Der Kapitalwert C 0 ist die durch das Projekt verursachte Vermögensänderung bezogen auf t=0.

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1 86 II.5.3 Kapitalwert-Methode II Def. : Prinzip Der Kapitalwert C 0 ist die durch das Projekt verursachte Vermögensänderung bezogen auf t=0. Im Unterschied zum Endwert, der die Vermögensänderung am Ende des (jeweiligen) Projektes bezeichnet, wird beim Kapitalwert der Vermögenszuwachs aller Projekte auf den gemeinsamen Startzeitpunkt bezogen. Vorgehensweise: 1) Zahlungsreihe erstellen 2) Kapitalwert bestimmen 3) Wahl der Alternative mit dem maximalen Kapitalwert II Bestimmung des Kapitalwertes Zukünftigen Zahlungen können vom Investor auf heute vorgezogen werden: Für spätere Einzahlungen wird heute ein Kredit aufgenommen, dessen Zins und Tilgungszahlungen später mit den Einzahlungen gedeckt wird. Für spätere Auszahlungen wird heute Geld angelegt, mit dem die späteren Auszahlungen getätigt werden. 1. Fall: Unterschiedliche Soll- und Habenzinsen Aus den Ausführungen im Rahmen der Endwert-Methode ist bereits bekannt, daß bei über die Zeit konstanten, unterschiedlichen Soll- und Habenzinsen eine einperiodige Finanzierung optimal ist. Deshalb wird im folgenden eine einperiodige Finanzierung betrachtet. Die Höhe des Eigenkapitals spielt für die Bestimmung des Kapitalwertes keine Rolle, da die Vorfinanzierung zukünftiger Zahlungen von der Höhe des vorhandenen Eigenkapitals unabhängig ist.

2 87 Bsp. 1: Investitionsprojekt mit Anfangsauszahlung und zukünftig lediglich Einzahlungsüberschüssen Annahme: Sollzins (10%) > Habenzins (5%) Zeitpunkt t Zahlungsüberschuß Ü( t ) Kredit I zu 10% Kredit II zu 10 % Zahlungsüberschuß unter Berücksichtigung der Finanzierung C 0 = 246,28 Zur Bestimmung des Kapitalwertes ist bei einem Investitionsprojekt, das lediglich in t=0 einen Auszahlungsüberschuß aufweist, nur die Höhe des Sollzinssatzes von Bedeutung. Bsp. 2: Es gibt eine Anfangsauszahlung und irgendwann später nochmals einen Auszahlungsüberschuß Annahme: Sollzins (10%) > Habenzins (5%) Zeitpunkt t Zahlungsüberschuß Ü( t ) Anlage zu 5% Kredit I zu 10% Kredit II zu 10 % Zahlungsüberschuß unter Berücksichtigung der Finanzierung C 0 = 88,86 Bei einem solchen Projekt besitzen i.d.r. sowohl der Habenzinssatz als auch der Sollzinssatz einen Einfluß auf den Kapitalwert. Generell ist bei unterschiedlichen Soll- und Habenzinsen eine rückwärtsschreitende Berechnung des Kapitalwertes mittels eines vollständigen Finanzplanes durchzuführen.

3 88 2. Fall: Identische Soll- und Habenzinsen Bei identischen Soll- und Habenzinsen kann der Kapitalwert vereinfacht berechnet werden als: T [ 1 ] C ( i, T) = Ü ( t) + i 0 t= 0 Da in diesem Fall außerdem für den Endwert T EW i T Ü t [ i] T (, ) = ( ) 1 + t t= 0 gilt, ergibt sich sofort: t T T t T C0 ( i, T) = Ü ( t) [ 1+ i] [ 1 i] EW( i, T)( 1 i) t 0 + = + = Bei identischen Soll- und Habenzinsen ist der Kapitalwert C 0 der auf den Zeitpunkt t=0 abgezinste Endwert einer Investition. T Da sich Kapitalwert und Endwert bei identischen Soll- und Habenzinsen lediglich um einen i.d.r. projektunabhängigen Verzinsungsfaktor unterscheiden, führen Endwert und Kapitalwert bei identischen Soll- und Habenzinsen stets zur gleichen Entscheidung.

