Evaluierung einer Schulungsmaßnahme: Punktezahl vor der Schulung Punktezahl nach der Schulung. Autoritarismusscore vor/nach Projekt

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1 2.4.5 Gauss-Test ud t-test für verbudee Stichprobe Zum Begriff der verbudee Stichprobe Verbudee Stichprobe: Vergleich zweier Merkmale X ud Y, die jetzt a deselbe Persoe erhobe werde. Vorsicht: Leicht zu verwechsel mit vorheriger Fragestellug! Beispiele: Evaluierug eier Schulugsmaßahme: X Y Puktezahl vor der Schulug Puktezahl ach der Schulug Autoritarismusscore vor/ach Projekt Klassisches Medizibeispiel: rechts/liks-vergleiche: Test zweier Salbe bei Ekzeme Split-Half Reliabilität vo aus viele Eizelfrage bestehede Scores 2 Iduktive Statistik 296

2 Ma köte auf zweierlei Arte vorgehe: a) Ma bestimmt zufällig zwei Gruppe, i der eie erhebt ma X, i der adere Y. Daach Vergleich der Mittelwerte wie im vorherige Kapitel beschriebe. b) Ma erhebt a jeder Perso beide Merkmale. 2 Iduktive Statistik 297

3 Kostruktio der Tests: Zum Teste vo Hypothese der Form X 1,...,X i.i.d. N (μ X,σ 2 X ) Y 1,...,Y i.i.d. N (μ Y,σ 2 Y ) 1 H 0 : μ X μ Y gege H 1 : μ X >μ Y 2 H 0 : μ X μ Y gege H 1 : μ X <μ Y 3 H 0 : μ X = μ Y gege H 1 : μ X μ Y betrachtet ma die Differez D i = X i Y i.für de Erwartugswert μ D gilt E μ D =E(D i )= ud für die Variaz σ 2 D (da ja X i ud Y i icht uabhägig sid) σ 2 D := Var(X i Y i ) = = 2 Iduktive Statistik 298

4 also σ 2 D = σ 2 X + σ 2 Y 2σ XY mit σ XY =Cov(X, Y ) Im Folgede sei immer ageomme, dass auch D i ormalverteilt ist ( multivariate Normalverteilug vo (X i,y i ) ). Wege D i N(μ D,σD 2 ) mit μ D = μ X μ Y ud σd 2 = σ2 X + σ2 Y 2σ XY sid obige Hypothese äquivalet zu de Hypothese 1 H 0 : μ D 0 gege H 1 : μ D > 0 2 H 0 : μ D 0 gege H 1 : μ D < 0 3 H 0 : μ D =0 gege H 1 : μ D 0, ud ma ka umittelbar die Tests aus awede. Sid die Variaze ubekat, so ka ma σ D aus de Differeze D i, i =1,..., schätze. Zur Prüfug ist da die t-verteilug herazuziehe. 2 Iduktive Statistik 299

5 2.4.6 χ 2 -Tests am Beispiel des χ 2 -Uabhägigkeitstests Tests basiered auf diskrete bzw. diskretisierte Merkmale. Grob gesproche eige sich χ 2 -Tests, um zu etscheide, ob eie empirische Verteilug sigifikat vo eier Modellverteilug abweicht. Haupttype: χ 2 -Uabhägigkeitstest: Weicht die empirische gemeisame Verteilug vo der uter Uabhägigkeit zu erwartede sigifikat ab? χ 2 -Apassugstest z.b. Abweichug vo der Gleichverteilug H 0 : P (X =1)=P (X =2)=P (X =3)= 1 3 χ 2 -Homogeitätstest: Gilt i k Subpopulatioe jeweils dieselbe Verteilug? 2 Iduktive Statistik 300

6 Hier ur ausführlicher: χ 2 -Uabhägigkeitstest I Beispiel eigebettet: 1. Aktive Stellug im öffetliche Lebe beeiflusst Kooperatiosbereitschaft im Iterview 2. Statistische Modelle: Zwei diskrete Merkmale X ud Y Y X Verbadsmitgliedschaft Kooperatiosbereitschaft (X 1,Y 1 ),...,(X,Y ) i.i.d. Stichprobe des zwei-dimesioale Merkmals (X, Y ). 3. Statistische Hypothese: H 0 : H 1 : Es herrscht Uabhägigkeit Es herrscht keie Uabhägigkeit 2 Iduktive Statistik 301

