Übungsserie 11: Modellierung

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1 HTWD, FB Informatik/Mathematik Prof. Dr. M. Voigt Wirtschaftsmathematik I Lineare Optimierung Mathematik für Wirtschaftsingenieure - Übungsaufgaben Übungsserie : Modellierung Die über die Modellierung hinausgehenden Teilaufgaben gehören zu den folgenden Übungsserien des Kapitels Lineare Optimierung, d.h. diese Teilaufgaben sind erst später schrittweise zu lösen! Ganzzahligkeitsforderungen für die Variablen sollen bei der Modellierung und späteren Lösung nicht beachtet werden.. Ein Betrieb fertigt drei Produkte A, B, C. Preise und Herstellungskosten (in e) seien: Produkt A B C Verkaufspreis je ME (Mengeneinheit) 0 Herstellungskosten je ME 6 Zur Herstellung von jedem Produkt werden vier Maschinengruppen benötigt, dabei sind die je Gruppe verfügbaren Maschinenstunden begrenzt: Maschinengruppe I II III IV benötigte Maschinenstunden je ME A benötigte Maschinenstunden je ME B benötigte Maschinenstunden je ME C verfügbare Maschinenstunden (a) Formulieren Sie ein mathematisches Modell zur Bestimmung eines Produktionsplanes mit maimalem Gewinn! (b) Bestimmen Sie einen Produktionsplan mit maimalem Gewinn! (c) Interpretieren Sie die Lösung einschließlich der Schlupfvariablen! (d) Welche Änderungen sind für den optimalen Gewinn und die Optimallösung zu erwarten, wenn die in Abteilung IV zur Verfügung stehende Maschinenzeit auf 00 Stunden sinkt? (e) Nicht ausgelastete Maschinenstunden in Abteilung III können zu einem Preis von e/stunde an einen anderen Nutzer verkauft werden. Beeinflusst diese Möglichkeit den optimalen Produktionsplan und den optimalen Gewinn?. Ein Schiff mit einer Ladefähigkeit von 000 t und einer Laderaumkapazität von 0000 m soll drei Güter G, G, G in solchen Mengen laden, dass der Frachtertrag möglichst groß wird. Die Tabelle enthält für jedes Gut die angebotene Menge M in

2 t, den benötigten Laderaum R in m /t und den Frachtertrag E in e/t. G G G M R,,, E 0 (a) Geben Sie ein mathematisches Modell an! (b) Lösen Sie das Problem und interpretieren Sie die Lösung! (c) Welche Auswirkungen hat eine Änderung der Gesamtladefähigkeit (in t) des Schiffes auf die Ladestrategie und den erzielbaren Ertrag? (d) Welche Auswirkungen hat eine Änderung der Laderaumkapazität (in m ) des Schiffes auf die optimale Ladestrategie und den Ertrag? (e) Wie beeinflusst die Erhöhung des Frachtertrages für G auf 0 e/t die optimale Ladestrategie und den Ertrag?. Das Erzeugnis eines Betriebes kann in Packungen zu 0 kg, kg oder kg ausgeliefert werden. Die Verpackungskosten betragen 0,0 e, 0, e bzw. 0,0 e je Packung. Mindestens 000 kg des Erzeugnisses sollten möglichst billig verpackt werden, wobei nicht mehr als 0 Packungen zu 0 kg und mindestens 0 Packungen zu kg verwendet werden sollen. (a) Stellen Sie ein mathematisches Modell auf! (b) Lösen Sie das Problem! (c) Interpretieren Sie die Lösung einschließlich der Schlupfvariablen!. Eine Firma verkauft drei Produkte P, P, P, die aus den Materialien M, M, M, M hergestellt werden. Der Absatz von kg des Produktes P, P bzw. P bringt einen Erlös von 0 e, 0 e bzw. 0 e. Der Materialbedarf bei der Produktion und die zur Verfügung stehenden Materialmengen (alles in kg) sind der folgenden Tabelle zu entnehmen. Material M M M M Materialbedarf für kg P 0 Materialbedarf für kg P 0 Materialbedarf für kg P Zur Verfügung stehende Mengen 0 (a) Stellen Sie ein mathematisches Modell für einen auf maimalen Erlös orientierten Produktionsplan auf. (b) Ermitteln Sie den optimalen Produktionsplan. (c) Interpretieren Sie die erhaltene Lösung.

