Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen

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1 Springer Gabler PLUS Zusatzinformationen zu Medien von Springer Gabler Grimmer Statistik im Versicherungs- und Finanzwesen Eine anwendungsorientierte Einführung Auflage Übungsaufgaben zu Kapitel 4

2 Aufgaben zu Abschnitt 4.2: Aufgabe 4.2.1: Verwenden Sie für diese Aufgabe die Tabelle Portfolio. a) Erstellen Sie in Form einer Häufigkeitstabelle eine Auswertung des Merkmals Stadt und bestimmen Sie dafür die absoluten und relativen Häufigkeiten. b) Stellen Sie die absoluten und relativen Häufigkeiten in Form eines Stabdiagramms dar. c) Stellen Sie die relativen Häufigkeiten in einem Tortendiagramm dar. d) Erstellen Sie zunächst eine weitere Häufigkeitstabelle wie die in a), indem Sie alle absoluten Häufigkeiten verdoppeln. Stellen Sie anschließend jeweils die absoluten und relativen Häufigkeiten beider Tabellen in Form eines gemeinsamen Stabdiagramms dar. Beurteilen Sie die Darstellung der beiden Häufigkeitsarten im Vergleich. Aufgabe 4.2.2: Eine ländliche Postfiliale (ja, die gibt es noch!) führt folgende Untersuchung durch: An einem Tag werden die am Schalter abgefertigten Kunden in einer Strichliste erfasst. Alle zehn Minuten beginnt der Mitarbeiter dabei eine neue Zeile; kommt zehn Minuten lang gar kein Kunde, schreibt er eine 0 in die Zeile. Nach Schalterschließung ergibt sich durch Auszählen der Striche, wie viele Kunden in den 30 Zehn-Minuten-Intervallen der Öffnungszeit bedient wurden. Dies ist das Ergebnis: Erstellen Sie eine tabellarische Übersicht mit den absoluten und relativen Häufigkeiten sowie den Summenhäufigkeiten der bedienten Kunden und stellen Sie die absoluten Häufigkeiten in einem Säulendiagramm dar. Aufgabe 4.2.3: Eine Verbraucherorganisation testet 50 verschiedene Pflegeversicherungstarife und vergibt dabei die Produktbewertungen sehr gut (fünfmal), überdurchschnittlich (fünfzehnmal), durchschnittlich (fünfzehnmal), unterdurchschnittlich (zehnmal) und mangelhaft (fünfmal). Erstellen Sie hierzu eine Tabelle mit den vier relevanten Häufigkeiten und stellen Sie die absoluten Häufigkeiten in einem Balkendiagramm (also mit waagrechter Häufigkeitsachse) dar.

3 Aufgaben zu Abschnitt 4.3: Aufgabe 4.3.1: Verwenden Sie für diese Aufgabe die Tabelle Portfolio. a) Erstellen Sie eine geeignete Klassifizierung für das Merkmal VS (Versicherungsumme). Bedienen Sie sich dabei einer äquidistanten Klasseneinteilung der Breite Wie wählt man dabei sinnvollerweise die unterste und die oberste Klassengrenze des darzustellenden Bereichs? Ermitteln Sie dabei auch die absoluten und relativen Häufigkeiten. b) Erzeugen Sie nun in einer Arbeitstabelle die Daten zur Konstruktion eines Histogramms auf der Basis der relativen Häufigkeiten und zeichnen Sie dieses. c) Überarbeiten Sie die Klasseneinteilung, indem Sie die zweite der in a) erzeugten Klassen in zwei gleich breite Klassen aufteilen und die fünfte und sechste Klasse aus a) zusammenlegen. Skizzieren Sie zum Vergleich auch hierzu das Histogramm. Aufgabe 4.3.2: Verwenden Sie für diese Aufgabe die Tabelle DAX. a) Erzeugen Sie aus den monatlichen DAX-Renditen der Jahre 2003 bis 2012 eine aufsteigende Datenfolge. b) Skizzieren Sie die Renditeverteilung im Bereich zwischen -10% und +10% in Form eines äquidistanten Histogramms mit einer Klassenbreite von 2 Prozentpunkten. c) Skizzieren Sie die Renditeverteilung im Bereich zwischen -11% und +11% in Form eines äquidistanten Histogramms mit einer Klassenbreite von 2 Prozentpunkten. d) Vergleichen Sie die beiden Diagramme.

