Trainingseinheiten. zum Üben und Vertiefen. Teil 1 Grundlagen Teil 2 Anwendungen. Datei Nr Friedrich Buckel. Stand 28.
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1 Demoseiten für Mathematik für Klasse 6/7 Prozentrechnen Trainingseinheiten zum Üben und Vertiefen Teil Grundlagen Teil 2 Anwendungen Datei Nr. 055 Stand 28. März 2008 INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
2 Inhalt Teil: Grundlagen definiert.. Was bedeuten Prozent und Promille 2. Übersicht: Prozentsatz Prozentwert Grundwert 4. Grundaufgabe : Berechnung des Prozentwertes 6 Prozente von Prozenten Fehler! Textmarke nicht definiert. Prozentformel Fehler! Textmarke nicht definiert. 4. Grundaufgabe 2: Berechnung des GrundwertesFehler! Textmarke nicht definiert. 5. Grundaufgabe : Berechnung des ProzentsatzesFehler! Textmarke nicht Teil 2: Anwendungen Fehler! Textmarke nicht definiert. 6 Grafische Darstellung von ProzentwertenFehler! Textmarke nicht definiert. 7 Zunahme von Werten Fehler! Textmarke nicht definiert. Die Geschichte mit der Mehrwertsteuer 7 Die Story mit der Tara 40 8 Abnahme von Werten 4 Warum ist Abnahme nicht gleich Abnahme? 4 9 Mehrfache Änderung von Werten 45 Vermischte Aufgaben 57 Lösungen aller Aufgaben 60 Wichtiger Hinweis zum Text Weitere Übungs- und Wiederholungsaufgaben findet man in 0570 Die ersten Grundlagen zum Prozentrechnen werden bereits in der Klasse 6 gelegt. Daher findet man in der Datei 00 Dezimalzahlen schon eine kleine Einführung in das Prozentrechnen. Der hier vorliegende Text gibt eine umfassende Darstellung dieses Themas und daher auch ganz unterschiedliche Methoden wie Prozentrechnen als Rechnen mit Brüchen oder Dezimalzahlen, als Rechnen mit dem Dreisatz, als Rechnen mit proportionalen Größen, d. h. mit quotientengleichen Paaren (Prozentsatz Prozentwert) und als Rechnen mit der Prozentformel. Jeder kann sich seine Methode aussuchen und damit üben. Der Fachlehrer oder interessierte Leser findet hier eine selten gezeigte Übersicht zur Methodik des Prozentrechnens. Der eigentlich interessante Teil sind die Anwendungen, wo exemplarisch wichtige Methoden und Aufgabenstellungen gezeigt werden, verbunden mit einer Reihe von Übungsaufgaben.
3 055 Prozentrechnen TEIL : GRUNDLAGEN Was bedeutet Prozent und Promille? Merke, lerne auswendig und wisse spontan diese Fakten: Für Teil von 00 Teilen, also für 00 das so: %. sagt man auch Prozent und schreibt Also gilt: 2% entsprechen ,02 5% entsprechen 5 0, % entsprechen , 2,5 2,5% entsprechen 0, % entsprechen 20 0, % entsprechen 25 0, % entsprechen 50% entsprechen ,5 75% entsprechen ,75 00% entsprechen 00, also das Ganze ungeteilt. 00 Wie rechnet man Brüche in Prozent um? Beginnen wir mit den Brüchen, die man durch Kürzen oder Erweitern auf den Nenner 00 bringen kann:, % % % Dann gibt es Brüche, die man durch Erweitern auf 000-stel bringen kann: Am Ende kürzt man dann durch 0, damit wieder der Nenner 00 entsteht ,5 87,5% ,5 7,5% Bei allen anderen Brüchen (oder auch bei schon gezeigten Beispielen) dividiert man im Kopf oder mit dem Taschenrechner: 7 7:9 0,7 0, ,8% 9 2 0, ,6% 7 5 0,46 4,7% 2 Man trennt dann die ersten beiden Dezimalen (das sind die Hundertstel) ab und schreibt Prozent dahinter. Komma nicht vergessen!
4 055 Prozentrechnen 2 Erste Beispiele zur Prozentrechnung a) Die Aufgabe Berechne 25% von 400 bedeutet, dass man wissen will, 25 wie viel also von 400 sind Die Rechnung geht so: 25% von 400 von Merke: von bedeutet mal b) Wie viel sind 2 0% von 27, m? Jetzt muss man wissen: 0% sind 00 und daher 0 von 27, m : 0% von 27, m 27, m 2,7 m c) % von 2,5 t 2,5 t 0,025 t 2,5 kg 00 d) 0,9 60 4,5 60% von 4,5 km 0 0 4,5 km 5 km 2,7 km oder so berechnet: 60%von4,5km 0,6 4,5km 2,70km 75% von 000 Personen 000 e) Personen 2250 Personen oder so berechnet: 75% von 000 Personen 0, P P P. f) 9% von 5,4 sind,9 5,4 42,26 42, Bei Geldbeträgen wird man stets die. Dezimale durch Auf- oder Abrunden beseitigen! g),5% von 400 sind 0,05 400,5 4 4,5 5,5% sind 0,05!!! und bei der Berechnung benötigt man keinen Taschenrechner. Mit dem Faktor 00 von 400 verschiebt man das Komma um 2 Stellen nach links, sodass nur noch, berechnet werden muss!
