PW11 Wechselstrom II. Oszilloskop Einführende Messungen, Wechselstromwiderstände, Tiefpasse (Hochpass) 17. Januar 2007

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1 PW11 Wechselstrom II Oszilloskop Einführende Messungen, Wechselstromwiderstände, Tiefpasse (Hochpass) 17. Januar 2007 Andreas Allacher Tobias Krieger Mittwoch Gruppe 3 13:00 18:15 Uhr Dr. Markowitsch

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3 Inhaltsverzeichnis 1. Oszilloskop Einführende Messungen Prinzip Aufgabe Spannungsmessung Frequenzmessung Durchführung Spannungsmessung Frequenzmessung Auswertung Spannungsmessung Frequenzmessung Wechselstromwiderstände Prinzip Aufgabe Ohmscher Spannungsteiler Spannungsteiler mit Impedanz Durchführung Ohmscher Spannungsteiler Spannungsteiler mit Impedanz Auswertung Ohmscher Spannungsteiler Spannungsteiler mit Impedanz RC Glieder (Tiefpass, Hochpass) Prinzip Aufgabe Durchführung Tiefpass Hochpass Durchführung...11

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5 1. Oszilloskop Einführende Messungen 1.1 Prinzip Mit dem Oszilloskop kann die Wechselspannung bzw. auch Wechselstrom grafisch dargestellt werden und damit auch Amplitude und Frequenz und damit auch deren Effektivwerte: Mittels der mittleren elektrischen Leistung die Effektivwerte für I und U: I eff = I 0 2 P...Leistung T...Schwingungsdauer ω...kreisfrequenz t...zeit I 0...Amplitude der Stromstärke U 0...Amplitude der Spannung 1.2 Aufgabe Spannungsmessung T P = 1 T 0 U 0 I 0 sin 2 wt dt = 1 2 U 0 I 0 und U eff = U 0 2 ergeben sich Für mindestens 5 verschiedene Amplitudenwerte U 0 soll der Zusammenhang zwischen Oszilloskopund Galvanometerablesung grafisch dargestellt und diskutiert werden Frequenzmessung Mittels der Schwingungsdauer soll die Frequenz und die Kreisfrequenz bestimmt werden. Für die Frequenz gilt: f = 1/T und für die Kreisfrequenz: = 2 f Die Messungen sind für verschiedene Werte der Zeitablenkung durchzuführen. T...Schwingungsdauer f...frequenz ω...kreisfrequenz Seite 1 von 12

6 1.3 Durchführung Spannungsmessung An einem bekannten ohmschen Widerstand R wird eine sinusförmige Wechselspannung angelegt. Sie wird mit dem Oszilloskop (Einkanalbetrieb) und gleichzeitig mit dem Galvanometer gemessen und danach der Zusammenhang mittels Diagramm (über Origin) erstellt. Diese Messungen wurden für 6 verschiedene Amplitudenwerte durchgeführt Frequenzmessung Mit Hilfe der kalibrierten Zeitablenkung wird die Schwingungsdauer gemessen und damit die Frequenz und die Kreisfrequenz errechnet. Dies wurde für verschiedene Werte der Zeitablenkung durchzuführen. 1.4 Auswertung Spannungsmessung f=200hz Tabelle mit Messungen: Diagramm: Nr. Uss (Osz) [V] Ueff (Osz) [V] Ueff (DMM) [V] ,07 6, ,66 5, ,24 4, ,83 2, ,41 1, ,71 0,69 Seite 2 von 12

7 Diskussion: Das Digitale Multimeter liefert den Effektivwert der Spannung, weswegen die Werte mit einem Unterschied von 2 zwischen Galvanometer und Oszilloskop besteht. Die Steigung der Line entspricht 1/ Frequenzmessung U ss =3V Nr. T [s] (Oszi) f [s -1 ] ω[s -1 ] f [s -1 ] (FG) 1 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,0000 Seite 3 von 12