4 89 II Interpretation des Kapitalwertes Def. : Der Kapitalwert C 0 ist die durch das Projekt verursachte Vermögensänderung bezogen auf t=0. Interpretationsmöglichkeiten: 1) Der Kapitalwert ist der Geldbetrag, den der Investor in t=0 maximal zusätzlich ausgeben kann, ohne sich schlechter zu stellen als bei Verzicht auf das Projekt. (Zusatzkonsum in t=0) Bsp.: Ein Investor hat ein lohnendes Projekt gefunden, das ihm einen positiven Kapitalwert bringt. Wenn er das Projekt durchführt, erhöht sich sein in t=0 verfügbares Geld um den Kapitalwert, d.h. er kann genau den Kapitalwert ausgeben, ohne weniger Geld als bei Verzicht auf das Projekt zu haben. 2) Der Kapitalwert ist der Geldbetrag, den der Investor in t=0 maximal bereit ist, für die Durchführung des Projektes zu bezahlen. (Preisobergrenze) Bsp.: Wieviel zahlt ein Investor heute maximal, um eine Lizenz zu kaufen, die ihm die Produktion mittels eines bestimmten Fertigungsverfahrens erlaubt? Ohne Lizenzkosten hat er heute, bedingt durch die Durchführung des Projektes, zusätzliches Geld in Höhe des Kapitalwertes. Projekt ist lohnend, solange die Lizenzgebühr kleiner als der Kapitalwert ist Kapitalwert ist Preisobergrenze

5 90 II Entscheidungen auf Basis des Kapitalwertes Es können alle Entscheidungsprobleme bei gegebenen Daten gelöst werden sowie kritische Werte bestimmt werden. Bei letzterem werden - wie immer - die Kapitalwerte in Abhängigkeit der zu bestimmenden Variablen ermittelt und für beide Alternativen gleichgesetzt. Kritische Werte werden im folgenden nicht explizit bestimmt. 1) Vorteilhaftigkeitsproblem Entscheidungskriterium: C 0 > 0 Projekt ist vorteilhaft! 2) Wahlproblem Entscheidungskriterium: Wähle das Projekt mit dem maximalen Kapitalwert! Da bei der Kapitalwertmethode alle Zahlungen auf den gemeinsamen Zeitpunkt t=0 bezogen werden, können Kapitalwerte unabhängig von der Nutzungsdauer unmittelbar miteinander verglichen werden. 3) Nutzungsdauerproblem Entscheidungskriterium: Wähle die Nutzungsdauer, die zum maximalen Kapitalwert führt. Was ändert sich mit der Nutzungsdauer? Ein- und Auszahlungen fallen weg, wenn die Nutzungsdauer sinkt Liquidationserlös erhöht sich i.d.r., wenn die Nutzungsdauer sinkt Eventuell die Durchführbarkeit von Folgeprojekten

6 91 Mögliche Folgeprojekte Kein Folgeprojekt Identische Folgeprojekte Beliebige Folgeprojekte (1. Fall) (2. Fall) (3. Fall) 1. Fall: Einmalige Durchführung des Projektes Nach Ende der Nutzungsdauer ist nur noch eine Anlage zum Kalkulationszinssatz möglich, die stets zu einem Kapitalwert von Null führt. Wie lange ist die optimale Nutzungsdauer des Projektes? Bsp.: Gesucht ist die optimale Nutzungsdauer einer Maschine, die maximal zwei Jahre genutzt werden kann. Der identische Soll- und Habenzins (Kalkulationszins) beträgt 10% p.a Ü(t) L(T) A1: Nutzungsdauer = 1 Jahr A2: Nutzungsdauer = 2 Jahre 1 ( ) ( ) C ( i = 10%, T = 1) = , = + 227, ( = 10%, = 2) = , ,1 =+ 231,41 C i T Nutze die Maschine 2 Jahre!

