorfismus Z (Z/m i ) G : Z/m 1... m n = (Z/m i ). Beweis: Betrachte den oben definierten Homomorfismus F := (κ 1,..., κ n ) : Z (Z/m i ). Sein Kern besteht nach 7.3 aus allen a Z, für die m 1 a, m 2 a,... und m n a gilt. Dies ist aber (wegen 2.6) gleichbedeutend mit m 1... m n a, da die m i paarweise teilerfremd sind. Somit ist ker F = m 1... m n Z. Nach dem Homomorfiesatz (6.29) wird also durch F ein injektiver Homomorfismus induziert: G : Z/m 1... m n (Z/m i ) Da Start und Ziel von G die gleiche endliche Anzahl von Elementen haben, nämlich m 1... m n, ist G auch surjektiv. Und hieraus folgt die Surjektivität der Abbildung Z n (Z/m i). Folgerung 8.5 Seien m 1,..., m n paarweise teilerfremde ganze Zahlen 0 und a 1,..., a m Z beliebig. Dann hat das Kongruenzsystem x a i (mod m i ) (i = 1,..., n) eine Lösung, d.h. es gibt ein x Z, welches alle n angegebenen Kongruenzen erfüllt. Die Lösung ist bis auf Kongruenz modulo m 1... m n eindeutig bestimmt. 68

12 Beweis: Die Existenzaussage folgt aus der Surjektivität, die Eindeutigkeitsaussage aus der Injektivität der Abbildung G. Bemerkung 8.6 Seien A 1,..., A n Ringe. Ein Element (a 1,..., a n ) A 1... A n ist genau dann eine Einheit in A 1... A n, wenn jedes a i Einheit in A i ist. Mit anderen Worten: (A 1... A n ) = A 1... A n. Dies liegt daran, dass die Multiplikation komponentenweise definiert ist. Folgerung 8.7 Seien m 1, m 2 N 1 zueinander teilerfremd. Dann ist Beweis: also Es ist ϕ(m 1 m 2 ) = ϕ(m 1 ) ϕ(m 2 ). Z/m 1 m 2 = (Z/m1 ) (Z/m 2 ), (Z/m 1 m 2 ) = (Z/m1 ) (Z/m 2 ). Aus der Gleichheit der Elementezahlen letztgenannter Mengen folgt die Behauptung. Folgerung 8.8 Sei m N 1 und m = p r p rn n paarweise verschiedenen p 1,..., p n und mit r i 1. Dann ist ϕ(m) = (p 1 1)p r (p n 1)p rn 1 n = m die Primfaktorzerlegung von m mit p P, p m ( 1 1 ). p Beweis: Die erste Gleichung ergibt sich aus 4.24 d), wo ϕ(p r ) berechnet wurde, und 7.7. Die zweite Gleichung folgt aus (p 1)p r 1 = p r (1 1/p). Bemerkung 8.9 Die zweite Formel für ϕ(m) benötigt offenbar etwas weniger Information über m als die erste. (Man muss nur die Primzahlen kennen, die m teilen, und braucht v p (m) nicht genauer zu bestimmen.) Bis heute ist kein schnelleres Verfahren, ϕ(m) zu bestimmen, bekannt. Frage: Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Nullstellen α, β eines quadratischen Polynoms x 2 + ax + b und seiner Koeffizienten? A) Ein sehr komplizierter. B) α + β = a, αβ = b. C) αβ = a, α + β = b. 69

13 B) ist richtig. Sind nämlich α und β die Nullstellen von x 2 +ax+b, so ist X 2 +ax+b = (x α)(x β) = x 2 (α + β)x + αβ. Frage: Ist m ein Produkt zweier verschiedener Primzahlen, so kann man aus m und ϕ(m) durch das Lösen einer quadratischen Gleichung diese Primfaktoren bestimmen. Wie? Ist m = pq mit verschiedenen Primzahlen p, q, so ist ϕ(m) = (p 1)(q 1) = pq (p+q)+1. Also p + q = pq + 1 ϕ(m) = m + 1 ϕ(m). Dann sind p und q die Nullstellen von x 2 + (ϕ(m) m 1)x + m. Beachte: Bei großen Primzahlen geht es viel schneller, die entsprechende quadratische Gleichung zu lösen, als die Primfaktoren von m zu finden. Das bedeutet: Im wesentlichen ist es gleich aufwendig die Primfaktoren einer großen Zahl m zu bestimmen wie ϕ(m) zu berechnen. Frage: Seien G 1, G 2 ) zyklische Gruppen. Ist dann G 1 G 2 auch zyklisch? A) Immer. B) Manchmal. C) Nie, es sei denn G 1 oder G 2 ist die 0-Gruppe. 70

