Prüfungsklausur zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 1

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1 Studiengang: Matrielnummer: Anz. Blätter: Z Bonus Punte Note Prüfungslausur zum Modul Höhere Mathemati für Ingenieure , Uhr Zugelassene Hilfsmittel: A4-Blätter eigene, handschriftliche Ausarbeitungen aber eine Vorlesungsoder Übungsmitschriften, Formelsammlungen aber eine Lehrbücher, das vorgegebene Formelblatt von Grenzwerten, Reihen, Grundintegralen und Integrationsformeln, zugelassene wissenschaftl. Taschenrechner ein GTR, ein Computer-Algebra-System CAS)). Bearbeiten Sie bitte jede Aufgabe auf einem separaten Blatt bzw. auf separaten Blättern. Das Aufgabenblatt ist mit abzugeben. Vergessen Sie bitte nicht, auf dem Aufgabenblatt und jedem Lösungsblatt Ihre Matrielnummer gut leserlich anzugeben. Der Lösungsweg ist stets anzugeben, er sollte in allen Schritten durch eigene Rechnungen deutlich erennbar, begründet und nachvollziehbar sein. Nur dann ann nach detaillierter Bewertung die volle Puntzahl erreicht werden. Viel Erfolg! Aufgabe : 7 P.) a) Bestimmen Sie in Abhängigeit vom reellen Parameter p) den Grenzwert der Folge a n := p ) n. b) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und geben sie das verwendete Konvergenzriterium an. Hinweis zu ii): Verwenden Sie das beannte Monotonieverhalten von sinx) auf [0, ]. i) 00 n n= n! ii) ) n+ sin n n= iii) cos n. n= a) Beanntlich gilt für n 0, wenn q <, wenn q = q n divergiert bestimmt), wenn q > divergiert unbestimmt, wenn q. Offenbar gilt stets q := p. Wir haben daher für die Folge a n ) Unbestimmte Divergenz im Falle p =, d. h. p = 0. In diesem Falle alterniert a n zwischen und. Bestimmte Divergenz gegen im Falle p > p > p >, d. h. für p < oder p >. Eine onstante Folge a n ) im Falle p = p = p =, d. h. für p = ±.

2 Konvergenz gegen 0 im Falle p <, d. h. < p < bzw. 0 < p <. Dies bedeutet wiederum 0 < p <, also 0 < p < oder < p < 0. b) i) Die Reihe wird am besten mit dem Quotientenriterium behandelt. Bezeichnen wir die Reihenglieder mit a n = 00n n!, so benötigen wir den Grenzwert q = lim a n+ n a n = lim n 00 n+ n+)! 00 n n! 00 n+ n! = lim n n + )! 00 = lim 00 n n n + = 0. Da q <, liegt Konvergenz vor. ii) Da zunächst für 0 < x < π die Beziehung sin x > 0 gilt, ist offenbar sin > 0, n d. h. sin sind die Beträge der Reihenglieder; deren Vorzeichen wird nur durch n den Fator ) n+ bestimmt, also liegt eine alternierende Reihe vor. In der Nähe der Null genauer gesagt auf [0, π/]) ist die Sinusfuntion außerdem monoton wachsend. Da <, ist also sin < sin, d. h. die n+ n n+ n Beträge der Reihenglieder sind monoton fallend. Schließlich ist wegen der Stetigeit der Sinusfuntion im Nullpunt lim sin ) n n = sin lim = sin 0 = 0, so dass die Beträge der Reihenglieder n n auch eine Nullfolge bilden. Somit ist die Reihe nach dem Leibnizriterium onvergent. ) iii) Es gilt lim cos = cos0) =, die Reihenglieder bilden also eine Nullfolge. Daher ist die notwendige Konvergenzbedingung verletzt, d. h. die Reihe n n divergiert. Aufgabe : 9 P.) Gegeben sei die Funtion fx) = x x 4. a) Bestimmen Sie den Definitionsbereich und untersuchen Sie die Funtion fx) hinsichtlich Nullstellen und Symmetrieverhalten. b) Untersuchen Sie die Grenzwerte von fx) für x ± sowie an eventuell vorhandenen Unstetigeitsstellen. c) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten der Funtion fx) und leiten Sie daraus die Art der Extrema an den Stellen x 0 = 0 und x / = ± ab. Berechnen Sie auch die Extremwerte. d) Ermitteln Sie den Wertebereich und sizzieren Sie den Graphen von fx). a) Die Funtion ist definiert für alle x ±, d.h. D f = R \ {±}. Die Stellen x = ± sind Polstellen, da dort der Nenner 0 wird, der Zähler aber nicht.) Die Nullstellen ergeben sich aus fx) = 0 = x = 0 dreifache Nullstelle). Es gilt f x) = x = fx). Deshalb ist die Funtion achsensymmetrisch. Diese Eigenschaft lässt sich im folgenden noch x) 4 ausnutzen.

