Manuel Kühner und Veit Hammerstingl. SS 2008 Stand:

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1 Private Formelsammlung für Thermodynamik 1 TU München und Veit Hammerstingl SS 2008 Stand: Internetseite:

2 1 cm m3 1 Hektoliter 1 hl 100 l 100 dm3 0, 1 m3 Druck in Pascal angeben! 1 Liter 1 dm m3 1 bar 105 N/m2 105 J/m3 105 Pa Vorwort Die vorliegende FoSa entstand im ahmen meiner Prüfungsvorbeitung im Sommersemester 2008 ich bin FHler Hochschule Heilbronn) und TD1 war eine meiner Ergänzungsprüfungen zur Promotionszulassung. Später hat mein Freund Veit die FoSa nochmal überarbeitet und ergänzt vielen Dank an dieser Stelle. Ich schlage vor, dass Du von Anfang an mit der FoSa arbeitest und sie mit Orientierungshilfen Schnell-Zugriff-Marken) aufpimpst und sie ggf. ergänzt siehe Abbildung 1. Ich meine, dass die FoSa zu umfangreich ist, um sich erst am Ende damit zu befassen. Abbildung 1: Foto meiner FoSa gut zu sehen sind die Schnell-Zugriffs-Marken. Die FoSa lässt ich vorteilhaft in einem sogenannten Sichtbuch einordnen, so kann man einfach Seiten entnehmen und einfügen. Das Sichtbuch ist in diesem Fall von Durable: Durable Easy Plus Artikelnummer manu am PS: Bitte von inhaltlichen Anfragen an mich absehen - ich kann das Zeug nicht mehr und zudem habe ich jetzt andere Sorgen. cv κ 1 cvluft J/kgK 2 h cp T cpluft 1004, 5 J/kgK cp κ κ 1

3 Inhaltsverzeichnis 1 Allgemein Auftrieb nach Archimedis Höhenformel bei konstanter Temperatur) Einheiten Erster Hauptsatz Masse Innere Energie / Enthalpie Nur bei idealen Gasen verwenden!) Isenthalpe Drosselung / Adiabate Drossel Zweiter Hauptsatz Entropie Allgemein ideale Gase Exergie Zustandsgleichung ideale Gase) Allgemein Weitere Beziehungen Wärmekapazitäten-Beziehungen Normvolumen und Normdichte Gasgemische Allgemein Gesetz nach Dalton und Amagat Zustandsänderungen idealer Gase Isochore ZÄ V konstant) Isobare ZÄ p konstant) Isotherme ZÄ T konstant) Isentrope ZÄ S konstant) Polytrope ZÄ Zustandsgleichung ideale Gase) FoSa des Lehrstuhls Arbeiten geschlossenes System ohne e) offenes System mit e e pot + e kin ) eale Fluide 2-Phasen-Zeugs) Berechnung der Masse in einem Behälter Erwärmen bei konstantem Volumen und konstanter Masse Wenn etwas strömt ohrleitung, Behälter) allgemein: nicht nur bei 2- Phasen-Zeugs Überhitzter Dampf expandiert in einem adiabeten!) Kolben Nutzarbeit Interpolation Kreisprozesse Otto-Motor c p κ

4 7.1.1 Standard-Prozess ealer Prozess Verdichter/Kompressoren und Turbinen Turbinen Kompressoren/Verdichter Gasturbine c p κ

5 1 Allgemein Bei der Erstellung dieser FoSa wurden u. a. folgende zwei Quellen verwendet: Skriptum zur Vorlesung Thermodynamik I Version ) des Lehrstuhls für Thermodynamik an der Technischen Universität München Taschenbuch der Physik von Horst Kuchling 18. Auflage) erschienen im Fachbuchverlag Leibzip im Carl Hanser Verlag 1.1 Auftrieb nach Archimedis A F A ϱ g V 1) p T g V 2) Mit: ϱ Dichte des umgebenden Fluids g Erdbeschleunigung V Verdrängtes Volumen T - Temperatur des umgebenden Fluids 1.2 Höhenformel bei konstanter Temperatur) dp g ϱz)dz 3) mit ϱz) pz) T dp g pz) pz) 1 p dp g T p 0 ) pz) ln p 0 4) dz 5) T z 0 1dz 6) g T z 7) 5 c p κ

6 Dabei ist z die Höhenvariable. 1.3 Einheiten Masse 1 mg kg 8) 1 g kg 9) Energie 1 MJ J 10) 1 GJ J 11) Volumen 1 cm dm m 3 12) 1 Liter 1 l 1 dm m 3 13) Zylinder: Kugel: V Z r 2 πh d2 πh 14) 4 V K 4 3 r3 π d3 6 π 15) Oberfläche Zylinder: O Z 2rπh dπh 16) Kugel: O K 4r 2 π d 2 π 17) Kraft F p A 18) p - Druck in [P a] 6 c p κ

7 2 Erster Hauptsatz de sys du + de kin + de pot } {{ } 0, wenn System in uhe i Q i + i W i + i ) m i h i + g z i + c2 i 2 } {{ } e 19) Dabei ist Q 12 beispielsweise Q t 12. Man unterscheidet entweder zwei verschiedene Zeitpunkte bzw. zwei Zustände: E 2 E 1 Q 12 + W 12 + m 12 ) h 12 + g z 12 + c vereinfacht: U 2 U 1 Q 12 + W 12 + m 12 h 21) 20) Oder man betrachtet die zeitliche Änderung dabei werden dem System zugeführte Größen positiv und abgeführte Größen negativ gezählt: Ė sys dėsys Q i + Ẇ i + ) ṁ i h i + g z i + c2 i dt 2 i i i U 2 U 1 Q t + Ẇ t + ) ṁ t h + g z + c2 2 22) 23) 2.1 Masse m ϱ V pv T ṁ m t ϱ } {{ A } c V 24) 25) 2.2 Innere Energie / Enthalpie Nur bei idealen Gasen verwenden!) U m c v T 26) h c p T u + pv u + p ϱ 27) 7 c p κ