14 Antwort: B. Dies werden wir jetzt klären. Wenn man beim Chinesischen Restsatz die multiplikative Struktur vergisst, erhält man die Folgerung 8.10 Seien G 1,..., G n endliche zyklische Gruppen mit paarweise teilerfremden Ordnungen. Dann ist G 1... G n zyklisch. Wenn jeweils z i ein Erzeuger von G i ist, so ist (z 1,..., z n ) ein solcher von G 1... G n und natürlich umgekehrt. Beweis: Wir haben Isomorfismen g i : Z/m i = G i mit g i (1) = z i. Also gibt es einen Isomorfismus: g : (Z/m 1 )... (Z/m n ) = G 1... G n, g(a 1,..., a n ) = (g 1 (a 1 ),..., g n (a n )). Diesen Isomorfismus verkette man mit dem Isomorfismus f : Z/m 1... m n = (Z/m 1 )... (Z/m n ), für den f(1) = (1,..., 1) gilt, und man erhält die Behauptungen. Bemerkung 8.11 Man kann die Sache auch vom anderen Ende her betrachten. Sei G eine zyklische Gruppe mit #G = m 1... m n, wo die m i paarweise teilerfremde natürliche Zahlen sind. Dann ist G = Z/m 1... m n = (Z/m1 )... (Z/m n ). D.h. G ist direkt zerlegbar (auf nicht triviale Weise), wenn mindestens 2 der m i größer als 1 sind. Bemerkungen 8.12 Sei G 1 G 2 ein direktes Produkt zweier abelscher Gruppen G 1, G 2. Dann ist G 1 {0} = {(x, 0) x G 1 } eine zu G 1 isomorfe Untergruppe von G 1 G 2. Ferner ist die Projektion p 2 : G 1 G 2 G 2, (x, y) y ein surjektiver Homomorfismus mit dem Kern G 1 {0}. Nach dem Homomorfiesatz erhält man die Isomorfie (G 1 G 2 )/(G 1 {0}) = G 2. Die beiden Untergruppen G 1 {0} und {0} G 2 haben die Eigenschaften (G 1 {0}) ({0} G 2 ) = {0 G1 G 2 }, (G 1 {0}) + ({0} G 2 ) = G 1 G 2. Hiervon gibt es eine Umkehrung: 71

15 Lemma 8.13 Seien H 1, H 2 Untergruppen einer abelschen Gruppe G mit H 1 H 2 = {0}, H 1 + H 2 = G. Dann ist G = H 1 H 2. Genauer gilt: Die Abbildung f : H 1 H 2 G, (a, b) a + b ist ein Isomorfismus. Beweis: Offenbar ist f ein Homomorfismus. Aus H 1 + H 2 = G folgt, dass f surjektiv ist. Die Injektivität von f erhält man aus H 1 H 2 = {0} wie folgt: Seien a H 1, b H 2 und (a, b) ker(f), d.h. a + b = f(a, b) = 0. Dann ist a = b H 2, somit a H 1 H 2. Deshalb ist a und damit b gleich Null. ker(f) = {0} heißt aber, dass f injektiv ist. Definition 8.14 Sei G eine add. Gruppe, a Z. Die Homothetie von a auf G ist die Abbildung h a : G G, x ax. Man zeigt unmittelbar, dass jede Homothetie ein Gruppenhomomorfismus ist. Lemma 8.15 Sei G eine additiv geschriebene abelsche Gruppe, y G endlicher Ordnung und m ein Vielfaches dieser Ordnung. Ist dann a 1 (mod m), so ist ay = y. Beweis: Es ist a = 1 + km, also ay = 1 y + km y, und der letzte Summand gleich 0. Satz 8.16 Seien G eine endliche abelsche Gruppe, H eine Untergruppe, mit ggt(#h, [G : H]) = 1. a) Dann ist G zu H (G/H) isomorf. b) Sind zusätzlich H und G/H zyklisch, so ist es auch G. In diesem Fall ist ein Element z G ein Erzeuger von G genau dann, wenn (z mod H) ein solcher von G/H und [G : H] z ein solcher von H ist. Achtung: Dieser Satz gilt nicht für nichtabelsche Gruppen! Beweis: a) Sei #(G/H) = m, #H = n und e Z so gewählt, dass e 1 (mod m) und e 0 (mod n) ist. Dies geht auf Grund des chinesischen Restsatzes. 72

