2. Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen

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Eike Huber
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1 4. Datenanalyse und Modellbildung Deskriptive Statistik Deskriptive Statistik 2.1. Häufigkeitstabellen, Histogramme, empirische Verteilungsfunktionen Für die Auswertung einer Messreihe, die in Form eines Messwertvektors x = (x 1,..., x n ) vorliegt, interessieren zunächst die absoluten und relativen Häufigkeiten des Auftretens einzelner Messwerte für das untersuchte Merkmal X. Bei größerem Umfang n der Messreihe - und damit in der Regel auch vielen verschiedenen Merkmalswerten - ist es zweckmäßig, eine Gruppierung (Klasseneinteilung) der Messwerte vorzunehmen und die Häufigkeiten des Auftretens von Werten in den einzelnen Klassen zu ermitteln und graphisch darzustellen. Dazu empfiehlt sich folgendes Vorgehen: 1. Festlegen der Klassenanzahl K in Abhängigkeit vom Gesamtumfang n der Messwerte und der gewünschten Darstellung (z.b. K = ) 2. Aufteilen des Gesamtintervalls I = [x min, x max] der Messwerte x i (x min x i x max ) in gleichgroße eilintervalle I = [ t -1, t ) ( =1,..., K-1) und I K = [t K-1, t K] mit t 0 = x min, t K = xmax und t - t -1 = (xmax - x min)/k ( =1,...,K) (Ggf. ist eine Anpassung der Grenzen sinnvoll.) 3. Bestimmen der Häufigkeiten h des Auftretens von Messwerten x mit t x < t (=1,...K-1) bzw. der Häufigkeit h für t x t i -1 i K K-1 i K. Es gilt h h /n und man nennt die absolute Klassenhäufigkeit, die relative Klassenhäufigkeit und die relative Summenhäufigkeit der Klasse 4. Graphische Darstellung: Histogramm Auftragen der Klassenhäufigkeiten h über den eilintervallen I (=1,...,K):

.., x n ) vorliegt, interessieren zunächst die absoluten und relativen Häufigkeiten des Auftretens einzelner Messwerte für das untersuchte Merkmal X.

2 4. Datenanalyse und Modellbildung Deskriptive Statistik Graphische Darstellung: empirische Verteilungsfunktion Auftragen der Summenhäufigkeiten H über den eilintervallen I (=1,...,K): 2.2. Kennzahlen für ein Merkmal, Box-Plots Die Kennzahlen eines messbaren Merkmals dienen zur Beschreibung der Datenmenge mit wenigen Größen und damit zur Informationsverdichtung und zum Vergleich von Messreihen. Man unterscheidet Kenngrößen, die die Lage der Datensätze beschreiben (Mittelwertmaße) und solche, die Aussagen über ihre Variation gestatten (Streuungsmaße). Eine Auswahl der wichtigsten empirischen Kenngrößen wird im folgenden angegeben: Es sei wieder x = (x 1,..., x n) der Messwertvektor eines beliebigen Merkmals (Spalte der Datenmatrix), und es sei x s = (x(1),..., x (n) ) mit x (1) x (2)... x (n), x(i) {x 1,..,x n }der zugehörige der Größe nach sortierte Vektor.! empirische Maße der Lage Minimum: x = x Maximum: x = x min (1) max (n) Mittelwert: Median:

messbaren Merkmals dienen zur Beschreibung der Datenmenge mit wenigen Größen und damit zur Informationsverdichtung und zum Vergleich von Messreihen.

3 4. Datenanalyse und Modellbildung Deskriptive Statistik 2-3 Quantile: empirisches Quantil der Ordnung q (0 < q < 1): wobei [a] den ganzzahligen Anteil von a bezeichnet. Es gilt. Besondere Bedeutung besitzen auch das untere empirische Quartil und das obere empirische Quartil.! empirische Streuungsmaße Spannweite: x( n) - x(1) Streuung: (Varianz) (s : Standardabweichung) F-Spanne: (F-Spread; empirischer Quartilabstand) Die F-Spanne liefert Hinweise auf mögliche Ausreißer im Datenmaterial: Messwerte, die größer als und Messwerte, die kleiner als sind, gelten als mögliche Ausreißer. 2 Messreihen mit empirischem Mittelwert m = 0 und empirischer Streuung s = 1 heißen standardisierte Messreihen. Standardisierte Messwerte z i können aus beliebigen Messwerten x i durch die lineare ransformation erzeugt werden (m Mittelwert und s Standardabweichung der Messreihe x). Standardisierung ist eine spezielle Form der Normierung von Merkmalswerten. Aus der Versuchsplanung ist beispielsweise die Normierung aller Merkmalswerte auf den Wertebereich [ -1 ; +1 ] bekannt.

! empirische Streuungsmaße Spannweite: x( n) - x(1) Streuung: (Varianz) (s : Standardabweichung) F-Spanne: (F-Spread; empirischer Quartilabstand) Die F-Spanne liefert Hinweise auf mögliche Ausreißer

4 4. Datenanalyse und Modellbildung Deskriptive Statistik 2-4 Eine kompakte graphische Darstellung der Messwerte mittels empirischer Kennwerte liefert das BOX-PLO: 2.3. Kennzahlen für zwei Merkmale, Scatter-Plots Werden an den Obekten mehrere Merkmale gemessen, so interessieren empirische Abhängigkeiten zwischen den Merkmalen. Wir betrachten im folgenden eine zweidimensionale Messreihe aus n Wertepaaren ( x i,y i) (i = 1,...,n) ; nach den Bezeichnungen im Abschnitt 1 also zwei beliebige Spalten einer Datenmatrix X. Dann können empirische Maßzahlen für die Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen den Merkmalen angegeben werden: Kovarianz: Korrelationskoeffizient: Bestimmtheitsmaß: wobei die Mittelwerte und die Streuungen von x = (x,..., x ) und y = (y,..., y ) sind. 1 n 1 n Es gilt -1 r xy +1 mit r xy = 0 x, y unkorreliert r 1 x, y hoch korreliert xy

Wir betrachten im folgenden eine zweidimensionale Messreihe aus n Wertepaaren ( x i,y i) (i = 1,...,n) ; nach den Bezeichnungen im Abschnitt 1 also zwei beliebige Spalten einer Datenmatrix X.

5 4. Datenanalyse und Modellbildung Deskriptive Statistik 2-5 Für eine Datenmatrix X mit Messwertvektoren x 1,..., x m für m gemessene Merkmale können die paarweisen empirischen Kovarianzen bzw. Korrelationskoeffizienten zur empirischen Kovarianzmatrix S bzw. der empirischen Korrelationsmatrix R zusammengefasst werden: S = bzw. R = mit und Zweidimensionale Messreihen können durch ein SCAER-PLO (Streudiagramm, X-Y- Diagramm) graphisch veranschaulicht werden: Scatter-Plot: a) linearer, b) quadratischer, c) kein Zusammenhang

Korrelationskoeffizienten zur empirischen Kovarianzmatrix S bzw.

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