7 92 2. Fall: Mehrmalige identische Durchführung des Projektes (hier Spezialfall: zweimalige Durchführung) d.h. nach Abschluß des Projektes kann nochmals ein identisches Projekt gestartet werden. Wie lange wird die Maschine bei der ersten Durchführung genutzt und wie lange bei der zweiten Durchführung? Entscheidungskriterium: Wähle die beiden Nutzungsdauern so, daß der Kapitalwert der Investitionskette maximal wird. Alternativen: A1: 1. Durchführung = 1 Jahr, 2. Durchführung = 1 Jahr A2: 1. Durchführung = 1 Jahr, 2. Durchführung = 2 Jahre A3: 1. Durchführung = 2 Jahre, 2. Durchführung = 1 Jahr A4: 1. Durchführung = 2 Jahre, 2. Durchführung = 2 Jahre A C 0 =433, A C 0 =437, A C 0 = 419, A C 0 =422, Nutze die erste Maschine 1 Jahr, die zweite Maschine 2 Jahre!

8 93 Das Ergebnis ist stets richtig, erfordert aber eine aufwendige Rechnung. Die Berechung der optimalen Investitionsstrategie ist alternativ aus den Kapitalwerten bei einmaliger Durchführung möglich: A1: A2: A3: A4: ( ) ( ) ( ) ( ) D1 D C = C ( i = 10%, T = 1) + C ( i = 10%, T = 1) 1+ i D1 D C = C ( i = 10%, T = 1) + C ( i = 10%, T = 2) 1+ i D1 D C = C ( i = 10%, T = 2) + C ( i = 10%, T = 1) 1+ i D1 D C = C ( i = 10%, T = 2) + C ( i = 10%, T = 2) 1+ i Da die optimale Nutzungsdauer bei einmaliger Durchführung zwei Jahre beträgt, also C ( i = 10%, T = 1) < C ( i = 10%, T = 2) gilt, muß gelten: 0 0 A2 A1 und A4 A3 Investor muß nur A2 und A4 miteinander vergleichen A2: C0 ( i) A4: C ( i) 0 1 = 227, , = 437, 64 2 = 231, , = 422, 65 A2 A4 Wähle A 2. 1) Die optimale Nutzungsdauer einer Invesitionskette bestehend aus identischen Wiederholungen läßt sich aus den Kapitalwerten bei einmaliger Durchführung bestimmen. 2) Die optimale Nutzungsdauer der letzten Durchführung entspricht stets der optimalen Nutzungsdauer bei einmaliger Durchführung! 3) Die optimale Nutzungsdauer der früheren Durchführungen muß nicht der optimalen Nutzungsdauer bei einmaliger Durchführung entsprechen. 4) Die optimale Nutzungsdauer der früheren Durchführungen ist nicht größer als die optimale Nutzungsdauer bei einmaliger Durchführung.

9 94 3. Fall: Einmalige Durchführung des Projektes und eines beliebigen Folgeprojektes Nach Abschluß des Projektes kann ein neues Projekt gestartet werden. Wie lange wird die erste Maschine genutzt, wie lange die zweite? Vorgehen: Bestimme die optimale Nutzungsdauer der zweiten Maschine bei einmaliger Durchführung. M C 2 * ( T ) 0 Bestimme die optimale Nutzungsdauer der ersten Maschine unter Berücksichtigung des Folgeprojektes analog zum 2. Fall. C C M 1 M 2 * 1 = ( T = 1) + C ( T ) 1+ i A1: ( ) A2: C C M 1 M * ( T 2) C ( T )( 1 i) usw = = + + Wähle die Alternative, die zum maximalen Kapitalwert der Investitionskette führt. 4) Ersatzzeitpunktproblem Entscheidungskriterium: Wähle den Ersatzzeitpunkt, der zum maximalen Kapitalwert der Investitionskette führt. Annahmen (Lassen sich verallgemeinern): Alternativen sind Ersatz sofort oder Ersatz in einem Jahr. Daten der neuen Maschine hängen nicht vom Ersatzzeitpunkt ab. Vorgehensweise: Schritt 1: (Alternativen formulieren) A1: Ersatz der alten Maschine sofort A2: Weiternutzung der alten Maschine und Ersatz in einem Jahr

