Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume

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1 Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume a) Vektoren: Definition und Grundlagen Größen, die sich durch Angabe eines Zahlenwertes und einer Einheit vollständig beschreiben lassen, nennt man Skalare bzw. skalare Größen. Beispiele: Zeit, Masse, Gewicht, Temperatur,... Größen, die außer eines Zahlenwertes und einer Einheit zu ihrer vollständigen Beschreibung noch die Angabe einer Wirkungsrichtung benötigen, heißen Vektoren bzw. vektorielle Größen. Beispiele: Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung,... DEFINITION 1: Ein Vektor ist eine Größe, die durch eine Maßzahl und eine Richtung vollständig beschrieben ist. Bezeichnung: a, b, c Kennzeichnung durch Pfeil alternativ: a, b, c bzw. a, b, c Ein Vektor a wird im Raum durch einen Pfeil dargestellt; die Pfeilspitze legt dabei die Richtung fest und die Länge des Pfeils repräsentiert die Maßzahl des Vektors und wird Betrag des Vektors genannt. Bezeichnung: a oder a Der Betrag eines Vektors ist stets nichtnegativ, also a Ein Vektor lässt sich auch eindeutig durch einen Anfangs- und Endpunkt P, Q im Raum 1 festlegen. # b = PQ 1 Hier ist zunächst der von der Anschauung her übliche dreidimensionale Raum gemeint (sog. R 3 )

2 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 2 Spezielle Vektoren: Vektoren der Länge 1: a = 1 heißen Einheitsvektoren. Ein Vektor der Länge : a = heißt Nullvektor. Der Nullvektor wird durch gekennzeichnet. Für ihn lässt sich keine Richtung angeben. Für einen beliebigen Punkt P des Raumes heißt der Vektor vom Nullpunkt zum Punkt P Ortsvektor von P. Bezeichnung: # r (P) = P

3 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 3 DEFINITION 2: Zwei Vektoren a und b heißen gleich, wenn sie in Betrag und Richtung übereinstimmen. Bezeichnung: a = b Zwei Vektoren heißen parallel, wenn sie in der Richtung übereinstimmen. Bezeichnung: a b Zwei Vektoren heißen antiparallel, wenn sie entgegengesetzte Richtungen besitzen. Bezeichnung: a b Der Vektor b heißt inverser Vektor von a, wenn a = b, b aber die entgegengesetzte Richtung von a besitzt. Man bezeichnet den zu a inversen Vektor mit a. Wir definieren nun die Addition zweier Vektoren sowie die Multiplikation von Vektoren mit Skalaren: DEFINITION 3: Zur Addition zweier Vektoren a und b wird der Vektor b parallel verschoben, so dass sein Anfangspunkt mit dem Endpunkt von a zusammenfällt. Der vom Anfangspunkt des Vektors a zum Endpunkt des verschobenen Vektors b führende Vektor heißt dann Summenvektor a + b.

4 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 4 Die Subtraktion a b zweier Vektoren a und b ist dann über die Addition des inversen Vektors b erklärt: a b = a + ( b ) Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ist folgendermaßen erklärt: Sei λ R und a ein beliebiger Vektor mit dem Betrag a = a. Das Produkt λ a ist definiert als ein Vektor mit dem Betrag λ a und der Richtung: λ a a, falls λ > λ a a, falls λ < λ a =, falls λ =

5 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 5 Die Multiplikation mit einem Skalar bedeutet eine Streckung oder Stauchung des Vektors mit oder ohne Richtungsumkehr. Man beachte: λ a = a λ SATZ 1: (Rechenregeln für die Addition von Vektoren und Multiplikation mit einem Skalar) Seien a, b, c Vektoren, λ, µ R, dann gilt: a + b = b + a Kommutativität a + ( b + c ) = ( a + b ) + c Assoziativität λ(µ a ) = (λµ) a = (µλ) a = µ(λ a ) λ( a + b ) = λ a + λ b = a λ + b λ = ( a + b )λ Distributivität Mit Hilfe der Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar kann man nun beliebige Vektoren in Einheitsvektoren überführen. Eine solche Überführung nennt man Normierung. DEFINITION 4: Sei a ein beliebiger Vektor mit a. Dann heißt der Vektor: a a e a := = normiert. a a

6 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 6 e a ist der Einheitsvektor in Richtung des Vektors a, d.h. e a = 1 und Bezeichnung: e a (oder auch n a) e a a BEISPIELE: 1. Das Grundgesetz der Mechanik (NEWTON) F = m a, wobei F Kraft, vektorielle Größe m Masse, skalare Größe a Beschleunigung, vektorielle Größe 2. Das Ohm sche Gesetz der Elektrodynamik S = σ E S Stromdichte, vektorielle Größe σ elektrische Leitfähigkeit, skalare Größe E elektrische Feldstärke, vektorielle Größe FOLGERUNG 1: Für beliebige Vektoren a, b und λ R gilt: λ a = λ a a = a = a ± b a + b»dreiecksungleichung «Bemerkungen: Zur -Ungleichung: In einem ist die Summe der beiden kürzeren Seiten stets größer als die längste Seite.

7 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 7 e a = a a = 1 a = a = 1 a a a b) Vektoren in einem rechtwinkligen Koordinatensystem Im folgenden betrachten wir Vektoren in einem kartesischen (rechtwinkligen) dreidimensionalen Koordinatensystem. Die Einheitsvektoren in Richtung der positiven x, y, z - Achse bezeichnen wir mit e x, e y, e z andere Bezeichnungsweisen: e 1, e 2, e 3 ; i, j, k Dies sind die kartesischen Einheitsvektoren des rechtwinkligen Koordinatensystems (sogenannte kanonische Basisvektoren). In einem rechtsorientierten kartesischen Koordinatensystem bilden diese drei Vektoren in der Reihenfolge e x, e y, e z ein sogenanntes rechtshändiges System; dies bedeutet: die Orientierung von e x, e y, e z ist wie beim System Daumen, Zeigeund Mittelfinger der rechten Hand. Wir betrachten einen beliebigen Vektor a im Raum. Dann existiert der zu a identische Ortsvektor. (Gleiche Länge, gleiche Richtung, Anfangspunkt im Ursprung (Nullpunkt) des Koordinaten Systems). Durch Verschieben kann man jeden Vektor a in seinen identischen Ortsvektor überführen. Im folgenden skizzieren wir stets die Ortsvektordarstellung von a. Ein beliebiger Vektor a lässt sich eindeutig

8 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 8 als Summe dreier sogenannter Komponentenvektoren in Richtung der Einheitsvektoren e x, e y, e z darstellen, d.h.: es existieren reelle Zahlen a x, a y, a z, so dass a = ax e x + a y e y + a z e z = a x + a y + a z DEFINITION 5: Sei a ein beliebiger Vektor im Raum. Die Darstellung a = a x + a y + a z mit a x = a x e x ; a y = a y e y ; a z = a z e z heißt Komponentendarstellung von a. Die Vektoren a x, a y, a z heißen Komponentenvektoren, die Skalare a x, a y, a z heißen Komponenten von a oder auch Vektorkoordinaten.