3 b) Wir untersuchen die Limites für x gegen Polstelle) sowie gegen, der Rest folgt durch Achsensymmetrie der Funtion. [ ] [ ] x lim x x 4 = x =, lim 0 x + x 4 = = x lim x + x 4 = +. Wegen der Achsensymmetrie folgt dann: lim fx) = +, lim x fx) = +, lim x fx) =. x + c) Da die Betragsfuntion an sich nicht überall differenzierbar ist, lösen wir die Betragsstriche auf und betrachten zunächst den Fall x > 0. Dort gilt dann fx) = x x 4 und somit f x) = x x 4) x x x 4) = x x ) x 4) für x > 0. Analog haben wir für negative x fx) = x) x 4 = x x 4 und somit f x) = x x 4) x x x 4) = x x ) x 4) für x < 0. Den Fall x < 0 ann man auch dadurch erhalten, dass aufgrund der Achsensymmetrie die Beziehung f x) = f x) gilt.) Wegen der Gleichheit der lins- und rechtsseitigen Ableitung existiert auch die Ableitung in x = 0 und ist dort gleich 0. Außerdem wird f x) = 0 für x =, d. h. x = ± = ±. Zur Monotonie: Der Ansatz f x) > 0 f monoton wachsend) führt auf die Fälle: i) x > 0 und x ) > 0 x > x > = x, ) ii) x < 0 und x ) < 0 x < x < = x, 0). Also insgesamt: f monoton wachsend für x, 0), ). Analog führt die Bedingung f x) < 0 f monoton fallend in x) auf die Fälle i) x > 0 und x ) < 0 x < x < = x 0, ) ii) x < 0 und x ) > 0 x > x > = x, ). Also ist f monoton fallend für x, ) 0, ). Man hätte auch jeweils nur den Fall x > 0 betrachten und den Rest aus der Achsensymmetrie folgern önnen.) Insgesamt folgt also x 0 = 0 ist loales Maximum da Übergang m.w. m.f.), x / = ± ist loales Minimum da Übergang m.f. m.w.). Die Funtionswerte sind f0) = 0, f± ) =.

4 d) Aus Extrema und Grenzwertverhalten ergibt sich schließlich der Wertebereich W f =, 0] [, + ) siehe Sizze). y 0 x Aufgabe : 0 P.) a) Wie muss a R gewählt werden damit für z = i + a) i) i gilt Rez) = 0? b) Bestimmen Sie alle z C in artesischer algebraischer) Form, für die gilt: iz 4i)z + 8i) = 0. c) Sizzieren Sie die Teilmenge der Gaußschen Zahlenebene, deren Elemente z = x + iy gleichzeitig beide Ungleichungen erfüllen: z z z und Rez ) > Re z) 4. a) z = a + i) i) i )) i also ist Re z = a = 0 a =. = a + i) i) = a + a )i, b) Wir dividieren die Gleichung gleich durch i. Das Produt wird dann 0, wenn einer der beiden Fatoren in Klammern 0 wird Ausmultiplizieren wäre also ontraprodutiv). z 4i = 0: z = 4i = 4e π/+π)i z = e π/4+π)i, = 0,. Dies ergibt die beiden Lösungen z = e iπ/4 = cos π 4 + i sin π ) 4 z = e 5πi/4 =... = i = ) ) + i = + i = 0), = i = ).

