Ausführliche Lösungen

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1 Bohner Ihlenburg Ott Deusch Mathematik für berufliche Gmnasien Jahrgangsstufen und Analsis und Stochastik Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab 5. Auflage 05 ISBN Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu 5 a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung eingescannt und in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Merkur Verlag Rinteln Cover frhunh Fotolia.com, kleines Bild oben: Picture-Factor Fotolia.com, kleines Bild unten: Africa Studio Fotolia.com

2 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite f() = a) Mittlere Änderungsrate in [; 5]: f(5) f (),75 ( ) 5 = =,5 b) Sekante g durch P( ) und Q(5,75): Die Steigung m der Sekante ist die mittlere Änderungsrate in [; 5]. m =,5 (s. Teilaufgabe a)) g: =,5 7,5 Schaubilder von f und g: c) Momentane Änderungsrate in = : f( + h) f () h = ( + h ) ( + h) ( ) h h = h = h h 0 für h 0 = ( + h + h ) 6 h + h Interpretation: Die Steigung des Graphen von f an der Stelle = ist null. 5 waagrechte Tangente. S( ) ist der Scheitelpunkt. Graph von g Graph von f 5 waagrechte Tangente Lehrbuch Seite 9 a) Die Beschleunigung (Steigung des Graphen) ist in t = 0 am größten, danach nimmt sie ab und strebt gegen Null. b) v (0) 5 5 = 5 maimale Beschleunigung 5 m s v in m s 5 5 t in s

3 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 7 a) f() = f () = 7 + Konstanter Summand fällt weg. b) f() = (8 ) f () = ( ) = Konstanter Faktor bleibt erhalten. f() = (8 ) = f () = c) g() = e g () = e + e = ( + ) e (Produktregel) f() = + e f () = + ( + ) e d) f() = sin() e Mithilfe der Produkt- und Kettenregel f () = cos() e + sin() e =(cos() + sin()) e e) f() = e sin() f () = cos() e sin() (Kettenregel) f) g() = e 5 g () = e 5 + e 5 = ( + )e 5 f() = + e 5 f () = 8 + ( + )e 5 g) f() = e ( ) mit der Produkt- und Kettenregel f () = e ( ) + e ( ) = e ( + ) h) f(a) = e a ( e a + ) = e a a + e a = e 0 + e a = + e a f (a) = e a a ist die Funktionsvariable, nach der abgeleitet wird. i) f(u) = 5 u + u = 5 u + u 0,5 f (u) = 5 u + 0,5 u 0,5 = 5 u + u 0,5 j) f() = 5 + e a f () = e a + e a ( a) = ( a) e a = ( a) e a k) f() = t + t π f (t) = t + t Konstanter Summand π fällt weg. l) f() = e + e + e f () = e + e Konstanter Summand e fällt weg.

4 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 5 f() = ( ) = ; f () = a) f () = Tangente in P( ): f () = Hauptform: Punktprobe mit P( ): = + b = + b b = P K Tangentengleichung: = + Normale in P: Steigung der Normalen: m n = m t = = Gleichung der Normalen: = 6 b) Stellen mit Steigung 9 Bedingung: f () = 9 = 9 = 0 Lösungen: = ; = Tangente in = : Tangente in = : = 9 7 = g K c) Stellen mit Steigung (negativer Kehrwert von,5) Hinweis: f ( 0 ) ist die Steigung der Tangente an K in 0. Bedingung: f () = = Stellen: Tangente in = : = 0 = ; = = + 7 Tangente in = : = Hinweis: Die zwei Tangenten liegen nahe beieinander. h K