9 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 9 Bezeichnungsweisen: Man kann a in der Komponentenschreibweise durch einen Spaltenvektor a x a y a z oder durch einen Zeilenvektor darstellen. Für heißt (a x, a y, a z ) ( ax ) a = a y a z a T = (a x, a y, a z ) der zu a transponierte Vektor. Bemerkungen: Nach Einführung der Matrizenrechnung kann man Vektoren als spezielle Matrizen auffassen. Dann ist eine saubere Unterscheidung zwischen Spaltenund Zeilenvektoren erforderlich! Sprechen wir von einem Vektor a, so ist stets jetzt der Spaltenvektor a = a x a y a z gemeint. Der Endpunkt eines Vektors a = kartesischen Koordinatensystem. ( ax ) a y ist der Punkt P = (a a x, a y, a z ) im z Man spricht von den Komponenten a x, a y, a z des Vektors bzw. den Koordinaten des (End-) Punktes. Für einen beliebigen Punkt P = (x, y, z) besitzt der zugehörige Ortsvektor r = # r (P ) = P die Komponentendarstellung x r = y = x e x + y e y + z e z. z

10 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 1 Einige spezielle Vektoren in Komponentendarstellung Ortsvektor: r (P ) = P # ( xy ) = für P = (x, y, z) Nullvektor: ( ) = z kanonische Einheitsvektoren: ( ) 1 e x =, ( ) 1 e y =, ( ) e z = Abstandsvektor zwischen zwei Punkten P 1 und P 2 P 1 = (x 1, y 1, z 1 ); P 2 = (x 2, y 2, z 2 ) x 1 r 1 = y 1 ; z 1 x 2 r 2 = y 2 z 2 1

11 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 11 Man kann nun die eingeführten Vektoroperationen in der Komponentendarstellung durchführen: Seien a x a = a y = a x e x + a y e y + a z e z a z b x b = b y = b x e x + b y e y + b z e z b z a ± b = (a x e x + a y e y + a z e z ) ± (b x e x + b y e y + b z e z ) Analog gilt: = (a x ± b x ) e x + (a y ± b y ) e y + (a z ± b z ) e z a x ± b x = a y ± b y. a z ± b z λ a = λ(a x e x + a y e y + a z e z ) = (λa x ) e x + (λa y ) e y + (λa z ) e z λa x = λa y. λa z SATZ 2: Seien a = Dann gilt: ( ax ) a y und b = a z (Vektoren in Komponentendarstellung) ) Vektoren und λ R. ( bx by b z a) Für den Betrag des Vektors a : a = a = a 2 x + a 2 y + a 2 z Satz des Pythagoras im Raum. b) a = b ax = b x, a y = b y, a z = b z. a c) x ± b x a ± b = a y ± b y Komponentenweise Addition respektive Subtraktion. a z ± b z d) λ λa x a = λa y Komponentenweise Multiplikation. λa z

12 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 12 BEISPIELE: 1. Gegeben seien die Vektoren 1 a = 2, 3 b = 2, 4 c = 1 Man berechne eine sogenannte»linearkombination«d.h.: s := a + 2 b 3 c Lösung: Komponentenweises Vorgehen, d.h.: 1 s = = An einem Massenpunkt greifen gleichzeitig die Kräfte 4N 2N N F 1 = 5N, F 2 = 1N, F 3 = 1N an. 1N 3N 2N Welche resultierende Kraft entsteht durch die drei angreifenden Kräfte F 1, F 2, F 3? Lösung: Die resultierende Kraft ergibt sich durch Überlagerung der angreifenden Kräfte, d.h.: F R = F 1 + F 2 + F 4N 2N N 6N 3 = 5N + 1N + 1N = 7N. 1N 3N 2N 6N

13 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 13 c) Lineare Unabhängigkeit DEFINITION 6: a) Unter der Linearkombination der Vektoren a 1, a 2, a 3,..., a n versteht man den Vektor: a = λ1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a λ n a n = λ k a k mit beliebigen reellen Koeffizienten λ k, 1 k n. b) Zwei Vektoren heißen kollinear, falls reelle Zahlen λ 1, λ 2 existieren, λ 1, λ 2 nicht beide gleich Null, mit λ 1 a 1 + λ 2 a 2 =. c) Drei Vektoren heißen komplanar, falls λ 1, λ 2, λ 3 R existieren mit λ 1, λ 2, λ 3 nicht alle gleich Null, so dass λ 1 a 1 + λ 2 a 2 + λ 3 a 3 =. k=1 FOLGERUNG 2: a) Seien a und b kollinear λ R mit a = λ b µ R mit b = µ a d.h. a ist parallel oder antiparallel zu b. b) Sind a, b, c komplanar einer der 3 Vektoren lässt sich als Linearkombination der beiden anderen darstellen. BEISPIELE: 1. Die drei Basisvektoren eines kartesischen Koordinatensystems e x, e y, e z besitzen folgende Eigenschaft:»Keiner der Basisvektoren ist als Linearkombination der beiden anderen darstellbar«denn λ 1, λ 2 R gilt beispielsweise: e x = 1 λ 1 e y + λ 2 e z = λ 1 + λ 2 = λ 1 λ 2

14 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume Sind a = ( 17 3 ), b = ( 12 ), ( 21 ) c = komplanar? 1 Falls a, b und c komplanar sind, muss gelten: λ 1, λ 2, λ 3 nicht alle =, so dass λ 1 a + λ2 b + λ3 c = Nun gilt: 5 b 3 c = = = a 3 a = 5 b 3 c a 5 b + 3 c = a, b, c komplanar. DEFINITION 7: (Fundamental für Lineare Algebra) a) Zwei Vektoren a und b heißen linear unabhängig, falls gilt: λ 1 a + λ2 b = λ1 = λ 2 = b) Zwei Vektoren a und b heißen linear abhängig, falls gilt: λ 1, λ 2 R nicht beide Null mit λ 1 a + λ2 b = c) Drei Vektoren a, b und c heißen linear unabhängig, falls gilt: λ 1 a + λ2 b + λ3 c = λ1 = λ 2 = λ 3 = d) Drei Vektoren a, b und c heißen linear abhängig, falls gilt: λ 1, λ 2, λ 3 R nicht alle Null mit λ 1 a + λ2 b + λ3 c =

15 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 15 BEISPIEL: Die Vektoren ( ) 25 a =, 7 λ 1, λ 2, λ 3 R gilt: ( ) 26 b =, ( ) 8 c = sind linear unabhängig, denn λ 1 a + λ2 b + λ3 c 2 = λ1 5 + λ λ λ 1 2λ 1 = 5λ 1 + 2λ 2 + = 5λ 1 + 2λ 2 7λ 1 6λ 2 8λ 3 7λ 1 + 6λ 2 + 8λ 3 = λ 1 = λ 2 = λ 3 =. a, b, c sind linear unabhängig. a µ 1 b + µ2 c b ν1 a + ν2 c c σ1 a + σ2 b d.h. keiner der drei Vektoren a, b, c ist als Linearkombination der beiden anderen darstellbar! FOLGERUNG 3: a) Zwei Vektoren, die kollinear sind, besitzen Ortsvektoren, die auf einer Geraden liegen. b) Drei Vektoren, die komplanar sind, besitzen Ortsvektoren, die in einer Ebene liegen. Beweis: zu a) Seien a, b kollinear λ 1, λ 2 R nicht beide Null mit Sei λ 1 a = λ 2 λ 1 b = α b λ 1 a + λ2 b =

