Statistik Einführung // Konfidenzintervalle für einen Parameter 7 p.2/39

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1 Statistik Eiführug Kofidezitervalle für eie Parameter Kapitel 7 Statistik WU Wie Gerhard Derfliger Michael Hauser Jörg Leeis Josef Leydold Güter Tirler Rosmarie Wakolbiger Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.0/39 Lerziele 1. Formuliere, was geschätzt wird. 2. Uterscheide Puktschätzer ud Itervallschätzer. 3. Erkläre Itervallschätzer. 4. Bereche Kofidezitervalle für Mittelwerte ud Ateile. 5. Bereche otwedige Stichprobegröße. Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.1/39 Was sid ud wozu braucht ma Schätzer? Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.2/39

2 Wir sid iteressiert a der durchschittliche Körpergröße aller Studetie ud Studete im Hörsaal (der Grudgesamtheit). Wie köe wir sie bestimme? Vollerhebug Messe Körpergröße aller Awesede. (zeitaufwedig ud teuer; i viele Probleme umöglich) Teilerhebug Messe Körpergrösse eier kleie zufällige Auswahl vo Awesede (Stichprobe). (Schätzwert mit Usicherheit aber berechebar) Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.3/39 Statistische Methode Statistische Methode Beschreibede Statistik Schließede Statistik Schätze Teste Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.4/39 Schätze eies Parameters Grudgesamtheit Parameter µ ubekat Stichprobe (Zufallsauswahl) Mit 95%iger Sicherheit liegt µ zwische 160cm ud 190cm. Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.5/39

3 Parameter Stichprobestatistik Mittel µ x Ateil θ p Differez µ 1 µ 2 x 1 x 2 viele adere θ 1 θ 2 p 1 p 2 Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.6/39 Schätzmethode Schätze Puktschätzer Itervallschätzer Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.7/39 Puktschätzer Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.8/39

4 Liefert eie eizele Zahl. Basiered auf eier Stichprobe. Keie Iformatio über die Abweichug vom ubekate Parameter. Beispiel: Der bekate Stichprobemittelwert x 175 ist ei Puktschätzer für de ubekate Parameter µ. Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.9/39 Itervallschätzer Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.10/39 Itervallschätzer Liefert ei Itervall für de ubekate Parameter. Basiered auf eier Stichprobe. Gibt Iformatio über die Abweichug vom ubekate Parameter. Ausgedrückt durch Wahrscheilichkeite. Exakte Agabe würde Ketis des (ubekate) Parameters erforder. Beispiel: Der ubekate Mittelwert liegt zwische 160cm ud 190cm mit eier Sicherheit vo 95%. Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.11/39

5 Parameter fällt mit bekater Wahrscheilichkeit i das Itervall. Kofidezitervall uterer Rad oberer Rad x Stichprobestatistik (Puktschätzer) Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.12/39 Kofidezitervall Parameter = Statistik Fehler 1. µ X Fehler 2. Fehler X µ oder X µ 3. Z X µ σ x Fehler σ x (stadard-ormalverteilt) 4. Fehler Z σ x 5. µ X Z σ x Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.13/39 Stichprobeverteilug des Mittels X µ Z σ x µ 1.65σ x µ 1.96σ x µ 2.58σ x µ 90% der Stichprobe 95% der Stichprobe 99% der Stichprobe x Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.14/39

6 Das Kofideziveau ist die Wahrscheilichkeit, dass das Itervall de ubekate Parameter überdeckt. Wird mit 1 % bezeichet. ist die Wahrscheilichkeit, dass das Itervall icht de Parameter überdeckt. Typische Werte für 1 % sid: 90%, 95% ud 99%. Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.15/39 Itervalle ud Kofideziveau Stichprobeverteilug µ x µ Kostruiere X zσ x, X zσ x Davo: 1 % aller KI überdecke µ. % icht. Viele Kofidezitervalle Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.16/39 Kofidezitervall // Eiflüsse auf die Läge KI X zσ x, X zσ x Streuug der Date. Gemesse durch die Stadardabweichug σ. Stichprobegröße. σ σ x Kofideziveau 1. Bestimmt z. Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.17/39

7 Mittel Ateil σ bekat σ ubekat Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.18/39 Kofidezitervall für Mittel (σ bekat) Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.19/39 Kofidezitervall // Berechug Kofidezitervall Kofidezitervall Mittel Ateil σ bekat σ ubekat Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.20/39

8 Voraussetzuge: Grudgesamtheit ist ormalverteilt. Falls icht, köe Stichprobe mit Größe 30 äherugsweise als ormalverteilt ageomme werde. (zetraler Grezwertsatz) Stadardabweichug σ i der Grudgesamtheit ist bekat. Berechug des 1 -Kofidezitervalls: z 1 2 : P z 1 2 Z z X z 1 σ µ X z 1 σ Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.21/39 Beispiel Das Mittel eier Stichprobe der Größe 25 ist x 50. Wie lautet das 95% Kofidezitervall für µ, falls die Stadardabweichug der ormalverteilte Grudgesamtheit σ 10 beträgt? X z 1 σ µ X z 1 σ z hägt vo Normalverteilug ud vom Kofideziveau ab: , 0.05, : z µ µ Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.22/39 Beispiel Die Stadardabweichug beim Befülle vo 2-Liter-Weiflasche beträgt σ 0.05 Liter. Bei eier Kotrolle der Abfüllmaschie werde 100 Flasche zufällig ausgewählt ud die abgefüllte Weimege bestimmt. Der dabei bestimmte Stichprobemittelwert beträgt x 1.99 Liter. Was ist das 90% Kofidezitervall für die tatsächliche mittlere Füllmege? X z σ µ X z 1 σ µ µ Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.23/39