5 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 5 Lehrbuch Seite 5 d) Punkte mit waagrechter Tangente Bedingung: f () = 0 = 0 = 0 ( ) = 0 Stellen: = 0; = Punkte: O(0 0); T( ) O = H T K e) Stellen mit Steigung 5 (negativer Kehrwert von 5 ) Bedingung: f () = 5 = = 0 Stellen: = 5 ; = Kurvenpunkte: Lehrbuch Seite 6 f() = ; f () = Steigung in = : f () =. Steigung entspricht einem P ( ); P ( 7 ) Steigungswinkel von α = 5 (bzw. 5 ). Der Geländewagen kommt die Rampe wahrscheinlich nicht hoch. Skizze P Erdhügel P P Rampe K α Lehrbuch Seite 9 K: f() = 0,5 + + ; f () =,5 + G: g() = 0,5( + + ) g () = 0,5( + + ) = 0 einsetzen: f(0) = g(0) = Schnittpunkt S(0 ) f (0) = ; g (0) = 0,5 f (0) g (0) = ( 0,5) = Sie schneiden sich senkrecht. K G

6 6 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 5 K C: K hat für < < eine positive Steigung, C verläuft für < < oberhalb der -Achse. (K ist das Schaubild einer Polnomfunktion. Grades, C ist das Schaubild einer Polnomfunktion. Grades.) G B: G hat in = eine waagrechte Tangente, Die Ableitungsfunktion hat in = eine Nullstelle. H A: H hat in,7 eine waagrechte Tangente, Die Ableitungsfunktion hat in,7 eine Nullstelle. Die Steigung von H in = 0 ist ca., dies entspricht auch (ungefähr) dem zugehörigen -Wert des Punkte auf dem Schaubild von A. Lehrbuch Seite 8 5 a) f () > Die Steigung des Graphen von f ist größer als, f ist streng monoton wachsend. Z. B. f() = + Graph von f b) f () 0 f ist monoton fallend. Graph von f Z. B. f() = e der Graph von f kann z. B. auch eine Parallele zur -Achse sein. c) f () 0; ] f ist (streng) monoton wachsend. Steigungen zwischen 0 und Z. B. f() = + sin() Hinweis: Waagrechte Tangente in = ± π 5 Graph von f 5 5 5

7 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 7 Lehrbuch Seite 8 5 d) f() [ ; ] Funktionswerte zwischen und Z. B. f() = cos() Hinweis: Der Graph von f verläuft in einem Streifen um die -Achse. 5 Graph von f Lehrbuch Seite 55 a) f () = + f () = + ; f () = < 0 Bedingung: f () = 0 für = f () < 0 H( ) 5 6 H 5 b) f() = 6 ( 9) f () = 6 ( 9); f () = Bedingung: f () = 0 für = ± f ( ) = < 0; f ( ) = > 0 H( ); T( ) H T c) f() = f () = ; f () = Bedingung: f () = 0 für = 0; = ± f (0) = < 0; f (± ) = 6 > 0 H(0 5) T ( ); T ( ) 6 H 5 5 T T

8 8 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 55 d) f () = + e 0,5 f () = + 0,5 e 0,5 ; f () = 0,5 e 0,5 > 0 Bedingung: f () = 0 für = ln() f ( ln()) > 0 Mit e 0,5 ln() = erhält man f(ln()) = ln() Etrempunkt des Graphen von f: Tiefpunkt T( ln() ln()) T e) f() = sin() + ; ] ; [ f () = cos(); f () = 8sin() Bedingung: f () = 0 π für = ; π = ; = π; 5 = π f ( ) > 0; f ( ) < 0 Etrempunkte des Graphen von f: π T ( ); H π ( ) T ( π ); H 5 ( π ) H H 5 T T f) f () = + ; 0 f () = + ; f () = Bedingung: f () = 0 für = ± + = 0 + = 0 = = ± f ( ) = < 0; f () = > 0 f( ) = ; Hochpunkt H ( ) f() = ; Tiefpunkt T ( ) 8 6 T 5 5 H 6 8

9 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 9 Lehrbuch Seite 56 8 K () = K () = + ; K () = K () = 0 hat wegen D = ( ) < 0 keine Lösung K (0) =, also gilt K () > 0 für > 0: K ist monoton wachsend. K () ist am geringsten, wenn K () = 0: = 0 Produktionsmenge, bei der sich die = Gesamtkosten am geringsten ändern: = Kostenänderung K ( 5 ) = Graph von K Lehrbuch Seite 6 a) f() = 8 ; f () = 9 8 ; f () = 9 ; f () = 9 0 Wendepunkt 9 Bedingung: f () = 0 = 0 = 0 Nachweis: f (0) = 9 0 Wendepunkt: W(0 0) Steigung der Wendetangente: Hauptform: Punktprobe mit W(0 0): f (0) = = + b 0 = b Gleichung der Wendetangente: =

