Abiturprüfung Mathematik, Leistungskurs 0,02

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1 M LK HT Seite von Nme: Abiturprüfung 007 Mthemti, Leistungsurs Aufgbenstellung: Gegeben ist die Funtion f mit Ein Teil des Grphen von f ist für 0,0 t ft () = t e, t IR. 0 t 5 m Ende der Aufgbe uf Seite bgebildet. ) Zeigen Sie, dss der Grph von f puntsymmetrisch zum Ursprung ist. Bestimmen Sie rechnerisch die lolen Extremstellen und Wendestellen von f. Geben Sie zudem die Koordinten der Extrempunte n. (0 Punte) b) Bestimmen Sie mit Hilfe eines geeigneten Integrtionsverfhrens eine Stmmfuntion von f. 0,0 [Zur Kontrolle und weiteren Verwendung: Ft () = 50 e t ] Berechnen Sie den Inhlt der Fläche, die von der t-achse, dem Grphen von f und der Gerden mit t = 0 eingeschlossen wird. (0 Punte) c) Für 0 t 5 beschreibt ft () modellhft die momentne Suerstoffprodution einer Buche n einem Sommertg mit 5 Stunden Sonnenscheinduer b dem Sonnenufgng ( t = 0), wobei mn t in Stunden und ft () in m 3 pro Stunde ngibt. Beschreiben Sie den Verluf des Grphen von f (siehe Seite ) in diesem Schzusmmenhng unter Verwendung der Ergebnisse von ). ( Punte) d) Interpretieren Sie den bei b) berechneten Flächeninhlt in diesem Schzusmmenhng. Bestimmen Sie, wie viele Sonnenstunden vergngen sind, bis die Buche insgesmt 0 m 3 Suerstoff produziert ht. (8 Punte) Nur für den Dienstgebruch!

2 M LK HT Seite von e) Eine Funtion g soll nun die momentne Suerstoffprodution in m 3 pro Stunde n einem sonnigen Herbsttg beschreiben. Die Sonnenscheinduer beträgt Stunden und die Intensität der uf die Blätter treffenden Strhlung ist geringer ls n einem Sommertg. Dmit verbunden ist eine geringere Suerstoffprodution. Ds Mximum wird nch Stunden ( t = ) erreicht, lso Stunden nch Sonnenufgng ( t = 0). Sizzieren Sie den Grphen einer möglichen Funtion g in die unten bgebildete Zeichnung. Begründen Sie, wie mn den Funtionsterm von f verändern nn, dmit mn den Term einer möglichen Funtion g erhält. (8 Punte) Suerstoffprodution ft () t Zugelssene Hilfsmittel: Wissenschftlicher Tschenrechner (ohne oder mit Grfifähigeit) Mthemtische Formelsmmlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebruch!

3 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT Seite von 6 Unterlgen für die Lehrrft Abiturprüfung 007 Mthemti, Leistungsurs. Aufgbenrt Anlysis. Aufgbenstellung siehe Prüfungsufgbe 3. Mterilgrundlge. Bezüge zu den Vorgben 007. Inhltliche Schwerpunte Untersuchung von Exponentilfuntionen mit Ableitungsregeln (Produt- und Kettenregel) in Schzusmmenhängen Untersuchungen von Wirungen Integrtionsregeln (Substitution) Flächenberechnung durch Integrtion. Medien/Mterilien entfällt 5. Zugelssene Hilfsmittel Wissenschftlicher Tschenrechner (ohne oder mit Grfifähigeit) Mthemtische Formelsmmlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung 6. Vorgben für die Bewertung der Schülerleistungen 6. Modelllösungen Modelllösung ) Für lle t IR gilt f(t) = f( t), lso liegt Puntsymmetrie zum Ursprung vor. f '(t) = ( 0,08t 0,0t ) e und f ''(t) = (0,003t 3 0,0t 0,t) e (Produt- und Kettenregel) t = 5 ist lole Mximumstelle, t = 5 lole Minimumstelle (f '(t) = 0 und f ''(t) betrchten) 0 H 5 6, und T ( 5 6,). e Wendestellen: 0, ± 5 3 ± 8,66 (f ''(t) = 0 und Vorzeichenwechsel) Bei den Argumenttionen ist es sinnvoll, die Symmetrie uszunutzen. Nur für den Dienstgebruch!