16 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 16 zu b) Seien a, b, c komplanar λ 1, λ 2, λ 3 R nicht alle Null mit Sei λ 1 a = λ 2 λ 1 b λ 3 λ 1 c λ 1 a + λ2 b + λ3 c = = α 1 b + α2 c d) Weiterführende Vektoroperationen Als weitere Operation für Vektoren wird nun das sogenannte Skalarprodukt a b zweier Vektoren eingeführt, dessen Ergebnis eine skalare Größe liefert. DEFINITION 8: (Skalarprodukt; inneres Produkt) Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist gegeben durch: a b = a b cos ϕ, wobei ϕ [, π] (Bogenmaß) der von a und b eingeschlossene Winkel ist. Schreibweisen: a b, a, b, ( a b ) Bemerkungen: a und b heißen orthogonal, falls a b = a a = a a cos ( a ) 2 = a 2 a b = ϕ = π, falls a, b 2

17 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 17 SATZ 3: Seien a, b und c beliebige Vektoren, λ R. Dann gilt: a b = b a Kommutativität a ( b + c ) = a b + a c Distributivität Wenn wir die Einheitsvektoren e x, e y, e z eines kartesischen Koordinatensystems betrachten: e x e x = e y e y = e z e z = 1, e x e y = e y e z = e z e x =, denn, zum Beispiel e x e x = e x e x cos ϕ = e x e x cos() = e x e x = 1 bzw. e x e y = e x e y cos ϕ = e x ( π ) e y cos 2 = Seien a = b = a x a y a z b x b y b z = a x e x + a y e y + a z e z = b x e x + b y e y + b z e z in Komponentenschreibweise gegeben. Wegen der Distributivität des Skalarproduktes gilt: a b = (ax e x + a y e y + a z e z )(b x e x + b y e y + b z e z ) = a x b x e x e x + a x b y e x e y + a x b z e x e z + a y b x e y e x + a y b y e y e y + a y b z e y e z + a z b x e z e x + a z b y e z e y + a z b z e z e z = a x b x e x e x + a y b y e y e y + a z b z e z e z = a x b x + a y b y + a z b z.

18 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 18 Daraus schließen wir: FOLGERUNG 4: a) Zwei Vektoren a und b sind orthogonal, genau dann, wenn sie senkrecht aufeinander stehen. Symbolische Schreibweise: a b b) Für die Einheitsvektoren in Richtung der Koordinatenachsen eines kartesischen Koordinatensystems gilt: e x e y = e y e z = e z e x = d.h. zwei verschiedene Einheitsvektoren sind orthogonal. c) Für zwei Vektoren: a x a = a y = a x e x + a y e y + a z e z a z b x b = b y = b x e x + b y e y + b z e z b z erhält man a b = ax b x + a y b y + a z b z

19 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 19 d) Für einen Vektor a = ( ax ) a y erhält man: a z und der Betrag ist gegeben durch: a a = a 2 = a 2 x + a 2 y + a 2 z a = a 2 x + a 2 y + a 2 z = a a e) Der Winkel ϕ zwischen zwei Vektoren a, dem Skalarprodukt wie folgt: b errechnet sich aus a b = a b cos ϕ ( a ) b ϕ = Arccos a b ( a ) arccos b = a b ( a 2π arccos b a b ) ϕ π π ϕ 2π

20 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 2 BEISPIELE: 1. Zu berechnen sind Skalarprodukt und Beträge von ( ) 32 a = und ( 153 ) b =. Lösung: a b = 3( 1) = = 7. a = = 13. b = ( 1) = 35. Welchen Winkel schließen a und b ein? Lösung: ϕ = arccos ( a ) b a b = arccos(, 328) = 1, ( ) 7 = arccos Man zeige, dass die Vektoren 3 a = 3, b = orthogonal sind. Lösung: 3 a b = = = 4 a b = a b 2 das entspricht 7,8

21 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 21 Für einen beliebigen Vektor a betrachten wir nun die Winkel zwischen a und den Einheitsvektoren der Achsen eines kartesischen Koordinatensystems: DEFINITION 9: Unter den Richtungswinkeln eines Vektors a versteht man die Winkel α, β, γ zwischen a und den Achsen eines kartesischen Koordinatensystems. Diese Richtungswinkel erhält man aus den Skalarprodukten: a e x, a e y, a e z : a e x = a cos α, ( a ) e x α = arccos a ( a ) e y β = arccos a ( a ) e z γ = arccos a a e y = a cos β, a e z = a cos γ die Größen cos α = cos β = cos γ = a e x a a e y a a e z a = e a e x = a x a = e a e y = a y a = e a e z = a z a heißen Richtungskosinus von a und werden durch das Skalarprodukt des Einheitsvektors (normierten Vektors) in Richtung a : a e a = a mit e x, e y und e z gebildet.

22 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 22 BEISPIEL: Gesucht sind die Winkel zwischen ( ) 21 a = und den Koordinatenachsen. Es gilt: α ( a ) e x = arccos a β ( a ) e y = arccos a γ ( a ) e z = arccos a Für a = ( ax ) a y a z a = = 5 ( ) ( ) a 21 1 e x = = 2 ( ) ( ) a 21 1 e y = = 1 ( ) ( ) a 21 e z = = ( ) 2 = arccos 5 ( ) 1 = arccos 5 =. = a x e x + a y e y + a z e z ist: 1 =, = 1, 17 4 cos α = cos β = cos γ = a e x a a e y a a e z a = a x a = a y a = a z a cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = a2 x a 2 + a2 y a 2 + a2 z a 2 = 1 a 2 (a2 x + a 2 y + a 2 z) = a 2 a 2 = 1

23 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 23 Wir fassen zusammen: FOLGERUNG 5: a) Zwischen den Komponenten a x, a y, a z und den Richtungswinkeln α, β, γ eines Vektors a bestehen die Beziehungen: ( ) a x = ax a cos α bzw. α = arccos a ( ) a y = ay a cos β bzw. β = arccos a ( ) a z = az a cos γ bzw. γ = arccos a mit a = a 2 x + a 2 y + a 2 z b) Es gilt: cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 Gemäß Folgerung 5 kann man die Richtungswinkel aus den Komponenten berechnen und umgekehrt die Komponenten aus den Richtungswinkeln, falls der Betrag bekannt ist. Wir beschäftigen uns nun mit der Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor! cos ϕ = x b x = b cos ϕ 3 26,6 4 63,4

24 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 24 Man bezeichnet den Vektor in Richtung von a der Länge x als Projektion von b auf a. Bezeichungsweise: b a := b cos ϕ Man beachte, dass } {{ } x Betrag e a := a a a a }{{} Richtung der Einheitsvektor (Länge = 1) in Richtung a ist. Es gilt für den Projektionsvektor von b auf a : b a = b cos ϕ a a = b cos ϕ } {{ } x Betrag e a }{{} Richtung bzw. BEISPIELE: b a = b cos ϕ = b a cos ϕ = a b 1. Projiziere den Vektor b = Lösung: a a a b a 2 a = b a cos ϕ ( ) auf den Vektor a = a a 2 ( 3 4 ) Nun ist b a = a b a 2 a a b = ax b x + a y b y + a z b z = = 4 a 2 = a 2 x + a 2 y + a 2 z = = 25 b a = a = 8 a = =