10 0 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 6 b) f() = + 5 f () = 6 ; f () = 6 6; f () = 6 0 Wendepunkt Bedingung: f () = 0 6 6= 0 = Nachweis: f () = 6 0 Wendepunkt: W( ) Steigung der Wendetangente: f '() = Hauptform: Punktprobe mit W( ): = + b = + b b = 6 Gleichung der Wendetangente: = + 6 c) f() = ( e ) f () = ( e ) + e = e ( + ) mit der Produktregel f () = e ( + ) + e = e ( + ) Wendepunkt Bedingung: f () = 0 e ( + ) = 0 e 0: = Nachweis: f () wechselt das Vorzeichen in =. Wendepunkt: W( ( e )) Steigung der Wendetangente: f ( ) = e Hauptform: = ( e ) + b Punktprobe mit W( ( e )): ( e ) = ( e ) ( ) + b e + = e + + b e = b Gleichung der Wendetangente: = ( e + ) e

11 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 6 7 f () = 0 für = 0 und = : f hat zwei Stellen mit waagrechter Tangente; f ist eine Polnomfunktion. Grades f () = 0 f (,9)< 0; f (,)> 0 Bei = wechselt f () das Vorzeichen von minus nach plus. Bei = liegt ein Krümmungswechsel von Rechtskurve zu Linkskurve vor, also Wendestelle. f ( ) < 0 und f () > 0: Tiefpunkt T(0 f(0)) Lehrbuch Seite 77 f() = a + b + c + d; f () = a + b + c Schaubild verläuft durch den Ursprung: d = 0 f() = a + b + c Eigenschaft Bedingung Gleichung A( ) ist ein Kurvenpunkt. f() = 8a + b + c = waagrechte Tangente in = f () = 0 a + b + c = 0 waagrechte Tangente in = f () = 0 7a + 6b + c = 0 Lösung des LGS: a = ; b = ; c = 9 Funktionsterm: f() = + 9 Bei einem Schaubild einer Polnomfunktion. Grades ist die Wendestelle der Mittelwert der Etremstellen (sofern diese eistieren). W = + = + = -Wert des Kurvenpunktes A. Der Punkt A ist der Wendepunkt.

12 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 77 7 Ziel: f() = acos(b( c)) + d Start: g() = cos(b) Periode p = π: Ansatz: g() = cos(b) b = π p = g() = cos() Hochpunkt von G: H(0 ) Verschiebt man G um nach rechts und um nach oben, so hat die verschobene Kurve den Hochpunkt H( 5). Funktionsterm: f() = cos(( )) + Alternative: mit dem Ansatz: g() = sin() Hochpunkt von G: H( π ) 6 5 = cos(( )) + = cos() 5 Verschiebt man G um π nach rechts und um nach oben, so hat die verschobene Kurve den Hochpunkt H( 5). Funktionsterm: f() = sin(( ( π ))) + Lehrbuch Seite 86 6 Abstand: d() = 0,0, , Zielfunktion: d() = 0,0,7 + 5; 0 < 70 Untersuchung von d auf ein Minimum Ableitung: d () = 0,0,7 Notwendige Bedingung: d () = 0 0,0,7 = 0 = 0, [0; 70[ Nachweis: Das Schaubild von d ist eine nach oben geöffnete Parabel. d besitzt somit bei = 0, ein absolutes Minimum. d wird minimal für = 0,. Minimaler Abstand: d(0,) = 5,7 Der minimale Abstand beträgt 5,7 m, die Vorschrift wird eingehalten. in m = 0,0, Abstand: -Differenz =0, Hang 70 in m

