PD Dr. R. Schätzle Dr. A. Karlsson. Funktionentheorie II SS 2001

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1 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Dr. A. Karlsson Funktionentheorie II SS Übung AUFGABE 1: Zeigen Sie, daß die Riemannschen Flächen CI und D := {z CI z < 1 } mit der Standard-Komplexen Struktur als Riemannsche Flächen nicht isomorph sind, aber als differenzierbare Flächen diffeomorph sind. Zeigen Sie weiter, daß jedes einfach zusammenhängende Gebiet Ω CI, Ω CI, als Riemannsche Flächen isomorph zu D ist. (Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Liouville und den Riemannschen Abbildungssatz.) AUFGABE 2: M und N seien Riemannsche Flächen, und f : M N sei eine nicht-konstante, holomorphe Abbildung. Zu jedem p M,q := f(p) N gibt es Karten z : U M CI,w : V N CI mit p U,q V, so daß w f z 1 (ζ) = ζ m für ein m IN, das unabhängig von der Wahl der Karten ist. p heißt Verzweigungspunkt von f, falls m > 1 und v f (p) := m 1 heißt Verzweigungszahl von f in p. AUFGABE 3: (Identitätssatz) M und N seien Riemannsche Flächen, und f, g : M N seien holomorphe Abbildungen. Zeigen Sie, daß f = g, falls die Menge [f = g] := {p M f(p) = g(p) } einen Häufungspunkt in M besitzt. Abgabetermin ist Montag,

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3 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Dr. A. Karlsson Funktionentheorie II SS Übung AUFGABE 4: M und N seien Riemannsche Flächen, und f : M N sei holomorph und nicht konstant. Zeigen Sie, daß f eine offene Abbildung ist, und, falls M kompakt ist, so ist auch N kompakt und f surjektiv. Schließen Sie daraus, daß holomorphe Funktionen auf einer kompakten Riemannschen Fläche M immer konstant sind, also AUFGABE 5: (Polynom) Es sei O(M) = CI. P(z) = z n + c 1 z n c n ein nicht-konstantes Polynom. Zeigen Sie, daß P eine holomorphe Abbildung S 2 S 2 ist (S 2 ist die Riemannsche Zahlenkugel), wenn man P( ) = definiert. Berechnen Sie die Verzweigungszahl von P in. AUFGABE 6: (Meromorphe Funktionen) M sei eine Riemannsche Fläche. Zeigen Sie, daß die meromorphen Funktionen auf M, d.h. die holomorphen Abbildungen f : M S 2 mit f, bijektiv mit der Menge der holomorphen Funktionen f : U CI mit U := M P für eine Menge P von isolierten Punkten, für die lim f(q) = q p für jedes p P gilt, in Beziehung stehen. Zeigen Sie, daß die meromorphen Funktionen M(M) einen Körper bilden. Zeigen Sie schließlich, daß die meromorphen Funktionen auf S 2 rational sind, d.h. M(S 2 ) = CI(z). Abgabetermin ist Montag,

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5 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Dr. A. Karlsson Funktionentheorie II SS Übung AUFGABE 7: V sei ein reeller Vektorraum und V CI := V iv sei seine Komplexifizierung. Zeigen Sie, daß V CI = V IR CI und (Hinweis: Betrachten Sie die Abbildung (V CI ) CI = V IR CI. ζ z V IR CI ζ z (V IR CI) CI mit (ζ z)(x w) = ζ(x) z w.) AUFGABE 8: Finden Sie eine 2 2 Matrix J, so daß J 2 = I, wobei I die Identitätsmatrix ist. AUFGABE 9: Es sei M eine differenzierbare, zweidimensionale, orientierbare Untermannigfaltigkeit von IR 3. Sei ν : M B 1 (0) IR 3 eine differenzierbare Einheitsnormale. Wir definieren J : TM TM durch J p X := ν(p) X für X T p M, p M. Zeigen Sie jetzt daß J eine fast komplexe Struktur auf M ist. Abgabetermin ist Montag,