25 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume Man bilde analog die Projektion von a auf b Lösung: Vertausche die Rollen von a und b : a b = a b b 2 b Es gilt: a b = 4, b 2 = b 2 x + b 2 y + b 2 z = = 66 a b = 4 2 b = b = Anwendungsbeispiel: Arbeit einer Kraft. Wird ein Massenpunkt durch eine konstante Kraft F um die Strecke s verschoben, so ist die am Massenpunkt verrichtete Arbeit W per Definition gegeben durch: W = F s. Stehen F und s senkrecht aufeinander ( F s ), so wird keine Arbeit verrichtet. Die konstante Kraft F = 1N 2N 5N verschiebe einen Massenpunkt vom Punkt P 1 Punkt P 2 = (m, 1m, 4m). Welche Arbeit wird dabei verrichtet? Lösung: Die Verschiebungsstrecke s ist gegeben durch r 1 r 2 = 1m 5m m 1m = 3m 4m = (1m, 5m, 3m) in den 1m 6m 1m Die verrichtete Arbeit beträgt W = F s = 1N 2N 1m 6m = 1Nm + ( 12)Nm + ( 5)Nm = 27Nm 5N 1m

26 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 26 Verschiebt die Kraft hingegen den Massenpunkt von P 2 nach P 1, so ist die Verschiebungsstrecke s = r2 r 1 = 1m 6m 1m und die verrichtete Arbeit beträgt: W = F s = 1N 2N 1m 6m = 1Nm + 12Nm + 5Nm = 27Nm. 5N 1m Im Hinblick auf physikalische Anwendungen wie Drehmomente oder Stromdichten wird eine weitere Vektoroperation zwischen zwei Vektoren a und b benötigt: Das Vektorprodukt bzw. äußere Produkt: DEFINITION 1: Unter dem Vektorprodukt (Kreuzprodukt, äußeres Produkt) zweier Vektoren a = Eigenschaften: ( ax ) a y, b = a z c = a b ( ) bx by versteht man den Vektor c mit den b z a) c = a b sin ϕ, wobei ϕ [, π] der Winkel zwischen a und b ist. b) c a und c b c) a, b, c bilden in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges System.

27 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 27 Bemerkungen: Das Vektorprodukt ist nur für Vektoren aus R 3 definiert. Das Vektorprodukt ist eine vektorielle Größe. Statt a b ist auch die Schreibweise [ a, b ] üblich. FOLGERUNG 6: Für zwei beliebige Vektoren a und b liefert der Betrag des Kreuzproduktes a b = a b sin ϕ den Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms. SATZ 4: (Eigenschaften eines Vektorproduktes) Für beliebige Vektoren a, b und c mit je drei Komponenten gilt: a) a b = ( b a ) b) ( a + b ) c = a c + b c c ( a + b ) = c a + c b c) λ( a b ) = (λ a ) b = a (λ b ) d) a b = a und b kollinear. Aus Satz 4 lässt sich unmittelbar ableiten: FOLGERUNG 7: Für beliebige Vektoren a = a) b) a a = a b a b = a b ( ax ) a y und b = a z c) Für die Basisvektoren e x, e y, e z gilt: ( ) bx by gilt: b z e x e y = e z ; e z e x = e y ; e y e z = e x (da e x, e y, e z in dieser Reihenfolge ein rechtshändiges Koordinatensystem bilden).

28 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 28 d) a b = (ax e x + a y e y + a z e z ) (b x e x + b y e y + b z e z ) = (a x b y a y b x ) e z + (a y b z a z b y ) e x + (a z b x a x b z ) e y a y b z a z b y = a z b x a x b z a x b y a y b x Beweis: zu d) a b = (ax e x + a y e y + a z e z ) (b x e x + b y e y + b z e z ) = a x e x b x e x + a x e x b y e y + a x e x b z e z + a y e y b x e x + a y e y b y e y + a y e y b z e z + a z e z b x e x + a z e z b y e y + a z e z b z e z = a x b x ( e x e x ) + a x b y ( e x e y ) + a x b z ( e x e z ) + a y b x ( e y e x ) + a y b y ( e y e y ) + a y b z ( e y e z ) + a z b x ( e z e x ) + a z b y ( e z e y ) + a z b z ( e z e z ) = + a x b y e z + a x b z ( e y ) + a y b x ( e z ) + + a y b z e x + a z b x e y + a z b y ( e x ) + = (a x b y a y b x ) e z + (a z b x a x b z ) e y + (a y b z a z b y ) e x. FOLGERUNG 8: Für das Vektorprodukt zweier Vektoren in Komponentendarstellung gilt also: a x b a = a y x, b = b y a z b z a a y b z a z b y b = a z b x a x b z. a x b y a y b x

29 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 29 BEISPIEL: (Lorentz-Kraft auf ein Elektron im Magnetfeld) Ein Elektron, welches mit der Geschwindigkeit v in ein Magnetfeld mit der magnetischen Induktion B eintritt, erfährt dort die sog. Lorentz-Kraft: F L = e( v B) Hierbei ist e die elektrische Ladung des Elektrons e = 1, C Die Lorentz-Kraft steht senkrecht auf Geschwindigkeit und Induktion: Wie groß ist die Kraftwirkung auf das Elektron wenn 2 m/s v = 2 m/s und B = T T? m/s, 1 T Lösung: Es gilt: F L = e( v B) F L = e v B sin ϕ [F L ] = C m s T = [ Cm s Vs m 2 ] = [ CV m ] = [ Nm V V mkg ] = [N] = [ ] m s 2

30 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 3 F L 2 = 1, , 1 2, 1 = 1, , 1 = 1, = Falls v B F L = v B e (maximale Kraftwirkung) Falls v B oder v B F L = (keine Kraftwirkung) e) Der n-dimensionale euklidische Raum R n Analog zu den anschaulichen Räumen R 2 und R 3 der zwei- bzw. dreidimensionalen Vektoren führt man einen Raum R n ein, und zwar: DEFINITION 11: Sei n N. Der n-dimensionale Raum R n ist die Menge aller Spaltenvektoren a = a 1 a 2 a 3, a i R, 1 i n.. a n Die Zahlen a i R, 1 i n, heißen Komponenten des Vektors. ) n N heißt Dimension des Vektors. Der Vektor = heißt Nullvektor. (.

31 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 31 Zwei Vektoren a R n heißen gleich, falls ihre Dimension gleich ist, n = m und sie in allen Komponenten übereinstimmen, a i = b i, 1 i n. Bemerkung: Man kann die Spaltenvektoren a R n auch als geordnete n-tupel, d.h. Auflistung (a 1, a 2, a 3,..., a n ) von n reellen Zahlen, bezeichnen. DEFINITION 12: Für zwei Vektoren a = ( a1 a 2. a n a 1 ± b 1 a) a 2 ± b 2 a ± b =. a n ± b n λa 1 b) λ λa 2 a =., λ R λa n ) und b = b 1 b 2. b n (Addition bzw. Subtraktion) des R n wird festgelegt: (Multiplikation mit einem Skalar) SATZ 5: (Eigenschaften der Vektoroperationen im R n ) Seien a, b, c R n λ, µ R. Dann gilt: a) a + b = b + a b) a + ( b + c ) = ( a + b ) + c c) a + = + a = a d) a + ( a ) = = a + b + c e) µ(λ a ) = (µλ) a f) µ( a + b ) = µ a + µ b g) (µ + λ) a = µ a + λ a Beweis: Übung