7 d.h. H 0 : P (X = x i,y = y i )= P (X = x i ) P (Y = y i ) gege H 1 : P (X = x i,y = y i ) P (X = x i ) P (Y = y i ) für alle Paare i, j für midestes ei Paar i, j 4. Festlege des Sigifikaziveaus 5. Testgröße ud kritische Regio Sesitive Testgröße: χ 2 -Abstad 2 Iduktive Statistik 302

8 Beobachtete Tafel der relative Häufigkeite: Y X/Y 1... m h 11 h 1m 1... h ij X. h k1 h km k... h 1... h m h 1 h k h ij absolute Häufigkeit des Ereigisses {X = x i } {Y = y i } i der Stichprobe h ij Schätzer für P (X = x i,y= y i ). Zu vergleiche mit der Uabhägigkeitstafel: h ij = h i h j, dem uter Uabhägigkeit ud gleiche Radverteiluge zu erwartede Besetzugszahle 2 Iduktive Statistik 303

9 Y X/Y 1... m h 1 h h i h j X. 2 k... h 1 h j h m h 1 h i h k 1 2 Iduktive Statistik 304

10 Teststatistik: T = k i=1 m j=1 ( h ij h i h j h i h j ) 2 = k i=1 m j=1 ( hj h i h j 2 ) 2 h i h j 2 = k i=1 m j=1 (f ij f i f j ) 2 f i f j T = alle Zelle (beobachtet erwartet) 2 Normierug Uter H 0 gehorcht T approximativ eier sogeate χ 2 Verteilug mit (k 1) (m 1) Freiheitsgrade. Kritische Regio: Je stärker H 0 verletzt ist, umso stärker weiche die beobachtete Häufigkeite h ij ud die uter Uabhägigkeit zu erwartede Häufigkeite h i h j 2 voeiader ab, d.h desto größer ist T. 2 Iduktive Statistik 305

11 Also kritische Regio aus große Werte vo T : KR =[z, ) wobei z so, dass P (T KR H 0 )=P (T z H 0 ) α z.b. χ 2 0.9(1) = χ (1) = χ (1) = Iduktive Statistik 306

12 Bsp Beobachtete Tabelle Uabhägigkeitstabelle ( ) hij : Mitglied ) ( hij : kooperativ ja ei ja ei kooperativ ja ei Mitglied ja ei Hier hat ma eie Freiheitsgrad, de (k 1) (m 1) = (2 1) (2 1) = 1 Bei α =0.1 erhält ma χ 2 1 α(1) = , also KR =[2.7055, ). 2 Iduktive Statistik 307

13 Die Teststatistik T hat hier de Wert ( )2 ( )2 ( )2 t = 352 ( ( )2 )= Hier ist das Ergebis stark rudugsabhägig. Dies wäre ei Argumet, mit absolute Häufigkeite zu reche! (Bei Berechug am Computer sollte Rudugsfehler praktisch keie Rolle mehr spiele.) Testetscheidug: Da t = 1.98 / KR, ka die Nullhypothese icht abgeleht werde; ei Zusammehag zwische Aktivität im öffetliche Lebe ud der Kooperatiosbereitschaft kote zum Sigifikaziveau vo 10% icht achgewiese werde. 2 Iduktive Statistik 308

14 2.4.7 Zur praktische Awedug statistischer Tests Testetscheiduge ud Statistik-Software, p-wert Statistik-Software berechet meist de p-wert, also die Wahrscheilichkeit uter H 0 midestes eie so stark für die Alterative sprechede Wert zu erhalte, wie de tatsächlich beobachtete Wert der Teststatistik. Dies ist die Wahrscheilichkeit für de Fehler 1. Art, ma ka also sage: H 0 ka geau da abgeleht werde, we der p-wert kleier gleich dem vorgegebee Sigifikaziveaus ist. Also: das bisherige Kostruktiosprizip lautete: Nullhypothese ablehe, we Wert t vo T kr, wobei P (T kr H 0 ) α Üblicherweise: kr extreme Werte vo T, die gege H 0 spreche 2 Iduktive Statistik 309

15 Jetzt Sicht wechsel kokreter Wert t der Teststatistik Bereche P(T midestes so extrem gege H 0 spreched wie t) Ist diese Wahrscheilichkeit α, so ist der Bereich extremer als t als kritische Regio geeiget. Beispiel: zweiseitiger Test: H 0 : μ = μ 0 H 1 : μ μ 0 sehr kleie ud sehr große Werte spreche gege H 0 t 0 t Bei viele Tests ist hier aber Vorsicht gebote. Die vom Programm betrachtete Nullhypothese muss icht die tatsächlich iteressierede Nullhypothese sei! 2 Iduktive Statistik 310