4 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT Seite von 6 Modelllösung b) ( t) z 0,0t f () t dt e ϕ = ϕ () t dt = 50 e dz = 50e + c 0,0, c IR, mit ϕ () t = 0,0t und dz = ϕ ( tdt ) 0 0,0t 0 ftdt () [ 50 e = ] 0 = 50e + 50, lso A = ,3 [FE] 50 e Modelllösung c) Bei Sonnenufgng (t = 0) noch eine Prodution, dnn llerdings ein stres Ansteigen. Die größte Suerstoffprodution erfolgt bei diesem Modell 5 Stunden nch Sonnenufgng und liegt bei c. 6, m 3 pro Stunde. Anschließend verringert sich die Prodution wieder, wobei um etw 8 Stunden und 0 Minuten nch Sonnenufgng der Rücgng besonders str ist (Wendestelle). Gegen Abend flcht die Kurve b, die Prodution geht gegen Null. Modelllösung d) Der Flächeninhlt gibt n, wie viel Suerstoff innerhlb der ersten 0 Stunden nch Sonnenufgng insgesmt produziert wurde: etw 3,3 m 3. sei der gesuchte Zeitpunt, dnn ergibt sich: 0,0 ftdt ( ) 0 50 e = + 50 = ln(0,6) 0,0 = 5,05 ( < 0 unpssend) Nch etws mehr ls 5 Stunden ht die Buche insgesmt 0 m 3 Suerstoff produziert. Modelllösung e) Die Sizze berücsichtigt die gennnten Aspete: Mximum bei t =, ürzere Sonnenscheinduer, geringere Suerstoffprodution. Aufgrund der geringeren Prodution nn der Funtionsterm mit einem Ftor b mit 0 < b < multipliziert werden. Wegen der ürzeren Sonnenscheinduer nn im Funtionsterm ds Argument mit einer Zhl > multipliziert werden. Aufgrund der vorliegenden Dten ( sttt 5 Stunden Sonnenscheinduer und der entsprechenden Verschiebung der Mximumstelle) bietet sich = 5 n. Nur für den Dienstgebruch!

5 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT Seite 3 von 6 (Anbei Sizze für = 5 und b = 5 ) ft (), gt () t 6. Teilleistungen Kriterien Teilufgbe ) Anforderungen Der Prüfling mximl erreichbre Puntzhl (AFB) zeigt, dss der Grph puntsymmetrisch ist. 3 (II) bestimmt durch Anwenden der Produt- und Kettenregel zwei Ableitungen. 5 (II) 3 berechnet die lolen Extremstellen (inl. hinr. Bed.). (I) berechnet die potentiellen Wendestellen und begründet, dss es sich um Wendestellen hndelt. 5 berechnet die Koordinten der Extrempunte. (I) Der gewählte Lösungsnstz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Schlich richtige Alterntiven werden n dieser Stelle mit entsprechender Puntzhl bewertet. 6 (II) AFB = Anforderungsbereich Nur für den Dienstgebruch!

6 M LK HT Seite von Nme: Abiturprüfung 008 Mthemti, Leistungsurs Aufgbenstellung: Ein Phrmunternehmen produziert ein Mediment in unterschiedlichen Wirstoffdosierungen, ds in Tblettenform verbreicht wird. Der zeitliche Verluf der Wirstoffonzentrtion im Blut eines Ptienten nn in den ersten Stunden nch Einnhme einer Tblette 0.5 t näherungsweise durch die Funtionenschr f( t) = t e, t [0;], > 0, beschrieben werden. Dbei wird die Zeit t in Stunden seit der Einnhme und die Wirstoffonzentrtion f( t ) im Blut in Milligrmm pro Liter (mg/l) gemessen; die Höhe der Wirstoffdosierung wird durch den Prmeter berücsichtigt. f () t t ) Die obenstehende Abbildung zeigt einen zeitlichen Verluf, bei dem die Wirstoffonzentrtion im Blut des Ptienten vier Stunden nch der Einnhme den Wert von 0,3 mg/l erreicht. Berechnen Sie den Prmeter der Funtion f, die diesen zeitlichen Verluf modelliert, und die Höhe der Wirstoffonzentrtion zum Zeitpunt t =. (5 Punte) Nur für den Dienstgebruch!

7 M LK HT Seite von Nme: b) Untersuchen Sie ds Monotonieverhlten der Funtionen f in Abhängigeit von und zeigen Sie, dss die Funtion f unbhängig vom Prmeter n der Stelle t = ein bsolutes Mximum besitzt. Interpretieren Sie die Ergebnisse im Schzusmmenhng. Um eine schädliche Wirung des Mediments zu vermeiden, drf eine Wirstoffonzentrtion von 8 mg/l nicht überschritten werden. Ermitteln Sie die Dosishöhe, b der eine schädliche Wirung des Mediments eintritt. (3 Punte) c) Weisen Sie nch, dss die Wirstoffonzentrtion für jede Dosishöhe zum Zeitpunt t = 8 m stärsten bnimmt. (0 Punte) Im Folgenden soll die Funtion f 0 mit 05, t f0() t = 0 t e, t [ 0; ], betrchtet werden. 05, d) Zeigen Sie durch Integrtion, dss die Funtion F 0 mit F0() t = 0 ( t ) e t eine Stmmfuntion von f 0 ist. Bestimmen Sie in Abhängigeit von die mittlere Wirstoffonzentrtion m ( ) in den ersten Stunden nch der Einnhme des Mediments und berechnen Sie m ( ). ( Punte) e) Untersuchen Sie ds Verhlten der Funtion f 0 für t. Interpretieren Sie ds Ergebnis im Hinblic uf den lngfristigen Abbu des Wirstoffs. Für t > soll der zeitliche Verluf der Wirstoffonzentrtion durch eine linere Funtion g beschrieben werden. Bestimmen Sie eine Gleichung der lineren Funtion g so, dss die zusmmengesetzte f0 ()für0 t t Funtion h mit ht () = n der Stelle t = differenzierbr ist. g(t) für t > Berechnen Sie für diese Modellierung den Zeitpunt, zu dem ds Mediment im Blut vollständig bgebut ist. (0 Punte) Zugelssene Hilfsmittel: Wissenschftlicher Tschenrechner (ohne oder mit Grfifähigeit) Mthemtische Formelsmmlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebruch!