13 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 9 f(t) = a t e bt Bedingungen: f() =,8 a e b =,8 () f() =,9 a e b =,9 () Aus (): e b = 6,9 a ( e b = ( e b ) = ( 6,9 a ) ) in (): a( 6,9 a ) =,9, a =,9 a = 5,88 Aus e b = 6,9 b = 0,5 5,88 f(t) = 5,88 t e 0,5t ; f (t) = e 0,5t (,9t + 5,88) f (t) = 0 für t = f(0) = 0; f(t) 0 für t t = ist Maimalstelle Die Behauptung stimmt. Lehrbuch Seite 9 a) s(t) = a t + b t + ct + d; Schaubild verläuft durch O(0 0): d = 0 s () = a t + bt + c; s () = 6at + b s (0) = v(0) = 0: c = 0 s (0) = : b = b = s (7,5) = 0: 5a + b = 0 Mit b = erhält man: 5a + = 0 a = 5 s(t) = 5 t + t s (t) = v(t) = 5 t + t; s (t) = a(t) = 5 t + b) Die Geschwindigkeit nimmt zu bis s (t) = a(t) = 0 5 t + = 0 t = 7,5 Für t < 7,5 nimmt die Geschwindigkeit zu: Beschleunigung: a(t) = s (t) > 0 (Wendestelle t = 7,5)

14 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 9 c) Laufzeit s(t) = 00 für t =,89 (s) s in m 00 mit Hilfsmittel oder mit einer verfeinerten Wertetabelle im WTR W d) Mittlere Geschwindigkeit: v = 00 5,9 = 8, Größte Geschwindigkeit: v (t) = s (t) = 0 t = 7,5 v ma = v(7,5) =, Die größte Geschwindigkeit nach 7,5 s ist,5 m s. t in s Lehrbuch Seite 00 a) Zeichnung: E() = b) Gewinnfunktion G: G() = G(6) = 5; Verlust G(0) = 0 Kostendeckung G () = + 6; G () = + Maimaler Gewinn Bedingung: G () = = 0 Nachweis: G (5,8) < 0; G (0,5) > 0 = 5,8; = 0,5 Der maimale Gewinn liegt bei 5,8 ME und beträgt 7,5 GE. K(5) K(0) 9,75 c) 5 = 5 = 8,75 d) Minimaler Kostenzuwachs: K () = 0 = 8 K (8) = Die Stelle mit minimalem Kostenzuwachs ist die Wendestelle. Wird die Produktion von 8 ME auf 9 ME erhöht, so beträgt der Kostenzuwachs GE/ME. GE E K ME

15 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 5 Lehrbuch Seite 06 a) F() = + 5 cos() + c Ein konstanter Summand fällt beim Ableiten weg. b) F() = sin() + c c) F() = t t cos() + c t und t werden wie Zahlen behandelt d) F() = 6 e + c e) F() = t( e ) + c t( e ) muss nicht ausmultipliziert werden. f) F() = 7 t sin() + c Der Parameter t ist eine konstante reelle Zahl. g) F() = (t + ) ( cos() 0,5 ) + c = (t + ) (cos() + 0,5 ) + c h) F() = e + + c i) F() = ( e ) + c = e + + c j) F() = e e + e + c e ist eine konstante Zahl; e =,78... k) F() = e ( e) + c ( e) ist ein konstanter Faktor l) F() = a e + b + c Lehrbuch Seite 07 Stammfunktion von f: F() = + + c Punktprobe mit A( l ): = ( ) + ( ) ( ) + c ( ) = ; ( ) = = + + c c = Stammfunktion von f: F() = + + Lehrbuch Seite 0 Nullstelle von f mit VZW ist Etremstelle von F = 0: Minimalstelle von F = : Maimalstelle von F in =,5 hat der Graph von F die größte Steigung:,5 Ein Schaubild einer Stammfunktion zeichnen und so nach oben verschieben, dass es durch A( l ) verläuft. Graph von F A Graph von f

16 6 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite f()d = F() a) F() = 6 5 e + + c c ist ein konstanter Summand b) F() = 8 e + c c) F() = 6 e 5 + c d) F() = cos( ) + c e) F() = t + sin() + c f) F() = e + e + c g) F() = 5 sin( + ) + c h) F() = 6 6 π sin(π) + c i) F() = 9 + πcos( π ) + c

