Lösungen zum 6. Übungsblatt

Transkript

1 Lösungen zum 6. Übungsblatt vom Widerstandsschaltung (6 Punkte) Aus vier Widerständen R 1 = 20 Ω, R 2 = 0 Ω und R = R 4 wird die Schaltung aus Abbildung 1 aufgebaut. An die Schaltung wird eine Spannung von U 0 = 80 V gelegt. Der Gesamtstrom ist I ges = 2 A. Berechnen Sie a) den Gesamtwiderstand R ges und die fehlenden Teilwiderstände. b) die an jedem Widerstand anfallende Spannung U und den durch jeden Widerstand fließenden Strom I. Abbildung 1: Widerstandsschaltung Lösung 6.1 a) Der Gesamtwiderstand lässt sich über den Gesamtstrom und die Gesamtspannung ausrechnen. Mit Hilfe des Gesamtwiderstands lassen sich die einzelnen Widerstände ausrechnen: R Ges = U Ges I Ges Die Schaltung an sich ist wie folgt aufgebaut: = 80 V 2 A = 40 Ω Widerstand 1 und 2 sind parallel zueinander geschaltet und insgesamt mit Widerstand in Reihe geschaltet. Alle drei Widerstände wiederum sind mit Widerstand 4 parallel geschaltet. 1 R 1;2 = 1 R R 2 R 1;2 = R 1 R 2 R 1 + R 2 R 1;2 = 20 Ω 0 Ω 20 Ω + 0 Ω = 12 Ω R 1;2; = R 1;2 + R = 12 Ω + R 4

2 R Ges = R 1;2; R 4 R 1;2; + R 4 = (12 Ω + R 4) R 4 12 Ω + R 4 + R 4 = 12 Ω R 4 + R Ω + 4R 4 R Ges (12 Ω + 4R 4 ) = 12 Ω R 4 + R 2 4 R Ges 12 Ω + 4R Ges R 4 = 12 Ω R 4 + R = R R 4 (12 Ω 4R Ges ) R Ges 12 Ω 0 = R4 2 + R 4 12 Ω 4R Ges R Ges 4 Ω 0 = R Ω 4 40 Ω + R 4 40 Ω 4 Ω 0 = R4 2 R Ω 160 Ω (148 R 41;2 = 148 Ω ) 2 Ω ± Ω 6 6 R 41;2 = 74 Ω 5476 Ω ± Ω 9 9 R 41;2 = 74 Ω ± Ω R 41 R 42 Natürlich ergibt nur die positive Lösung Sinn. D.h. = 52.9 Ω =.054 Ω R 4 = 52.9 Ω R = R 4 = Ω R 1;2; = 12 Ω + R = Ω b) U 0 = U 4 = 80 V I 4 = U 4 = 80 V R Ω = A U 0 = U 1;2; = 80 V = U 1;2 + U I 1;2; = U 1;2; = 80 V R 1;2; Ω = 0.47 A = I = I 1;2 U = R I = Ω 0.47 A = 7.87 Ω Kontrolle: U 1;2 = R 1;2 I 1;2 = 12 Ω 0.47 A = 5.64 V = U 1 = U 2 I 1 = U 1 R 1 = 5.64 V 20 Ω = A I 2 = U 2 R 2 = 5.64 V 0 Ω = A I 1 + I 2 = 0.47 A = I I + I 4 = A I Ges