8 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT Seite von 7 6. Vorgben für die Bewertung der Schülerleistungen 6. Modelllösungen Modelllösung ) Bestimmung des Prmeters : 05, f ( ) = e = 0, 3 7, 0. Bei einer Dosishöhe von 70, erreicht die Wirstoffonzentrtion den Wert 0,3 [mg/l]. Die Wirstoffonzentrtion zum Zeitpunt t = [h] beträgt f 7 ( ) 0, [mg/l]. Modelllösung b) 05, t f () t = ( 0, 5 t) e (Produt-, Kettenregel) f () t > 0 für 0 t <, d > 0 und e 0,5 t > 0, d. h., f ist streng monoton steigend in [0;[. Entsprechend gilt f () t < 0 für < t, d. h., f ist streng monoton fllend in ];]. f () t = 0 0, 5 t = 0 t = ; VZW (+/ ) von f n der Stelle t = (oder: f ( ) < 0) An der Stelle t = besitzt f ds reltive Mximum f ( ) = e. Aus dem Monotonieverhlten (oder: Untersuchung der Rndwerte) folgt, dss f ( ) = e bsolutes Mximum der Funtion f ist. Die Wirstoffonzentrtion nimmt im Zeitintervll [0;[ zu und erreicht vier Stunden nch Einnhme des Mediments ihre mximle Höhe; dnch nimmt die Wirstoffonzentrtion bis zum Zeitpunt t = wieder b. Bestimmung der Dosishöhe : f ( ) > 8 e > 8 >, 5 e, 3. Ab einer Dosishöhe von,3 tritt eine schädliche Wirung des Mediments ein. Modelllösung c) Es ist zu zeigen, dss die Änderungsrte f der Wirstoffonzentrtion n der Stelle t = 8 ein Minimum mit negtivem Wert besitzt. 05, t f () t = 05, ( + 05, t) e (Produt-, Kettenregel) f () t = 0 + 0, 5 t = 0 t = 8 f () t < 0 für 0 t < 8 und f () t > 0 für 8< t (d > 0 ); d. h., VZW ( /+) der. Ableitung f n der Stelle t = 8 (oder 058, f () 8 = 0, 065 ( 3 0, 5 8) e > 0 ). Nur für den Dienstgebruch!

9 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT Seite 3 von 7 Wegen f () 8 = e < 0 ist die Änderungsrte f der Wirstoffonzentrtion zum Zeitpunt t = 8 negtiv; sie nimmt dort unter Berücsichtigung von f ( 0) = > f ( 8) und 6 f ( ) = 5 e > f ( 8) ihr bsolutes Minimum im Intervll [0;] n. Die Wirstoffonzentrtion nimmt dher unbhängig von zum Zeitpunt t = 8 m stärsten b. Modelllösung d) Durch prtielle Integrtion erhält mn: 05, t 05, t 05, t 0 = 0 = 0 f () t dt t e dt ( t e e dt) 05, t 05, t = 0 ( t e + ( e )) 05, t = 0 ( t ) e = F ( t). Die mittlere Wirstoffonzentrtion in den ersten Stunden beträgt 05, m ( ) = f () tdt [ F () t] ( F ( ) F ( 0)) ( 0 ( ) e 60) = = Dmit ergibt sich die mittlere Wirstoffonzentrtion in den ersten Stunden: m( ) = ( F0( ) F0( 0)) ( 3, ) 0, 68 [mg/l]. 0 Modelllösung e) t Für t > 0 ist f 0 () t > 0. Aus lim t e = 0 folgt t 05, t lim f0( t) = lim0 t e = 0. t t Die t-achse ist Asymptote des Grphen von f 0. Der Wirstoff würde bei einer solchen Modellierung nie vollständig bgebut. Gleichung der lineren Funtion g: gt ( ) = f ( ) ( t ) + f ( ) = 50 e t+ 0 e 0, t+ 3, 569 Bestimmung der Nullstelle: gt () = 0 t= 8, 8 (bzw. t 8, 78 ) Nch 8h 8min (bzw. rund 8h 7min) ist bei dieser Modellierung der Wirstoff im Blut vollständig bgebut. Nur für den Dienstgebruch!