32 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 32 DEFINITION 13: Seien a R n, b R n Vektoren im R n, dann wird das innere (euklidische) Produkt oder Skalarprodukt definiert durch: a b := a i b i Bemerkung: Den R n versehen mit Addition 5, Skalarmultiplikation und innerem Produkt (Skalarprodukt) bezeichnet man als den n-dimensionalen euklidischen Raum. SATZ 6: Sei a, b, c R n λ R, dann gilt: a) a b = b a b) ( a + b ) c = a c + b c c) (λ a ) b = λ( a b ) = a (λ b ) = ( a b )λ d) a a e) a a = a = Beweis: a) und c) sind trivial. Wir beweisen b), d) und e): zu b) ( a + b ) c = = a i c i + (a i + b i )c i = (a i c i + b i c i ) b i c i = a c + b c. zu d) a a = a 2 i 5 sinngemäß erweitert auf R n

33 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 33 zu e) a a = a 2 i = a i =, 1 i n a =. DEFINITION 14: Sei a R n. Dann heißt a := a a = n a 2 i Betrag oder Länge oder euklidische Norm des Vektors a. SATZ 7: (Ungleichung von Cauchy-Schwarz) Sei a, b R n. Dann gilt: a b a b Beweis: Es gilt: sowie Somit haben wir zu zeigen: a b = a b = a i b i n a i b i a 2 i b 2 i. n a 2 i n Wir stellen zunächst fest, dass die Ungleichung sofort klar ist, falls a i = i, 1 i n oder b i = i, 1 i n. Wir wollen daher im folgenden annehmen, dass a i b i für mindestens ein i, 1 i n. Sei f(x) := (a i xb i ) 2 x R f(x) x R b 2 i

34 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 34 Darüber hinaus: f(x) = (a i xb i ) 2 = = a 2 i 2x (a 2 i 2xa i b i + b 2 i x 2 ) a i b i + x 2 f(x) = A 2xB + x 2 C = x 2 2x B C + A C = x 1,2 = B C ± B 2 C 2 A C b 2 i := A 2xB + x 2 C Da aber f(x), x R, kann es höchstens eine Nullstelle (d.h. eine oder keine) geben: B2 C 2 A C B2 C 2 A C B 2 A C ( ) 2 a i b i a i b i a 2 i b 2 i n a 2 i n b 2 i SATZ 8: Seien a, b, c R n λ R. Dann gilt: a) a b) a = a = c) λ a = λ a λ R d) a + b a + b»dreiecksungleichung «

35 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 35 Beweis: zu a) a = n a 2 i zu b) a = a a = a = zu c) λ a = n (λa i ) 2 = λ 2 a 2 i = λ n a 2 i = λ a zu d) a + b 2 = ( a + b )( a + b ) = a a + a b + b a + b b = a 2 + b a b a 2 + b a b a 2 + b a b = ( a + b ) 2 a + b a + b DEFINITION 15: Seien a, b R n. Dann heißt: ρ( a, b ) := a b der (euklidische) Abstand von a zu b. SATZ 9: (Eigenschaften des Abstands) Seien a, b, c R n. Dann gilt: a) ρ( a, b ) b) ρ( a, b ) = a = b c) ρ( a, b ) = ρ( b, a ) d) ρ( a, b ) ρ( a, c ) + ρ( c, b )

36 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 36 Beweis: a) - c) ist klar mit Satz 8. zu d) ρ( a, b ) = a b = a c + c b a c + c b = ρ( a, c ) + ρ( c, b ) Bemerkungen: Der Begriff des Abstands in Definition 15 speziell für Vektoren des R n erklärt lässt sich allgemeiner über den Begriff eines metrischen Raumes fassen: Ein metrischer Raum < X, ρ > ist erklärt als ein Paar, welches gegeben ist als nichtleere Menge X in der Gleichheit der Elemente erklärt ist und eine reellwertige Funktion ρ auf X X := {(x, y) x X y X}, derart, dass a) ρ(x, y) x, y X b) ρ(x, y) = x = y c) ρ(x, y) = ρ(y, x) x, y X d) ρ(x, y) ρ(x, z) + ρ(z, y) x, y, z X ρ heißt Abstandsfunktion oder Metrik. Beispiele für metrische Räume X = R n mit a, b R n und { ρ( a, b ) := a i b i } 1 p p N X = C[a, b] := {f f(x) auf [a, b] stetig, a, b R} und ρ(f, g) := max f(x) g(x) a x b X = R, x, y R und ρ(x, y) := x y x, y R

37 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 37 X = R 2, a, b R 2 und ρ( a, b ) := (a 1 b 1 ) 2 + (a 2 b 2 ) 2 = R 2 a b 6 a, b X = R 2, a, b R und ρ( a, b ) := max 1 i 2 a i b i X = C[ 1, 1] f, g C[ 1, 1] und { } 1 1 ρ(f, g) := f(x) 1 g(x) 2 2 dx DEFINITION 16: Seien a, b R n, a und b heißen orthogonal, falls a b = Bemerkung: Eine Bezeichnung für Orthogonalität ist auch hier das Zeichen : also a b orthogonal a b. SATZ 1: (Satz des Pythagoras) Gegeben sei a, b R n. Dann gilt: a b ( a + b ) 2 = ( a ) 2 + ( b ) 2 6 Hier besitzt dann die -Ungleichung die klassische geometrische Interpretation: a + b a + b

38 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 38 Beweis: = a b ( a + b ) 2 = ( a + b ) ( a + b ) = ( a ) 2 +( b ) 2 +2 a b = ( a ) 2 +( b ) 2. = ( a + b ) 2 = ( a ) 2 + ( b ) 2 ( a ) 2 + ( b ) a b = ( a ) 2 + ( b ) 2 a b = a b Bemerkung: Die Aussage von Satz 1 kann auch in der Form a b a + b 2 = a 2 + b 2 geschrieben werden. (Übung) f) Allgemeine Vektorräume Im folgenden werden wir den Vekorbegriff verallgemeinern, indem wir einige Axiome aufstellen und alle Objekte, die diesen Axiomen genügen, als Vektoren bezeichnen. Die Axiome erhalten wir aus den für den R n entwickelten Rechenregeln, so dass die bisher betrachteten klassischen Vektoren Spezialfall des verallgemeinerten Begriffes sein werden. DEFINITION 17: Auf einer Menge X seien eine Addition, die je zwei Elementen x, y X ihre Summe x + y zuordnet und eine Multiplikation mit Skalaren, die jedem Element x X und jedem Skalar λ R das skalare Vielfache λx zuordnet, definiert, derart, dass folgende Axiome erfüllt seien: 1. Mit x, y X x + y X 2. x + y = y + x x, y X