8 2. Wechselstromwiderstände 2.1 Prinzip Bei einem ohmschen Widerstand verhält sich Wechselstrom gleich wie bei Gleichstrom. Jedoch kommt es bei Wechselstromwiderständen wie Kondensator und Impedanz zu einer Phasenverschiebung zwischen der Stromstärke I und der Spannung U und stellen somit im Gegensatz zum Gleichstrom auch eine Widerstand dar. Diese Widerstände werden auch als Impedanzen bezeichnet. 2.2 Aufgabe Ohmscher Spannungsteiler Es soll mittels eines ohmschen Spannungsteilers ein unbekannter Widerstand R x bestimmt werden Spannungsteiler mit Impedanz Mittels eines Spannungsteilers mit Impedanz sollen L (Induktivität) und C (Kapazität) bestimmt werden und außerdem die daraus resultierende Phasenverschiebung. 2.3 Durchführung Ohmscher Spannungsteiler Es soll mittels einem Spannungsteiler ein unbekannter Widerstand R x bestimmt werden. Hierzu wird dieser in Serie mit einem bekanntem Widerstand R geschaltet. Aus dem Spannungsverhältnis der Gesamtspannung U 1 (t) und der Teilspannung U 2 (t) an R wird dann R x bestimmt. Hierzu werden diese beiden Spannungen an die beiden Eingänge der Kanäle CHI und CHII des Oszilloskops gelegt. Aufbau des Spannungsteilers: Seite 4 von 12

9 Es gilt somit: U 1 = R R x U 2 R und somit für R x = U 1 U 2 1 R Außerdem wird anschließend das Signal U 2 (t) als Funktion von U 1 (t) dargestellt. Hierzu wird das Gerät in xy-betrieb umgeschaltet Spannungsteiler mit Impedanz Anstelle des ohmschen Widerstandes R x wird ein Scheinwiderstand X (Impedanz, X C oder X L ) in den Spannungsteiler eingebaut. Es wurde am Funktionsgenerator eine Frequenz gewählt sodass X C (Impedanz bei Kondensator) bzw. X L (Impedanz bei Spule) in der Größenordnung von R liegt (~300Hz bzw. ~50kHz). Durch Messung der Gesamtspannung U 1 (t) und der Teilspannung U 2 (t), an R gemessen, lässt sich X bestimmen. Aufbau des Spannungsteilers mit Impedanz: Es gilt: U 1 = R 2 X 2 U 2 R Für X C = 1 C und daraus folgt: X = U R U 2 2 und X L = L Es werden die Werte von C und L über die Formeln der Impedanzen bestimmt: C = 1 X C und L = X L Die Phasenverschiebung wurde mittels des Oszilloskops und rechnerisch bestimmt und dann verglichen. Seite 5 von 12

10 Zur rechnerischen Phasenverschiebung wurden folgende Beziehungen verwendet: Für R in Serie mit L gilt: tan = L/ R da Für R in Serie mit L gilt: tan = 1 C R X L = i L da X C = i C Diese Beziehungen ergeben sich aus der komplexen Zahlenebene. Da die Impedanzen als komplexe Zahlen aufgefasst werden können und somit können die trigonometrischen Beziehungen verwendet werden um diese Beziehungen herzuleiten (die Impedanzen wirken sich nur auf die imaginäre Achse Gegenkathede von φ - aus und der ohmsche Widerstand nur auf die reele Achse Ankathede von φ). Außerdem soll auch wie beim ohmschen Spannungsteiler der Zusammenhang zwischen U 2 (t) und U 1 (t) darzustellen (Oszilloskop in xy-betrieb umschalten) und mit dem Zusammenhang beim ohmschen Spannungsteiler zu vergleichen. 2.4 Auswertung Ohmscher Spannungsteiler U01 [V] U02 [V] U1/U2 R [kω] RX [kω] 8 2,5 3,2 2,7 5,94 R x = 6kΩ U 2 (t) als Funktion von U 1 (t): Seite 6 von 12

11 2.4.2 Spannungsteiler mit Impedanz Typ f [s -1 ] ω [s -1 ] U01 [V] U02 [V] U1/U2 R [Ω] X L [Hy] oder C [Fa] Typ Kondensator , , ,18 2,23E-007 C Spule ,27 8 4,4 1, ,9 1,31E-002 L Typ φ [s] (Osz) φ [ ] (Oszi) φ [ ] (err) Kondensator -0, , ,4096 Spule 3,20E , ,6330 Kondensator: Spule: C = 223nF L = 13,1mH φ = -40 φ = 57 Kondensator: U 2 (t) als Funktion von U 1 (t): Seite 7 von 12

12 Spule: U 2 (t) als Funktion von U 1 (t): Vergleich von den Funktionen vom ohmschen Widerstand und von den Impedanzen: Ohmscher Widerstand: Linear Impedanz: Ellipse Seite 8 von 12