8 2.3 Isenthalpe Drosselung / Adiabate Drossel Eine stationär durchströmte) adiabate Drossel führt zu keiner Enthalpieänderung des Fluids, wenn man kinetische und potentielle Energieunterscheide vernachlässigen kann Isenthalpe Drosselung dh 0) Ideale Gase ändern ihre Temperatur nicht Überströmversuch). Inkompressible Flüssigkeiten erhitzen sich. ideales Gas: Enthalpie ft ) Wasser: dv 0, da inkompressibel 28) du c v dt 29) dh c p dt 0 30) du 0 31) dh 0 du + p dv + v dp 32) h konst! 33) T konst! 34) a e e du a 35) vdp 36) u vp a p e ) p e p a ϱ Wasser 37) Index e Eingang und a Ausgang. 8 c p κ

9 3 Zweiter Hauptsatz 3.1 Entropie Allgemein ds sys Ṡ Qi dt } {{ } i } {{ } 0,stat. 0,adiabat + i ṁ i s i } {{ } 0,geschlossen + 0 { }} { Ṡirr } {{ } 0,kein Temp.grad. 38) S sys S Q12 + m 12 s 1 s 2 ) + S irr 39) Ṡ Q Q T bez ṠQ e ṠQ a 40) ds Q dq t bez 41) s ṡ dt S m 42) ideale Gase S sys m s sys 43) ) ) T2 V2 s sys s 2 s 1 +c v ln + ln 44) T 1 s 1 s 2 45) ) ) T2 p2 s sys s 2 s 1 +c p ln ln 46) T 1 s 1 s ) 48) V 1 Mit: S Q : Wärmeentropie J /K ṠQ: Wärmeentropiestrom W /K s: spezifische Entropie J /kg K 9 c p κ

10 3.2 Exergie Welche Arbeit lässt sich maximal gewinnen, wenn das System auf den Umgebungszustand Index ) gebracht wird. Exergie eines geschlossenen Systems ideales Gas): E x m [u u T s s ) + p v v )] 49) mit u u c V T T ) 50) ) ) T p s s c p ln ln 51) T p T v v p T ) 52) p Exergieänderung bei einem geschlossenen System zwischen zwei Zuständen ideales Gas, reversible ZÄ mit Wärmeabgabe an die Umgebung): E x m [u 2 u 1 T s 2 s 1 )] + p V 2 V 1 ) 53) m [u 2 u 1 T s 2 s 1 ) + p v 2 v 1 )] 54) mit u 2 u 1 c V T 2 T 1 ) 55) ) ) T2 p2 s 2 s 1 c p ln ln 56) T 1 p 1 T2 v 2 v 1 T ) 1 57) p 2 Exergie eines Systems bei einem offenen und stationär durchströmten System: e x e aus e ein [h aus h ein T s aus s ein )] 58) Dabei hat die E x die Einheit J und s hat die Einheit J /kg K. Spezifischer Exergieverlust: e x T s irr 59) 10 c p κ

11 4 Zustandsgleichung ideale Gase) Bei idealen Gasen ist h und u eine Funktion von T. Für die Berechnung von u wird immer c V und für die Berechnung von h wird immer c p verwendet! Dies ist unabhängig von der wirklichen Zustandsänderung die Begriffe isochore und isobare spezifische) Wärmekapazität sind lediglich historisch bedingt. Hinsweis von Herr Heinz: Wichtig ist hier noch, dass h und u bei idealen Gasen nur eine Temperaturfunktion sind also nur eine Zustandsgröße zur Berechnung notwendig), während man für die Berechnung von u und h im Allgemeinen mehr als eine Größe benötigt. Das ideale Gas ist somit ein Sonderfall. 4.1 Allgemein V 1 p 2 V 2 T 1 T 2 60) oder p V T konstant 61) n m 62) N k 63) m 64) Mit: p Absoluter Druck in Pascal, 1 bar 10 5 Pa 10 5 N/m J/m 3 V Volumen T Temperatur in Kelvin, 0 K 273, 15 C n Anzahl der Mole bzw. Stoffmenge m molare Gaskonstante 8,314 J /mol K) N Teilchenzahl/Anzahl der Teilchen k Boltzmann-Konstante 1, J/K m N A ) m Masse m M individuelle spezifische) Gaskonstante in J /kg K 11 c p κ

12 M Molmasse, Masse von einem Mol Teilchen g /mol N A Avogadro-Zahl 6, /mol Teilchen pro Mol) Umgestellt ergeben sich u. a. folgende Beziehungen: p m T V V m T p T p V m m p V T 65) 66) 67) 68) 4.2 Weitere Beziehungen n m M N N A p V T m 69) ϱ m V n M M p v m T N m m p 70) V T p v T i 71) Mit: ϱ Dichte in kg /m 3 v spezifisches Volumen in m3 /kg, v 1 ϱ V m m m Masse eines Moleküls 12 c p κ

13 4.3 Wärmekapazitäten-Beziehungen n c p c v 72) c p c v + 73) c pm c vm + m m molar) 74) 75) c p κ 76) 4.4 Normvolumen und Normdichte Gasvolumen können nur verglichen werden, wenn sie gleiche Temperatur und gleichen Druck besitzen. Im Normzustand p p n 101, Pa 1, bar und T T n 273, 15 K) nennt man es Normvolumen. p V T p n V n T n 77) V n V Tn p T p n 78) ϱ n p n Normdichte) T n 79) 4.5 Gasgemische Allgemein Bei Gasgemischen ist sowohl von einer mittleren Dichte ϱ Misch als auch von einer mittleren individuellen) Gaskonstanten Misch auszugehen. Das Mischungsverhältnis kann wie folgt angegeben werden: Massenverhältnis ξ ξ i m i n i M i M i ψ i 80) m ges n M ges M ges ξ i 1 81) i 13 c p κ

14 elative Stoffmenge γ Molenbruch / Molanteil) verhält sich volumentrisch! γ i n i 82) n ges γ i 1 83) i Volumenverhältnis η verhält sich wie die relative Stoffmenge! V i Volumen der Komponente vor der Mischung Partialdruckverhältnis p i Druck der Komponente nach der Mischung Partialdichte ϱ η i V i 84) V ges η i 1 85) i V i V ges 86) i p i 87) p ges p i γ i p ges p i p ges 88) i ϱ i m i V ges ξ i mges V ges 89) Für ideale Gase gilt: V i V ges p i p ges n i n ges γ i 90) 14 c p κ