39 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume x + (y + z) = (x + y) + z x, y, z X 4. X, so dass x X gilt: + x = x + = x 5. x X y X mit x + y = y + x = ; Bezeichnung : y = x 6. λ R x X λx X 7. λ(x + y) = λx + λy x, y X λ R 8. (λ + µ)x = λx + µx x X λ, µ R 9. λ(µx) = (λµ)x x X λ, µ R 1. 1 x = x x X Gilt 1) 1), so heißt X Vektorraum und die Elemente x heißen Vektoren. Bemerkungen: Die in Axiom 1) 1) auftretenden Skalare sind hier reelle Zahlen, können aber durchaus auch komplex sein. Die Definition eines Vektorraums lässt offen, wie die Vektoren und die Rechenoperationen im einzelnen aussehen. Sie brauchen keine Ähnlichkeit mit den bisher betrachteten Objekten zu haben, solange sie nur die o.a. Axiome erfüllen. Axiom 1) bedeutet Abgeschlossenheit gegenüber Addition; Axiom 4) die Existenz eines neutralen Elements der Addition; Axiom 5) die Existenz eines inversen Elements bezüglich der Addition; das hier aufgeführte y kann man also auch als -x bezeichnen; Axiom 6) bedeutet Abgeschlossenheit gegenüber skalarer Multiplikation. FOLGERUNG 9: Sei X Vektorraum, x X und λ R. Dann gilt: a) x = b) λ = λ R c) ( 1)x = x d) λx = λ = x =

40 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 4 Beweis: zu a) x + x = ( + )x = x Mit Axiom 5 zu x ein inverses Element x x + x + ( x) = x + ( x) x + (x + ( x)) = x + ( x) Axiom 3 x + = Axiom 5 x = Axiom 4 zu c) ( 1)x = x x + ( 1)x = Z.z. ist also x + ( 1)x = Nun gilt: x + ( 1)x = 1x + ( 1)x Axiom 1 = (1 + ( 1))x Axiom 8 = x = gemäß a) b) und d) sind Übungsaufgaben. BEISPIELE: 1. X = R n mit den im vorherigen Abschnitt definierten Standardoperationen. Axiom 1) 6) ergeben sich aus der Definition von Addition von Vektoren und Multiplikation von Vektoren mit Skalaren, wobei natürlich hier jetzt der klassische Vektorbegriff gemeint ist. Die Axiome 7 1 ergeben sich aus Satz 5. Damit ist natürlich auch R mit der üblichen Addition und Multiplikation reeller Zahlen ein Vektorraum. 2. Sei X = {f f Funktion; f : R R} =: F (R) mit (f + g)(x) = f(x) + g(x) und (λf)(x) = λf(x).

41 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 41 Hier gilt: f, g F (R) f + g F (R) f, g F (R) f + g = g + f f, g, h F (R) f + (g + h) = (f + g) + h f 1 = (Nullfunktion) f + f 1 = f 1 + f = f f F (R) f F (R) f + ( f) = f 1 = f F (R) λf F (R) f, g F (R) λ(f + g) = λf + λg λ R f F (R) (λ + µ)f = λf + µf λ, µ R f F (R) λ(µf) = (λµ)f λ, µ R f F (R) 1 f = f also ist F (R) ein Vektorraum. 3. X = C[a, b] := {f f(x) ist stetig auf [a, b]} ist mit den üblichen Operationen f(x) + g(x) und λf(x) λ R, ein Vektorraum. 4. X = C(R) := {f f(x) ist stetig auf R} ist mit den üblichen Operationen ein Vektorraum. 5. X = C n (R) := {f f(x) ist auf R n-mal stetig differenzierbar, n N} ist mit den üblichen Operationen ein Vektorraum. 6. X = C (R) := {f f(x) ist auf R unendlich oft stetig differenzierbar} ist mit den üblichen Operationen ein Vektorraum. 7. Sei X = R 2 und x, y R 2 mit ( ) x + x1 + y y := 1 x 2 + y 2 und λ x := ( ) λx1 λ R Axiome 1 9 sind alle erfüllt; aber Axiom 1 nicht: ( ) ( ) ( ) 1 1x1 x1 x1 x = = = x Hier liegt also kein Vektorraum vor. x 2

42 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 42 DEFINITION 18: Eine Teilmenge A eines Vektorraums X heißt Unterraum von X, wenn A mit den auf X gegebenen Operationen ein Vektorraum ist. Bemerkung: Es ist durchaus nicht notwendig alle 1 Axiome für einen Unterraum A von X nachzuprüfen, da einige Axiome aus dem gößeren Vektorraum X direkt übernommen werden können. So übertragen sich die Axiome 2, 3, 7, 8, 9 und 1, sodass nur noch die Axiome 1, 4, 5, 6 überprüft werden müssen. SATZ 11: Sei A Menge, A X und X Vektorraum. A ist Unterraum von X a) Mit x, y A x + y A b) Mit x A λx A λ R Beweis: = Ist A ein Unterrraum von X Axiom 1 1 gelten in A a) b) { Axiom 1 Axiom 6}. = Angenommen A erfüllt die Bedingungen a) und b), also die Axiome 1 und 6 aus Definition 17. Wie bereits erwähnt, übertragen sich die Axiome 2, 3, 7, 8, 9, 1. Wir müssen also noch Axiom 4 und 5 verifizieren: Sei x A, mit λ = in b) ergibt sich x = A, wobei Folgerung 9 a) benutzt wurde. Also A mit + x = x + = x (wegen Axiom 2 und Axiom 8) Axiom 4 Sei x A, mit λ = 1 in b) folgt ( 1)x = x A (Folgerung 9 c)). Also x A mit x + ( x) = x + x = (wegen Axiom 2 und Axiom 8) Axiom 5

43 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 43 Bemerkungen: kurz und prägnant: A X, A ist Unterraum des Vektorraums X genau dann, wenn A unter Addition der Vektoren und Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist. Jeder Vektorraum X enthält die trivialen Unterräume A = {}, den Nullunterraum, A = V, den ganzen Raum. Jeder vom Nullraum verschiedene Vektorraum enthält also mindestens zwei triviale Unterräume. BEISPIELE: 1. C(R) ist Unterraum von F (R), denn die Menge der auf R stetigen Funktionen ist abgeschlossen unter der Addition (f + g)(x) = f(x) + g(x) und unter der Multiplikation mit Skalaren (λf)(x) = λf(x). 2. C n (R) ist Unterraum von C(R); die Argumentation ist hier sinngemäß wie bei 1). 3. C (R) ist Unterraum von C n (R). 4. Unterräume von R 2 sind A 1 = {} = {( )} = { } Nullunterraum A 2 = { a = t b t R, b R 2 } Alle Geraden durch den Ursprung A 3 = R 2 ganzer Raum 5. Sei A R 2 gegeben durch: A = {(x, y) x y } was bedeutet, dass A der erste Quadrant der Ebene xy ist. A ist kein Unterraum von R 2, denn mit a = ( 1 1 ) A ( 1) a = ( 1 1 ) / A DEFINITION 19: Ein Vektor x X heißt Linearkombination der Vektoren v 1, v 2,..., v r r N, falls es reelle Zahlen λ 1, λ 2,..., λ r gibt, derart, dass gilt: x = λ 1 v 1 + λ 2 v λ r v r = r λ i v i

44 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 44 Bemerkung: Für r = 1 erhalten wir aus Definition 19: x = 1 λ i v i = λ 1 v 1, also ist x insbesondere eine Linearkombination des Vektors v 1, wenn er (skalares) Vielfaches von v 1 ist. BEISPIELE: 1. Jeder Vektor x = x R 3 mit x = ( ab c ), ist eine Linearkombination der Vektoren e x, e y, e z, denn a 1 x = b = a + b 1 + c = a e x + b e y + c e z. c 1 2. Sei x = ( ) 92 x = R 3. Ist x eine Linearkombination von 7 v 1 = 1 2 und v 2 = 6 4? 1 2 Wir müssen hier reelle Zahlen λ 1, λ 2 bestimmen mit 9 2 = λ λ I 9 = λ 1 + 6λ 2 λ 1 = 9 6λ 2 II 2 = 2λ 1 + 4λ 2 λ 2 = 1 2 (1 λ 1) λ 2 = 1 2 ( 8 + 6λ 2) III 7 = λ 1 + 2λ 2 λ 2 = 1 2 (7 + λ 1) λ 2 = 1 2 (16 6λ 2)