17 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 7 Lehrbuch Seite 6 a) Beliebige Stammfunktion von f: F() = 0,5 e c Punktprobe: F( ) = : = 0,5 e + ( ) + c Auflösen nach c: c= e Gesuchte Stammfunktion: F() = 0,5 e e b) Beliebige Stammfunktion von f: F() = + c F() = : = + c Auflösen nach c: c = Gesuchte Stammfunktion: F() = + c) Beliebige Stammfunktion von f: F() = + 8 π cos( π ) + c Nullstelle in 0 = : 0 = ( ) + 8 π cos( π ) + c Auflösen nach c: c = Gesuchte Stammfunktion: F() = + 8 π cos( π ) d) Beliebige Stammfunktion von f: F() = c Mit F( ) = : = 6 ( ) + c Auflösen nach c: c = 5 Gesuchte Stammfunktion: F() = e) Beliebige Stammfunktion von f: F() = + c Mit F(0) = : = c Gesuchte Stammfunktion: F() =

18 8 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite a) (0,5 + 6 )d = [ 6 + ] = 7,5 b) 0 ( + sin())d = [ cos() ] 0 = 7, c) 0 ( + 5 e )d = [ 5 e ] 0 =,80 d) 6 ( cos( π ))d = [ π sin( π ) 6 ] = 6,5 e) (0,5 + )d = [ 6 + ] = 0 f) π 0 sin()d = [ cos() ] π = 0 0 g) (a + a )d = [ + ] = 7,5a + 6,75 h) ( u u ) du = [ 5 u 5 i) ( ) d = [ 0 5 u ] 6 ] = = 0

19 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 9 Lehrbuch Seite 0 a) Nullstellen: f() = 0 ( )( + ) = 0 = ; = Skizze: - ( )( + )d = - ( )d = 9 ; A = 9 Stammfunktion: F() = b) Nullstellen: f() = 0 + = 0 ( + ) = 0 = 0 ; = 6 Skizze: ( + )d = 7; 5 6 Stammfunktion: F() = 6 + c) Nullstellen: f() = 0 + = 0 ( + ) = 0 = 0; = Skizze: 0 ( + )d = 7 0 A = 7 0 Stammfunktion: F() = 5 5 +

20 0 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 8 Giebelrand: f() = 6 + Smmetrie zur -Achse 0 f()d = [ ] = 7,07 0 Farbverbrauch: 50 7,07 = 597,5 597,5 c m =,99 Liter Es müssen mindestens Dosen Farbe geliefert werden. ( Dosen à 5 Liter und Dose à Liter)

21 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 6 f() = 8 + ; f'() = 8 ; f''() = ; f'''() = 0 a) Wendepunkt: f''() = 0 = Mit f() = ; f'() = und f'''() = 0 erhält man den Wendepunkt W( ) und die Wendetangente mit = + 5 Fläche zwischen Wendetangente und -Achse: 0 ( + 5 f()) d = ; A = b) U( l 0); V(6 l ) sind Kurvenpunkte. Gerade g durch U und V: g() = 0,5 + K und g schneiden sich in U, V und im Wendepunkt Schnittstellen: = ; = ; = 6 (aus der gegebenen Zeichnung zu entnehmen) Fläche zwischen K und der Geraden im.und. Feld: 5 (f() ( + )) d = 8 A = 8 c) Dreiecksfläche: A = = f()d =,5; A = +,5 = 5,5 Stammfunktion von F: F() = + 5 6