10 M LK HT 3 Seite von Nme: Abiturprüfung 008 Mthemti, Leistungsurs Aufgbenstellung: Gegeben sind die Funtionen f mit f ( ) ( ) x x = x+ e, 0. Die Abbildung zeigt den Grphen der Funtion f sowie den Grphen ihrer Ableitungsfuntion f. y f f x Abbildung ) Untersuchen Sie den Grphen der Funtion f in Abhängigeit von uf Schnittpunte mit den Koordintenchsen und Extrempunte. Ermitteln Sie ds Verhlten von f für x +. x [Zur Kontrolle: f ( x) = ( x+ ) e ] ( Punte) Nur für den Dienstgebruch!

11 M LK HT 3 Seite von Nme: b) Zeigen Sie, dss die Grphen von f und f genu einen Schnittpunt S hben, und berechnen Sie seine Koordinten in Abhängigeit von. Geben Sie die Gleichung der Funtion g n, uf deren Grph lle Schnittpunte S liegen. Bestimmen Sie den Wert von, für den sich die Grphen von f und f rechtwinlig schneiden. [Zur Kontrolle: S e ] ( Punte) (0,5 ) (0,5 0,5 ) Im Folgenden werden die Funtionen f mit f ( x) = ( x+ ) e x und f mit f ( x) = x e x betrchtet, deren Grphen in der Abbildung uf Seite drgestellt sind. c) Die Prllele zur y-achse mit x = u, u 0, schneidet den Grphen von f im Punt Pu( u f ( u )) und den Grphen von f im Punt Qu( u f ( u)). 0,5 Die Punte P u und Q u bilden mit dem Schnittpunt S( 0,5 0,5 e ) der Grphen von f und f ds Dreiec SQP. u u Bestimmen Sie u 0 so, dss der Flächeninhlt Au ( ) dieses Dreiecs mximl wird. [Zur Kontrolle: Au ( ) ( u u 0,5) e u = + + ] ( Punte) d) Die Grphen von f und f schließen mit der Prllelen zur y-achse mit x = u, u> 0, ein Flächenstüc ein. Ermitteln Sie den Inhlt dieses Flächenstücs in Abhängigeit von u. Prüfen Sie, ob für u + ds nch rechts unbegrenzte Flächenstüc einen endlichen Flächeninhlt besitzt. (3 Punte) Zugelssene Hilfsmittel: Wissenschftlicher Tschenrechner (ohne oder mit Grfifähigeit) Mthemtische Formelsmmlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebruch!

12 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 3 Seite von 7 6. Vorgben für die Bewertung der Schülerleistungen 6. Modelllösungen Modelllösung ) Bestimmung der Schnittpunte mit den Koordintenchsen: x f( x) = ( x+ ) e = 0 x = ; Schnittpunt mit der x-achse: Sx ( 0 ) f ( 0 ) = ; Schnittpunt mit der y-achse: Sy ( 0 ) Bestimmung der Extrempunte: x f ( x) = ( x+ ) e und f ( x) = ( x + ) e (Produt-, Kettenregel) ( ) x f x = 0 x = (d e 0 ) ( ) + f ( ) = ( + ) e = e < 0 (oder Vorzeichenwechsel der. Ableitung) x loler Hochpunt H ( e + ). x lim ( x ) e x + = 0, d lim x e = 0. Die x-achse ist Asymptote der Funtion f. + x + x Modelllösung b) Untersuchung der Grphen von f und f uf Schnittpunte: x f ( x) = f ( x) ( x+ ) e = ( x+ ) e x = 0, 5, d e 0 x x = 05, ist die einzige Schnittstelle der Grphen ( 05, ) f ( 05, ) = f ( 05, ) = 05, e ( 05, ) ; Schnittpunt S ( 05, 05, e ) Bestimmung des Prmeters, für den sich die Grphen rechtwinlig schneiden: Steigung der Tngenten n die beiden Grphen im Punt S : 05, + 05, + m = f ( 05, ) = ( 05, + + ) e = 05, e 05, + 05, + m = f ( 05, ) = ( 05, + ) e = 5, e Es muss gelten: m m = 05, + 05, , e ( 5, e ) = 075, e = e = = ln = 05, ln + 05, 06, Für 06, schneiden sich die Grphen von f und f im rechten Winel. x Nur für den Dienstgebruch!