15 Die spezifische / individuelle) Gaskonstante für die Mischung Misch lässt sich dann folgendermaßen berechnen: Misch m M Misch Misch ξ i i i Misch 1 γ i i i [ ] molare Gaskonstante 8, 314 kj/kmolk kj molare Masse der Mischung M Misch kgk 91) 92) 93) Dabei berechnen sich i und M Misch die molare Masse der Mischung) wie folgt: mit ideale Gase) M Misch i m i i n i i γ i M i [ g ] mol γ i n i η i V i p i Prozent n ges V ges p ges ) 95) i m M i 96) Weiterhin gilt: p V Misch m Misch Misch T 97) i γ i ξ i Misch 98) γ i ξ i MMisch M i 99) ξ i γ i Misch 100) i ξ i γ i i m i M i M Misch m M Misch γ i m ges 101) Die spezifische Innere Energie der Mischung u Misch und die spezifische Enthalpie der Mischung h Misch berechnen sich wie folgt: 15 c p κ

16 u Misch i h Misch i ξ i u i 102) ξ i h i h m M Misch mit h m molare Enthalpie) 103) Die spezifische Wärmekapazität bei konstanten Volumen der Mischung c vmisch und die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck der Mischung c pmisch berechnen sich wie folgt: c vmisch i c pmisch i ξ i c vi 104) ξ i c pi 105) Der Isentropenexponent κ stellt das Verhältnis der Wärmekapazitäten c p und c v dar. Für die Mischung gilt dann: 1 κ Misch 1 i γ i κ i 1 a 106) κ Misch 1 a ) oder: κ Misch c p Misch c vmisch c pmisch c pmisch Misch 108) Gesetz nach Dalton und Amagat Dalton sches Gesetz Additive Überlagerung der Partialdrücke: Jede Komponente i verhält sich wie die Mischung. Die thermodynamische Zustandsgleichung idealer Gase gilt für jede Komponente i, wenn statt dem Druck p der Partialdruck p i, sowie die entsprechende Stoffmenge n i bzw. -masse m i eingesetzt wird. p i p i i n i m T V 109) i m i i T V 110) 16 c p κ

17 Amagat sches Gesetz Die Komponenten i eines idealen Gasgemisches nehmen ein ihrer Molanteile proportionales Volumen ein, wenn diese in Teilsysteme separiert werden, in denen der Druck der Mischung herrscht. V i V i i n i m T p 111) i m i i T p 112) 4.6 Zustandsänderungen idealer Gase Gilt zunächst für geschlossene Systeme! Isochore ZÄ V konstant) Volumen V konstant Zustandsgleichung p 2 T 1 T 2 113) Der Druck p ist proportional der Temperatur T p T 114) Keine Volumenänderungsarbeit W 12 W ) Ausgetauschte Wärmemenge Q 12 Q 12 U 2 U 1 116) c V m T 2 T 1 ) 117) C V T 2 T 1 ) 118) 17 c p κ

18 4.6.2 Isobare ZÄ p konstant) System nimmt Energie in Form von Wärme auf und gibt einen Teil als Volumenänderungsarbeit ab. Druck p konstant Zustandsgleichung V 1 V 2 T 1 T 2 119) Volumenänderungsarbeit W 12 V 2 W 12 V 1 pv )dv V 1 V 2 ) p v 1 v 2 ) p m 120) Ausgetauschte Wärmemenge Q 12 Q 12 U 2 U 1 121) c p m T 2 T 1 ) 122) C p T 2 T 1 ) 123) Änderung der Inneren Energie U U 2 U 1 W 12 + Q ) Isotherme ZÄ T konstant) Die zugeführte Wärme wird restlos in Arbeit umgewandelt. Temperatur T konstant Zustandsgleichung p 2 V 2 V 1 125) 18 c p κ

19 Volumenänderungsarbeit W 12 W 12 V 2 V 1 pv )dv m T ln m T ln V 2 V 1 V2 V 1 p1 p 2 m T V ) p V 1 ln ) dv 126) V2 V 1 ) 127) 128) Ausgetauschte Wärmemenge Q 12 Q 12 W ) Änderung der Inneren Energie U U 2 U 1 0 da Innerer Energie bei Gasen Temperatur) 130) Isentrope ZÄ S konstant) eversibel verlustfrei) adiabate Zustandsänderung, bei der kein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet. Schlüsselwörter: verlustfrei und schnell), reibungsfrei und schnell), ohne Wärmeübergang Entropie S konstant Zustandsgleichung für Temperatur und Volumen V2 ) κ 1 T 1 T 2 V 1 131) oder T 1 V1 κ 1 T 2 V2 κ 1 konstant 132) 19 c p κ

20 Umgestellt nach den einzelnen Variablen T i und V i : T 1 T 2 V 1 V 2 V2 T 1 ) κ 1 T 2 T 1 V 1 ) 1 T2 κ 1 V 2 V 1 V1 T 2 ) κ 1 133) V 2 ) 1 T1 κ 1 134) Der Isentropenexponent κ berechnet sich folgendermaßen: κ ) T1 V 2 ln T 2 V ) 1 V2 ln V 1 ln ln T1 T 2 V2 V 1 ) ) ) Zustandsgleichung für Temperatur und Druck T 1 T 2 p1 p 2 ) κ 1 κ 136) oder T κ 1 κ 1 T κ 2 κ 2 konstant 137) Anwendung bei Ausströmen aus Behälter Motoren): Kolben am OT und das Auslassventil öffnet - isentrope Entspannung der Gasmasse. Modellvorstellung: Man betrachtet nur den Teil des Gasvolumens, das nach der Entspannung des gesamten Zylinderraum einnimmt freie Wahl der Systemgrenze). Die Entspannung sei isentrop. Da sich der Druck abbaut und sich dadurch die Temperatur ändert, ist auch die Enthalipe nicht konstant daher geht es darüber nicht so einfach U 2 U 1 m h und dh c p dt ). Umgestellt nach den einzelnen Variablen T i und p i : T 1 T 2 p1 p 2 ) 1 p2 κ T2 p2 ) 1 κ κ T 2 T 1 p2 ) 1 p1 p 2 κ T1 p1 p 2 ) 1 κ κ 138) p 2 T1 T 2 ) κ κ 1 p 2 T2 T 1 ) κ κ 1 139) 20 c p κ