16 Beim Gauss- ud t-test sid beispielsweise drei verschiedee Nullhypothese möglich: H 0 : μ μ 0, H 0 : μ = μ 0, H 0 : μ μ 0 SPSS gibt hier eie zweiseitige p-wert (2-tailed sigificace) a, der zur Hypothese H 0 : μ = μ 0 gege H 1 : μ μ 0 ud damit zur kritische Regio (, z 1 α 2 ) (z 1 α 2, ) gehört. Möchte ma dagege H 0 : μ μ 0 teste, so darf ma H 0 ablehe, falls 1. der Wert der Teststatistik kleier als 0 ist (also auf der richtige Seite liegt ) ud 2. falls gilt: p-wert 2 Sigifikaziveau. (aalog für H 0 : μ μ 0 ) 2 Iduktive Statistik 311

17 Nochmals detailierter: We jetzt ei eiseitiger Test vorliegt, da sid icht mehr beide Seite gege H 0 spreched, soder ur och eie. Z.B. H 0 : μ μ 0 gege H 1 : μ<μ 0 Situatio A: sehr kleie, aber icht mehr sehr große Werte spreche gege H 0 t 0 t SPSS berechet ach wie vor zweiseitige p-wert. Für de gesuchte p-wert gilt p-wert = zweiseitiger p-wert 2 2 Iduktive Statistik 312

18 Ma ka i dieser Situatio H 0 ablehe, falls p-wert α, also zweiseitiger p-wert 2α. Dabei muss vor eier zu schematische Vorgehesweise gewart werde. Wurde i derselbe Situatio H 0 : μ μ 0 gege H 1 : μ<μ 0 statt t der Wert t = t beobachtet, so ist der korrekte p-wert: P(T midestes so extrem wie t): Situatio B: 0 t ud H 0 darf keiesfalls abgeleht werde, Wahrscheilichkeit vo Fehlschluss deutlich größer als 50%. 2 Iduktive Statistik 313

19 SPSS berechet aber de zweiseitige p-wert: t 0 t Ma muss also, we recherisch gilt p-wert (zweiseitig) 2α och sicherstelle, dass der beobachtete Wert vo t auf der richtige Seite liegt, d.h. Situatio A ud icht Situatio B vorliegt. 2 Iduktive Statistik 314

20 Zur Hypothesewahl: Es sei ochmal dara eriert: Statistisch gesichert zur vorgegebee Fehlerwahrscheilichkeit ist ur die Ablehug der Nullhypothese. Hat ma die Wahl (bei eiseitige Tests), so setzt ma das, was ma zeige will, i die Alterativhypothese. 2 Iduktive Statistik 315

21 Dualität vo Test ud Kofidezitervall: Es herrscht H 0 : μ = μ 0 gege H 1 : μ μ 0. H 0 wird abgeleht, we X μ 0 σ X μ 0 >z 1 α 2 X >μ 0 + z 1 α 2 >z 1 α 2 oder X μ 0 σ < z 1 α 2 σ σ oder X μ0 < z 1 α 2 σ oder X <μ0 z 1 α 2 σ d.h. abgeleht werde alle Nullhypothese μ = μ 0 mit μ 0 < x z 1 α 2 σ oder μ 0 > x + z 1 α 2 σ 2 Iduktive Statistik 316

22 Vergleiche diese Ablehbereiche mit dem Kofidezitervall [ X z1+γ 2 σ ; X + z1+γ 2 ] σ. Passe α ud γ zusamme, gilt also z 1 α 2 = z1+γ, so sid diese Ausdrücke komplemetär: 2 1 α 2! = 1+γ 2 2 α = 1+γ γ = 1 α α =1 γ 2 Iduktive Statistik 317

23 Beispiel Normalverteilug: X ubekat, σ bekat T = X μ 0 σ Werte i der Mitte Kofidezitervall extreme Werte Test Dieses Beispiel ist verallgemeierbar. Es besteht geerell ei sehr eger Zusammehag zwische Tests ud Kofidezitervalle: Gegebe eie Pivotgröße T, besteht ei Kofidezitervall zum Vertrauesgrad γ geau aus all jee Werte ϑ 0 eies Parameters ϑ, bei dee die Hypothese H 0 : ϑ = ϑ 0 zum Sigifikaziveau α =1 γ icht abgeleht wurde. Eie praktische Kosequez daraus: Gegebe ei Kofidezitervall [A(X 1,...,X ),B(X 1,...,X )] 2 Iduktive Statistik 318