16 Betrachte die Abbildung h e : G G, x ex. Behauptung: Das Bild h e (G) =: G ist isomorf zu G/H. Dazu genügt es, ker(h e ) = H zu zeigen. Denn dann hat man folgendes Diagramm: mit injektivem h. h e G G κ h G/H Es ist aber H ker(h e ). Denn da e nz und n = #H ist, gilt ex = 0 für alle x H. Ist umgekehrt x ker(h e ), d.h. ex = 0. Dann gilt auch für die Nebenklasse x = x + H, dass ex = 0 in G/H ist. Da nach Konstruktion e = 1 + km für ein k Z ist, gilt auch ex = x. Mithin ist x = 0. Das heißt aber x H. G hat somit die Untergruppen H und G = G/H. Aus der Teilerfremdheit ihrer Ordnungen, folgt H G = {0}, also H + G = H G. Da #(H G ) = (#H)(#G ) = (#H)[G : H] = #G, folgt H G = G. b) Wenn nun H und G = G/H zyklisch von teilerfremden Ordnungen sind, ist G = H G zyklisch nach Beweis der Behauptung: Sei x G so gewählt, dass x = x + H ein Erzeuger der zyklischen Gruppe G/H ist. Mit m := [G/H] gilt mx = 0, d.h. z := mx H. Satz 8.17 Seien G 1,..., G n endliche abelsche Gruppen der Ordnungen m 1,..., m n. Wenn G 1... G n zyklisch ist, so ist auch jedes G i zyklisch, und die m 1,..., m n sind paarweise teilerfremd. Beweis: Die G i sind isomorf zu Untergruppen von G 1... G n (vgl. 7.12), also zyklisch nach Sei jetzt i, j {1,..., n}, i j. Dann ist auch G i G j isomorf zu einer Untergruppe von G 1... G n, also zyklisch. Sei d := ggt(m i, m j ) und k := m i m j (das sogenannte d kleinste gemeinsame Vielfache). Dann ist ( mj k (a, b) = d m m ) i ia, d m jb = (0, 0) = 0 für alle a G i, b G j. Ein Erzeuger z von G i G j hat aber die Ordnung m i m j. Es m i m j folgt m i m j, also d = 1. d Frage: Gibt es überhaupt nichtzyklische abelsche Gruppen? 73

17 Antwort: Ja. Beispiel (Z/2) (Z/2). Diese Gruppe hat 4 Elemente, aber kein Element der Ordnung 4. Folgerung 8.18 Sei p P, n N 1. Dann ist die additive Gruppe von Z/p n, also erst recht der Ring Z/p n nicht direkt zerlegbar. D.h. wenn Z/p n = G1 G 2 mit abelschen Gruppen G i ist, so ist G 1 oder G 2 trivial, d.h. besteht nur aus einem Element. Beweis: geben. Andernfalls müsste es teilerfremde ganze Zahlen m 1, m 2 > 1 mit m 1 m 2 = p n Folgerung 8.19 Sind m 1, m 2 N 1 nicht teilerfremd, so gibt es keinen surjektiven Gruppenhomomorfismus f : Z Z/m 1 Z/m 2. Beweis: Einerseits ist f(z) = Z/ker(f) zyklisch, andererseits Z/m 1 Z/m 2 nicht zyklisch. 74