21 Der Isentropenexponent κ berechnet sich folgendermaßen: κ ) p1 ln p 2 ln ) p1 T 2 1 ln ln p 2 T 1 T1 T 2 p1 p 2 ) ) 1 140) Zustandsgleichung für Volumen und Druck ) κ V2 141) p 2 V 1 oder V κ 1 p 2 V κ 2 konstant 142) Umgestellt nach den einzelnen Variablen V i und p i : p 2 V 1 V 2 V2 V 1 ) 1 p2 κ ) κ p 2 V 2 V 1 V1 V 2 ) 1 p1 κ p 2 ) κ 143) 144) Der Isentropenexponent κ berechnet sich folgendermaßen: κ ln ln p1 p 2 V2 V 1 ) ) 145) 21 c p κ

22 Volumenänderungsarbeit W 12 W 12 m v 1 m T 1 [ V 1 m v 1 m T 1 [ V 1 [ [ 1 [ [ p2 p2 ) κ 1 p2 κ 1 1 V1 V1 V 2 V 2 V1 V 2 ) κ 1 ] κ ) κ 1 ] κ ] ) κ 1 ] ) κ 1 ] ) κ 1 ] 146) 147) 148) 149) 150) 151) n m T 2 T 1 ) n ist hier die Anzahl der Mole) 152) m T 2 T 1 ) 153) mit p V m T : p 2 V 2 V 1 154) m c V T 2 T 1 ) 155) ) κ 1 kann bei Motoren durch das Verdichtungsverhältnis ɛ ausge- Der Ausdruck drückt werden: V1 V 2 Verdichten: Entspannen: V1 V 2 V1 V 2 ) κ 1 ɛ κ 1 156) ) κ 1 1 ɛ κ 1 157) Technische Arbeit W t12 wichtig für z. B. Turbinen) W t12 κ W ) 22 c p κ

23 Ausgetauschte Wärmemenge Q 12 Q ) Änderung der Inneren Energie U U 2 U 1 W ) Polytrope ZÄ Eine Zustandsänderung des idealen Gases verlaufen isotherm, wenn T 0, also ein ungehinderter Wärmeaustausch mit der Umgebung möglich ist. Bei einer isentropen Zustandsänderung darf keinerlei Wärme mit der Umgebung ausgetauscht werden: Q 0. Zwischen diesen beiden nicht realisierbaren Prozessen als Sonderfälle verlaufen die polytropen Zustandsänderungen, bei dem ein Teil der Wärme mit der Umgebung ausgetauscht wird. Die Kurve dieser Zustandsänderung Polytrope) verläuft im p-v -Diagramm zwischen der Isotherme und der Isentrope, d. h., sie ist steiler als die Isotherme, aber nicht so steil wie die Isentrope. Das Gesetz der polytropen Zustandsänderung: p V n konstant 161) mit 1 < n < κ 162) Der Polytropenexponent n ist kein Materialwert er wird bestimmt durch die technischen andbedingungen. n 1 isotherme Zustandsänderung n κ isentrope Zustandsänderung n isochore Zustandsänderung n 0 isobare Zustandsänderung Wichtiger Hinweis: Es gelten die gleichen Zustandsgleichungen wie für die isentrope Zustandsänderung siehe Seite 19 ff.) man ersetzt lediglich κ durch n. 23 c p κ

24 Volumenänderungsarbeit W 12 W 12 m n 1 T 2 T 1 ) 163) m c V ) T 2 T 1 ) n 1 164) p 2 V 2 V 1 n 1 165) Wärme Q 12 Q 12 m c V n κ) n 1 T 2 T 1 ) 166) Und wie immer gilt: c V 167) Zustandsgleichung für Temperatur und Volumen ) n 1 T 1 V2 T 2 V 1 168) oder T 1 V1 n 1 T 2 V2 n 1 konstant 169) Umgestellt nach den einzelnen Variablen T i und V i : T 1 T 2 V 1 V 2 V2 T 1 ) n 1 T 2 T 1 V 1 ) 1 T2 n 1 V 2 V 1 V1 T 2 ) n 1 170) V 2 ) 1 T1 n 1 171) Der Polytropenexponent n berechnet sich folgendermaßen: n ) T1 V 2 ln T 2 V ) 1 V2 ln V 1 ln ln T1 T 2 V2 V 1 ) ) ) 24 c p κ

25 Zustandsgleichung für Temperatur und Druck T 1 T 2 p1 p 2 ) n 1 n 173) oder T n 1 n 1 T n 2 n 2 konstant 174) Anwendung bei Ausströmen aus Behälter Motoren): Kolben am OT und das Auslassventil öffnet - isentrope Entspannung der Gasmasse. Modellvorstellung: Man betrachtet nur den Teil des Gasvolumens, das nach der Entspannung des gesamten Zylinderraum einnimmt freie Wahl der Systemgrenze). Die Entspannung sei isentrop. Da sich der Druck abbaut und sich dadurch die Temperatur ändert, ist auch die Enthalipe nicht konstant daher geht es darüber nicht so einfach U 2 U 1 m h und dh c p dt ). Umgestellt nach den einzelnen Variablen T i und p i : T 1 T 2 p1 p 2 ) 1 p2 n T2 p2 ) 1 n n T 2 T 1 p2 ) 1 p1 p 2 n T1 p1 p 2 ) 1 n n 175) p 2 T1 T 2 ) n n 1 p 2 T2 T 1 ) n n 1 176) Der Polytropenexponent n berechnet sich folgendermaßen: n p1 ) ln p 2 ln ) p1 T 2 1 ln ln p 2 T 1 T1 T 2 p1 p 2 ) ) 1 177) Zustandsgleichung für Volumen und Druck ) n V2 178) p 2 V 1 oder V n 1 p 2 V n 2 konstant 179) 25 c p κ

26 Umgestellt nach den einzelnen Variablen V i und p i : p 2 V 1 V 2 V2 V 1 ) 1 p2 n ) n p 2 V 2 V 1 V1 V 2 ) 1 p1 n p 2 ) n 180) 181) Der Polytropenexponent n berechnet sich folgendermaßen: n ln ln p1 p 2 V2 V 1 ) ) 182) Um den Polytropenexponent zu ermitteln hilft manchmal folgende Beziehung: W 12 Q 12 w 12 q 12 q 12 n κ w 12 n κ m c V ) T 2 T 1 ) n 1 m c V n κ) T 2 T 1 ) n 1 q12 w ) n κ 183) 184) q 12 w ) q 12 ) + κ 186) w 12 ) w12 κ q 12 w ) q 12 Änderung der Inneren Energie U U 2 U 1 W 12 + Q ) Polytroper Wirkungsgrad η pol,k Kompression / Verdichter η pol,k w d Druckänderungsarbeit w t technische Arbeit wr w d 189) 26 c p κ

