Statistische Analyse von Messergebnissen

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1 Da virtuelle Bildungnetzwerk für Textilberufe Statitiche Analye von Meergebnien 3 Hochchule Niederrhein Stand: Seite 1 / 8 Im Abchnitt "Grundlagen der Statitik" wurde u.a. bechrieben, wie nach der Durchführung eine tatitichen Experiment, beipielweie einer textilen Prüfung die gewonnenen Daten augewertet werden. Man berechnet zunächt tatitiche Kenngrößen wie Mittelwert, Median (zur Lagebetimmung), Varianz, Standardabweichung und Variationkoeffizient (zur Betimmung der Streuung) owie Vertrauenbereiche und unterucht für die Daten, fall mehrere Merkmale erfat wurden, Korrelation und Regreion. Hinzu kommt vgl. den Abchnitt "Grafiche Dartellung und Interpretation von Meergebnien" - in der Regel eine grafiche Dartellung der Ergebnie (z.b. Hitogramm, Boxplot). Mit Hilfe der o gewonnenen Daten laen ich weitere Kenntnie über die geprüfte Grundgeamtheit durch tatitiche Tet und Analyen gewinnen. Im Vordergrund tehen hier einereit Vergleiche von Stichprobenparametern mit Soll- oder Erfahrungwerten. Anderereit werden Parameter verchiedener Mereihen miteinander verglichen. Auf weitere ogenannte parameterfreie Tet gehen wir an dieer Stelle nicht ein. Au den Stichprobenparametern berechnet man zunächt ogenannte Tet- oder Prüfgrößen unter der Annahme, da die der Berechnung zugrundeliegende Zufallvariable - ähnlich wie bei der Berechnung der Vertrauenbereiche - eine betimmte Verteilung beitzt. Dann werden Prüfhypotheen formuliert, die mathematich meit Ungleichungen ind, die auf einen Vergleich der Prüfgröße mit Quantilen der entprechenden Verteilung hinaulaufen, und dieen eine Alternative gegenübergetellt. Die Nullhypothee wird mit H bezeichnet, die Alternativhypothee mit H A. Dabei wird die Alternativhypothee o formuliert, da immer entweder H oder H A zutrifft. Durch den konkreten Vergleich von Prüfgröße und Quantil wird zwichen beiden Hypotheen entchieden. Dabei wird ähnlich wie bei der Berechnung der Vertrauenbereiche vrogegangen, d.h. man verwendet c-, t- oder F- Verteilung. Hierbei können zwei Arten von Fehlern auftreten: Fehler 1. Art: Die Nullhypothee wird abgelehnt, obwohl ie richtig it. Fehler. Art: Die Nullhypothee wird beibehalten, obwohl ie falch it. Man mu darauf achten, da die Nullhypothee o formuliert it, da ie exakt geprüft werden kann. In der Regel wird man die den Aunahmefall bechreibende Hypothee al Alternative formulieren. Die Wahrcheinlichkeit α dafür, eine richtige Nullhypothee abzulehnen, wird vorgegeben. α heißt daher Irrtumwahrcheinlichkeit oder Signifikanzniveau. Mit β bezeichnet man hingegen die Wahrcheinlichkeit für einen Fehler zweiter Art. 1-β nennt man auch die Power de entprechenden Tet.