22 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 7 8 K: f() = e 0, ; [ 5; 0 ] G: g() = 0 e 0, ; [ 5; 0 ] F mit F() = ( 0 00) e 0, ist eine Stammfunktion von f, da F'() = f() Mit der Produkt- und der Kettenregel: F'() = 0,( 0 00) e 0, 0 e 0, = e 0, = f() Inhalt der Fläche zwischen K und G und = 0: 0 5 e 0, d = [ F() ] 0 5 = 7,8 (Stammfunktion F ist bekannt) e 0, d = [ 00 e 0, 0 ] 5 = 6,5 Gesamtfläche in m : 7,8 6,5 = 5, Aufschüttungsvolumen: V = 5, m m =,6 m = K G Lehrbuch Seite 5 a) Bei gefüllter Rinne steht das Wasser 8 dm hoch. Fläche zwischen Gerade ( = 8) und K: (8 f())d =,; A =, Der Wasserquerschnitt ist etwa dm groß. b) Höhe,5: Bedingung: f() =,5 + =,5 Durch Substitution = u erhält man: u + u,5 = 0 u u + = 0 Lösung der quadratischen Gleichung: u = ; u = 8 Lösungen in : = ± ; = ± 5,9 Bemerkung: = ± 5,9 ist nicht relevant Fläche zwischen Gerade ( =,5) und K: (,5 f())d = 9,07 Der kleine Querschnitt beträgt 9,07 = 6,6 % des maimalen Querschnitts., Es fließen also 6,6 % der maimalen Wassermenge.

23 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 5 a) 7 f() d = 5 Mittlerer Funktionswert m = 5 F() = + Graph von f m =,5 b) f() d = 6 Mittlerer Funktionswert auf [ 5; 0 ] : 5 m = 6 F() = 5 Graph von f m = c) m = 0 f() d =,5 F() = e Graph von f m =,5 d) m = 5 0,5 f() d = 0,5 F() = cos() Graph von f m = 0,5

24 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 57 Die Fläche A rotiert um die -Achse. (f()) = ( e + ) = e + e + Stammfunktion: F() = e + e + Volumen: 0 π (f()) d = 8,7 V = 8,7 A K Lehrbuch Seite 65 a) Schaubild einer Stammfunktion F mit F(0) = 0,5 Integral über die Geschwindigkeit liefert die im Zeitraum [a; b] b erreichte Höhe: a v(t) dt = s(b) s(a) Stammfunktion F(t) =,5 e 0,5t + mit F(0) = 0,5 Graph von F t b) 0 v(t) dt Höhenzuwachs im. Jahr v(t) dt Höhenzuwachs vom. bis zum. Jahr 0,5 + 0 v(t) dt Höhe nach Jahren

25 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 5 Lehrbuch Seite 66 7 Entnahmegeschwindigkeit in m pro Stunde: f() = ; 0 a) Integral über die Entnahmegeschwindigkeit liefert das entnommene m Volumen; vgl. auch die Einheiten: Stunde Stunde = m f()d = 5,67 Stammfunktion von f: F() = Zwischen Uhr und Uhr werden dem Speicher 5,67 m Wasser entnommen. b) 5 0 f()d = 58, Zwischen 0 Uhr und 5 Uhr werden dem Speicher 58, m Wasser entnommen f()d = 5,67 Im Wasserspeicher sind nach 5 Stunden noch 5,67 m Wasser. Lehrbuch Seite 7 X: Anzahl der roten Kugeln beim -maligen Ziehen Mit Zurücklegen: Die Wahrscheinlichkeit P(rot) = bleibt erhalten. P(X = ) = ( ) ( ) ( ) = 0,9 Bernoulli-Kette Es gibt = ( ) Möglichkeiten, rote Kugeln auf Kugeln zu verteilen. Ohne Zurücklegen: P(X = ) = = 0, keine Bernoulli-Kette

26 6 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 75 5 a) ( 5 ) 0, 0,6 = P(X = ) =0,0768; X ist binomialverteilt mit n = 5; p = 0,; X ist B 5; 0, -verteilt b) ( 5 ) 0, 0,7 = P(X = ) = 0,86; X ist binomialverteilt mit n = 5; p = 0, c) ( 50 0 ) 0, 0 0,9 0 = P(X = 0) = 0,05; X ist binomialverteilt mit n = 50; p = 0, d) ( 00 ) 0, 0,8 56 = P(X = ) =, X ist binomialverteilt mit n = 00; p = 0,; X ist B 00; 0, -verteilt Lehrbuch Seite 76 a) X: Anzahl der Ananaskonserven; X ist B 50; -verteilt n = 50; p = ; k = 6 Genau 6 Ananaskonserven: P(X = 6) = B 50; = 0,78 (6) b) Y: Anzahl der Papaakonserven; Y ist B 50; -verteilt n = 50; p = ; k = 5 ; Genau 5 Papaakonserven: P(Y = 5) = B 50; = 0,0059 (5)