27 Polytroper Wirkungsgrad η pol,e Expansion / Turbine η pol,e w t w d technische Arbeit Druckänderungsarbeit 1 + w r 190) w d Hier am Beispiel eines adiabaten Verdichters/Kompressors: w t h 2 h 1 c p T 2 T 1 ) κ T 2 T 1 ) 191) w d n n 1 T 2 T 1 ) 192) η pol w d w t n ) κ n 1) 193) 27 c p κ

28 5 Zustandsgleichung ideale Gase) FoSa des Lehrstuhls 5.1 Arbeiten w spez. technische Arbeit: meistens das w im 1. HS z.b. Wellenarbeit) w s spez. Verschiebearbeit: Eintrittsstutzen: w s,e p e v e [ J kg ] 194) Austrittsstutzen: w s,a p a v a 195) w d spez. Druckänderungsarbeit: a w d vdp w d vp a p e ) Nur wenn v konst.! 196) e W n Nutzarbeit: Nutzarbeit ist die um den mit der Umbebung ausgetauschte Anteil verminderte Volumenänderungsarbeit W v W n W V,Gas W V, V 1 V 2 )p V 1 V 2 )p 197) Dissipationsarbeit: Arbeit die unumkehrbar in innere Energie umgewandelt wird z.b. eibungsarbeit w r ) Aufpassen: w für abgegebene Arbeit, +w für aufgenommene Arbeit! 28 c p κ

29 5.1.1 geschlossenes System ohne e) 2 w v 1 pdv n 1 T 2 T 1 ) 198) w i w v + w r n 1 T 2 T 1 ) + w r 199) q + w r u 2 u 1 w v 200) c v T 2 T 1 ) n 1 T 2 T 1 ) 201) T 2 T 1 ) n 1 T 2 T 1 ) 202) n κ )n 1) T 2 T 1 ) 203) c v n κ) n 1 T 2 T 1 ) 204) Allgemeinfall: irreversibel und diabat w r 0 205) q 0 206) eibarbeit und Wärmeaustausch mit der Umgebung sind vorhanden. Sonderfälle: reversibel und diabat w r 0 207) q 0 208) 29 c p κ

30 2 w v 1 pdv n 1 T 2 T 1 ) 209) w i w v n 1 T 2 T 1 ) 210) q u 2 u 1 w v 211) c v T 2 T 1 ) n 1 T 2 T 1 ) 212) T 2 T 1 ) n 1 T 2 T 1 ) 213) n κ )n 1) T 2 T 1 ) 214) c v n κ) n 1 q w v n κ T 2 T 1 ) 215) 216) eibungsfrei aber mit Wärmeaustausch mit der Umgebung. irreversibel und adiabat w r 0 217) q 0 218) Kein Wärmeaustausch mit der Umgebung aber reibungsbehaftet. 2 w v 1 pdv n 1 T 2 T 1 ) 219) w i w v + w r n 1 T 2 T 1 ) + w r 220) w r u 2 u 1 w v 221) c v T 2 T 1 ) n 1 T 2 T 1 ) 222) T 2 T 1 ) n 1 T 2 T 1 ) 223) n κ )n 1) T 2 T 1 ) 224) c v n κ) n 1 T 2 T 1 ) 225) 30 c p κ

31 5.1.2 offenes System mit e e pot + e kin ) Index 1 Eingang Index 2 Ausgang w d 2 1 vdp n n 1 T 2 T 1 ) 226) w t w d + w r + e 227) n n 1 T 2 T 1 ) + w r + e 228) q + w r h 2 h 1 w d 229) c p T 2 T 1 ) n n 1 T 2 T 1 ) 230) κ T 2 T 1 ) n n 1 T 2 T 1 ) 231) n κ )n 1) T 2 T 1 ) 232) c v n κ) n 1 T 2 T 1 ) 233) Allgemeinfall: irreversibel und diabat w r 0 234) q 0 235) eibarbeit und Wärmeaustausch mit der Umgebung sind vorhanden. Sonderfälle: reversibel und diabat w r 0 236) q 0 237) eibungsfrei aber mit Wärmeaustausch mit der Umgebung. 31 c p κ

32 w d 2 1 vdp n n 1 T 2 T 1 ) 238) w t w d + e 239) κ T 2 T 1 ) + e 240) q h 2 h 1 w d 241) c p T 2 T 1 ) n n 1 T 2 T 1 ) 242) κ T 2 T 1 ) n n 1 T 2 T 1 ) 243) n κ )n 1) T 2 T 1 ) 244) c v n κ) n 1 T 2 T 1 ) 245) irreversibel und adiabat w r 0 246) q 0 247) Kein Wärmeaustausch mit der Umgebung aber reibungsbehaftet. w d 2 1 vdp n n 1 T 2 T 1 ) 248) w t w d + w r + e 249) n n 1 T 2 T 1 ) + w r + e 250) w r h 2 h 1 w d 251) c p T 2 T 1 ) n n 1 T 2 T 1 ) 252) κ T 2 T 1 ) n n 1 T 2 T 1 ) 253) n κ )n 1) T 2 T 1 ) 254) c v n κ) n 1 T 2 T 1 ) 255) 32 c p κ

33 6 eale Fluide 2-Phasen-Zeugs) Abbildung 2: T -s-diagramm aus Skript mit isobaren, isenthalpen und isochoren Wasser)) Hinweis: Folgende Abbildungen stammen aus dem Skriptum zur Vorlesung Thermodynamik I Version ) des Lehrstuhls für Thermodynamik an der Technischen Universität München: Abbildung 2 Abbildung 5 Abbildung 8 33 c p κ