3 (d) Welche Änderungen des Erlöses für das Produkt P haben keinen Einfluss auf das optimale Produktionsprogramm? (e) Welche Auswirkungen hat die 0%-ige Erhöhung des Erlöses für das Produkt P auf die Lösung der Aufgabenstellung? (f) Die zur Verfügung stehenden Mengen der eingesetzten Materialien können schwanken. Welche Schwankungen der Ressourcen von M haben keine Auswirkung auf das optimale Produktionsprogramm? (g) Die von M vorhandene Menge werde um kg erhöht. Um wie viel kann dabei der optimale Erlös maimal ansteigen? (h) Für welchen Bereich der Änderungen der von M zur Verfügung stehenden Menge kann die Änderung des Erlöses wie in Aufgabe g) bestimmt werden? (i) In einem neuen Planungszeitraum stehen vom Material M nur noch kg zur Verfügung, welcher optimale Erlös ist dann zu realisieren?. Drei Gase (siehe Tabelle) sind so zu mischen, dass das Mischgas möglichst billig wird, einen Heizwert zwischen und, Millionen kj/m und einen Schwefelgehalt von höchstens,8 g/m besitzt. Heizwert [kj/m ] Schwefelgehalt [g/m ] Preis [e/m ]. Gas ,0. Gas ,. Gas ,00 (a) Modellieren Sie das Mischungsproblem. (b) Führen Sie unter Benutzung einer geeigneten Nebenbedingung die Aufgabe auf ein Problem mit Variablen zurück und lösen Sie dieses grafisch. Anschließend ist die Lösung für die ursprüngliche Aufgabe anzugeben. (c) Lösen Sie das Mischungsproblem rechnerisch und interpretieren Sie die Lösung. 6. Ein Maschinenbaubetrieb stellt zwei Erzeugnisse E und E her. Im täglichen Produktionsablauf bestehen folgende Beschränkungen: Die Kapazität der Gießerei reicht für 00 Stück von E oder für 60 Stück von E oder für eine entsprechende Kombination beider Erzeugnisse aus. In der Schmiede können 80 Stück von E oder 80 Stück von E oder eine entsprechende Kombination beider Erzeugnisse bearbeitet werden. Die Montagestraße des Erzeugnisses E verfügt über eine Kapazität von 0 Stück. An Gewinn wird erzielt: e je Stück bei E, e je Stück bei E. (a) Mit welchem Produktionsprogramm lässt sich optimaler Gewinn erzielen? Geben Sie ein mathematisches Modell an! (b) Lösen Sie das Problem grafisch!

4 (c) Lösen Sie das Problem rechnerisch und interpretieren Sie die Lösung (einschl. SV)! (d) Wie hoch sind die Auslastungsgrade von Schmiede und Montagestaße?. Ein Tischlereibetrieb stellt qualitativ hochwertige Möbel her, zwei Arten Vitrinen (V und V), einen Sekretär (S) und eine Truhe (T). Einige Materialien, die der Betrieb von einem Geschäftspartner bezieht, stehen dafür nur beschränkt zur Verfügung. Für die Fertigung werden von diesen Materialien je Stück folgende Mengen benötigt bzw. sind verfügbar: Spezialfurnier Zierleisten geschl. Spezialglas (in m ) (in m) (in Stück) Vitrine,8, 8 Vitrine.,8 Sekretär 6,8, - Truhe 6,0, - verfügbar (je Woche) Eine weitere Restriktion bei der Fertigung ist das aufwendige Abschleifen der Oberflächenversieglung. Ein Arbeiter schafft je Tag entweder Vitrinen vom Typ, oder Vitrinen vom Typ, oder Sekretär, oder Truhen oder eine Kombination dieser Tätigkeiten, und insgesamt stehen für diese Arbeiten nur Arbeiter an Werktagen zur Verfügung. Die Verkaufspreise an eine große Handelskette betragen 800 e (V), 600 e (V), 800 e (S) und 00 e (T) je Stück, und die Materialkosten betragen 80 e (V), 00 e (V), 600 e (S) und 0 e (T) je Stück. (Die übrigen Kosten sind unabhängig vom Produktionsprogramm und können deshalb vernachlässigt werden.) (a) Stellen Sie ein mathematisches Modell zur Bestimmung eines gewinnmaimalen Produktionsprogramms der Tischlerei für eine Woche auf! (b) Dem Unternehmen ist es gelungen, zusätzlich einen Vertrag mit einem zweiten Händler abzuschließen, je Woche können maimal Möbelkombinationen, bestehend aus einer Vitrine (Typ oder ) und einem Sekretär an einen Spezialhändler für Qualitätsmöbel aus Handwerksbetrieben verkauft werden, was günstiger ist, da dieser je Möbelstück einen um 0% höheren Preis akzeptiert. Wie sieht das mathematische Modell zur Bestimmmung eines gewinnmaimalen Produktionsprogramms des Tischlereibetriebes für eine Woche mit dieser zusätzlichen Verkaufsmöglichkeit aus? 8. In einem Kleinunternehmen der metallverarbeitenden Industrie werden Produkte A, B, und C hergestellt, für die jeweils die Arbeitsgänge Sägen, Drehen sowie Nut- und Gewindefräsen notwendig sind. Für diese Arbeitsgänge stehen jeweils eine Maschine und ein Facharbeiter wöchentlich 0 Stunden zur Verfügung.