5 z + 8i = 0: z = 8i = 8e π/+π)i z = e π/+π/)i, = 0,,. Dies ergibt die drei Lösungen z = e iπ/ = i = 0), z 4 = e 7πi/6 = cos 7π 6 + i sin 7π 6 z 5 = e πi/6 =... = i ) = i = ). ) = i ) = i = ), c) Für die erste Ungleichung erhalten wir durch Ausnutzen der Beziehung z z = z = x + y : z z z z z. Dies beschreibt das Äußere des Einheitsreises mit Rand). Für die zweite Ungleichung ergibt sich mit der Darstellung z = x + iy x, y reell): Rex xyi y ) > x 4 x y > x 4 y < 4 y <. Dies beschreibt den Streifen zwischen den Geraden y = und y = ohne Rand. Insgesamt ergibt sich das folgende Bild. Die gesuchte Puntmenge grün) ist natürlich unbeschränt, so dass hier nur ein Teil gezeichnet werden ann. Die Kreislinie gehört zur Menge, die Geraden y = ± jedoch nicht.) y x Aufgabe 4: 6 P.) Gegeben seien die Funtionen fx) = 5 4x und gx) = 4x )e x. a) Bestimmen Sie jeweils eine Stammfuntion F x) von fx) bzw. Gx) von gx). b) Berechnen Sie den Flächeninhalt der Fläche, die von den Graphen der Funtionen fx) und gx) sowie den Geraden x = und x = 4 eingeschlossen wird. Hinweis: Es gilt fx) < gx) für alle x.

6 c) Untersuchen Sie, ob die uneigentlichen Integrale fx)dx und 4 und geben Sie ggf. deren Werte an. a) Mit der Substitution t = 4x, dt = 4 dx erhält man 5 dx F x) = = 5 t / dt = 5 4x 4 4 t/ = 5 4x. b) fx)dx existieren Man önnte sich auch diret auf die Integrationsformel für verettete Funtionen mit linearer innerer Funtion von unserem Formelblatt berufen.) Das andere Integral ann man mittels partieller Integration mit ux) = 4x, v x) = e x behandeln. Dann ist u x) = 4, vx) = ex. Man erhält Gx) = 4x )e x dx = 4x ) ex 4 e x dx = 4x ) ex ex = 4x ) ex. Integrationsonstanten wurden weggelassen, da jeweils nur eine Stammfuntion gesucht war.) 4 A = gx) fx)) dx = 4x ) ex 5 ) 4 4x = e8 5 5 e 5 ) c) Der Nenner von fx) wird Null, wenn x =. Der Zähler von fx) ist dort nicht 4 Null, so dass eine Polstelle vorliegt. Es handelt sich daher um ein uneigentliches Integral mit einem in einer Umgebung der unteren Integrationsgrenze unbeschränten Integranden. Mit obiger Stammfuntion F gilt /4 fx) dx = lim fx) dx = lim ε 0+ /4+ε ε 0+ ) 4ε 5 = lim ε 0+ = 5, das uneigentliche Integral ist also onvergent. 5 4x /4+ε Im zweiten Fall liegt ein uneigentliches Integral mit unbeschräntem Integrationsintervall vor, hier ist fx) dx = lim A = lim A A fx) dx = lim A 4A ) 5 5 A 4x =, das uneigentliche Integral ist also bestimmt) divergent.

7 Aufgabe 5: 6 P.) a) Bestimmen Sie den Konvergenzbereich der Reihe = x + ). b) Stellen Sie die Funtion f x) = mit Hilfe der geometrischen Reihe als + 4x 8x Potenzreihe dar und folgern Sie daraus die Potenzreihe für f x) = + 4x. Geben Sie den Konvergenzbereich beider Potenzreihen an. c) Bestimmen Sie die Potenzreihe für f x) = ln + 4x ) mittels gliedweiser Integration der geeigneten Potenzreihe aus b) sowie den Konvergenzbereich der Potenzreihe von f x). a) Es gibt verschiedene Möglicheiten, den Konvergenzbereich zu bestimmen. Eine Betrachtung als speziell geometrische Reihe ist nicht möglich. Zur Auswahl stehen die Betrachtung als Zahlenreihe mit dem Quotienten- bzw. Wurzelriterium a) bzw. a)) oder als Potenzreihe a) bzw. a4)). a) Zahlenreihe mit dem Quotientenriterium. Dazu betrachtet man die Reihe als b mit b = x + ). = Bemerung: Die Rechnung würde sich leicht vereinfachen, wenn man b vorher noch zu x + )) = x + ) umformt, die Ergebnisse bleiben natürlich die gleichen.) Anwendung des Quotientenriteriums auf b bedeutet, den Grenzwert des folgenden Quotienten zu bestimmen: b + b = + x + + )+ x + ) = x + )+ + ) x + = x ) + +, also lim b + b = lim + = x + lim + = ) x + = x + lim = x +. Nach dem Quotientenriterium liegt Konvergenz vor, wenn + x + < < x + < 4 < x <, ) und Divergenz, wenn x+ > x+ < oder x+ > ) x < 4 oder x > ). ) Um den Konvergenzbereich zu bestimmen müssen noch die Randpunte betrachtet werden: x = 4 : b = = = 4 + ) = = 4+ ) = ), =