10 95 Schritt 2: (Verursachte Kapitalwerte der Alternativen bestimmen) a) Ermittlung der Zahlungsreihen der Investitionsketten b) Bestimmung der entscheidungsrelevanten Zahlungen c) Bestimmung der verursachten Kapitalwerte Schritt 3: (Wahl der Alternative, die zum maximalen Kapitalwert führt) zu Schritt 2: a) Ermittlung der Zahlungsreihen der Investitionsketten Zeitpunkt: t = 0 (Anschaffungszeitpunkt in der Vergangenheit) Alte Maschine Ü(t) ohne L(T) L(T) C 0 (10%,T) , , ,38 Bei Anschaffung der alten Maschine wurde geplant, diese Maschine 4 Jahre zu nutzen. Zeitpunkt: t = 3 (Entscheidungszeitpunkt) Es wird eine neue Maschine angeboten mit folgenden Daten: Anschaffungsauszahlung: -500 Zahlungsüberschuß im ersten Jahr: +300 Zahlungsüberschuß im zweiten Jahr: +400 Optimale Nutzungsdauer: 2 Jahre Diese neue Maschine kann sofort (t=3) oder in einem Jahr beschafft werden, ohne daß sich die Daten der Maschine ändern.

11 96 Zahlungsreihen der möglichen Investitionsketten aufstellen: A1 Ü(t) alt L(T) alt +200 Ü(t) neu A2 Ü(t) alt L(T) alt +600 Ü(t) neu b) Bestimmung der entscheidungsrelevanten Zahlungen Wichtig: Entscheidungsrelevant sind nur Zahlungen, die von der Wahl der Alternative abhängen (Berücksichtigung von Zahlungen, die bei beiden Alternativen anfallen, macht die Analyse nicht falsch, aber komplizierter): Liquidationserlös heute (t=3) Liquidationserlös in einem Jahr (t=4) Zahlungsüberschuß der alten Maschine im Jahr der Weiternutzung Sämtliche Zahlungen der neuen Maschine A1 Ü(t) alt +500 L(T) alt +200 Ü(t) neu A2 Ü(t) alt L(T) alt +600 Ü(t) neu

12 97 c) Ableitung der verursachten Kapitalwerte Annahme: Als Vergleichszeitpunkt τ wird der erste mögliche Ersatzzeitpunkt t = 3 gewählt, da dort erstmals entscheidungsrelevante Zahlungen anfallen. (Die Wahl eines früher liegenden Vergleichszeitpunktes macht die Analyse nicht falsch, aber komplizierter) A1: Ersatz sofort : [ ( ) ( ) ] A C0, 3 = La ( 3) + Ü n ( 3) + Ü n( 4) 1+ i + Ü n ( 5) 1+ i A1 neu, A1 0, 3 a 0, 3 C = L ( 3) + C A2: Weiternutzung der alten Maschine und Ersatz in einem Jahr : [ a 4 a 4 ]( 1 ) [ n 4 n 5 ( 1 ) n 6 ( 1 ) ]( 1 ) C A Ü L i Ü Ü i Ü i i 0, 3 = ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + + ( ) + + neu, A [ a ( 4) a ( 4) ]( 1 ) 0 4 ( 1 ) A C = Ü + L + i + C + i 2 1 0, 3, 2 1

13 98 Entscheidungskriterium: Ersetze die alte Maschine sofort, wenn der Gegenwartswert aller entscheidungsrelevanter Zahlungen bei der Alternative Ersatz sofort (τ) größer ist als der Gegenwartswert aller entscheidungsrelevanter Zahlungen bei der Alternative Ersatz in einem Jahr (τ + 1) : neu, A [ a 1 a 1 ]( 1 ) 0, τ + 1 ( 1 ) neu, A L ( τ ) + C > Ü ( τ + ) + L ( τ + ) + i + C + i a neu, A1 0, τ 1 1 neu, A2 ( 1 + ) > ( + 1) + ( + 1) ( )( 1 + ) C0, τ i C0, τ + 1 Ü a τ La τ La τ i 2 1 Der Zusatzgewinn durch früheren Beginn des neuen Projektes muß größer sein als der zeitliche Grenzgewinn der Weiternutzung. Unter der Annahme, daß die Zahlungen der neuen Maschine unabhänig vom Startzeitpunkt sind, gilt: C neu, A1 0, τ neu, A2 = C, + 0, τ 1 und C neu, A 1 neu, A2 ( 1 + i) C > Ü ( + 1) + L ( + 1) L ( )( 1 + i) 0, τ 0, τ + 1 a τ a τ a τ vereinfacht sich zu: neu ( ) C0, τ i > Ü a ( τ + 1) + La ( τ + 1) La ( τ ) 1 + i Der Zusatzgewinn durch früheren Beginn besteht in diesem Fall nur darin, daß der Kapitalwert der neuen Maschine früher anfällt, so daß ein Zinsgewinn realisiert werden kann.