45 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 45 λ 2 = 2 und λ 1 = 3 also: x = 3 v v 2 SATZ 12: Seien v 1, v 2,..., v r X, X Vektorraum. Dann gilt: a) Die Menge U aller Linearkombinationen von v 1, v 2,..., v r bildet einen Unterraum von X. b) U ist der kleinste Unterraum von X, der v 1, v 2,..., v r enthält. Beweis: Wir haben ja lediglich zu zeigen, dass U unter der Addition von Vektoren und Multiplikation mit Skalaren abgeschlossen ist. Dazu: Seien x, y U α i, β i R, 1 i r x = x + y = r α i v i y = r (α i + β i )v i = r β i v i r γ i v i U Sei λ R, λx = a) r λα i v i = r µ i v i U Jedes einzelne v i, 1 i r, ist wegen v i = v 1 + v v i v r in U enthalten. Sei U 1 ein Unterraum von X, der v 1, v 2,..., v r enthält. Da U 1 bzgl. Addition und Multiplikation abgeschlossen sein muss, liegen alle Linearkombinationen von v 1, v 2,..., v r in U 1 und damit auch schon alle Elemente von U.

46 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 46 Bemerkung: b) bedeutet offenbar, dass jeder Unterraum von X mit v 1, v 2,..., v r auch U enthält. DEFINITION 2: Sei S = {v 1, v 2,..., v r } Teilmenge des Vektorraums X und sei U Unterraum von X, der aus den Linearkombinationen von v 1, v 2,..., v r besteht. Dann wird U von v 1, v 2,..., v r aufgespannt oder erzeugt und mit U = span(s) oder U = span{v 1, v 2,..., v r } bezeichnet. Die Menge S heißt Erzeugendensystem von U und U selbst heißt lineare Hülle von v 1, v 2,..., v r. BEISPIELE: 1. Zwei nicht kollineare Vektoren v 1, v 2 R 3 spannen eine Ebene durch den Ursprung auf. 2. Spannen die Vektoren v 1 = 1 1, v 2 = 2 1, v 3 = den gesamten R 3 auf? Zur Beantwortung dieser Frage müssen wir prüfen, ob sich ein beliebiger Repräsentant des R 3, also ein beliebiger Vektor ( b1 ) b = b2 als Linearkombination der v i, 1 i 3 darstellen lässt: b 3 b = α1 v 1 + α 2 v 2 + α 3 v 3

47 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 47 Dies ist äquivalent zu dem linearen Gleichungssystem: α 1 + α 2 + 2α 3 = b 1 α 1 + α 3 = b 2 2α 1 + α 2 + 3α 3 = b 3 α 1 = b 2 α 3 b 2 α 3 +α 2 +2α 3 = b 1 2b 2 2α 3 +α 2 +3α 3 = b 3 α 2 + α 3 = a b 2 α 2 + α 3 = b 3 2b 2 Die letzten zwei Gleichungen sind nicht für beliebige b 1, b 2, b 3 R lösbar, also spannen v 1, v 2, v 3 nicht den gesamten R 3 auf. Unmittelbar einsichtig ist: FOLGERUNG 1: Seien S = {v 1, v 2,..., v r } und S = {u 1, u 2,..., u k } Teilmengen des Vektorraums X. Dann gilt: span{v 1, v 2,..., v r } = span{u 1, u 2,..., u k } Jeder Vektor v i S lässt sich als Linearkombination der Vektoren u i S darstellen und umgekehrt. DEFINITION 21: Sei S = {v 1, v 2,..., v r } eine nichtleere Menge von Vektoren eines Vektorraums X. S heißt linear unabhängig, falls Andernfalls heißt S linear abhängig. Bemerkung: λ 1 v 1 + λ 2 v λ r v r = λ 1 = λ 2 = λ 3 =... = λ r =. Lineare Unabhängigkeit von Vektoren heißt also, dass jede Linearkombination dieser Vektoren nur dann das Nullelement ergibt, wenn λ i = i, 1 i r, also nur die triviale Linearkombination das Nullelement ergibt.

48 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 48 BEISPIELE: 1. Sei S = {v 1, v 2, v 3 } R 4 mit v 1 = 2 1, v 2 = , v 3 = Die Menge S ist linear abhängig, denn λ λ λ 3 = λ 1 + λ 2 + 7λ 3 = λ 1 + 2λ 2 λ 3 = 5λ 2 + 5λ 3 = λ 2 = λ 3 3λ 1 λ 2 + 8λ 3 = 2λ 1 + 6λ 3 = λ 1 3λ 3 = 3λ 1 + 9λ 3 = λ 1 = 3λ 3 Neben der trivialen Lösung gibt es also noch die Lösung λ 1 = 3, λ 2 = 1, λ 3 = 1 : 3 v 1 + v 2 v 3 =. 2. Sei S := {v 1, v 2,..., v n } R n mit 1 1 v 1 =, v 2 =,.. v 3 = 1,...,. v n =. 1

49 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 49 d.h. v i = e i S ist linear unabhängig, denn λ i v i = λ = + λ = + + λ = λ n = λ i = 1 i n. SATZ 13: Sei S eine Menge von Vektoren, die mindestens zwei Elemente enthält. a) S ist linear abhängig Mindestens einer der Vektoren aus S kann als Linearkombination der restlichen dargestellt werden. b) S ist linear unabhängig Keiner der Vektoren lässt sich als Linearkombination der restlichen darstellen. Beweis: Es reicht aus a) nachzuweisen; zunächst Sei S = {v 1, v 2,..., v r } linear abhängig und enthalte mindestens zwei Elemente λ i, 1 i r mit λ i für mindestens ein i, so dass Sei λ j λ 1 v 1 + λ 2 v λ r v r = v j = λ 1 λ j v 1 + λ 2 λ j v λ j 1 λ j v j 1 + λ j+1 λ j v j λ r λ j v r

50 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 5 Also lässt sich v j als Linearkombination der restlichen Vektoren darstellen. Jetzt Nehmen wir an, dass mindestens ein Element aus S sich als Linearkombination der restlichen darstellen lässt, etwa v κ 1 κ r v κ = µ 1 v 1 + µ 2 v µ κ 1 v κ 1 + µ κ+1 v κ µ r v r µ 1 v 1 + µ 2 v µ κ 1 v κ 1 1 v κ + µ κ+1 v κ µ r v r = die Gleichung r µ i v i = besitzt damit eine nichttriviale Lösung. S ist linear abhängig. Bemerkung: Zur geometrischen Interpretation von Definition 2 im R 2 bzw. R 3 siehe Folgerung 3. SATZ 14: a) Eine Menge, die den Nullvektor enthält, ist stets linear abhängig. b) Eine Menge mit zwei Elementen ist genau dann linear unabhängig, wenn keiner der Vektoren ein Vielfaches des anderen ist. Beweis: klar, Übung! BEISPIELE: 1. S := { v 1, v 2, v 3 } R 3 mit 1 v 1 =, v 2 = 1, v 3 = 1 ist linear unabhängig. 2. S := {v 1, v 2 } F (R) mit ist linear unabhängig. v 1 = x, v 2 = sin x x R