8 diese alternierende Reihe onvergiert nach dem Leibnizriterium, da die Beträge der Reihenglieder b = eine monotone Nullfolge bilden. Dagegen gilt für x = : b = = = + ) = = + ) = =, was die harmonische Reihe ergibt, die divergent ist. Folglich ist der Konvergenzbereich das halboffene Intervall [ 4, ). a) Zahlenreihe mit dem Wurzelriterium. Dazu betrachtet man wiederum die Reihe = b wie unter a), die obige Bemerung gilt hier ebenso. Die Anwendung des Wurzelriteriums auf b bedeutet die Bestimmung des Grenzwerts lim b = lim = x + = x + ) = x + lim lim = x +. Nach dem Wurzelriterium gelten für Konvergenz bzw. Divergenz dieselben Bedingungen an diesen Grenzwert wie in ) und ). Die Randpunte sind wieder ebenfalls wie in a) extra zu betrachten. Betrachtung mittels der speziellen Methoden für Potenzreihen: a) Potenzreihe mit dem Zentrum Entwiclungspunt) a = y 0 = 0. Dazu interpretieren wir die Reihe als = x + ) = a y, = d. h. eine Potenzreihe mit den Koeffizienten a =, der Variablen y = x + und dem Entwiclungspunt y 0 = 0. Dann bestimmt man den Konvergenzradius R = lim a + a. R = lim a a + = lim + ) = lim Dann onvergiert die Potenzreihe a y für = + lim a a + = c mit c = = lim + ) =. y = x + < R = < x + < < x + < < x + < 4 < x <. Auch in diesem Fall müssen die Randpunte x = 4 und x = gesondert betrachtet werden. Wie bei a) erhält man für x = 4 Konvergenz und für x = Divergenz, der Konvergenzbereich ist [ 4, ).

9 a4) Potenzreihe mit Zentrum Entwiclungpunt) a = x 0 = x +) = x+) = a x+) ist eine Potenzreihe in der Variablen = = = x mit dem Zentrum a = x 0 =. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist R = lim a = lim = lim + = a + + und damit liegt Konvergenz vor für x ) = x + < < x + < 4 < x <, die Randpunte sind wiederum extra zu betrachten. b) Die geometrische Reihe q onvergiert genau dann, wenn q <. In diesem Falle ist ihre Summe f x) = =0 =0 q =. Deshalb ist q 4x ) = 4x ) = =0 4) x =0 4x = 4 x < x < 4 x <. Die Funtion f x) ist das 8x-Fache von f x). Eine von 0 verschiedene Zahl ann an die Glieder einer Reihe multipliziert bzw. aus dieser herausgezogen) werden, ohne dass sich dabei etwas an der Konvergenz ändert. Daher ist für x 0 f x) = 8xf x) = 8x 4) x = 8 4) x + x <. =0 Für x = 0 ist obige Reihe offensichtlich ebenfalls onvergent und hat die Summe f 0) = 0. c) Es gilt =0 ln + 4x ) ) 8x = + 4x = 8 4) x +, =0 d. h. f ist eine Stammfuntion von f. Da diese Reihe für x < onvergiert, gilt dies auch für die gliedweise integrierte Reihe. Die Randpunte sind dabei wiederum extra zu betrachten. Es gilt für x < : x 8t f x) = + 4t dt = 8 x 4) t + dt = 8 4) t+ x + = 8 0 =0 4) x+ +. =0 Wir betrachten die Randpunte x = ± : ) 4) + ± 8 = 8 ) + + =0 =0 = =0 0 ) + = =0 ) = 8 =0 ) +. =0 0 ) ) +