14 99 II Kritik der Kapitalwert-Methode Vorteile: Alle Vorzüge der Endwert-Methode Unmittelbarer Vergleich von Kapitalwerten bei Projekten mit unterschiedlicher Nutzungsdauer möglich Nachteile: Hoher Informationsbedarf wie bei allen dynamischen Verfahren: Zeitpunktgenaue Schätzung der Größen Wenn nur 1x Projekt A mit 1 x Projekt B verglichen wird, dann liefert die Kapitalwert-Methode, wie alle anderen Methoden auch, keinen vollständigen Vorteilhaftigkeitsvergleich. Mögliche Alternativen werden vernachlässigt. Bsp.: Investor besitzt 2000 M und soll sich zwischen 2 Projekten entscheiden. Der Kalkulationszinssatz beträgt 10%. A1: C0 ( i) = 281 A2: C0 ( i) = 297, 5 Wähle A2! Eventuell gibt es aber eine weitere Anlagemöglichkeit für die nicht benötigten Mittel, wie z.b. nochmalige Durchführung von A1 A1: Maschine Maschine C0( i) = 562 A2: C0 ( i) = 297, 5 Wähle A1!

15 100 II.5.4 Annuitäten-Methode II Prinzip Def.: Die Überschuß-Annuität bezeichnet den durch das Projekt verursachten, konstanten jährlichen Vermögenszuwachs in t=1,...,t Ü(t) Vermögensänderung 0 +ÜA +ÜA vgl. Endwert = Vermögenszuwachs in T Kapitalwert = Vermögenszuwachs in t=0 Überschuß-Annuität = Vermögenszuwachs in t=1,...,t prinzipiell gleiches Vorgehen wie bei Endwert und Kapitalwert Annuität: Jährliche Zahlung in konstanter Höhe (lat. annum) Überschuß-Annuität: Jährliche Zusatzzahlung in konstanter Höhe Vorgehensweise: 1) Zahlungsreihe der Investition erstellen 2) Ermittlung der Überschuß-Annuität der Investition 3) Wahl der Alternative mit der maximalen Überschuß-Annuität

16 101 II Bestimmung der Überschuß-Annuität 1. Fall: Unterschiedliche Soll- und Habenzinsen Ü(t) Kredit/Anlage 1 Kredit/Anlage 2 Gesamt ÜA ÜA Gesucht ist der Wert für ÜA, so daß die gesamten Zahlungen in t=0 sich zu Null addieren. (Vgl. Definition) Wenn die Zinssätze i( 1, 2 ) und i( 0, 1 ) vorgegeben sind, kann das Problem mühelos gelöst werden. Bei unterschiedlichen Soll- und Habenzinsen hängt die Zinshöhe davon ab, ob ein Kredit aufgenommen werden muß oder ob Geld angelegt wird. Dies wird an folgendem Beispiel für t=2 klar. t=2: ÜA > 50 Geldanlage in t=1 i( 1, 2 ) = Habenzinssatz t=2: ÜA < 50 Kreditaufnahme in t=1 i( 1, 2 ) = Sollzinssatz Ob Haben- oder Sollzinssatz verwendet werden muß, kann erst entschieden werden, nachdem die Höhe der Überschuß-Annuität bestimmt ist. Diese hängt jedoch davon ab, ob Soll- oder Habenzins verwendet wird. Überschuß-Annuität kann bei unterschiedlichem Soll- und Habenzinssatz nur durch iteratives Verfahren bestimmt werden.