2 Da virtuelle Bildungnetzwerk für Textilberufe Statitiche Analye von Meergebnien 3 Hochchule Niederrhein Stand: Seite / 8 Damit ind folgende Szenarien möglich: Entcheidung de Tet Realität: H it richtig H A it richtig H wird beibehalten Richtige Entcheidung mit Wahrcheinlichkeit 1 - α Fehler. Art mit Wahrcheinlichkeit β H wird abgelehnt Fehler 1. Art Signifikanzniveau α Richtige Entcheidung mit der Power 1 - β In der Praxi it e in der Regel chwierig, die beiden Fehlerwahrcheinlichkeiten optimal aufeinander abzutimmen. Unmittelbar beeinflut man nur den Fehler erter Art, da man da Signifikanzniveau α vor der Durchführung eine Tet fetzulegen hat. 1.) Tet für den Mittelwert Möchte man bei der Hertellung eine Produkt einen betimmte Eigenchaft erreichen, z.b. da ein Garn eine betimmte Feinheit beitzt, o wird man eine Stichprobe au der Produktion prüfen und den Mittelwert mit dem gewünchten Sollwert (oder einem Erfahrungwert) x vergleichen. Weicht der Stichprobenmittelwert vom Sollwert ab, wa normalerweie der Fall it, o wird man wien wollen, ob man diee Abweichung al zufällig hinnehmen kann (Nullhypothee) oder nicht. Hierzu führt man folgenden Tet durch: Man vergleicht die Prüfgröße, da it die mit dem Kehrwert de Standardfehler für den Mittelwert gewichtete Differenz, für a. kleine Stichproben (Umfang kleiner al 5) mit Quantilen der t-verteilung b. große Stichproben (Umfang größer oder gleich 5) mit Quantilen der Standardnormalverteilung Im erten Fall pricht man von einem t-tet, im zweiten von einem G(au)-Tet. Unter einem Quantil verteht man in Abhängigkeit von α den Wert, den die Zufallvariable mit der Irrtumwahrcheinlichkeit α unterchreitet. Flächeninhalt = α Dazu gibt man ich eine Irrtumwahrcheinlichkeit α (meit 5%) vor und betimmt au Tabellen (oder Tabellenkalkulationprogrammen) die zugehörigen Quantile, die im Falle der t-verteilung auch noch von den Freiheitgraden (hier Stichprobenumfang 1) abhängen. Quantil der Standardnormalverteilung: u α 1.5 x

3 Da virtuelle Bildungnetzwerk für Textilberufe Statitiche Analye von Meergebnien 3 Hochchule Niederrhein Stand: Seite 3 / 8 E kommt nun darauf an, ob der Sollwert eingehalten oder lediglich nicht unter- bzw. überchritten werden darf. Im erten Fall lautet die Nullhypothee µ = x. Man führt einen zweieitigen Tet durch, d.h. für den Sollwert x berechnet man die Prüfgröße und prüft, ob ie zwichen zwei Quantilen liegt: x x n t bzw. n1;1 α/ x x n u. 1 α / Die Betragfunktion im Zähler ichert die zweieitige Abgrenzung, da t n-1;α = -t n-1;1-α. Anonten reicht ein eineitiger Tet: x x x x x x n tn1;1 α bzw. n u1 α, fall die Nullhypothee x x lautet, oder x x n tn1; αbzw. n uα, fall die Nullhypothee x x lautet. Sind die Ungleichungen nicht erfüllt, o wird die Nullhypothee verworfen, man geht davon au, da die Alternativehypothee (hier da Gegenteil) anzunehmen it..) Tet für Varianz und Standardabweichung Auch für die Varianz bzw. die Standardabweichung, die beipielweie die Gleichmäßigkeit eine Garn bechreiben, geht man ähnlich wie beim Mittelwert vor. Man vergleicht für eine einen Sollwert die Prüfgröße (n 1) mit den Quantilen der χ -Verteilung. (χ Tet) Zweieitiger Tet zur Nullhypothee σ = : χ (n 1) χ n1; α/ n1;1 α/ Eineitiger Tet zur Nullhypothee σ : σ : n1; α (n 1) χ (n 1) χ n1;1 α Beipiel: Drehungmeung an einem Vikoekreppgarn: Probe Nr Drehungen pro 5mm x = 115, = 3.95 α = 5% t 9;.975 =.6 Nullhypothee: µ =118, Prüfgröße: x µ =.86. Der t-tet liefert: Die Prüfgröße it kleiner al da t-quantil alo wird die Nullhypothee nicht verworfen.

