Lineare Optimierung Ergänzungskurs

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1 Lineare Optimierung Ergänzungskurs Wintersemester 2015/16 Julia Lange, M.Sc. Literatur Werner, F.; Sotskov, Y.N. (2006): Mathematics of Economics and Business; Routledge; London Bemerkungen Diese Unterlagen enthalten eine inhaltliche Gliederung des Ergänzungskurses sowie die Formulierung von Beispiel- und Übungsaufgaben. Die Beispielaufgaben werden in der Veranstaltung besprochen. Die Übungsaufgaben sind im Selbststudium zu bearbeiten und die Lösungen können in den Sprechstunden zur Kontrolle eingesehen werden. Alle Aufgaben sind entsprechend der Kapitel und Abschnitte nummeriert. 1

2 Gliederung 1 Modellierung und grafische Lösung eines linearen Optimierungsproblems 1.1 Einführendes Beispiel 1.2 Zulässige und optimale Lösung eines LOP 1.3 Grafische Lösung eines LOP 1.4 Die Standardform eines LOP 2 Das Simplex-Verfahren 2.1 Der Simplex-Algorithmus 2.2 Die 2-Phasen-Simplex-Methode 3 Dualität 3.1 Allgemeine Bemerkungen zur Dualität eines LOP 3.2 Der duale Simplex-Algorithmus 2

3 Zu Abschnitt 1.2 Definition 1: Ein Vektor x = (x 1, x 2,..., x n ) T R n, der das System A x R b erfüllt, ist eine Lösung. Erfüllt die Lösung x auch die NNB, so wird sie zulässige Lösung genannt. Definition 2: Die Menge M ist konvex, wenn für jede zwei Vektoren x 1, x 2 M gilt, dass λ x 1 + (1 λ) x 2 = x 3 mit x 3 M 0 λ 1. Definition 3: Ein Vektor x M ist ein Eckpunkt der konvexen Menge M, wenn er nicht durch eine lineare Kombination zweier Vektoren aus M dargestellt werden kann. Definition 4: Eine zulässige Lösung x = (x 1, x 2,..., x n ) T R n, für die die Zielfunktion einen optimalen Wert (Minimum oder Maximum) annimt, wird optimale Lösung genannt. z opt = c T x ist der optimale Zielfunktionswert. 3

4 Beispiele Beispiel 1 Ein Unternehmen hat über die Nutzung freier Produktionskapazitäten zu entscheiden. Es können zusätzlich zur laufenden Produktion die Produkte P 1 und P 2 hergestellt werden. Die folgende Tabelle beschreibt die Bearbeitungszeiten der Produkte in den einzelnen Arbeitsschritten und deren freie Kapazitäten sowie den Deckungsbeitrag der Produkte. Wie hoch sollte die Zusatzproduktion der Produkte gewählt werden, damit der Gewinn des Unternehmens maximiert wird? Prozess Bearbeitungszeit je Einheit Freie Kapazität P 1 P 2 (in Minuten) Drehen Fräsen Hobeln Deckungsbeitrag je Einheit 1 GE 2 GE Beispiel 2 Gegeben ist das folgende lineare Optimierungsproblem. z = 2x 1 + x 2 min! x 1 + 7x x 1 + 3x x 1 + 2x 2 40 x x 1 + 5x 2 30 x 1 + x 2 10 x 1,x 2 0 Lösen Sie das Optimierungsproblem mittels Simplex-Algorithmus. 4

5 Beispiel 3 Ein Unternehmen produziert zwei Produkte P 1 und P 2 unter Verwendung von 3 Rohmaterialien R1, R2 und R3. Die Deckungsbeiträge (DB) der Produkte, ihr Rohmaterialverbrauch sowie die Materialkapazitäten je Periode sind in der folgenden Tabelle gegeben. P 1 P 2 Kapazität R R R DB je Einheit 2 3 Stellen Sie die linearen Optimierungsprobleme zur Ermittlung der optimalen Produktionsmenge bei Gewinnmaximierung sowie zur Ermittlung der maximalen Zahlungsbereitschaft des Unternehmens für eine weitere Einheit der Rohmaterialien auf. Ist eine Produktion von 4 Einheiten P 1 und 2 Einheiten P 2 das gewinnmaximale Produktionsprogramm? 5

6 Übungen Übung 1 Durch den Ausfall eines Auftrages hat ein Handwerker 200 freie Arbeitsstunden in einer Periode, die er nun für die Produktion von zwei Produkten A und B nutzen kann. Das Erstellen von Produkt A nimmt dabei 1 Stunde in Anspruch und die Produktion von B dauert 4 Stunden. Von Produkt A kann er erfahrungsgemäß höchstens 100 Einheiten in einer Periode absetzen. Von Produkt B hingegen muss er mindestens 30 Einheiten produzieren, wobei die Anzahl das Dreifache der Menge von A nicht übersteigen darf. Die Produkte können zum Preis von 20 GE für A und 27 GE für B abgesetzt werden. Die variablen Produktionskosten für A und B betragen 10 GE und 21 GE je produzierte Einheit. Wie sollte der Handwerker die Produktionsmengen wählen um seinen Gewinn zu maximieren? Stellen Sie das lineare Optimierungsproblem auf und bestimmen Sie die optimale Lösung grafisch. Hat der Handwerker bei Durchführung der Zusatzproduktion noch verbleibende freie Arbeitsstunden? Übung 2 Überführen Sie das folgende Problem in die Standardform eines linearen Optimierungsproblems. z = x 1 + 3x 2 + x 4 min! x 1 x 2 +3x 3 x 4 8 x 2 5x 3 +2x 4 4 x 3 + x 4 3 x 2,x 3, x 4 0 6

7 Übung 3 Lösen Sie folgendes Problem mittels Simplex-Algorithmus. z = 2x 1 + x 2 max! 3x 1 + 2x 2 6 x 1 + 5x 2 32 x 1 + x x 1 + x 2 30 x 1,x 2 0 Übung 4 Lösen Sie das folgende Optimierungsproblem mithilfe des Simplex-Algorithmus. Geben Sie alle zulässigen Lösungen an, die den optimalen Zielfunktionswert bestimmen. z = x 1 + 2x 2 + x 3 max! x 1 + x 2 10 x 2 + x 3 14 x 1 + x 3 15 x 1,x 2, x 3 0 7

8 Übung 5 Überführen Sie das folgende primale Problem in die Standardform. Formulieren Sie anschließend das korrespondierende duale Problem und lösen Sie dieses mithilfe des dualen Simplex-Algorithmus. z = 3x 1 + 4x 2 max! x 1 + 7x x 1 + 3x x 1 + 2x 2 40 x 1 12 x 1,x 2 0 8