17 Fall: Identischer Soll- und Habenzins Bei identischen Soll- und Habenzinsen ist die Bestimmung der Überschuß-Annuität analytisch möglich. Dies wird im folgenden Spezialfall gezeigt. 50 ÜA 250 ÜA + 1+ i 1 + i 100 = ÜA ÜA = i ( 1+ i) 1+ i ( 1 + i) 1 1 C ( i, T) = ÜA 1+ i + ( 1+ i) ÜA = C0 ( i, T) 1 1+ i + 1 ( 1+ i) 2 ÜA( i, T) = C ( i, T) AF( i, T) 0 Die Überschuß-Annuität entspricht dem mittels des Annuitäten-Faktors auf die Laufzeit verteilten Kapitalwertes der Investition. Vorgehen zur Bestimmung der Überschuß-Annuität bei identischen, über die Zeit konstanten Soll- und Habenzinsen: 1) Ermittlung des Kapitalwertes der Investition 1 2 C ( i = 10%, T = 2) = ( 1+ 0, 1) + 50 ( 1+ 0, 1) = 168, 6 0 2) Umrechnung des Kapitalwertes auf einen Vermögenszuwachs p.a. mittels des Annuitäten-Faktors ÜA( i = 10%, T = 2) = C ( i = 10%, T = 2) AF( i = 10%, T = 2) = 168, 6 0, 576 = 97, 1 0

18 103 Exkurs: Zusammenhang zwischen dem Periodengewinn der Gewinnvergleichsrechnung und der Überschuß-Annuität der Annuitäten-Methode? Annahmen: (Spezialfall, der jedoch verallgemeinert werden kann) Kein Liquidationserlös L(T) = 0 Ein- und Auszahlungen in allen zukünftigen Perioden gleich, d.h. eine Rente RN Ü(t) Annuitäten-Methode: ÜA = C ( i) AF( i, T) = 0 C ( i) 1 + i ( 1+ i) ( 1+ i) i i + i = 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 + i ( 1+ i) ( 1+ i) = 90 AF( i, T) + 50 = 13, 81 ÜA = RN Ü( 0) AF( i, T) Gewinnvergleichsrechnung: G = RN AB Z mit: RN = E B, Ü ( 0 ) Ü ( 0) AB( T) =, Z ( i ) = i T 2 1 i G = RN Ü ( 0) + T 2 Überschuß-Annuität unterscheidet sich vom Periodengewinn der Gewinnvergleichsrechnung nur durch den Kapitaldienstfaktor zur Verteilung der Anschaffungsauszahlung.

19 104 Wenn i=0, dann entsprechen sich Gewinn und Überschuß- Annuität. Annuitäten-Methode Rentenzahlung Verteilte Anfangsauszahlung -90/3-90/3-90/3 ÜA Gewinnvergleichsrechnung Rentenzahlung Abschreibung -90/3-90/3-90/3 Gewinn Wenn i>0, dann ist der statisch berechnete Gewinn größer als die Überschuß-Annuität, da: - Zinseszins berücksichtigt wird bei der Annuitäten-Methode, nicht aber bei der Gewinnvergleichsrechnung. - Kapitalbindung bei Annuitäten-Methode sich erst jeweils am Periodenende reduziert (Annahme: Alle Zahlungen fallen am Ende der Periode an), während bei der Gewinnvergleichsrechnung kontinuierliche Reduzierung der Kapitalbindung unterstellt wird. Annuitäten-Methode Rentenzahlung Verteilte Anfangsauszahlung (i = 10% ) -36,19-36,19-36,19 ÜA 0 +13,81 +13,81 +13,81 Gewinnvergleichsrechnung Rentenzahlung Abschreibung -90/3-90/3-90/3 Zinskosten (i = 10% ) -4,5-4,5-4,5 Gewinn 0 +15,5 +15,5 +15,5