27 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 7 Lehrbuch Seite 8 Berechnung mit dem WTR a) X ist B 5; 0,5 - verteilt P(X = ) = B 5; 0,5 () = 0,5 P(X ) = P(X = 0) + P(X = ) = 0,0 + 0,56 = 0,876 oder direkt mit dem WTR. P(X ) = P(X = 0) = B 5; 0,5 (0) = 0,0 = 0,9687 b) X ist B 0; 0, - verteilt P(X = ) = B 0; 0, () = 0,8 P(X ) = 0,069 P(X ) = P(X ) = 0,069 = 0,908 P( X 6) = P(X 6) P(X ) = 0,9 0,069 = 0,8 c) X ist B 00; 0,05 - verteilt P(X = 5) = B 00; 0,05 (5) =,7 0 5 P(X ) =,0 0 P(0 < X < 5) = P(X ) P(X 0) = 0,9988 = 0,00 P(0 X < 5) = P(X ) P(X 9) = 0,987 0,57 = 0,676 Lehrbuch Seite 8 8 X sei die Anzahl fehlerhafter Handschalen bei n Kontrollen. X ist B n; 0, -verteilt P(X ) = P(X = 0) = 0,9 n 0,9 0,9 n ln(0,) 0, n =,85 ln(0,9) Es müssen mindestens Schalen überprüft werden. Oder Es genügt auch: 0,9 = 0,09 > 0, 0,9 = 0,0988 < 0, und 0,9 n ist fallend für wachsendes n. Es müssen mindestens Schalen überprüft werden.

28 8 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 90 a) p = 0,5; n = : μ = 6; σ =,7 E(X) = 6 maimale Warscheinlichkeit: P(X = 6) = 0,56 P(X=k) 0,500 0,000 0,500 0,000 0,0500 0, k p = 0,5; n = 0: μ = 0; σ =, E(X) = 0 Größte Wahrscheinlichkeit P(X = 0) = 0,76 0,800 0,600 0,00 0,00 0,000 0,0800 0,0600 0,000 0,000 0,0000 P(X=k) 6 0 k b) n = 50; p = 0,5: μ =,5; σ =,06 E(X) =,5 Größte Wahrscheinlichkeit 0,00 0,00 0,000 0,0800 0,0600 P(X = k) P(X = ) = 0,9 P(X = ) = 0,6 P(X = ) ist das Maimum. n = 50; p = 0,: μ = 5; σ =, E(X) = 5 Größte Wahrscheinlichkeit P(X = 5) = 0,89 0,000 0,000 0,0000 0,000 0,800 0,600 0,00 0,00 0,000 0,0800 0,0600 0,000 0,000 0,0000 P(X = k) k 5 0 k

29 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien 9 Lehrbuch Seite 9 5 X: Anzahl der defekten Dichtungen; X ist B 500; 0,05 -verteilt E(X) = 5; σ = n p ( p) =,87 μ σ = 0, μ + σ = 9,87 ganzzahlige Werte in dem Intervall [0,; 9,87] sind,..., 9. P(0, X 9,87) = P( X 9) = 0,85 0,789 = 0,66 Berechnungen mit dem WTR: X ist B 50; 0,05 -verteilt; P(A) = P(X = 0) = 0,0769 P(B) = P(X ) = 0,760 P(C) = P(X > 5) = P(X 5) = 0 P(D) = P( X 6) = P(X 6) P(X ) = 0,988 0,760 = 0,78