13 3. RC Glieder (Tiefpass, Hochpass) 3.1 Prinzip RC-Glieder sind frequenzabhängige Spannungsteilerschaltungen mit speziellen Übertragungseigenschaften. Diese sind in Tiefpässe und Hochpässe unterteilt, je nachdem ob tiefe Frequenz und Gleichstrom unverändert durchgelassen und hohe Frequenzen abgeschwächt werden oder umgekehrt: 3.2 Aufgabe Es soll das Frequenz- und Phasenverhalten eines einfachen linearen Übertragungssystems untersucht werden. Hierzu wird mit der Widerstand R (nicht R x ) aus Punkt (Auswergung bei Spannungsteiler mit Impedanzen des Hauptpunkts Wechselstromwiderstände) genommen und mittels Kapazitätsdekade der Tiefpass (bzw. Hochpass) so eingestellt, dass der Tiefpass (bzw. Hochpass) die entsprechende Grenzfrequenz hat. Es soll die Frequenzabhängigkeit des Betrages der komplexen Übertragungsfunktion A = U a U e in einem Bode-Diagramm dargestellt werden. U a...ausgangsspannung in komplexer Darstellung U e...eingangsspannung in komplexer Darstellung Außerdem soll ein Diagramm für den Zusammenhang vom Phasenverschiebungswinkel zur Frequenz erstellt werden. Die Grenzfrequenz ergibt sich mittels folgender Formel (für Tiefpass und Hochpass): 1 f g = 2 R C und somit für 1 C = 2 R f g Seite 9 von 12

14 3.3 Durchführung Um die Übertragungsfunktion in einem Bode-Diagramm darzustellen wird der Amplitudengang ( A(ω) ) wird in doppeltlogarithmischer Darstellung aufgetragen, wobei das Betragsverhältnis das logarithmische Maß Dezibel angegeben wird: A = 20 log U a U e Und der Phasenverschiebungswinkel wird gegen den Logarithmus der Frequenz aufgetragen Tiefpass Für den Frequenzgang und die Phasenverschiebung ergibt sich: A = R 2 C 2 und φ = arctan R C Der Amplitudenfrequenzgang lässt sich mit Hilfe der beiden Asymptoten auf einfache Weise konstruieren: 1) Bei tiefen Frequenzen f << f g ist A = 1 0 db 2) Bei hohen Frequenzen f >> f g gilt A 1/(ωRC), d.h. die Verstärkung ist umgekehrt proportional zur Frequenz. Bei einer Verzehnfachung der Frequenz verringert sich die Verstärkung demnach um den Faktor 10, d.h. sie nimmt mit 20 db/dekade bzw. 6 db/oktave ab. 3) Bei f = f g ist A = 1/ 2-3 db Hochpass Für den Frequenzgang und die Phasenverschiebung ergibt sich: A = 1 1 1/ 2 R 2 C 2 und 1 φ = arctan RC Der Amplitudenfrequenzgang lässt sich mit Hilfe der beiden Asymptoten auf einfache Weise konstruieren: 1) Bei hohen Frequenzen f >> f g ist A = 1 0 db 2) Bei hohen Frequenzen f << f g gilt A ωrc, d.h. die Verstärkung ist proportional zur Frequenz. Bei Asymptotensteigung beträgt also +20 db/dekade bzw. +6 db/oktave. 3) Bei f = f g ist A = 1/ 2-3 db Seite 10 von 12

15 3.4 Durchführung f g = 3000 Hz C = 20nF Auswahl: Hochpass f [s -1 ] Ue [V] Ua [V] A db [db] φ [s] φ [ ] 150 0,711 0, ,84 0, , ,711 0, ,63 0, , ,711 0, ,18 0, , ,711 0, ,47 0, , ,711 0, ,84 0, , ,715 0, ,16 0, , ,715 0, ,28 0, , ,715 0,2310-9,81 0, , ,715 0,2330-9,74 0, , ,711 0,2350-9,62 0, , ,707 0,2370-9,49 0, , ,699 0,2390-9,32 0, , ,700 0,6830-0,21 0, , ,707 0,7000-0,09 0, , ,707 0,7020-0,06 0, ,00 Bode-Diagramm: Frequenzabhängigkeit der komplexen Übertragungsfunktion: Seite 11 von 12

16 Diagramm: Frequenzabhängigkeit des Phasenverschiebungswinkel: Seite 12 von 12