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7 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Dr. A. Karlsson Funktionentheorie II SS Übung AUFGABE 10: Zeigen Sie, daß jede subharmonische Funktion auf einer kompakten Riemannschen Fläche konstant ist. (Hinweis: der Mittelwertsatz.) AUFGABE 11: M sei eine einfach zusammenhängende Riemannsche Fläche und u : M IR eine harmonische Funktion. Zeigen Sie, daß eine zu u konjugiert harmonische Funktion v : M IR existiert, d.h. u + iv ist holomorph auf M. Abgabetermin ist Montag,

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9 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Dr. A. Karlsson Funktionentheorie II SS Übung AUFGABE 12: Seien z,w : U CI zwei Karten auf einer Riemannschen Fläche M. Zeigen Sie, daß dz = ( w z)dw ist. AUFGABE 13: Sei U = CI {+i, i} und M = S 2 {+i, i}. Zeigen Sie daß die Differentialform dz 1 + z 2 auf U fortsetzt zu einer Differentialform auf M. (Hinweis: Betrachten Sie die Karte w : S 2 {0,+i, i} CI definiert durch z 1/z und 0 und benutzen Sie dann Aufgabe 12.) Abgabetermin ist Montag,

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11 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Dr. A. Karlsson Funktionentheorie II SS Übung AUFGABE 14: M sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. Eine Metrik g auf M definiert Länge und Winkel <) g(x,y ) [0,2π[ X g := g p (X,X) cos <) g(x,y ) = g(x,y ) X g Y g für Tangentialvektoren X,Y T p M {0},p M. Zeigen Sie, daß zwei Metriken g und g auf M genau dann konform äquivalent sind, wenn alle Winkel bezüglich g und g übereinstimmen. AUFGABE 15: Die Einheitssphäre S n = B1 n+1 (0) IR n+1 trägt als kanonische Metrik die zurückgezogene Metrik g S n,can := i g can, wobei i : S n IR n+1 und g can die kanonische Metrik auf IR n+1 ist. Zeigen Sie, daß die stereographische Projektion P : (S n {e n+1 },g S n,can) (IR n,g can ) mit x 1 x n P(x 1,... x n+1 ) := (,..., ) 1 x n+1 1 x n+1 ein konformer Isomorphismus ist. Geben Sie die Inverse von P und den Konform-Faktor λ in (P 1 ) g S n,can = λ g can an. Abgabetermin ist Montag,

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13 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Dr. A. Karlsson Funktionentheorie II SS Übung AUFGABE 16: Es sei M eine differenzierbare, zweidimensionale, orientierbare Untermannigfaltigkeit von IR 3 und J : TM TM die in Aufgabe 9 definierte fast komplexe Struktur auf M. Zeigen Sie, daß die Metrik g := i g can, wobei i : M IR 3 und g can die kanonische Metrik auf IR 3 ist, eine hermitesche Metrik auf M bezüglich J ist. AUFGABE 17: M sei eine Riemannsche Fläche und g eine Metrik auf M. Zeigen Sie, daß g genau dann hermitesch ist, falls für die Karten z : U M CI eines Atlas die Metriken (z 1 ) g konform äquivalent zur kanonischen Metrik g can auf CI sind. (Hinweis: Verwenden Sie Proposition 4.2) Abgabetermin ist Montag,

