Lösungshinweise zu den Hausaufgaben:

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1 M. Boßle, B. Krinn Ü. Okur, M. Wie Blatt 7 Gruppenübung zur Vorlesung Höere Matematik 2 Sommersemester 202 Dr. M. Künzer Prof. Dr. M. Stroppel Lösungsinweise zu en Hausaufgaben: Aufgabe H 58. Differenzierbarkeit Untersucen Sie mit Hilfe es Differenzenquotienten, ob ie Funktion f an er Stelle 0 0 un ie Funktion g an en Stellen un 2 ifferenzierbar sin. f :R R : + für 0 2 +)2 für < 0 g :R R : Lösungsinweise ierzu: Betractet wir er linksseitige Grenzwert es Differenzenquotienten von f an er Stelle 0 0. f) f0) ) Dieser eistiert nict, ie Funktion kann also an 0 0 nict ifferenzierbar sein. Dies gilt, obwol er links- un rectsseitge Grenzwert er Ableitung für > 0 f +) ) 2 + für < 0 in 0 übereinstimmen. Die Funktion g lässt sic abscnittsweise one Beträge screiben: ) 3 ++) für g) ) 3 ++) für < ) 3 +) für < für für < für < Für en Differenzenquotienten an ergibt sic somit mit Hilfe von Polynomivisionen) g) g ) g) g ) ,

2 7. Gruppenübung Höere Matematik 2 ie Grenzwerte stimmen also nict überein, ie Funktion ist in nict ifferenzierbar. In 2 erält man analog g) g) 0 +0 g) g) ie Funktion ist somit in 2 ifferenzierbar. Aufgabe H 59. Ableitungen , Bestimmen Sie en maimalen Definitionsbereic sowie ie erste un zweite Ableitung er Funktionen a) f) ln tan) ), b) g) , c) ) ln) ). Lösungsinweise ierzu: a) Der Definitionsbereic umfasst alle reellen Punkte R, an enen er Tangens positiv ist. D kπ,kπ + π ) 2 k Z Die Ableitungen lauten f ) tan) cos) f ) cos)cos)+sin)sin) sin)cos) cos) sin) cos) sin)cos), cos) sin). b) Der Nenner ist nict efiniert für 2 < 4 2,2) un verscwinet in en Ranpunkten ±2. D R [ 2,2] Die Ableitungen berecnen sic mit er Quotientenregel f ) ) ) 2 +) 2 4) 3/ ) 3/2 f ) 3 2 9) 2 4) 3/2 3 9) ) / ) ) 2 4) 3 3 9) 2 4) 5/ ) 5/2

3 7. Gruppenübung Höere Matematik 2 c) Die Potenz ist efiniert, falls ie Basis positiv ist,.. er Definitionsbereic ist D, ). Mit er Umformung ) ) ln) e ln ln) können ie Ableitungen urc ie Kettenregel berecnet weren. ) f ) e ln ln) ln ln) ) + ) ln) ) ln ln) ) + ln) ln) [ f ) ln) ln ln) ) + ) ] 2 + ln) ln) ln) ) Aufgabe H 60. Differentiation er Umkerfunktion a) Bestimmen Sie Definitions- un Wertebereic er Funktion f: D W: ln+e ) un irer Umkerfunktion f. Bestimmen Sie ie Ableitung von f. b) Zeigen Sie, ass jee er folgenen Funktionen f auf em Intervall,) eine Umkerfunktion f besitzt, un berecnen Sie eren Ableitung jeweils an er angegebenen Stelle y y 0. i) f) 3 ++, y 0 ii) f) +, y 0 3 Lösungsinweise ierzu: a) Die Eponentialfunktion ist streng monoton wacsen un stets positiv, ie Logaritmusfunktion ist streng monoton wacsen. Daraus folgt Die Umkerfunktion lautet somit ep): R R + ln+ep)): R ln+0), ) R +. f : R + R: y lne y ), un ie Ableitung er Umkerfunktion ergibt sic zu y f y) f 0 ) +e0 e 0 yf0 ) ey e y oer irekt zu y f y) y lney ) ey e y.

4 7. Gruppenübung Höere Matematik 2 bi) Die Ableitung er Funktion ist f ) Da iese stets positiv ist, ist ie Funktion streng monoton wacsen un somit umkerbar. Der Funktionswert y 0 ergibt sic für 0 0, amit ist ie Ableitung er Umkerfunktion an er Stelle f0) y f y) /f 0). yf0) bii) Die Ableitung er Funktion ist nac er Quotientenregel f ) +) ) Diese rationale Funktion at keine Nullstelle un einen Pol bei. Somit ist f in,) streng monoton un amit umkerbar. Der Funktionswert y 0 ergibt sic 3 für 0, somit ist ie Ableitung er Umkerfunktion an er Stelle y 2 0 f/2) y f y) /f /2) 9/4 yf/2) Aufgabe H 6. Lineare Funktionen Die Funktion f sei an einer Stelle 0 R ifferenzierbar un genüge für alle,y R er Gleicung f+y) f)+fy). a) Zeigen Sie mit Hilfe es Differenzenquotienten, ass f auf ganz R ifferenzierbar un ie Ableitung konstant ist. Hinweis: Verwenen Sie 0 ) + 0, um en Differenzenquotienten geeignet umzuformen. b) Beweisen Sie, ass eine Konstante a R eistiert mit f) a für alle R. Hinweis: Verwenen Sie folgene Umformung es Mittelwertsatzes er Differentialrecnung: f) f 0 )+f ξ) 0 ), ξ, 0 ) Lösungsinweise ierzu: a) Durc Verwenung es Hinweises folgt f ) 0 f+) f) 0 f ) f+ 0 0 ) 0 f 0 +)+f 0 ) f 0 ) f 0 ) 0 f 0 +) f 0 ) f 0 ). Somit ist f auf ganz R ifferenzierbar un ie Ableitung konstant.

5 7. Gruppenübung Höere Matematik 2 b) Sei a : f 0 ), ann gilt nac em Mittelwertsatz für alle R f) f 0 )+f ξ) 0 ) f 0 )+a 0 ) a+c mit er Konstanten c : f 0 ) a 0. Allerings muss gelten: Folglic muss c 0 sein, wesalb bewiesen ist. f+y) f)+fy) a+y)+c a+c+ay +c a+y)+2c f) a