5 Die Bearbeitungszeiten für die einzelnen Arbeitsgänge (in Minuten) und der je Produkt erzielbare Gewinn (in e ) sind in folgender Tabelle (für je Werkstück) zusammengestellt: Arbeitsgang Sägen Drehen Fräsen Gewinn in e Bearb.zeit je Wst. A [min] 0 0 Bearb.zeit je Wst. B [min] 8 00 Bearb.zeit je Wst. C [min] (a) Stellen Sie ein mathematisches Modell zur Bestimmung eines gewinnmaimalen Produktionsplanes für eine Woche auf! (b) Wegen der guten Auftragslage hat sich der Unternehmer seit langem um einen zweiten Facharbeiter für das Drehen bemüht, leider vergebens. Schließlich hat er einen ungelernten Arbeiter eingestellt, der bereit ist, die zweite Schicht an der Drehmaschine zu übernehmen (auch 0 Std./Woche). Dieser benötigt jedoch für alle Werkstücke längere Bearbeitungszeiten, konkret benötigt er an der Drehmaschine für A und B je 0 min, für C 0 min. Stellen Sie auch für diese Bedingungen ein mathematisches Modell zur Bestimmung eines gewinnmaimalen Produktionsplanes für eine Woche auf! 9. In einem Fertigungsbetrieb werden Produkte A, B, C und D hergestellt. Aus Erfahrung weiß der Geschäftsführer, dass höchstens eines der beschränkt verfügbaren Rohmaterialien kritisch ist (RM), und dass die verfügbare Arbeitszeit nur in Abteilungen kritisch sein kann. Der Rohmaterialbedarf RM für die Produkte, die Bearbeitungszeiten der Produkte in diesen beiden, von jedem Produkt nacheinander zu durchlaufenden Abteilungen, sowie die Erlöse für die Produkte sind (für je kg der Produkte) in der folgenden Tabelle zusammengestellt. RM-Bedarf Zeitbedarf in Std. Erlös (in kg) Abt. Abt. (in e/kg) A 00 B 880 C D 0 Um bestehende Verträge erfüllen zu können, müssen von beiden Produkten A und B jeweils mindestens 00 kg produziert werden. Produkt D ist eigentlich ein reines Zwischenprodukt, soll aber wegen seiner Bedeutung mit im Modell enthalten sein. Zur Herstellung der anderen Produkte werden vom Produkt D folgende Mengen benötigt: kg (für kg vom Produkt A), kg (für kg vom Produkt B) und kg (für kg vom Produkt C). Im Unternehmen sind für den betrachteten Zeitraum maimal t des Rohmaterials RM verfügbar, und in den Abteilungen und stehen jeweils Stunden Arbeitszeit zur Verfügung. Stellen Sie ein mathematisches Modell