4 Da virtuelle Bildungnetzwerk für Textilberufe Statitiche Analye von Meergebnien 3 Hochchule Niederrhein Stand: Seite 4 / 8 Für die Standardabweichung liefert der χ -Tet mit = 3.95 und α = 1% owie den Quantilen χ 9;.5 = 1,73 bzw. χ 9;.995 = 3.58 zur Nullhypothee σ = 35 wegen der Prüfgröße: 9 = 7,4 da die Nullhypothee nicht verworfen werden darf Vergleichtet: Diee Gruppe von Tet bechäftigt ich mit dem Vergleich der Ergebnie zweier Stichproben, beipielweie wenn die Produktionergebnie mehrerer Machinen oder verchiedener Tage verglichen werden ollen. Auf Vergleiche von Parametern von drei und mehr Stichproben im Rahmen der Varianzanalye gehen wir hier nicht ein. Zum Vergleich zweier Varianzen führt man einen F-Tet durch. Die Prüfgröße it der Quotient der Varianzen, der zwichen den entprechenden F-Quantilen liegen mu, damit die Nullhypothee: "Die Varianzen (bzw. Standardabweichungen) ind gleich." beibehalten wird. Die F-Quantile hängen neben der Irrtumwahrcheinlichkeit von den jeweiligen Stichprobenumfängen n 1 der erten und n der zweiten Stichprobe ab. E it zu prüfen, ob gilt. Die Power de Tet erhöht ich, wenn man die größere 1 n1 1;n 1; α/ f n1 1;n 1;1 α / f der Varianzen in den Zähler etzt und nur die Nullhypothee σ 1 σ prüft. Wenn diee nicht verworfen wird, it die Gleichheit der Varianzen nicht widerlegt, d.h. wenn gilt: 1 f (eineitiger F-Tet). n1 1;n 1;1 α Kann die Gleichheit der Varianzen nicht widerlegt werden, o pricht von einer vorliegenden Varianzhomogenität. Beipiel: Bei der Feinheitbetimmung an zwei gleichen Ringpinnmachinen hatten Stichproben ergeben: x 1 =,1 1 =,176 bei n 1 = 1 und x =,1 = 1,193 bei n = 1. Wir prüfen, ob die Nullhypothee σ 1 σ mit einem eineitigen F-Tet zur Irrtumwahrcheinlichkeit α = 1% : Wegen 1,4 = = 45,71 3,179 = f9;9;,99 mu die Nullhypothee verworfen werden und,31 1 davon augegangen werden, da die Varianz der zweiten Produktion ignifikant größer it.:

5 Da virtuelle Bildungnetzwerk für Textilberufe Statitiche Analye von Meergebnien 3 Hochchule Niederrhein Stand: Seite 5 / 8 Die Varianzhomogenität beeinflut den Vergleich von zwei Mittelwerten. Liegt eine Varianzhomogenität vor, o tetet man die Nullhypothee: Die Erwartungwerte ind gleich: µ 1 = µ, durch einen T-Tet, d.h. man vergleicht die Prüfgröße mit dem Quantil verworfen. nn 1 x1 x n1+ n(n 1+ n ) (n 1) + (n 1) 1 1 t. It ie größer al da Quantil, o wird die Nullhypothee n1+ n ;1 α / Liegt keine Varianzhomogenität vor, verwendet man die Prüfgröße x x 1 + n 1 n 1, die man mit dem Quantil tm;1 α /, wobei m die größte ganze Zahl it, die kleiner oder gleich 1 ( + n1 n ) 1 ( ) + ( ) 1 1 n 1 n n 1 n 1 1 it. (Aymptoticher t-tet). Beipiel: E werden die Garndrehungen von Rotorgarn ( tex) überprüft, produziert auf Rotorpinnmachinen gleichen Typ und Eintellungen. E oll heraugefunden werden, ob die Abweichungen zufällig ind oder ob ie o bechaffen ind, da die Machinen nachgetellt werden müen. Stichprobe Machine 1 T/m Machine T/m Mittelwerte: Standardabweichungen: 6,78 5, 6,78 F-Tet auf Varianzhomogenität (α = 5%) : = = 1,687 6,388 = f 4;4;,95, alo gehen 1 5, wir von gleichen Varianzen au. nn 1 x1 x n1+ n(n 1+ n ) T-Tet auf gleiche Erwartungwerte (α = 5%): (n1 1) 1+ (n 1) man mu demnach von unterchiedlichen Erwartungwerten augehen. = 3,66>,31= t 8;,975,

6 Da virtuelle Bildungnetzwerk für Textilberufe Statitiche Analye von Meergebnien 3 Hochchule Niederrhein Stand: Seite 6 / 8 4. Anpaungtet: Die biher bechrieben Tet gehen implizit davon au, da die unteruchten Merkmale normalverteilt ind. Die mu inbeondere für kleine Stichproben (Umfang geringer al 5) aber zunächt einmal durch einen ogenannten Anpaungtet tatitich geichert werden. Wir bechreiben hierzu einen Schnelltet von David, weiter Tet findet man in der Literatur im Anhang. Der Schelltet von David geht vom Verhältni der Spannweite R zur Standardabweichung au. Eine Normalverteilung it tatitich geichert, wenn der Quotient R/ innerhalb betimmter Grenzen liegt, hier einige Beipiel für Irrtumwahrcheinlichkeiten von 1% bzw. 5%. Stichprobenumfang Untere Schranke Obere Schranke q q Signifikanzniveau α,5,5,5,5 1,98,,46,94 4,3,9,33,59 3,9 4,1,78 3,8 3,78 4,63 6,11,81 3,37 3,94 4,91 7,6 Beipiel.: Für die weiter oben bereit behandelte Drehungprüfung oll die Normalverteiltheit getetet werden: Probe Nr Drehungen pro 5mm x = 115, = 3.95 α = 5% R = = 91 Die Prüfgröße R = 91 =,94 liegt zwichen den Tabellewerten,59 und 3,8. Daher 3,95 kann die Nullhypothee "Die Grundgeamtheit it normalverteilt." nicht widerlegt werden.