34 Abbildung 3: Eigene Darstellung Abbildung 4: Eigene Darstellung Abbildung 5: p-v-diagramm 34 c p κ

35 Abbildung 6: Kritischer Punkt und Wärmemengen im T -s-diagramm Abbildung 7 Nassdampf Nassdampf besteht aus gesättigter Flüssigkeit und gesättigtem Dampf bei gleichem Druck und gleicher Temperatur Gleichgewicht) also aus zwei Phasen. Unterkühlte Flüssigkeit Nicht siedende Flüssigkeit links von der Glockenkurve). Überhitzter Dampf Überhitzer Dampf ist Dampf mit einer Temperatur oberhalb der Siedetemperatur. 35 c p κ

36 TECHNISCHE UNIVESITÄT 1 Hektoliter MÜNCHEN 1 hl 100 l 100 Begriffe p überkritisches Fluid Zelle 1 Phase 1 Phase kein Phasenwechsel unterkühlte Flüssigkeit Krit. Punkt 2 Phasen überhitzter Dampf Verdampfung ealgas Siedelinie: gesättigte Flüssigkeit Zelle Kondensation Nassdampf ideales Gas Tauline: Sattdampf gesättigter Dampf log v Verhalten reiner, realer Stoffe / Thermisches Verhalten realer Fluide / Verdampfung und Kondensation Abbildung 8: Wichtige Begriffe 22 TECHNISCHE UNIVESITÄT MÜNCHEN Phasenwechsel Flüssigkeit Dampf Flüssigkeit lässt sich auf zwei Wegen zu Dampf überführen Bei Drücken unter dem kritischen Druck p < pk, findet lokal ein plötzlicher Phasenwechsel statt, bei dem sich die Molekülinteraktionen sprunghaft ändern Bei Drücken über dem kritischen Druck p > pk erfolgt dieser Übergang kontinuierlich. Gleiches gilt sinngemäß für den Übergang vom Dampf zur Flüssigkeit Verhalten reiner, realer Stoffe / Thermisches Verhalten realer Fluide / Verdampfung und Kondensation 23 TECHNISCHE UNIVESITÄT MÜNCHEN Kritische Isotherme und kritische Isobare ) p v T 2 p v )T T ) s 0 p 2 T s 2 )p 0 p kritische Isotherme T 36 kritische Isobare c p κ Krit. Punkt Krit. Punkt

37 Wichtige Beziehungen im Zwei-Phasengebiet: Dampfgehalt x x m D m ges 256) m D m D + m Fl 257) Index D steht für Dampf und Index Fl für Flüssigkeit. Gesamtmasse berechnet sich zu m ges m D + m Fl 258) Die Nässe berechnet sich zu 1 x) m Fl 1 x) m ges 259) Dampf: m D x m ges 260) Massenbilanz: m m 1 m 2 ṁ t ) Aus dem Hebelgesetz folgt: vx) 1 x) v + x v v + x v v ) ϱ ϱ ϱ) ϱϱ ϱ ) 262) ux) 1 x) u + x u u + x u u ) 263) hx) 1 x) h + x h h + x h h ) 264) sx) 1 x) s + x s s + x s s ) 265) 37 c p κ

38 Oder nach dem Dampfgehalt x aufgelöst: x v v v v mit v V m 1 ϱ 266) x u u u u 267) x h h h h 268) x s s s s 269) Wenn in der Dampftafel die spezifische innere Energie nicht tabelliert ist, dann kann sie über folgende Beziehung berechnet werden: u h p v 270) 6.1 Berechnung der Masse in einem Behälter Im Nassdampfgebiet liegen zwei Phasen vor gesättigte Flüssigkeit ) und gesättigter Dampf ). m ges V ges a v + b ) v 271) a Anteil des Flüssigkeitsvolumens am Gesamtvolumen V b Anteil des Dampfsvolumens am Gesamtvolumen V a + b 1 Für die Massenanteile m Dampf m D und m Flüssigkeit m F ergibt sich demnach: m Fl V ges a v m D V ges b V Fluid v 272) V Dampf v v 273) m D + m F m ges 274) 38 c p κ

39 6.2 Erwärmen bei konstantem Volumen und konstanter Masse Zu beachten ist, dass das spezifische Volumen v V m v 1 v 2 dabei konstant bleibt - der Dampfgehalt x ändert sich. Aus der Dampftafel müssen dann für den jeweiligen Zustand die entsprechenden Werte abgelesen werden. U 2 U 1 Q 12 m u 2 u 2 ) Q 12 t ) mit U 1 m [u + x 1 u u )] Zustand 1 276) m [u + v ] v v v u u ) 277) Zustand 1 U 2 m [u + x 2 u u )] Zustand 2 278) m [u + v ] v v v u u ) 279) Zustand 2 280) 6.3 Wenn etwas strömt ohrleitung, Behälter) allgemein: nicht nur bei 2-Phasen-Zeugs Wenn etwas strömt einströmt, ausströmt, durchströmt), dann wird mit der Enthalpie h bzw. H) gerechnet. Bei ruhenden Systemen de sys,kin de sys,pot 0) folgt aus dem ersten Hauptsatz: Ė sys Q + Ẇ + ṁ Intergriert über die Zeit ergibt sich: ) h + g z + c2 2 U sys 281) U sys,2 U sys,1 Ẇ t + Q t + ṁ t ) h + g z + c ) 39 c p κ

40 Ist das System stationär durchströmt, so ist Ėsys 0. Wenn es nicht stationär ist, dann wird z. B. folgende Beziehung benötigt: m danach m davor ± m m davor ± ṁ t 283) Bei idealen Gasen kann folgendes Ansatz nützlich sein: Man hat im Zustand 1 eine bestimmte Menge m a vom Gas a im Behälter konstantes Volumen V ). Dann strömt eine bestimmte Menge m b von Gas b bis zum Druckausgleich Druck p 2ges ) ein. Die Endtemperatur sei T 2. Gesucht sei die eingeströmte Masse m b nun kann man mit Partialdrücken rechnen: p 2ges p a2 + p b2 284) p b2 p 2ges p a2 285) mit p a2 m a a T 2 V 286) m b p b2 V b T 2 287) 6.4 Überhitzter Dampf expandiert in einem adiabeten!) Kolben Nutzarbeit Abbildung 9: Grafik zur Expansion von realem Gas in einem Kolben 40 c p κ