24 für ϑ, ka ma Hypothese der Form H 0 : ϑ = ϑ 0 umittelbar teste: 2 Iduktive Statistik 319

25 Bsp [Beispiel Wahlumfrage (Fortsetzug vo Bsp. 2.17)] = 500, x =46.5% Ateil Rot/Grü, γ = 95% Ma erhielt das Kofidezitervall [0.421; 0.508]. Da π =0.5 im Kofidezitervall liegt, ka die Hypothese π = 0.5 icht abgeleht werde. Bsp [Fortsetzug vo Bsp. 2.16] Ma iteressiert sich, ob gewisse Gummibärchepackuge geau die agegebee Füllmege vo 250g ethalte, möchte also H 0 : μ = 250g gege H 1 : μ 250g zu α = 0.05 teste. Hat ma zu γ = 0.95 das auf der t-verteilug beruhedes Kofidezitervall [ , ] erhalte, so ka obige Hypothese icht abgeleht werde, da der Wert 250 im Kofidezitervall liegt. 2 Iduktive Statistik 320

26 Sigifikaz versus Relevaz: Die übliche Testgröße häge vom Stichprobeumfag ab: Je größer, umso leichter ka ma eie Abweichug als sigifikat achweise. 1. Aus der Nichtsigifikaz eies Uterschieds ka icht otwedig geschlosse werde, dass kei ihaltlich relevater Uterschied vorliegt. Vielleicht war ur der Stichprobeumfag zu klei, um eie durchaus vorhadee Uterschied auch als sigifikat achweise zu köe. 2. Adererseits ka es sei, dass bei große Stichprobeumfäge selbst miimale Abweichuge sigifikat sid. Nicht jede statistisch sigifikate Abweichug ist daher auch ihaltlich relevat, weshalb Vorsicht bei der ihaltliche Iterpretatio gerade bei große Datesätze agebracht ist. X 1,...,X N(μ, σ 2 ) mit σ 2 =1 2 Iduktive Statistik 321

27 z.b. H 0 : μ 100 H 1 : μ>100 H 0 ablehe T z 1 α =1.65 X = ε T = X μ 0 ε = σ σ ε > 1.65 σ ε > 1.65 σ z.b. =10 = 100 ε>0.165 ε> Iduktive Statistik 322

28 Mögliche Auswege: Ergebisse kritisch betrachte. Betrachtug sogeater Effektstärkemaße. Utersuche statt der Hypothese μ A >μ B die Hypothese μ A >μ B + δ mit (ihaltlich) relevatem Uterschied δ. 2 Iduktive Statistik 323

29 Multiple Testprobleme: Gegebe sei ei rei zufälliger Datesatz mit 50 Variable ohe irgedeie Zusammehag. Ma testet alle Variablepaare auf eie Zusammehag Tests. ( ) 50 = Bei vorgegebeer Irrtumswahrscheilichkeit vo 5% gilt für die Azahl fälschlich verworfeer Nullhypothese X B(1225, 0.05) ud somit E(X) =61, 25. Im Durchschitt wird also mehr als 61 mal die Nullhypothese, dass kei Zusammehag besteht, verworfe. weige, sivolle Hypothese vorher ihaltlich überlege ud ur diese teste! 2 Iduktive Statistik 324

30 Es gibt Asätze, wie ma bei große Hypothesesysteme diesem Problem etkommt: Theorie des multiple Testes. Z.B. Boferroi-Adjustierug des Irrtumswahrscheilichkeit: Statt α betrachte ma α/azahl der Tests. Diese spezielle Korrektur ist aber meist überkoservativ ud ka durch bessere Korrekture ersetzt werde. 2 Iduktive Statistik 325

31 Nichtparametrische Tests Bis auf de χ 2 -Uabhägigkeits-Test baue alle Tests auf der (zumidestes approximative Gültigkeit der) Normalverteilugsaahme auf. Problematisch, z.b. bei kleie Stichprobeumfäge oder bei ordiale Date mit weige uterschiedliche Auspräguge. Hier ka die ureflektierte Awedug der Stadardtests zu krasse Fehlergebisse führe. Ei wichtiger Ausweg: ichtparametrische Tests = Verteilugsfreie Verfahre Hier wird die Iformatio i de Beobachtuge auf Räge, bzw. größer/kleier Vergleiche reduziert. Bekateste Beispiele: Wilcoxo-Test, Vorzeichetest. 2 Iduktive Statistik 326