20 105 II Interpretation der Überschuß-Annuität Def.: Die Überschuß-Annuität bezeichnet den durch das Projekt verursachten, konstanten jährlichen Vermögenszuwachs in t=1,...,t. Interpretationsmöglichkeiten: 1) Die Überschuß-Annuität ist der Geldbetrag, den der Investor in jedem Zeitpunkt t=1,...,t maximal zusätzlich ausgeben kann, ohne sich schlechter zu stellen als bei Verzicht auf das Projekt. (Zusatzkonsum in t=1,...,t) 2) Die Überschuß-Annuität gibt den Geldbetrag an, den ein Investor in jedem Jahr maximal bereit ist für die Durchführung eines Projektes zu bezahlen. (Preisobergrenze) II Zusammenhang von Endwert, Kapitalwert und Überschuß-Annuität Endwert: Vermögenszuwachs in T Kapitalwert: Vermögenszuwachs in t=0 Überschuß-Annuität: Vermögenszuwachs in t=1,...,t Vermögensansätze! Kapitalwert und Überschuß-Annuität unterscheiden sich bei identischem Soll- und Habenzins nur durch den i.d.r. projektunabhängigen Annuitäten-Faktor, so daß Überschuß-Annuität und Kapitalwert zur gleichen Entscheidung führen. ÜA( i, T) = C ( i) AF( i, T) 0 Wenn Soll- und Habenzins identisch sind, unterscheiden sich Kapitalwert und Endwert nur durch einen i.d.r. projektunabhängigen Verzinsungsfaktor, so daß beide Verfahren zur gleichen Entscheidung führen.

21 106 C ( i, T) = EW( i, T)( + i) 0 1 T Damit unterscheiden sich Überschuß-Annuität und Endwert auch nur durch einen i.d.r. projektunabhängigen Faktor und führen stets zur gleichen Entscheidung ÜA( i, T) EW AF ( i, T ) = ( 1+ i) T 1) Bei idemtischem Soll- und Habenzins führen alle Vermögensansätze zur gleichen Entscheidung! 2) Bei unterschiedlichen Soll- und Habenzinssätzen können die Vermögensansätze zu unterschiedlichen Entscheidungen führen. II Entscheidungen auf Basis der Überschuß-Annuität Es können alle Entscheidungen, die auf Basis des Kapitalwertes gefällt werden, auch auf Basis der Überschuß-Annuität getroffen werden. Es kommt hierbei bei gleichem Soll- und Habenzins stets zur gleichen Entscheidung. Beispielhaft werden im folgenden Vorteilhaftigkeits- und Wahlproblem diskutiert. 1) Vorteilhaftigkeitsproblem Vorteilhaftigkeitskriterium: ÜA>0 Projekt ist vorteilhaft 2) Wahlproblem Überschuß-Annuität bezieht sich stets auf eine bestimmte Nutzungsdauer Nur Überschuß-Annuitäten von Projekten mit gleicher Nutzungsdauer sind unmittelbar miteinander vergleichbar.

22 Fall: Gleiche Nutzungsdauer Entscheidungskriterium: Wähle das Projekt mit der maximalen Überschuß-Annuität. 2. Fall: Unterschiedliche Nutzungsdauer Entscheidungskriterium: Wähle das Projekt mit der maximalen Überschuß-Annuität, wobei jedoch die Überschuß-Annuitäten aller Projekte auf den gleichen Zeitraum bezogen werden müssen. (Kapitalwerte aller Projekte berechnen und mit gleichem Annuitäten-Faktor verteilen) II Kritik der Annuitäten-Methode Vorteile: Alle Vorzüge dynamischer Verfahren (Nutzungsdauer berücksichtigt, zeitlicher Anfall von Zahlungen berücksichtigt). Nachteile: Alle Nachteile der Endwert-Methode - Hoher Informationsbedarf wie bei allen dynamischen Verfahren: Zeitpunktgenaue Schätzung der Größen - Wenn nur 1x Projekt A mit 1 x Projekt B verglichen wird, dann liefert die Annuitäten-Methode, wie alle anderen Methoden auch, keinen vollständigen Vorteilhaftigkeitsvergleich. Mögliche Alternativen werden vernachlässigt. - Projekte mit unterschiedlicher Laufzeit können nicht unmittelbar miteinander verglichen werden. Bestimmung der Überschuß-Annuität ist bei unterschiedlichem Sollund Habenzinssatz relativ schwierig.