3 6.2 Glühlampe (4 Punkte) Eine Glühlampe besteht aus einem dünnen Wolframdraht, der sich in einem mit Stickstoff gefüllten Glaskolben befindet. Dieser soll durch den Stromfluss auf ca C erhitzt werden. a) Berechnen Sie den elektrischen Widerstand einer Haushaltsglühlampe, die beim Betrieb an der Netzspannung mit 20 V eine Leistung von 100 W hat. b) Berechnen Sie, wie lang der Draht der Glühwendel sein muss, wenn der spezifische Widerstand von 2800 C heißem Wolfram ρ spez = 0.64 Ω mm 2 m 1 ist und der Draht einen Radius von 0.02 mm hat. c) Im kalten Zustand ist der spezifische Widerstand von Wolfram nur 0.05 Ω mm 2 m 1. Berechnen Sie, welcher Anfangsstrom demnach beim Einschalten der Glühlampe kurzzeitig fließen kann. Lösung 6.2 a) Die Leistung einer Schaltung berechnet sich aus: Nach dem Ohmschen Gesetz ergibt sich: P = U I I = P U I = 100 W 20 V = 0.45 A R = U I = 20 V 0.45 A 529 Ω b) R = ρ spez l A l = R A = R π r2 ρ spez ρ spez l = 529 Ω π (0.02 mm) Ω mm 2 m 1 = 1.04 m c) Im kalten Zustand hat die Lampe einen kleineren Widerstand, der sich wie folgt berechnet: R = ρ spez l A = 0.05 Ω mm2 m m π (0.02 mm) 2 = 4.86 Ω Den Strom erhält man wieder mit Hilfe des ohmschen Gesetzes: I = U R = 20 V 4.86 Ω = 5.24 A

4 6. Elektronenstrahl (4 Punkte) Ein Elektronenstrahl habe eine Elektronendichte von Elektronen pro cm. Der Strahl sei zylindrisch mit einem Durchmesser von 2 mm und die Elektronenenergie betrage 1 kev. Hinweis: 1 ev entspricht J. a) Welche Geschwindigkeit haben die Elektronen? b) Welche Stromstärke hat der Elektronenstrahl? Lösung 6. a) Da es sich hier um nicht relativistische Bewegungen handelt kann man die Geschwindigkeit mit der normalen Formel für die kinetische Energie berechnen: v = E = 1 2 m v2 2 E m = ev J = m s 1 kg b) Die Formel zur Berechnung der Stromstärke des Elektronenstrahls wurde in der Vorlesung vorgestellt: I = I = I = η e A v = η e π r 2 v e cm C π (1 10 m) m s 1 e m C π (1 10 m) m s 1 I = A

5 6.4 Gleichseitiger Ringwiderstand (6 Punkte) Ein dreieckiger Kupferdraht wird zu einem perfekten Ring mit einem mittleren Radius von r = 40 cm gebogen. Die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks sei a = 12 cm (s. Abb. 2). Abbildung 2: Trapezförmiger Ringwiderstand a) Berechnen Sie den Widerstand R des dreieckigen Leiters bei Raumtemperatur. b) Nun wird der Ring von Raumtemperatur auf 10 C bzw. 250 C erhitzt. Berechnen Sie jeweils den Widerstand R(T ) des erhitzten Leiters in Abhängigkeit der Temperatur. Hinweis: Die elektrische Leitfähigkeit von Kupfer ist bei Raumtemperatur (T 0 = 20 C) σ = Ω 1 m 1. Der Temperaturkoeffizient α to beträgt für Kupfer bei Raumtemperatur.9 10 K 1. Lösung 6.4 a) Um den Widerstand des Leiters zu berechnen benötigt man neben der Länge und der Querschnittsfläche den spezifischen Widerstand, welcher wiederum von der elektrischen Leitfähigkeit abhängt: R = ρ l A = 1 σ l A = 1 σ 2 π r A Flächeninhalt des Gleichseitigen Dreiecks: A = 1 2 g h = 1 2 a a 2 a2 4 = 1 a 2 a 2 4 = a2 4 R = 1 σ 8 π r a 2 8 π 0.4 m R = Ω 1 m 1 (0.12 m) 2 R = Ω b) Da mit steigender Temperatur die Bewegungsgeschwindigkeit der Elektronen im Leiter steigt erhöht sich auch der Widerstand des Leiters mit der Temperatur: R(T ) = R 0 (1 + α T ) R(T ) = R(T 0 ) (1 + α T0 (T T 0 )) T 0 = 20 R(T ) = Ω ( K 1 (10 20 )) R(T ) = Ω R(T ) = Ω ( K 1 ( )) R(T ) = Ω