41 U 2 U 1 W V + Q 288) }{{} 0 w Nutz w V + w 289) u 2 u 1 ) + p V 2 V 1 ) 290) u 1 u 2 ) + p } {{ } V 2 V 1 ) } {{ } neg. pos. 291) Mit w Nutz Nutzarbeit ist hier negativ wird abgegeben) w V Volumenänderungsarbeit w Arbeit an der Umgebung 6.5 Interpolation Abbildung 10: Veranschaulichung der linearen Interpolation. ) ygeg y u x gesucht x ges x u + x o x u ) y o y u 292) 41 c p κ

42 7 Kreisprozesse 7.1 Otto-Motor Man unterscheidet zwischen dem idealisierten Standard-Prozess) und dem realen Prozess. Beim idealisierten Prozess ist die Gasmenge konstant. Die Kraftstoff-Masse wird bei beiden Versionen vernachlässigt Standard-Prozess Abbildung 11: p-v -Diagramm des idealisierten Otto-Prozesses ohne Ventilspiel) 42 c p κ

43 Abbildung 12: T -s-diagramm des idealisierten Otto-Prozesses ohne Ventilspiel) 1 2 Isentrope Verdichtung von V 1 nach V 2 V 1 > V 2 ) hier wird Arbeit am System verrichtet W 12 > 0) 2 3 Isochore Wärmezufuhr 3 4 Isentrope Entspannung hier wird Arbeit abgegeben W 34 < 0) 4 1 Isochore Wärmeabfuhr Gasmasse Die Gasmasse m bleibt konstant! Nachfolgend die Beziehungen für den Standard-Otto-Prozess: Verdichtungsverhältnis ɛ diese Beziehungen gelten immer) ɛ V 1 V UT V OT + V Hub V 2 V OT V OT 293) V 1 V Hub ɛ ɛ 1 294) V 2 V Hub ɛ 1 295) 43 c p κ

44 Für den Standard-Otto-Prozess gilt weiterhin: p 2 p 3 p 4 ɛ κ 296) ɛ ɛ p2 p1 p 2 ) 1 κ ) κ p3 p 4 p4 p 3 ) 1 κ 297) ) κ 298) T 2 T 1 T 3 T 4 V4 V 3 ) κ 1 V1 V 2 ) κ 1 ɛ κ 1 299) Technische Arbeiten w 12 c V T 2 T 1 ) W 12 m c V T 2 T 1 ) 300) w ) w 34 c V T 4 T 3 ) W 34 m c V T 4 T 3 ) 302) w ) Die Nutzarbeit theoretische oder gesamte Arbeit), die der Motor Standard-Prozess!) leistet berechnet sich demnach wie folgt: w 14 c V T 2 T 1 + T 4 T 3 ) 304) W 14 m c V T 2 T 1 + T 4 T 3 ) 305) Unter Anwendung des Formeln für die Volumenänderungsarbeit für isentrope ZÄ mehr siehe Seite 22) ergibt sich u. a. Achtung v und V unterscheiden!): w 14 v 1 [ V1 ) κ 1 1] V 2 + p 3 v 3 [ V3 ) κ 1 1] V 4 306) Wärme q ) q 23 c V T 3 T 2 ) Q 23 m c V T 3 T 2 ) 308) q ) q 41 c V T 1 T 4 ) Q 14 m c V T 1 T 4 ) 310) 44 c p κ

45 Wirkungsgrad η theoretisch η th 1 T 1 T 2 311) 1 1 ɛ κ 1 312) w 13 q ) W Nutz Q zu 314) Der effektive Wirkungsgrad η eff ergibt sich zu: η eff η th η m η g 315) Mit: η m mechanischer Wirkungsgrad Getriebe etc.) η g Gütegrad/Leistung des Prozesses/indizierte Leistung z. B. Brennraumgeometrie) Motorleistung Mit: P eff n m w eff 316) n m η m η g w th 317) M eff ω 318) n Motordrehzahl in 1 /s Viertaktmotor halbe Drehzahl einsetzen) m Gasmasse M eff effektives Motordrehmoment 45 c p κ

46 7.1.2 ealer Prozess Abbildung 13: p-v -Diagramm des realen Otto-Prozesses mit Ventilspiel) 1 2 Isentrope Verdichtung von V 1 nach V 2 V 1 > V 2 ) hier wird Arbeit am System verrichtet W 12 > 0) 2 3 Isochore Wärmezufuhr 3 4 Isentrope Entspannung hier wird Arbeit abgegeben W 34 < 0) Hinweis: Zustände 1 bis 4 sind identisch mit Standard-Otto-Prozess! 4 5 Isochores Ausströmen bei geöffneten Auslassventilen oftmals als isentrope Entspannung behandelbar siehe Seite 25 Achtung: neue Gasmasse!) 5 6 Ausschieben des Gases bei konstantem Druck und konstanter Temperatur des estgases m 6 m 7 ) 6 7 Isentrope Entspannung des Gasmasse m 6 m 7 46 c p κ

47 7 1 Isobares Ansaugen von Frischluft Nun widmen wir uns dem realen Prozess mit Ventilspiel bzw. Ladunsgwechselschleife): 4 5 Isochor, aber die Gasmasse ist nicht konstant daher gelten nicht die Gleichungen für die isochore ZÄ. Oft kann es als isentrope ZÄ betrachtet werden: T 5 T 4 p5 p 4 ) κ 1 κ 319) 6 7 Isentrope Entspannung des Gasmasse m 6 m 7 T 7 T 6 p7 p 6 ) κ 1 κ 320) Die Ladungswechselschleife LW) vermindert den Wirkungsgrad des Motors: <0 >0 η th {}}{ { }} { W 15 + W LW 321) Q zu Mit: W LW W 56 + W 67 + W ) W 56 p 5 V 5 V 6 ) > 0 entspricht Kraft mal Weg 323) W 67 m 6 c V T 7 T 6 ) < 0 isentrope Expansion) 324) W 71 p 7 V 7 V 1 ) < 0 325) 47 c p κ

48 7.2 Verdichter/Kompressoren und Turbinen Turbinen Abbildung 14: Turbine und Verdichter im T -s-diagramm Turbinenarbeit W T W T m h 2 h 1 ) 326) m c p T 2 T 1 ) } {{ } ideales Gas 327) 328) Turbinenleistung P T P T ṁ h 2 h 1 ) 329) ṁ c p T 2 T 1 ) } {{ } ideales Gas 330) 331) 48 c p κ