4 Aufgaben zu Abschnitt 4.4: Aufgabe 4.4.1: Als risikoscheuer Anleger hat Herr Lorentzen sein Vermögen in Sparbriefe investiert. Aktuell besitzt er 5 Sparbriefe über , , und zweimal Berechnen Sie Modus, Median und arithmetischen Mittelwert. Aufgabe 4.4.2: Gegeben sei die folgende Verteilung der monatlichen Einkommen in einem Unternehmen: x i [1.000 ] 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 6,0 7,0 9,0 h i a) Berechnen Sie für die diese Verteilung Modus, Median und arithmetischen Mittelwert. b) Um welchen Verteilungstyp handelt es sich? c) Wie ändern sich die drei Lageparameter, wenn das höchste Einkommen auf steigt? Aufgabe 4.4.3: Verwenden Sie für diese Aufgabe die Tabelle Portfolio. T steht abkürzend für a) Berechnen Sie getrennt für die drei Wohnorte die mittlere Versicherungssumme ( VS ), jeweils einmal als Median, einmal als arithmetischen Mittelwert. b) Ermitteln Sie für den Gesamtbestand Median und arithmetischen Mittelwert der Versicherungssummen. Können dabei die Ergebnisse aus Teil a) verwendet werden? c) Klassifizieren Sie nach dem Merkmal Versicherungssumme und berechnen Sie jeweils den arithmetischen Mittelwert bei i) äquidistanter Klasseneinteilung in 6 Klassen über dem Summenbereich von 0 bis 120 T ; ii) einer Klasseneinteilung mit den Klassengrenzen 0, 20 T, 30 T, 40 T, 60 T, 80 T und 120 T ; iii) einer Klasseneinteilung wie in i), allerdings wird nun die oberste Klasse bis zur Grenze 150 T erweitert. Vergleichen Sie die Ergebnisse untereinander und mit dem in Teil b) gefundenen Wert. Aufgabe 4.4.4: a) Ein Kapitalbetrag wird für 5 Jahre angelegt. Die Sparvereinbarung sieht bei konformer Verzinsung (d. h. jahresweise mit Zinseszins) folgende Zinstreppe vor: 2,0% im ersten, 2,25% im zweiten, 2,5% im dritten, 3,0% im vierten, 4,0% im fünften Jahr Berechnen Sie die durchschnittliche jährliche Verzinsung einmal exakt mit dem geometrischen Mittelwert, einmal näherungsweise mit dem arithmetischen Mittelwert und vergleichen Sie die Ergebnisse. Berechnen Sie dafür die Prozentwerte auf fünf Nachkommastellen genau. b) Eine Kapitalanlage wird konform verzinst. Nach dem zweiten Jahr hat sie sich um insgesamt 5,7% erhöht, im dritten Jahr um 3,5%. Anschließend endet die Anlage. Wie hoch ist die jährliche Durchschnittsverzinsung? Aufgabe 4.4.5: In einer Stadt mit Arbeitnehmern beträgt das monatliche Durchschnittseinkommen Die weiblichen Arbeitnehmer haben hingegen nur ein Durchschnittseinkommen von Wie hoch ist das monatliche Durchschnittseinkommen der männlichen Arbeitnehmer?

5 Aufgaben zu Abschnitt 4.5: Aufgabe 4.5.1: a) Eine Genossenschaftsbank vertreibt im Stadtgebiet günstige Reisekrankenversicherungen. Im Laufe einer Woche melden die 7 Filialen die folgenden Verkaufszahlen: 7, 11, 8, 14, 9, 12, 9 Berechnen Sie Spannweite, mittlere Absolutabweichung bezüglich Median und Durchschnitt, Varianz und Standardabweichung. b) Berechnen Sie die obigen Schwankungsparameter für die Verkaufszahlen 7, 8, 14, 8, 9, 8, 9 c) Berechnen Sie die obigen Schwankungsparameter für die Verkaufszahlen 14, 8, 7, 7, 13, 14, 7 d) Vergleichen Sie die drei Datenreihen und ihre Parameter jeweils miteinander. Aufgabe 4.5.2: Verwenden Sie für diese Aufgabe die Tabelle Portfolio. a) Berechnen Sie getrennt nach den drei Wohnorten für das Merkmal Versicherungssumme ( VS ) jeweils die Streuungsparameter Spannweite, mittlere Absolutabweichung (bezüglich des Medians), Standardabweichung und Variationskoeffizient. b) Berechnen Sie die Streuungsparameter für das Merkmal Versicherungssumme nun für den Gesamtbestand und vergleichen sie die Ergebnisse mit denen aus Teil a). Aufgabe 4.5.3: a) Weisen Sie allgemein die folgende Beziehung zwischen den beiden Varianzformeln nach: 1 n (xi n i 1 2 x) 1 n n 2 xi i 1 2 x b) Für eine Stichprobe vom Umfang n = 12 wurde das arithmetische Mittel x = 9 und die Standardabweichung s = 5 berechnet. Später bemerken die Statistiker, dass die beiden Werte x 13 = 12 und x 14 = 20 bei der Berechnung vergessen wurden. Wie lauten nun der arithmetische Mittelwert und die Standardabweichung für die gesamte Messreihe vom Umfang n = 14? Aufgabe 4.5.4: In einem Krankenhaus wurde das Gewicht von 10 Neugeborenen gemessen. Die Messung ergab folgende Werte (in kg): 1,7 2,1 2,3 2,8 3,0 3,3 3,5 3,7 4,0 4,6 Man bestimme auf Basis der vier Intervalle [1,5; 2,5), [2,5; 3,5), [3,5; 4,5), [4,5; 5,5] eine Klassifizierung der Daten und berechne den arithmetischen Mittelwert und die Standardabweichung einmal auf Basis der exakten Werte, einmal auf Basis der Klassifizierung.