10 In beiden Fällen ergibt sich also dieselbe alternierende Reihe, die nach dem Leibnizriterium onvergiert, da die Beträge der Reihenglieder eine monotone Nullfolge bilden. Deshalb ist der Konvergenzbereich das abgeschlossene Intervall [, ]. Aufgabe 6: 7 P.) Es seien A = und b = a mit a R. a) Für welche a R ist das lineare Gleichungssystem A x = b lösbar? Ermitteln Sie für diese a die allgemeine Lösung des Gleichungssystems. Geben Sie auch die Lösung des dazugehörigen homogenen Gleichungssystems an. b) Geben Sie den Rang der Koeffizientenmatrix A und für die Fälle a = und a = 5 jeweils den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix an. c) Untersuchen Sie die Spalten von A auf lineare Abhängigeit. Ermitteln Sie eine Basis und die Dimension des von den Spalten von A aufgespannten Unterraums. a) Mittels Gauß-Algorithmus wird zunächst die erweiterte Koeffizientenmatrix in eine Form gebracht, in welcher Aussagen über die Lösbareit möglich sind a a a + 5 Anhand der letzten Zeile erennt man, dass das Gleichungssystem genau dann lösbar ist, wenn a = 5 bei einer Nullzeile auf der linen Seite in der Zeilenstufenform muss auch auf der rechten Seite eine 0 stehen, bzw. der Rang der Koeffizientenmatrix muss gleich dem der erweiterten Koeffizientenmatrix sein vgl. b)). Für a = 5 ermitteln wir jetzt die allgemeine Die Nichtleitunbeannten in den Spalten ohne Leitelemente) werden als freie Parameter angesetzt: x = s, x 4 = t. Dann lösen wir die Leitgleichungen mit den marierten Leitelementen) von unten nach oben auf: x + 4t = 7 = x = 7 4t x + s + 7 4t) + 5s = = x = 9 s + 7t. In Vetorform haben wir die allgemeine Lösung 9 7 x = s 0 + t 0 4, s, t R. 0 0 }{{} Anteil mit freien Parametern ist die allg. Lsg. des homogenen Systems A x= 0

11 Es sei angemert, dass man ggf. die Leitelemente auch in anderen Spalten hätte wählen önnen. Dann wären andere Variable die freien Parameter, und die Lösungsdarstellung würde anders aussehen, insgesamt aber natürlich dieselbe Menge von Vetoren ergeben. b) Der Rang einer Matrix ist ablesbar an der Anzahl der Leitelemente. Für die Koeffizientenmatrix ist er also unabhängig von a immer gleich. Der Rang der erweiteren Koeffizientenmatrix ist im Falle a = gleich, da hier in der letzten Zeile auf der rechten Seite ein weiteres Leitelement 0) steht. Im Falle a = 5 ist er gleich, wie der Rang der Koeffizientenmatrix. c) Die Spalten von A sind linear abhängig, da der Rang von A leiner als die Spaltenzahl ist, oder äquivalent, da das homogene lineare Gleichungssystem nicht nur die triviale Lösung x = 0 besitzt vgl. a)). Mit Determinanten ann man hier nicht argumentieren, da A nicht quadratisch ist.) Eine Basis in dem von den Spalten aufgespannten Unterraum bilden die Spalten, in denen beim Gauß-Algorithmus Leitelemente entstehen, also hier die erste und die dritte Spalte der ursprünglichen Matrix. Die Dimension des Unterraums ist also gleich Anzahl der Basisvetoren). Der Unterraum ist eine Ebene im R. Zusatzaufgabe: Punte) a) Berechnen Sie die Ableitung von fx) = lnx)). b) Weisen Sie mit Hilfe des Integralriteriums unter Benutzung von a)) nach, dass die Reihe nlnn)) onvergiert. a) f x) = n= lnx)) ) = ) lnx)) x = xlnx)). b) Das Integralriterium für Reihen besagt, dass die Reihe und das uneigentliche Integral fx) dx mit fx) = xlnx)) = nlnn)) das gleich Konvergenzverhalten haben, wenn die Funtion fx) = für x < stetig ist offenbar xlnx)) erfüllt), positiv erfüllt, weil lnx) > 0 für x > ) und monoton fallend erfüllt, weil die Funtionen gx) = x und hx) = lnx)) ) monoton wachsend auf [, ) sind und damit fx) monoton fallend) ist. Zur Berechnung des uneigentlichen Integrals ann man verwenden, dass aus a) folgt: ) xlnx)) dx = dx = lnx)) lnx)) + C. Berechnung des uneigentlichen Integrals: dx = lim xlnx)) A = lim A A dx = lim xlnx)) A lna)) + lnx)) ) = ln)) Deshalb onvergiert das uneigentliche Integral und damit auch die Reihe. A ) ln)) <.