49 isentroper Wirkungsgrad η is,t η is,t P real P ideal P T P T* 332) h 2 h 1 T 2 T 1 h 2* h 1 T 2* T } {{ 1} ideales Gas 333) Umgestellt ergeben sich folgende Beziehungen: h 2* h 1 + h 2 h 1 η is,t 334) h 2 + x 2* h 2 h 2 ) mit x 2 s 2 s 2 s 2 s 2 335) h 2 h 1 + η is,t h 2* h 1 ) 336) h 1 h 2* η is,t h 2 η is,t 1 337) h 2* erhält man oft über Interpolation, da s 2* s 1 : ) ygeg y u x gesucht x ges x u + x o x u ) y o y u ) s1 s u h 2* h u + h o h u ) s o s u 338) 339) In der egel ist die Temperatur T 2* bzw. T 2 unbekannt und kann wie folgt berechnet werden isentrope ZÄ!): T 2* T 1 p2 T 2* T 1 ) κ 1 κ ) κ 1 p2 κ 340) 341) 49 c p κ

50 Somit lässt sich sagen: η is,t T 1 T 2 T 1 p2 ) κ 1 κ T 1 342) T 2 T 1 + η is,t T 2* T 1 ) 343) [ ] T 1 η is,t p2 ) κ 1 κ η is,t ) T 1 η is,t T 2 ) κ 1 p2 κ η is,t ) T 2 T 2 T 1 η is,t + T 1 346) P T ṁ c p T 2 T 1 ) 347) [ p2 ) κ 1 ] κ ṁ c p η is,t T ) T 1 P T ṁ c p + T 2 P T > 0! 349) T 2 P T ṁ c p + T 1 P T > 0! 350) 50 c p κ

51 7.2.2 Kompressoren/Verdichter Abbildung 15: Turbine und Verdichter im T -s-diagramm Verdichterarbeit W V W V m h 2 h 1 ) 351) m c p T 2 T 1 ) } {{ } ideales Gas 352) 353) Verdichterleistung P V P V ṁ h 2 h 1 ) 354) ṁ c p T 2 T 1 ) } {{ } ideales Gas 355) Elektrische Antriebsleistung P el P el ṁ w t η mech η el 356) m t w t η mech η el 357) adiabat w t h 2 h 1 c p T 2 T 1 ) 358) 51 c p κ

52 isentroper Wirkungsgrad η is,v Achtung: Gerade anders wie bei der Turbine!) η is,v P ideal P real P V* P V 359) h 2* h 1 T 2* T 1 h 2 h 1 T 2 T } {{ 1} ideales Gas 360) Umgestellt ergeben sich folgende Beziehungen: h 2 h 1 + h 2* h 1 η is,v 361) h 2* h 1 + η is,v h 2 h 1 ) 362) h 2 + x 2* h 2 h 2 ) mit x 2 s 2 s 2 s 2 s 2 363) h 1 h 2 η is,v h 2* η is,v 1 364) h 2* erhält man oft über Interpolation, da s 2* s 1 : ) ygeg y u x gesucht x ges x u + x o x u ) y o y u ) s1 s u h 2* h u + h o h u ) s o s u 365) 366) In der egel ist die Temperatur T 2* bzw. T 2 unbekannt und kann wie folgt berechnet werden isentrope ZÄ!): T 2* T 1 p2 T 2* T 1 ) κ 1 κ ) κ 1 p2 κ 367) 368) 52 c p κ

53 Somit lässt sich sagen: η is,v T 1 p2 ) κ 1 κ T 1 T 2 T 1 369) T 2 T 1 + T 2* T 1 370) η is,v [ p2 ] T 1 ) κ 1 κ + η is,v 1 η is,v 371) T 1 p2 T 2 η is,v ) κ 1 κ + η is,v 1 372) T 2 η is,v T 2 T 1 ) + T 1 373) P T ṁ c p T 2 T 1 ) 374) [ ṁ c p2 ) κ 1 ] p T κ ) η is,v T 1 P T + T 2 P T > 0! 376) ṁ c p T 2 P T + T 1 P T > 0! 377) ṁ c p Wenn die beiden Temperaturen T 1 und T 2, der Wirkungsgrad η is,v und der Druck bekannt sind, dann geht man wie folgt vor gesucht ist p 2 ): η is,v T 2* T 1 T 2 T 1 } {{ } ideales Gas mit p 2 p 2* T2* T 1 ) κ κ 1 T 2* η is,v T 2 T 1 ) + T 1 378) T { }} 2* { η is,v T 2 T 1 ) + T 1 p 2 T 1 κ κ 1 379) 53 c p κ

54 7.3 Gasturbine Leistungsberechnung für Turbine und Verdichter siehe 7.2 ab Seite 48 Generatorleistung P G bzw. P el P T P V η VT + P el η TG 380) P el P T η TG P V ηtg 381) η VT Abbildung 16: Veranschaulichung der o. g. Beziehungen. Brennkammerwärmestrom Q BK zugeführte Wärme entspricht Aufwand) Q BK ṁ c p T 2 T 1 ) 382) Dabei sind T 1 und T 2 die Temperaturen vor bzw. nach der Wärmezufuhr logisch! Gesamt-)Wirkungsgrad der Gasturbine η ges η ges Nutzen Aufwand P el Q BK 383) Manchmal werden isobare) Wärmetauscher WT) verwendet, um den Wirkungsgrad zu erhöhen. Dabei wird das verdichtete Fischgas durch das Abgas vorgewärmt, bevor es in die Brennkammer kommt. Die elektrische Leistung bleibt gleich nur der Aufwand wird geringer. Wirkungsgrad des WT: η WT P real P ideal 384) T 2 T 1 T 2* T 1 385) T b T a T b* T a 386) 54 c p κ

55 Abbildung 17: Wärmetauscher Dabei ist die maximal erreichbare Frischgas-Temperatur T 2* gleich der Temperatur des heißen Abgases T a. Die minimale Abgastemperatur T b* ist gleich der Temperatur des kalten Fischgases T 1 : η WT P real P ideal 387) T 2 T 1 T a T 1 388) T b T a T 1 T a 389) Kälteziffer Kältemaschine: ɛ K Q abgeführt P zugeführt 390) Wärmeziffer Wärmepumpe: ɛ W P Q abgeführt + Q zugeführt P zugeführt 391) 55 c p κ