5 055 Prozentrechnen Merke, lerne auswendig und wisse spontan diese Fakten: Für Teil von 000 Teilen, also für 000 schreibt das so:. sagt man auch Promille und Also gilt: 2 entsprechen ,002 also 2 0,2% 5 entsprechen 5 0,005 also 5 0,5% entsprechen ,0 also 0 % 2,5 2,5 entsprechen entsprechen 20 0, also 20 2% 25 entsprechen 25 0, also 25 2,5% 50 entsprechen ,05 also 50 5% 00 entsprechen , also 00 0% 000 entsprechen also % also das Ganze ungeteilt. Dazu Anwendungsbeispiele: () Promille verwendet man dann, wenn die Anteile sehr gering sind. Bekanntestes Beispiel ist der Blutalkoholgehalt: Lösung Bei einer Polizeikontrolle wird einem Autofahrer eine Blutprobe entnommen. Sie ergab,8 Alkoholgehalt. Wie groß ist die Alkoholmenge, wenn wir annehmen, dass er 6 Liter Blut hat, 8 von 6 L sin d 6 L 6000,8, cm 0,8 cm Alkohol. Man erkennt, dass es hier günstig ist, auf eine kleinere Maßeinheit für das Volumen zu wechseln: L dm 000 cm! (2) In einem Medikament befindet sich ein kleiner Anteil Kalium. Auf der Packung steht: 20 mg Kalium in einer Kapsel der Masse 5 g. Lösung Wie viel Promille Kalium enthält somit eine Kapsel? Wir berechnen den Bruchteil so: 20 mg 20 mg g 5000 mg
6 055 Prozentrechnen 4 2 Grundwert Prozentwert - Prozentsatz Für die Aussage gilt: 8 % ist der Prozentsatz p 8 % von 75 sind 6 6 ist der Prozentwert W 75 ist der Grundwert G Hieraus ergeben sich drei Grundaufgaben:. Grundaufgabe: Gegeben: p und G Gesucht: W 2. Grundaufgabe: Gegeben: p und W Gesucht: G. Grundaufgabe: Gegeben: G und W Gesucht: p Um eine Vorstellung davon zu bekommen, wie diese Aufgaben formuliert werden, zeige ich zunächst drei Aufgabenstellungen: () Eine Händler gewährt 5 % Preisnachlass, wenn man die Ware vor der Lieferung bezahlt. Sie ist mit 84 ausgezeichnet. Wie groß ist dann der Preisnachlass bei Vorauszahlung? Lösung: 5% von 84 sind 0, ,20. Hier war p 5% der Prozentsatz, G 84 der Grundwert und W 4,20 der gesuchte Prozentwert. (2) Eine Händler gewährte wegen Vorauszahlung 5 % Preisnachlass, das waren 4,20. Welches war der Normalpreis? Lösung: Dies waren natürlich die 84. Wir schauen uns später an wie man den Grundwert berechnet. () Ein Händler gewährt bei Vorauszahlung auf den Normalpreis 84 einen Rabatt von 4,20. Wie viel Prozent sind das? Lösung: Wir berechnen den Bruchteil 4, p 5% Hier war G 84 der Grundwert, W 4,20 der Prozentwert und p 5% der gesuchte Prozentsatz.
7 055 Prozentrechnen 5 Wer schon gelernt hat, was quotientengleiche Paare und proportionale Größen bedeuten, wird vielleicht das folgendende im Unterricht gehört haben (wer nicht, überspringe es): Der Grundwert entspricht stets 00% Daher hat man in der Aussage 8 % von 75 sind 6 diese quotientengleiche Paare vorliegen: Oder allgemein: ( 8% 6 ) und ( 00% 75 ) Folgende Paare sind quotientengleich: ( Prozentsatz Prozentwert) und ( 00% Grundwert ) ( p W ) und ( 00% G ) Wir können also das Wissen über proportionale Größen oder quotientengleiche Paare hier anwenden und auch leicht mit Tabellen arbeiten. Diese Möglichkeit wird später noch als Alternative angeboten, falls jemand damit arbeiten möchte / sollte.
8 055 Prozentrechnen 6. Grundaufgabe : Berechnung des Prozentwertes. Methode: Berechnung mit einfachen Prozentsätzen im Kopf. Dazu benötigen wir die Prozentliste auf Seite. Beispiele 25% von 240 km sind von 240 km, also 240 km 60 km % von 90 sind von 90, also % von 40 Personen sind von 40, also 40 0 Personen % von 5 sind von 5, also % von 20 t sind von 20 t, also 20 t 40 t. 2,5% von 000 sind von 000, also % von 250 sind von 250, also Diese Übungen sollte man sicher und fix beherrschen. Dazu gehört, dass man die zu den Prozentzahlen gehörenden Brüche gelernt hat und dass man diese einfachen Bruchrechnungen im Kopf rechnen kann. Aufgabe (Ich beginne mit einem Muster) 0% von % von 80 50% von 660 0% von 4 25% von 64 25% von % von 80 75% von 28 % von 75 % von 44 40% von 50 40% von 200 5% von 20 2% von 400 Lösungen auf Seite 60
9 055 Prozentrechnen 7 Beispiele zu Rechnungen die auf Dezimalzahlen führen: 0% von 7 7,7 0 0% von 5,24 5,24 0,524 0, % von 0 0 7, % von , Hier rechnet man 7 : 4 9 Rest, also ,25 50% von : 2 9,5 50% von,7,7,7 : 2,85 (6 : 2 8!) % von 4 4, % von 4 4 4: 20 2 Rest ( ) 2,05 0, Aufgabe 2 (wie eben gezeigt) Lösungen auf Seite 60 0% von 7 0% von 0,57 0% von 4,20 20% von 4 20% von 42,5 20% von 0,75 25% von 2 25% von 0 25% von 2,5 25% von 0,64 40% von 4 40% von 50% von 50% von,7 50% von 0,04 50% von 0,0 75% von 0 75% von % von 0 % von 2,46
10 055 Prozentrechnen 8 2. Methode: Berechnung des Prozentwertes ohne Taschenrechner Rest auf der Mathe-CD.
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