6 Aufgabe 4.5.5: Bei der Betrachtung von Aktienkursen wird die Wertentwicklung häufig anhand einer stetigen Kursänderungsrate gemessen. Die Kurse sind zu periodischen Zeitpunkten t gegeben, bei konstanter Periodenlänge (in der Praxis Tage, Wochen oder Monate). Dann errechnet sich die stetige Kursänderungsrate in einer Zeitperiode gemäß rt ln( / Kt 1) als natürlicher Logarithmus des Kursänderungsfaktors in dieser Periode. Für moderate Kursschwankungen stimmt r t nahezu mit der relativen Kursänderung während einer Periode überein, denn dann gilt: ln 1 1 Die stetige Änderungsrate erlaubt eine Darstellung des Kursprozesses mit Hilfe der Exponentialfunktion, r t 1 e, und ist für beliebig kleine Perioden gültig. Berechnet man aus n Beobachtungsperioden die durchschnittliche Kursänderungsrate als arithmetischen Mittelwert der Änderungsraten, 1 n r r t, n t 1 und die Periodenstreuung der Kursänderungen als Standardabweichung der Änderungsraten, 1 n 2 s * (rt r), n t 1 dann bezeichnet man die annualisierte, d. h. auf ein Jahr bezogene Periodenstreuung als empirische Volatilität s K der Aktie: s K T s *, wenn das Jahr aus T Perioden besteht. Bei Verwendung monatsbasierter Kurse ist bspw. T = 12. Empirisch nennt man die Volatilität deshalb, weil die Betrachtung sich auf Werte der Vergangenheit stützt. Man berechne nach diesem Verfahren aus den folgenden Kursnotierungen zweier Aktien deren empirische Volatilitäten: a) b) Datum Kurs Datum Kurs Datum Kurs , , , , , , , , , , , , ,5

7 Aufgaben zu Abschnitt 4.6: Aufgabe 4.6.1: Eine Sparkasse betreut in einer größeren Stadt in jeder ihrer Filialen jeweils die folgende Zahl von Kunden: Filiale Untersuchen Sie die Kundenkonzentration, indem Sie a) die Lorenzkurve zeichnen, b) den Gini-Koeffizienten berechnen, c) den Herfindahl-Index berechnen. Anzahl der Kunden Adolphstraße Berliner Platz Darmstädter Straße Frankfurter Allee Nassauische Straße 800 Oranienplatz Taunusring 950 Wilhelmstraße d) Welcher Anteil der Kunden entfällt jeweils auf die beiden kleinsten und größten Filialen? e) Man bestimme den Gini-Koeffizienten bei vollständiger Konzentration und gebe eine Modifikation des Koeffizienten an, die dann auf ein Konzentrationsmaß von 1 führt. Aufgabe 4.6.2: Verwenden Sie für diese Aufgabe die Tabelle Portfolio. a) Berechnen Sie zur Messung der Konzentration der Versicherungssumme im Wertebereich [0; ] den Gini- Koeffizienten auf der Basis einer äquidistanten Klasseneinteilung der Breite b) Berechnen Sie alternativ im gleichen Wertebereich den Gini-Koeffizienten auf der Basis einer Klasseneinteilung mit den Intervallgrenzen , , , und Aufgabe 4.6.3: Zeigen Sie, dass zwischen Herfindahl-Index und Variationskoeffizient die folgende Beziehung besteht: H 1 2 (VK n 1) Aufgabe 4.6.4: In drei zentralasiatischen Republiken befindet sich der Versicherungsmarkt im Aufbau. Jeweils fünf Unternehmen teilen den Markt in jedem Land unter sich auf. Die Beitragseinnahmen in Mio. Euro entnehmen Sie der folgenden Tabelle: Unternehmen Putistan Transputistan Omotien A B C D a) Skizzieren Sie die Lorenzkurven der Beitragseinnahmen für jedes der drei Länder. b) Vergleichen Sie die Konzentration in Putistan und Transputistan anhand der Lorenzkurven. c) Vergleichen Sie die Konzentration in Putistan und Omotien anhand des Gini-Koeffizienten und des Herfindahlindexes.

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