7 Da virtuelle Bildungnetzwerk für Textilberufe Statitiche Analye von Meergebnien 3 Hochchule Niederrhein Stand: Seite 7 / 8 5. Aureißertet: Bei der Auwertung von Stichproben inbeondere von kleinem Umfang können Einzelwerte, die von den übrigen Mewerten tark abweichen, da Ergebni, peziell den ermittelten Mittelwert und die Streuung, verfälchen. Daher ind ie vorab zu prüfen. Laen ich Mefehler, Rechenfehler, Schreib- und Datenerfaungfehler nachweien, ind diee Fehler zu korrigieren, ofern die richtigen Einzelwerte verfügbar ind, andernfall ind ie bei der Auwertung wegzulaen. Auch tark abweichende Einzelwerte, die beipielweie durch Verfahrenänderungen oder Machinenumtellungen veruracht ind, werden bei der tatitichen Auwertung nicht berückichtigt. Allerding ind in einem Prüfprotokoll die weggelaenen Einzelwerte und der Grund für die Nichtberückichtigung fetzuhalten. Kann da tarke Abweichen von Einzelwerten nicht wie zuvor bechrieben begründet werden, o wendet man Aureißertet an, wenn man mit Hilfe eine olchen Tet entcheiden will, ob ein abweichender Einzelwert noch der Geamtheit angehören kann, au der die anderen Einzelwerte tammen. Weit der Tet nach, da Abweichung nicht zufällig war, o bezeichnet man den Wert al Aureißer und lät ihn in der weiteren Auwertung weg. Im Prüfprotokoll it dann anzugeben, da dieer Einzelwert durch einen Aureißertet eliminiert wurde. Die wiederholte Anwendung eine Aureißertet auf die verbleibenden Einzelwerte it nicht zuläig. Weit z.b. ein Punktdiagramm darauf hin, da mehrere Einzelwerte "aureißverdächtig" ind, it ein Tet zur gleichzeitigen Elimination mehrerer Aureißer anzuwenden. Verbietet e ich grundätzlich bei einem Prüfverfahren Einzelwerte wegzulaen, o kann man al alternative Lagemaß den aureißerunabhängigen Median verwenden. Bei normalverteilten Einzelwerten it für Stichprobenumfänge n < 3 der Aureißertet nach Dixon ein geeigneter Tet. Dieer prüft, ob der größte (bzw. der kleinte) Einzelwert einer Stichprobe al Aureißer angeehen werden kann. Dazu werden die Einzelwerte nach aufteigender Größe geordnet und ein Prüfwert nach einer der Formeln in der folgenden Tabelle errechnet. Überteigt bei gewähltem Signifikanzniveau α der berechnete Prüfwert den Tabellenwert, o kann der entprechende Stichprobenwert al Aureißer angeehen werden.

8 Da virtuelle Bildungnetzwerk für Textilberufe Statitiche Analye von Meergebnien 3 Hochchule Niederrhein Stand: Seite 8 / 8 Beipiel: Chromgehalt eine chromchwarz gefärbten Wollgarn Der Chromgehalt eine chromchwarz gefärbtem Wollgarn wurde viermal betimmt:,53%,59%,41%,58% Der kleinte Wert x (1) =,41% wird al aureißerverdächtig angeehen. Da keine Erklärung für dieen niedrigen Wert vorliegt, wird der Dixon-Tet auf dem Signifikanzniveau α =,5 angewandt. Gemäß der Tabelle it für n = 4 mit x (1) al aureißerverdächtigem Einzelwert x() x(1),53,41 der Prüfwert für Aureißer nach unten = =,667 x x,59,41 (n) (1) kleiner al der Tabellenwert,765. Der aureißerverdächtige kleinte Wert x (1) =,41 darf alo nicht al Aureißer angeehen und fortgelaen werden.