13 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 3 Seite 3 von 7 Bestimmung der Ortslinie der Schnittpunte S : Die Funtionsgleichung gx ( ) = 05, e x nn den Koordinten der Schnittpunte ( 05, ) S ( 05, 05, e ) (ohne Rechnung) entnommen werden. (oder: Für die x-koordinte gilt: x = 05, = 05, x. Dmit ergibt sich für die y-koordinte 05, + 05, + 05, x x y = 05, e = 05, e = 05, e. ) Alle Schnittpunte S liegen uf dem Grphen der Funtion g mit gx ( ) = 05, e x. Modelllösung c) Bestimmung des Flächeninhlts des Dreiecs S Q u P u : Die Länge der Dreiecseite P Q u u beträgt f( u) f ( u) = ( u+ ) e u (d (u 0)). Die zugehörige Höhe h beträgt 0,5 +u=0,5+u. Dmit erhält mn den Flächeninhlt des u u Dreiecs ; (u 0). A( u) = 05, ( 05, + u) ( u+ ) e = ( u + u+ 05, ) e Bestimmung des Mximums: u = + + = + + = = = A( u) ( u u 075, ) e 0 u u 075, 0 u 5, u 05, ( ) = ( 3 + 0, 5) A u u u e u 5, 5, (, ) = (, +, ) = < A e e 0 5, e An der Stelle u =,5 besitzt A ds reltive Mximum A(, 5) = 089,. Aus A(0) = 0,5 < A(,5) und lim Au ( ) lim ( u u, ) u e u + u + = = 0 (d u lim u e = 0 u + ) folgt, dss A(,5) ein bsolutes Mximum ist. Für u =,5 ht ds Dreiec S Q u P u den mximlen Flächeninhlt. Nur für den Dienstgebruch!

14 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 3 Seite von 7 Modelllösung d) Anstz zur Ermittlung des Flächeninhlts M( u ) des eingeschlossenen Flächenstücs: u u x (Für 05, 05, 05, M( u) = ( f ( x) dx f ( x)) dx = ( x+ ) e dx Durch prtielle Integrtion erhält mn: u u x x u x + = + 05, 05, 05, x u u [ ( ) ] 05, ( ) ( x ) e dx [( x ) ( e )] ( e ) dx = x + 3 e = u+ 3 e + e x gilt f ( x) f ( x).) 05, Der Flächeninhlt beträgt u 05, M( u) = ( u+ 3) e + e. Für u gilt: u 05, 05, 05, lim ( ( u + 3) e + e ) = 0 + e = e 3, 3. + u Für u + ht ds unbegrenzte Flächenstüc den endlichen Flächeninhlt e 05, [FE]. 6. Teilleistungen Kriterien Teilufgbe ) Anforderungen Der Prüfling mximl erreichbre Puntzhl (AFB) berechnet die Schnittpunte mit den Koordintenchsen. (I) berechnet die. Ableitung. 3 (I) 3 bestimmt mit einem geeigneten Verfhren den lolen Hochpunt. (II) ermittelt den Grenzwert für x +. (II) Der gewählte Lösungsnstz und -weg muss nicht identisch mit dem der Modelllösung sein. Schlich richtige Alterntiven werden n dieser Stelle mit entsprechender Puntzhl bewertet. AFB = Anforderungsbereich Nur für den Dienstgebruch!

15 M LK HT Seite von 3 Nme: Abiturprüfung 009 Mthemti, Leistungsurs Aufgbenstellung Die Höhe eines Struches in den ersten zwnzig Tgen nch dem Auspflnzen wird durch 0, t 0,9 die Funtion h mit ht ( ) = 0, e (t in Tgen, ht () in Metern) beschrieben. Diese Pflnze ht zum Zeitpunt des Auspflnzens eine Höhe von 8 cm und ist m Ende des 0. Tges ( t = 0) uf eine Höhe von etw 60 cm gewchsen. Vom Beginn des. Tges n verringert sich die Wchstumsgeschwindigeit des Struches. Von diesem Zeitpunt n ist nur noch die Zuwchsrte bennt, sie wird beschrieben durch die Funtion z mit 0, t + 3, z ( t) = 0,0 e. ) Berechnen Sie, zu welchem Zeitpunt der Struch eine Höhe von 50 cm ht. (5 Punte) b) Bestimmen Sie rechnerisch den Zeitpunt innerhlb der ersten zwnzig Tge (0 t 0), n dem die Pflnze m schnellsten wächst. Berechnen Sie die zugehörige Wchstumsgeschwindigeit. Begründen Sie, wrum die ngegebene Funtion h nur für einen begrenzten Zeitrum die Höhe der Pflnze beschreiben nn. ( Punte) c) Ermitteln Sie einen Term h () t, der die Höhe des Struches nch t Tgen ( t > 0) beschreibt. Begründen Sie nhnd dieses Terms, dss der Struch nicht beliebig hoch wird, und geben Sie die mximle Höhe des Struches n. [Zur Kontrolle: h t e t > ] (0 Punte) 0, t+ 3, (), 0,, 0 Nur für den Dienstgebruch!