6 .. zur Bestimmung eines optimalen Produktionsplanes (Erlösmaimierung) für dieses Unternehmen auf! 0. Eine als Familienbetrieb arbeitende Schnitzerwerkstatt stellt Produkte her, einen Waldarbeiter, eine Tiergruppe und einen Bergmann. Der Vater und der große Sohn benötigen allein jeweils 90 Minuten für die Tiergruppe, 0 Minuten für den Waldarbeiter und 80 Minuten für den Bergmann. Sie arbeiten beide je 60 Stunden in der Woche. Der Großvater ist zwar schon etwas langsamer geworden, aber er schnitzt auch noch mit. Er schafft noch Waldarbeiter oder Bergmänner an einem Tag, arbeitet aber nur noch Tage in der Woche, und die Tiergruppe gelingt ihm gar nicht mehr. Für die Endbearbeitung und Verpackung sind die Hausfrau und der kleine Sohn zuständig, die dafür je Produkt insgesamt 0 Minuten benötigen, aber neben Hausarbeit und Schule zusammen je Woche nur auf 0 Stunden kommen. Der Gewinn für den Familienbetrieb liegt bei 0 e für die Tiergruppe, 0 e für den Waldarbeiter und 00 e für den Bergmann. Stellen Sie ein mathematisches Modell zur Bestimmung eines gewinnmaimalen Produktionsplanes für Woche auf! Lösungen (a) Z = 6 ma b i c j 0 [8.,.8] [.0,.09] 60 [0, 0] [.8,.6] 0 [., 0] [,.6] 0 [0, ),, 0 (b) = (0, 0, 0 0, 0, 0, ) T, Z ma = 0 e, = (0, 0, 0 0.0, 0.6,.8, 0) T (d) keine, (e) ja, c y = / (,.8] (a) Z = 0 ma b i c j 000 [6000; 866.] [0, 0] [8600; ) [, ) 00 [000, ) [, ) 000 [00, 000] 000 [0, 000],, 0 (b) = (000, 000, 000 0, 00, 00, 0, 0) T, Z ma = 000 e, = (0, 0, 0, 0, 0,, 0) T (e) für c = 0 gibt es eine. opt. BL: = (00, 00, 000 0, 0, 0, 00, 0) T mit Z ma=0 000 e 6

7 (a) Z = 0, 0, 0, min b i c j [60, ) (, 0.] 0 [0,.0] [0., 0.] 0 [0, 0] [0.06, ),, 0 (b) ohne Ganzzahligkeitsforderung: = (0, 9.6, 0 0, 0, 0) T, Z min =, e, = (0, 0, 0 0.0, 0.0, 0.0) T mit Ganzzahligkeitsforderung: = (0, 0, 0 0, 0, 0) T, Z min =, 0 e (a) Z = ma b i c j [., ] [0, ] [,.] [., ) [, ) (, 0] 0 [, ),, 0 (b) = (, 6, 0 0, 0,, 6) T, Z ma = 00 e, = (0, 0, 0 8., 6.6, 0, 0) T (d) für P bel. Senkung oder Erhöhung des Gewinns bis zu 0 e/kg (e) Basis bleibt, Z ma =0 e (f) Verminderung der verfügbaren Menge um bis zu kg (auf kg) oder bel. Erhöhung (g) Erhöhung um maimal 6,6 e (h) [., ] (i) 86,6 e (a) Z = 0.. min b i c j 6.8 [., ] [0., [ 0.] ] 8 6. [, ).6, [6.,.] [0.8,.06] =,, 0 (c) = (0., 0.6, 0. 0, 0., 0) T, Z min =.08 e, = (0, 0, 0 0., 0, 0.06) T (a) Z = ma b i c j 00 [ 60, ] [ 00, 9 000] 80 [ 80, ] 0 [6 000, 0 000] [ 0, ),, 0 (c) (0, 0 0, 0, 0 0 )T, Z ma = e, (d) Schmiede, Gießerei 00%, Montage,%

8 . 8. (a) ma ,,, 0 (b) ma ,,,,, 6 0 (a) ma ,, 0 (b) ma ,,,,, ma = ,,, ma ,,,, 0 8

9 Endtableaus für die Aufgaben -6. T y y y y Z T y y y 000 y y Z T y y y Z T y y y y Z T y y 0. y Z T y y y 0 Z