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15 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Dr. A. Karlsson Funktionentheorie II SS Übung AUFGABE 18: (Universelle Überlagerung) Wir betrachten den Torus T := CI/Γ mit Γ := Zw 1 + Zw 2 für über IR linear unabhängige w 1,w 2 CI und mit kanonischer Projektion π : CI CI/Γ = T. Zeigen Sie folgende Aussagen. (i) Für jeden differenzierbaren Weg γ : [0,1] T und z 0 CI mit π(z 0 ) = γ(0) existiert genau ein Lift γ, d.h. γ : [0,1] CI ist differenzierbar und erfüllt π γ = γ, γ(0) = z 0. (Hinweis: Unterteilen Sie γ in Wege von kurzer Länge.) (ii) Für eine differenzierbare Abbildung f : CI T und z 0 CI mit π(z 0 ) = f(0) existiert genau ein Lift f, d.h. f : CI CI ist differenzierbar und erfüllt π f = f, f(0) = z0. (Hinweis: Zeigen Sie, daß für z CI und einen beliebigen differenzierbaren Weg γ, der 0 und z in CI verbindet, der Endpunkt γ(1) des Lifts eindeutig durch z bestimmt ist.) (iii) Für eine differenzierbare Abbildung f : T T in einen weiteren Torus π : CI T und z 0,z 0 CI mit (f π)(z 0 ) = π (z 0 existiert genau eine differenzierbare Abbildung F : CI CI, mit F(z 0 ) = z 0, die das folgende Diagramm kommuntativ ergänzt. CI F CI π π f T T AUFGABE 19: (Konforme Äquivalenz von Tori) Wir betrachten zwei Tori T := CI/Γ,T := CI/Γ mit Γ := Zw 1 + Zw 2,Γ := Zw 1 + Zw 2

16 für über IR linear unabhängige w 1,w 2 und w 1,w 2 CI. Zeigen Sie, daß T und T genau dann konform diffeomorph sind, wenn Γ = λ Γ oder Γ = λ Γ für ein λ CI {0}. (Hinweis: Zeigen Sie, daß der Lift F : CI CI aus Aufgabe 18 (iii) eines konformen Diffeomorphismus f : T T holomorph oder antiholomorph ist, siehe Proposition 4.3, und daß dessen Ableitungen F : T CI harmonisch auf dem Torus, also konstant sind, und somit F affin ist.) Abgabetermin ist Montag,

17 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Dr. A. Karlsson Funktionentheorie II SS Übung AUFGABE 20: Berechnen Sie die Gaußkrümmung für die Rienmannschen Flächen CI,T 2 = CI/Γ und S 2 mit hermiteschen Metriken g can, g T 2,can und g S 2,can. (Hinweis: Verwenden Sie die stereographische Projektion aus Aufgabe 15.) AUFGABE 21: Es sei M eine Riemannsche Fläche und g eine hermitesche Metrik auf M. Dann gilt g f dµ g = 0 M für alle f E(M) mit kompaktem Träger in M. (Hinweis: Mit Partition der Eins kann angenommen werden, daß der Träger von f in einer Kartenumgebung ist.) Schliessen Sie daraus, daß für eine kompakte Riemannsche Fläche das Krümmungsintegral K g dµ g für jede hermitesche Metrik dasselbe ist. (Hinweis: Proposition 5.2.) Abgabetermin ist Montag, M

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19 ETH Zürich Departement der Mathematik PD Dr. R. Schätzle Dr. A. Karlsson Funktionentheorie II SS Übung AUFGABE 22: Zeigen Sie, daß die Riemannsche Zahlenkugel S 2 und jeder Torus T 2 := CI/Γ triangulierbar sind. Zeigen Sie weiter, daß die Euler-Charakteristiken durch χ(s 2 ) = 2 und χ(t 2 ) = 0 gegeben sind. Also ist S 2 vom Geschlecht 0 und T 2 vom Geschlecht 1. AUFGABE 23: Berechnen Sie jetzt χ(t 2 ) = 0 mit dem Satz von Gauß-Bonnet. Bestimmen Sie weiter das Geschlecht einer Riemmanschen Fläche M, die eine hermitesche Metrik g mit überall positiver Gauß-Krümmung trägt. (Hinweis: Betrachten Sie für den Torus die Metrik aus Aufgabe 20.) Abgabetermin ist Montag,

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