16 M LK HT Seite von 3 Nme: Die Abbildung uf Bltt 3 zeigt den Grphen, der die Höhe des Struches in Metern in Abhängigeit von der Zeit t in Tgen beschreibt. Er ist us den Funtionen h (0 < t 0) und h ( t > 0) zusmmengesetzt. d) Eine Funtion f soll nun die Pflnzenhöhe für den gesmten Zeitrum, lso über die ersten zwnzig Tge hinus, möglichst zutreffend modellieren. () D der Struch nicht höher ls ungefähr, m wird, muss die Modellfuntion beschränt sein. Zunächst wird eine Modellfuntion vom Typ f mit f t () t = G c e gewählt. Dbei ist G mit G =, die obere Grenze, die die Höhe der Pflnze uf lnge Sicht nicht überschreitet. Bestimmen Sie die Prmeter c und so, dss der Struch beim Auspflnzen und m 0. Tg die beobchteten Höhen von 0,08 m bzw. von 0,60 m besitzt. () Ein lterntiver Anstz führt zu einer Modellfuntion f mit 0,096 f () t = 0,08, 0,3 t + e. Berechnen Sie die Höhen des Struches zum Zeitpunt t = 0 und t = 0 und vergleichen Sie diese mit den ttsächlichen Werten. Zeigen Sie, dss die mit der Modellfuntion f beschriebene Pflnzenhöhe den Wert, m ttsächlich nicht überschreitet. (3) Begründen Sie nhnd des Krümmungsverhltens, welche der beiden Modellfuntionen f und f eher geeignet ist, die Struchhöhe (s. Abbildung ) in Metern in Abhängigeit von der Zeit in Tgen zu beschreiben (vgl. Abbildungen, und 3 uf Bltt 3). () Beschreiben Sie ein Verfhren zur Berechnung der größten Differenz zwischen einer (differenzierbren) Modellfuntion f und der Funtion h im Intervll [0;0]. ( Punte) Nur für den Dienstgebruch!

17 M LK HT Seite 3 von 3 Nme: Abbildung : Struchhöhe h (einschließlich h ) in Metern in Abhängigeit von der Zeit t in Tgen Abbildung : Modellfuntion f zur Beschreibung der Struchhöhe in Metern in Abhängigeit von der Zeit t in Tgen Abbildung 3: Modellfuntion f zur Beschreibung der Struchhöhe in Metern in Abhängigeit von der Zeit t in Tgen Zugelssene Hilfsmittel: Wissenschftlicher Tschenrechner (ohne oder mit Grfifähigeit) Mthemtische Formelsmmlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebruch!

18 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT Seite von 7 6. Vorgben für die Bewertung der Schülerleistungen 6. Modelllösungen Modelllösung ) 0, t 0,9 0, e = 0,5 t = 0 ln(,5) + 9 8, Nch 8 Tgen und fst 5 Stunden ist die Pflnze 50 cm hoch. Die Umrechnung in Stunden wird nicht verlngt. Modelllösung b) Der gesuchte Zeitpunt entspricht einer Wendestelle des Grphen, nämlich einer Stelle mit der größten Steigung. D jedoch für eine Exponentilfuntion wie der vorliegenden die Steigung mit wchsendem t ebenflls stetig zunimmt, existiert in diesem Fll eine Wendestelle. Demnch erreicht für t = 0 der Grph die größte Steigung und somit der Struch die größte Wchstumsgeschwindigeit. D die Ableitung der Funtion der Pflnzenhöhe h der Wchstumsgeschwindigeit entspricht, muss lso h (0) berechnet werden: h () t = 0,0 e 0, t 0,9 h = e 0, 0 0,9 (0) 0,0 0,060 Der Struch wächst lso m zwnzigsten Tg mit einer Geschwindigeit von 6 cm pro Tg. D die Werte einer Exponentilfuntion beliebig groß werden, wenn der Exponent gegen unendlich strebt, würde der Struch dementsprechend unendlich groß. Insofern nn die Funtion h nur für einen begrenzten Zeitrum ls Modell bzw. zur Modellierung dienen. Modelllösung c) Die Höhe des Struches nn berechnet werden, indem zu der Höhe nch 0 Tgen ein durch Integrtion der Funtion z mit vribler oberer Grenze ermittelter Term ddiert wird: t 0 0, u+ 3, 0, u+ 3, t 0, t+ 3, h( t) 0,60 + 0,0 e du= 0,60 + 0, e,0 0, e D der Teilterm im Exponenten der Funtion mit steigendem t gegen minus Unendlich strebt, wird der Struch nicht höher ls c.,0 Meter. 0 Nur für den Dienstgebruch!