9 Kofidezitervall für Mittel (σ ubekat) Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.24/39 Kofidezitervall // Berechug Kofidezitervall Mittel Ateil σ bekat σ ubekat Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.25/39 KI für Mittel (σ ubekat) Voraussetzug: Grudgesamtheit (äherugsweise) ormalverteilt. Stadardabweichug der Grudgesamtheit ubekat. Stadardabweichug σ muss durch Stichprobestadardabweichug S geschätzt werde. Usicherheit S größer größeres Kofidezitervall Verwede t-verteilug (Studet-Verteilug). Berechug des 1 -Kofidezitervalls: X t 1 2, 1 S µ X t 1 2, 1 S Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.26/39

10 Wahrscheilichkeit für Abstad vom Mittelwert höher Normalverteilug Studets t-verteilug (ν 2) 0 t Z Form hägt vo de Freiheitsgrade ν ab. Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.27/39 Freiheitsgrade Die Azahl der Beobachtuge, die variiert werde köe, ohe dass sich die Stichprobestatistik ädert. Azahl Freiheitsgrade ν = 1 Die Summe vo 3 Zahle ist 6 (=Stichprobestatistik). X 1 = 1 (oder irged eie adere Zahl) X 2 = 2 (oder irged eie adere Zahl) X 3 = 3 (ka icht verädert werde) Summe = 6 Azahl Freiheitsgrade = 3 1 = 2 Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.28/39 Studets t-verteilug // Tabelle t-verteilug Tabelle(Auszug): P T t 1 ν t-werte Beispiel: 3, ν , t 1,ν t 0.95, t,ν t 1,ν t 1,ν Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.29/39 t

11 Das Mittel eier Stichprobe der Größe 25 ist x 50 mit (Stichprobe-) Stadardabweichug s 8. Wie lautet das 95% Kofidezitervall für µ? (ν 1 24) X t 1 2, 1 S µ X t 1 2, 1 S µ µ Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.30/39 Beispiel Bei Kotrolle eies computergesteuerte Nähautomate wurde folgede Bearbeitugszeite (i Miute) gemesse: 3.6, 4.2, 4.0, 3.5, 3.8, 3.1 Wie lautet das 90% Kofidezitervall für die durchschittliche Bearbeitugszeit? X t 1 2, 1 S µ X t 1 2, 1 x s , s 0.159, ν 1 5, t 0.95, µ µ S Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.31/39 Kofidezitervall für Ateilswerte Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.32/39

12 Kofidezitervall Mittel Ateil σ bekat σ ubekat Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.33/39 Kofidezitervall für Ateilswerte Voraussetzug: Zwei mögliche Auspräguge: hat Eigeschaft / hat Eigeschaft icht Grudgesamtheit ist biomialverteilt. Der Ateilswert p ist i eier große Stichprobe äherugsweise ormalverteilt. (Faustregel: p 1 p 9) Berechug des Kofidezitervalls: p z 1 p 1 p θ p z 1 p 1 p Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.34/39 Beispiel Bei eier Umfrage gebe vo 32 vo 400 Befragte a, das eue Waschmittel Gigaweiß bereits zu kee. Wie lautet das 95 % Kofidezitervall für de Ateil θ i der Grudgesamtheit? p z 1 p 1 p θ p z 1 p 1 p 400, p , z 1 2 z θ θ Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.35/39

13 Bestimmug der Stichprobegröße Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.36/39 Notwedige Stichprobegröße Wie groß muss die Stichprobe sei, damit mei Kofidezitervall für µ klei geug ist? Ich möchte aber auch keie zu große Stichprobe habe! (Das Kofideziveau halte wir fest.) 1. Z X µ σ x Fehler σ x 2. Fehler Z σ x Z σ 3. Stichprobegröße Z 2 σ 2 Fehler 2 z σ 2 Fehler 2 Der Fehler ist hier die maximale zulässige Abweichug vo µ. Die Läge des KI ist 2 Fehler. Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.37/39 Beispiel Ei Parameter µ soll bestimmt werde. Wie groß sollte die Stichprobe sei, damit das Ergebis mit 90% Sicherheit auf 5 Eiheite geau bestimmt werde ka? (D.h., das 90% Kofidezitervall sollte, z.b., 85, 95 laute.) Eie Vorerhebug lässt darauf schließe, dass die Stadardabweichug σ 45 beträgt. Stichprobegröße z σ 2 Fehler Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.38/39

14 1. Formulierte, was geschätzt wird. 2. Uterschiede Puktschätzer ud Itervallschätzer. 3. Erklärte Itervallschätzer. 4. Berechete Kofidezitervalle für Mittelwerte ud Ateile. 5. Berechete die otwedige Stichprobegröße. Statistik Eiführug // Kofidezitervalle für eie Parameter 7 p.39/39

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