Gemischt-ganzzahlige und Kombinatorische Optimierung

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1 5. Präsenzaufgabenblatt, Sommersemester 2015 Übungstunde am Aufgabe J Betrachten Sie die LP-Relaxierung max c T x a T x b 0 x i 1 des 0/1-Knapsack-Problems mit n Gegenständen, c 0 und a > 0. Wie erhält man die Optimallösung dieser Relaxierung in O(n log n)? Aufgabe K Das Target-Visitation-Problem (TVP) ist eine Kombination aus Linear-Ordering-Problem und asymmetrischem Traveling-Salesman-Problem. Es ist wie folgt definiert: Gegeben sei der vollständige Digraph K n = (V n, A n ) auf n Knoten mit Kantengewichten d ij > 0 (Distanzen) und p ij 0 (Präferenzen) für alle 1 i, j n, i j. Eine TVP-Tour ist ein gerichteter Hamiltonscher Kreis, der an Knoten 1 beginnt. Der Wert einer solchen Tour T ergibt sich als LOP(T ) ATSP(T ), wobei LOP(T ) die Summe aller Präferenzen p ij für Knotenpaare i, j {1,..., n} ist, so dass i früher als j besucht wird (dabei wird angenommen, dass Knoten 1 als erster und nicht als letzter besucht wird), ATSP(T ) die Summe der Distanzen d ij für Tourkanten ist. Gesucht ist eine TVP-Tour mit maximalem Wert. a) Formulieren Sie das Target-Visitation-Problem als ganzzahliges lineares Programm. Verwenden Sie darin beide der folgenden Typen von Binärvariablen: { 1, falls (i, j) in der TVP-Tour enthalten ist, x ij = 0, sonst. { 1, falls i früher als j besucht wird, w ij = 0, sonst. b) Nehmen Sie an, Ihnen stünden separate exakte Löser für das asymmetrische Traveling-Salesman- Problem und das Linear-Ordering-Problem zur Verfügung. Entwerfen Sie ein Subgradienten-Verfahren, das die Löser verwendet und eine Schranke für das TVP mittels Lagrange-Relaxierung berechnet.

2 4. Präsenzaufgabenblatt, Sommersemester 2015 Übungstunde am Aufgabe I Betrachten Sie das Knapsackpolytop P = conv(v ) mit V = {x n i=1 a ix i b} {0, 1} n für gegebenes b und a i 0 (insbesondere ist a i > b möglich). a) Welche Dimension hat P? b) Untersuchen Sie, in welchen Fällen die Ungleichungen x i 0 bzw. x i 1 eine Facette von P definieren.

3 3. Präsenzaufgabenblatt, Sommersemester 2015 Übungstunde am Aufgabe G Beweisen Sie das Max-Flow-Min-Cut-Theorem: Sei f ein (s, t)-fluss in D = (V, A). Die folgenden Aussagen sind äquivalent. (i) f ist maximaler Fluss. (ii) Das reduzierte Netzwerk enthält keinen augmentierenden Weg. (iii) Es gibt einen Schnitt (S : T ) mit c(s : T ) = f. Aufgabe H Sei S E ein minimaler Schnitt von G = (V, E). Dann liefert der Algorithmus von Karger das Ergebnis S mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 2 n(n 1). Korollar: Sei S minimaler Schnitt von G und k eine positive ganze Zahl. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Algorithmus von Karger bei kn 2 Aufrufen nicht mindestens einmal S als Ausgabe liefert, ist höchstens e 2k.

4 2. Präsenzaufgabenblatt, Sommersemester 2015 Übungstunde am Aufgabe F Beweisen Sie mithilfe total unimodularer Matrizen den Satz von König: In einem bipartiten Graphen G = (V, E) ist die Kardinalität eines maximalen Matchings gleich der Kardinalität einer minimalen Knoten-Überdeckung. Tipp: Formulieren Sie die Probleme als ganzzahlige lineare Programme und betrachten Sie die Koeffizientenmatrizen. Zeigen Sie deren totale Unimodularität und verwenden Sie den Dualitätssatz (Folie 1.12).

5 1. Präsenzaufgabenblatt, Sommersemester 2015 Übungstunde am Formulieren Sie die folgenden Optimierungsprobleme als gemischt-ganzzahlige lineare Programme. Aufgabe A Das Traveling-Salesman-Problem ist wie folgt definiert: Gegeben ist der vollständige Graph K n = (V n, E n ) auf n Knoten mit positiven ganzzahligen Distanzen c uv für alle uv E n. Gesucht ist eine Rundreise, die jeden Knoten genau einmal besucht, zum Anfangsknoten zurückkehrt und so kurz wie möglich ist. Aufgabe B Im Coupled-Task-Scheduling-Problem sind n Jobs gegeben, die auf einer Maschine ausgeführt werden sollen. Dabei bestehen alle Jobs i {1,..., n} aus zwei Teilen. Der erste Teil hat die Ausführungsdauer a i, der zweite b i. Zwischen diesen beiden Teiljobs muss eine Pause der Länge l i genau eingehalten werden. All diese Input-Daten sind ganzzahlig und nichtnegativ. Gesucht ist ein Bearbeitungsplan minimaler Gesamtdauer. Aufgabe C Gegeben sei ein Graph G = (V, E) mit Kantengewichten c uv für alle uv E. Das Linear-Arrangement- Problem (LAP) besteht darin, den Knoten v V eines Graphen so paarweise verschiedene Zahlen π(v) aus 1, 2,..., V zuzuordnen, dass die Summe der gewichteten Abstände c uv π(v) π(u) über alle Kanten minimiert wird. Aufgabe D Das Betweeness-Problem (BWP) ist wie folgt definiert: Gegeben seien n Objekte und je ein Gewicht c ijk für jedes geordnete Tripel von Objekten (i, j, k). Gesucht ist eine lineare Anordnung der Objekte, so dass die Summe aller c ijk mit der Eigenschaft, dass j in dieser Anordnung zwischen i und k liegt, so groß wie möglich ist. Aufgabe E Modellieren Sie folgenden Aussagen. Dabei verwenden Sie für die ersten drei Teile binäre Entscheidungsvariablen x A,... x H, die angeben, ob die Projekte A,..., H ausgeführt werden oder nicht. a) Wenn Projekt B oder C ausgeführt wird, so muss auch Projekt A ausgewählt werden. b) Es sind genau k der Projekte {A,..., H} auszuführen. c) Wenn m oder mehr Projekte aus einer Menge von n Projekten {1,..., n} ausgeführt werden, dann muss auch Projekt A gewählt werden. d) Eine der beiden (aber nicht beide!) Ungleichungen a T x a 0 oder b T x b 0 können erfüllt werden. e) Die Variable x {0, 1} ist das Produkt von n Binärvariablen x 1... x n, d. h. x = x 1... x n.