19 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT Seite 3 von 7 Modelllösung d) () Aus den Informtionen ergeben sich die Koordinten zweier Punte, die uf dem Grphen von f mit G =, liegen. P (0 /0,08) und P (0 / 0,6) führen zu den Gleichungen (I) und (II): (I) f (0) 0,08, c e 0 = =, 0,08, c = =. Durch Einsetzen in Gleichung (II) ergibt sich: (II) f 0 (0) 0,6,, e = = 5 = ln 0, Der Funtionsterm lutet: (),, t f t e 0,03 =. 0,096 () Durch Einsetzten von t = 0 und t = 0 in f () t = 0,08, 0,3 t + e ergibt sich: 0,096 f (0) = 0,08 0 0,08 +, e = 0,096 f (0) = 0,60. 0,3 0 0,08 +, e Die Modellfuntion f gibt zu den Zeitpunten t = 0 und t = 0 die gemessenen Höhen des Struches orret wieder. Auf lnge Sicht wird die Höhe eines Struches, die mit der Modellfuntion f beschrieben wird, die Höhe von, m nicht überschreiten, d für t der Teilterm 0.3 t e 0 gegen Null strebt. Insgesmt ergibt sich dmit: 0,096 0,096 lim f ( t) = lim =,. 0,3 t x + x + 0,08 +, e 0,08 (3) Der Grph von f verändert sein Krümmungsverhlten im gesmten Beobchtungszeitrum nicht. Inhltlich bedeutet ds onret, dss ds Pflnzenwchstum, ds der Grph von f beschreibt, über den gesmten Beobchtungszeitrum leiner wird. Der Grph von f verändert sein Krümmungsverhlten im Wendepunt, der etw bei t = 0 liegt. Bis zu diesem Zeitpunt nimmt ds Wchstum des Struches beinhe exponentiell zu, erst nch dem 0. Tg wird ein sinendes Pflnzenwchstum beschrieben. Ds legt die Vermutung nhe, dss die Struchhöhe h in Metern in Abhängigeit von der Zeit in Tgen über den gesmten Beobchtungszeitrum eher durch ein Wchstumsmodell wie in f beschrieben werden nn. Nur für den Dienstgebruch!

20 M LK HT 3 Seite von Nme: Abiturprüfung 009 Mthemti, Leistungsurs Aufgbenstellung Gegeben ist eine Schr von Funtionen f durch y ( ) x f x = x e, IR, 0. Die Grphen von f und f sind in Abbildung drgestellt. f f x Abbildung ) () Weisen Sie nch, dss die Grphen von f puntsymmetrisch zum Ursprung sind, und untersuchen Sie ihr Unendlicheitsverhlten. () Berechnen Sie die Schnittpunte der Grphen von f mit den Koordintenchsen. Zeigen Sie, dss die Hoch- bzw. Tiefpunte der Grphen von f für lle IR, 0, jeweils uf einer Prllelen zur y-achse liegen. (3) Begründen Sie ohne weitere Rechnung, dss die Grphen von f je drei Wendepunte besitzen. ( ) 6 x f x = x e ] (3 Punte) [Zur Kontrolle: ( ) Nur für den Dienstgebruch!

21 M LK HT 3 Seite von Nme: b) () Die Gerde x = v mit v > 0 schneidet die x-achse im Punt V und den Grphen der Funtion f in W. Mit dem Ursprung O ls weiterem Ecpunt ergibt sich ein Dreiec OVW (siehe Abbildung ). Ermitteln Sie für > 0 den Wert von v, für den der Flächeninhlt des Dreiecs OVW mximl ist. Berechnen Sie diesen mximlen Flächeninhlt. y O W V x Abbildung () Gegeben sind nun zwei Vertreter f und f der Funtionenschr. Weisen Sie nch, dss die Grphen von f und f zueinnder chsensymmetrisch sind. Die Symmetriechse ist dbei die x-achse. Begründen Sie nhnd dieser Symmetrie, dss uch für < 0 der Flächeninhlt des Dreiecs OVW für ds gleiche v wie in () mximl ist. (7 Punte) c) () Bestimmen Sie eine Stmmfuntion von f. [Zur Kontrolle: ( ) x F x = e ] () Weisen Sie nch, dss die Fläche zwischen den Grphen von f und f über jedem Intervll [0; s, ] s IR +, genu so groß ist wie die Fläche zwischen dem Grphen von f und der x-achse über diesem Intervll. (0 Punte) Zugelssene Hilfsmittel: Wissenschftlicher Tschenrechner (ohne oder mit Grfifähigeit) Mthemtische Formelsmmlung Wörterbuch zur deutschen Rechtschreibung Nur für den Dienstgebruch!

22 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 3 Seite von 8 6. Vorgben für die Bewertung der Schülerleistungen 6. Modelllösungen Modelllösung ) () Die Grphen von f sind puntsymmetrisch zum Koordintenursprung, denn für lle x IR gilt: ( x) x f ( x) = ( x) e = x e = f ( x). x D der Nenner von f( x) = unbhängig von sowohl für x + ls uch für x e x x stärer ls der Betrg des Zählers wächst, gilt lim f( x) = lim = 0 ; x ± x ± x e die x-achse ist Asymptote der Grphen von f. () Schnittpunte mit den Koordintenchsen: x f ( x ) = 0 x e = 0 x = 0 x = 0, d Bestimmung der Extrempunte: ( ) ( ) x x x x e 0 für lle x IR. N(0 0) = S y f ( x ) = e + x 8 x e = 6 x e (Produt-, Kettenregel). Die notwendige Bedingung ( ) liefert zwei mögliche Extremstellen. x f ( x) = 0 6x e = 0 x =± Neben f ( x e ) = 0 gilt für x = und für > 0 nun weiter: e Mit dem ( /+)-Vorzeichenwechsel der. Ableitung n der Stelle x = oder e ( ) 0 mit ( ) e ( 8 8 x f x x x) e f x =, onret f 8 e 0 = >, folgt: Für > 0 ht f n der Stelle x = ein loles Minimum. e Anlog ergibt sich für < 0 ein loles Mximum von f in x =. e Wegen der Puntsymmetrie zum Ursprung liegen folglich für > 0 reltive Hochpunte bzw. für < 0 reltive Tiefpunte n der Stelle x =. e Nur für den Dienstgebruch!