30 0 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 96. a) p = 0,5; n = 50: Erwartungswert μ = 5 Standardabweichung σ =,5 maimale Wahrscheinlichkeit P(X = 5) = 0, μ σ =,6 μ + σ = 8,5 ganzzahlige Werte in dem Intervall [,6; 8,5] sind,..., 8. P( X 8) = P(X 8) P(X ) = 0,889 0,6 = 0,6778 p = 0,5; n = 0: Erwartungswert μ = 60 Standardabweichung σ = 5,8 maimale Wahrscheinlichkeit P(X = 60) = 0,077 μ σ = 5,5 μ + σ = 65,8 ganzzahlige Werte in dem Intervall [5,5; 65,8] sind 55,..., 65. P(55 X 65) = P(X 65) P(X 5)= 0,8 0,577 = 0,686 b) n = 50; p = 6 : μ = 8,; σ =,6 maimale Wahrscheinlichkeit P(X = 8) = 0,50 Zum Vergleich: P(X = 9) = 0,0 μ σ = 5,69 μ + σ = 0,97 ganzzahlige Werte in dem Intervall [5,69; 0,97] sind 6,..., 0. P(6 X 0) = P(X 0) P(X 5) = 0,7986 0,88 = 0,6598 n = 50; p = 0,: μ = 5; σ =, maimale Wahrscheinlichkeit P(X= 5) = 0, μ σ =,76 μ + σ = 8, ganzzahlige Werte in dem Intervall [,76; 8,] sind,..., 8. P( X 8) = P(X 8) P(X ) = 0,859 0,90 = 0,70

31 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 97 8 p = 5 % für mangelhafte Ware; n = 50 X: Anzahl der mangelhaften Prüfstücke a) X ist binomialverteilt, da es nur zwei mögliche Ergebnisse gibt und man vom Eperiment: Ziehen mit Zurücklegen ausgehen kann. b) Erwartungswert μ = 50 0,05 =,5 Standardabweichung σ = 50 0,05 0,95 =,5 c) P(A) = P(X = ) = 0,99 P(B) = P(X ) = 0,760 μ + σ =,0; μ σ = 0,96; ganzzahlige Werte in dem Intervall [0,96;,0] sind,...,. P(C) = P( X ) = P(X ) P(X = 0) = 0,896 0,0769 = 0,895 d) X ist B n; 0,05 -verteilt Bedingung für den kleinsten Stichprobenumfang n: P(X ) 0,90 ergibt P(X = 0) 0,; 0,95 n 0, Lösung der Gleichung 0,95 n = 0, mit dem WTR (Log-Taste) oder durch Logarithmieren n = ln(0,) =,89 ln(0,95) n 5 Es müssen mindestens 5 Prüfstücke entnommen werden.

32 Ausführliche Lösungen zu Mathematik für berufliche Gmnasien Lehrbuch Seite 0 Vertrauensintervall für die Sicherheitswahrscheinlichkeit γ = 90 % : z =,6 Vertrauensintervall für γ = 95 %: z =,96 VI = [ h z h( h) n ; h z h( h) n ] a) n = 50; k = 0; h = 0, 0,( 0,) [ 0,,6 50 0,( 0,) [ 0,,96 50 b) n = 00; k = 60; h = 0,6 0,6( 0,6) [ 0,6,6 00 0,6( 0,6) [ 0,6,96 00 c) n = 0; k = 0; h = 0,5 z =,6: VI = [ 0,70; 0,697 ] z =,96: VI = [ 0,50; 0,6550 ] 0,( 0,) ; 0, +,6 50 ] = [ 0,07; 0,98 ] 0,( 0,) ; 0, +,96 50 ] = [ 0,089; 0,09 ] 0,6( 0,6) ; 0,6 +,6 00 ] = [ 0,597; 0,680 ] 0,6( 0,6) ; 0,6 +,96 00 ] = [ 0, 500; 0,6960 ] Schätzwert für p: h = 0,5 Mit n = 50 und c =,96 folgt 0,5( 0,5) [ 0,5, ,5( 05) ; 0,5 +,96 50 ] = [ 0,5; 0,765 ] Vertrauensintervall für die Wahrscheinlichkeit p: VI = [ 0,5; 0,765 ] bezogen auf die Grundgesamtheit von 5650 Wählern: VI = [0,5 5650; 0, ] = [9,8; 75,] Die Stichprobe lässt auf mindestens 9 und höchstens 75 Wahlberechtigte schließen, die Partei A wählen.