51 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume Gehen wir nochmals auf das Beispiel nach der Definition 21 zurück. Dort hatten wir ermittelt, dass S := { v 1, v 2, v 3 } R 4 mit S = linear abhängig ist, da Aus diesem Resultat folgt sofort: , 5, v 1 + v 2 v 3 =. v 2 = v 3 3 v 1 v 3 = 3 v 1 + v 2 v 1 = 1 v 3 1 v was nach Satz 13 a) für mindestens einen Vektor v i, 1 i 3 zu erwarten war. SATZ 15: Sei S = { v 1, v 2,..., v r } R n. Ist r > n S ist linear abhängig. Bemerkung: Eine Menge mit mehr als zwei (drei) Vektoren im R 2 (R 3 ) ist also stets linear abhängig. DEFINITION 22: Eine Teilmenge S = { v 1, v 2,..., v n } eines Vektorraums X heißt Basis von X, falls S ein Erzeugendensystem für X ist und S linear unabhängig ist.

52 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 52 SATZ 16: Sei S = { v 1, v 2,..., v n } eine Basis des Vektorraums X. Dann folgt: Jeder Vektor x X lässt sich eindeutig durch Linearkombination der Basiselemente: x = α i v i α i R darstellen. Beweis: Da S Erzeugendensystem für X ist, folgt: x = α i v i x X Angenommen, x besäße zwei solcher Darstellungen: x = α i v i und x = β i v i = x x = α i v i β i v i = (α i β i )v i = Da {v 1,..., v n } linear unabhängig, folgt γ i = γ i v i i, 1 i n, also α i β i = i, 1 i n α i = β i i, 1 i n x = α i v i ist eindeutig. Bemerkung: Wir sind in den Definitionen für ein Erzeugendensystem und eine Basis sowie bei der Definition der linearen Unabhängigkeit stillschweigend immer von endlich vielen Vektoren ausgegangen. Dies ist natürlich nicht zwingend notwendig! DEFINITION 23: Besitzt der Vektor x X bezüglich der Basis S = { v 1, v 2,..., v n } die Darstellung: x = α i v i

53 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 53 so heißen die skalaren Größen α i, 1 i n die Koordinaten von x bzgl. S. ( α1 ) Der Vektor R n heißt Koordinatenvektor von x bzgl. S. Bemerkungen:. α n Der Koordinatenvektor hängt nicht nur von der Menge der Basisvektoren, sondern auch von ihrer Reihenfolge ab. ( α1 ) Vektor x und Koordinatenvektor stimmen im allgemeinen nicht überein. BEISPIELE: 1. Ist mit eine Basis des R 3 gegeben?. α n S = { v 1, v 2, v } = 2, 9, Wir müssen hier zunächst untersuchen, ob mit S überhaupt ein Erzeugendensystem vorliegt. Sei b R 3 beliebig mit ( b1 ) b = b2, b i R, 1 i 3. b 3 3 b = α i vi b 1 = α 1 + 2α 2 + 3α 3 b 2 = 2α 1 + 9α 2 + 3α 3 b 3 = α α 3 α 1 = b 3 4α 3 b 1 = b 3 4α 3 + 2α 2 + 3α 3 = b 3 + 2α 2 α 3 b 2 = 2b 3 8α 3 + 9α 2 + 3α 3 = 2b 3 + 9α 2 5α 3 b 1 b 3 = 2α 2 α 3 α 3 = 2α 2 b 1 + b 3 b 2 2b 3 = 9α 2 5α 3

54 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 54 b 2 2b 3 = 9α 2 1α 2 + 5b 1 5b 3 b 2 + 3b 3 5b 1 = α 2 α 2 = 5b 1 b 2 3b 3 α 3 = 1b 1 2b 2 6b 3 b 1 + b 3 = 9b 1 2b 2 5b 3 α 1 = b 3 36b 1 + 8b 2 + 2b 3 = 21b 3 + 8b 2 36b 1 Das Gleichungssystem ist lösbar. S Erzeugendensystem. S ist darüber hinaus linear unabhängig, denn: = 3 β i vi = β 1 + 2β 2 + 3β 3 = 2β 1 + 9β 2 + 3β 3 = β 1 + 4β 3 Mit unseren obigen Überlegungen ergibt sich sofort: S ist Basis von R 3. β 1 = β 2 = β 3 = 2. Man bestimme den Koordinatenvektor von ( 5 ) x = 1 bzgl. S 9 Wir suchen die Skalare α i, 1 i 3 in der Darstellung x = 3 α i vi 5 = α 1 + 2α 2 + 3α 3 1 = 2α 1 + 9α 2 + 3α 3 9 = α α 3 α 1 = 9 4α 3

55 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 55 5 = 9 4α 3 + 2α 2 + 3α 3 4 = 2α 2 α 3 α 3 = 2α = 18 8α 3 + 9α 2 + 3α 3 19 = 9α 2 5α 3 19 = 9α 2 1α = α 2 α 2 = 1 α 3 = 2 α 1 = 1 Der Koordinatenvektor lautet ( ). DEFINITION 24: Ein vom Nullvektorraum verschiedener Vektorraum X heißt endlich-dimensional, wenn er eine endliche Basis besitzt, ansonsten unendlich-dimensional. Bemerkung: Der Nullraumvektor gilt als endlich-dimensional per Definition. BEISPIELE: 1. X = R n ist ein endlich-dimensionaler Vektorraum. 2. X = C (R) ist ein unendlich-dimensionaler Vektorraum. SATZ 17: a) Sei S = { v 1, v 2,..., v n } eine Basis eines endlich-dimensionalen Vektorraums X. Dann gilt: i) Sei Y X mit mehr als n Elementen Y linear abhängig. ii) Jedes Erzeugendensystem von X enthält mindestens n Vektoren. b) Alle Basen eines endlich-dimensionalen Vektorraums enthalten die gleiche Anzahl von Vektoren.

56 Mathematik III Kapitel VIII: Der Raum R n ; allgemeine Vektorräume 56 DEFINITION 25: a) Sind a 1, a 2, a 3,..., a m R n Vektoren der Länge 1, die paarweise aufeinander senkrecht stehen, d.h. a i a j = i, j 1 i j m, so nennt man die Vektoren { a 1, a 2, a 3,..., a m } ein Orthonormalsystem. Dies lässt sich charakerisieren durch: { a 1 i = j i a j = δ ij := 1 i, j m i j Das Symbol δ ij heißt Kroneckersymbol (Kroneckerdelta). b) Ist ein Orthonormalsystem gleichzeitig Basis, so heißt es Orthonormalbasis. Bemerkung: Die Koordinateneinheitsvektoren e i R n bilden eine Orthonormalbasis von R n, die sogenannte kanonische Basis oder Standardbasis des R n : B = Dies ist klar, denn sei x R n mit x = } {{ } n Einheitsvektoren e i ( x1 ) x 2. x n, dann gilt: x = α i e i = x i e i also ist B ein Erzeugendensystem für R n. Die lineare Unabhängigkeit hatten wir ja bereits gezeigt.