23 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 3 Seite 3 von 8 D die x-koordinten der Extrem unbhängig von sind, liegen sie für lle n den Stellen x = und x = und somit uf zwei Prllelen zur y-achse. (3) Existenz von drei Wendepunten: Die Grphen der (stetigen) Funtionen f besitzen drei Wendepunte, denn: zwischen Minimum und Mximum müssen die Grphen ihr Krümmungsverhlten ändern bzw. ein zum Ursprung O(0/0) puntsymmetrischer Grph muss einen Wendepunt im Ursprung besitzen, für x ± ist die x-achse Asymptote der Grphen; die Grphen müssen vor bzw. nch dem Extremum ds Krümmungsverhlten ändern, d sie die x-achse nicht noch einml schneiden. Modelllösung b) () Allgemein gilt für den Flächeninhlt eines Dreiecs: A( g, h) Für ds beschriebene Dreiec gilt onret: g = v; v > 0 ; drus ergibt sich die Zielfuntion A mit mit der Ableitung Bestimmung des Mximums: Die notwendige Bedingung 3 =. ( ) ( 8 ) v A v v v e 3 ( ) ,5 0,5 gh =. ( ) v h= f v = v e, d > 0, v A ( ), v = v e > 0, v > 0, A v = v v = v = v = v = liefert ls mögliche Extremstelle v = 0, 5, d v > 0. = +. Aus ( ) ( 0 6 ) v A v v v e A = A = e < folgt: (0,5) 0 (0,5) 0 An der Stelle v = 0,5 ht die Funtion Überprüfung von A m Rnd des Definitionsbereiches: A ds lole Mximum ( ) Wegen lim A( v) = lim A( v) = 0 ist A (0,5) uch globles Mximum. v 0 Ds Dreiec 0,5 e FE. v A 0,5 = 0,5 e. OVW ht lso für v = 0,5 den größten Flächeninhlt. Dieser beträgt Nur für den Dienstgebruch!

24 Ministerium für Schule und Weiterbildung NRW M LK HT 3 Seite von 8 () Zwei Grphen sind chsensymmetrisch zur x-achse, wenn sich ihre Funtionswerte nur im Vorzeichen unterscheiden. Es muss lso nchgewiesen werden, dss für lle > 0 f ( x) = f ( x) gilt. Mit x x f ( x) = ( ) x e = x e = f ( x) lässt sich diese Aussge durch Nchrechnen bestätigen. D die Dreiece OVW und OVW dieselbe Grundseite OV und wegen der Achsensymmetrie der Grphen von f und f die gleiche Höhe h VW VW = = hben [sie lso ongruent sind], hben sie uch für jedes v > 0 denselben Flächeninhlt. Dher ht uch für < 0, insgesmt für jedes beliebige 0, ds Dreiec OVW für v = 0,5 den größten Flächeninhlt. [Dieser beträgt stets 0,5 e FE.] Modelllösung c) () Eine Stmmfuntion F von f nn mit Hilfe von Substitution bestimmt werden: Mn schreibt zunächst: ( ) x ( 8 ) x f x = x e = x e. Im Anstz ( ) b h(b) g h( x) h ( x)d x = g( z)dz ist dnn h() gz () z = e mit G(z) = e z und = x mit h( x) 8 hx ( ) = x. Die Integrtionsgrenzen bezeichnet mn weiterhin mit 0 und s, denn es gilt h(0) = 0 und für jedes s IR + ist s: = h(s) IR + ( ) s e ( 8 x) dx e dz e = = s x z x 0 0. Durch Einsetzen ergibt sich dnn: Durch ( ) x F x = e ist lso eine Stmmfuntion von f gegeben. () Bestimmung der Fläche zwischen den Grphen von f und f im Intervll [0;s], s IR + : D die Fläche vollständig im. Qudrnten liegt und f ( x) > f ( x) für lle x IR + gilt, folgt: ( ) s. 0 s s s s x x x A = ( f ( x) f ( x))dx = x e x e dx = xe d x = f ( x)dx Es reicht hier uch zu zeigen, dss f f = f ist. Nur für den Dienstgebruch!

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