23 108 II.5.5 Interne-Zinsfuß-Methode II Prinzip Def.: Jeder Zinssatz ρ, bei dem die Summe der auf den Zeitpunkt t = 0 diskontierten Zahlungsüberschüsse des Projektes gleich Null ist, heißt interner Zinsfuß des Projektes. T [ ] t Ü ( t) 1 + ρ = 0 ρ = Interner Zinsfuß t = 0 Als Ergebnis erhält man einen einheitlichen Abzinsungsfaktor, d.h. es wird nicht mehr unterschieden, ob der Zahlungsüberschuß positiv oder negativ ist. Vorgehensweise: 1) Ermittlung des internen Zinsfußes jeder Alternative 2) Wahl der Investition mit maximalem internen Zinsfuß II Interne-Zinsfuß-Methode im Ein-Perioden-Fall 1) Bestimmung des internen Zinsfußes Bsp.: Gesucht ist der interne Zinsfuß einer Finanzinvestition in eine Anleihe, die heute zum Kurs von 95 M gekauft werden kann, einen Kupon von 10% aufweist und in einem Jahr zu 100 M zurückgezahlt wird.

24 Kauf bzw. Verkauf Zinszahlung +10 Ü(t) Bestimmungsgleichung für den internen Zinsfuß: ( 1+ ρ) = = 95 ( 1+ ρ) 1 + ρ = Vermögenszuwachs ρ = = = 15, 8% 95 Eingesetztes Vermögen Interner Zinsfuß ist Analogon zur Rentabilität der statischen Verfahren Allg. Bestimmung des internen Zinsfußes im Ein-Perioden-Fall: Ü ( 1) Ü ( 0) ρ = Ü ( 0) = Verzinsung des eingesetzten Kapitals = Rendite 2) Entscheidungen auf Basis des internen Zinsfußes a) Vorteilhaftigkeitsproblem Alternativen: A0: Nicht-Durchführung der Investition und Anlage des eventuell vorhandenen EK zum Zinssatz i. A1: Durchführung der Investition, die eine Rendite ρ erbringt. (Finanzierung mit EK oder mit FK zum Zinssatz i ) Vorteilhaftigkeitskriterium: Projekt vorteilhaft, wenn ρ > i

25 110 Graphische Darstellung: C 0 0 i ρ 1) Hier: Kapitalwert einer Investition fällt monoton mit steigendem Zinssatz i. 2) Schnittpunkt der Kapitalwertkurve mit der Abszisse, also bei i = 0, gibt den internen Zinsfuß an. 3) Wenn ρ > i, dann ist C 0 positiv, das Projekt vorteilhaft. b) Wahlproblem Alternativen: A1: Durchführung der Investition 1 mit ρ 1 A2: Durchführung der Investition 2 mit ρ 2 Entscheidungskriterium: Wähle die Alternative mit maximalem internen Zinsfuß 0 1 A1: Ü(t) A2: Ü(t) ρ 1 = 15, 8% ρ 2 = 14, 3% Wähle A1!

26 111 Graphische Darstellung C 0 0 i ρ 2 ρ 1 Problem: Für bestimmte Zinssätze i führen Kapitalwert und interner Zinsfuß zu unterschiedlichen Entscheidungen (siehe Abbildung) i=5% C 0 (A1)=+9,8 C 0 (A2)=+15,5 Wähle A2 gemäß Kapitalwert-Methode Wähle A1 gemäß Interner Zinsfuß-Methode Dieses Problem ist bereits aus den statischen Verfahren bekannt. Wenn das Projekt mit der höheren Rendite die niedrigere Kapitalbindung aufweist, dann können interner Zinsfuß und Kapitalwert zu unterschiedlichen Wahlentscheidungen führen. Zur Lösung des Problems muß eine Ergänzungsinvestition berücksichtigt werden, so daß beide Projekte identische Kapitalbindungen aufweisen. Unter Berücksichtigung der Ergänzungsinvestition führen interner Zinsfuß und Kapitalwert stets zur gleichen Wahlentscheidung.

27 112 3) Interpretationen des internen Zinsfußes Interpretationsmöglichkeiten für ρ: 1) Interner Zinsfuß gibt die Verzinsung des eingesetzten Kapitals an. (Vgl. Anfangsbeispiel) 2) Interner Zinsfuß gibt den Kalkulationszinssatz an, ab dem das Investitionsprojekt unvorteilhaft wird. (Vgl. Vorteilhaftigkeitsentscheidung) Die Interpretationen sind analog zu denjenigen der Rentabilität im Rahmen der Rentabilitätsvergleichsrechnung. Es wurden jedoch unterschiedliche Annahmen bezüglich der Kapitalbindung bei beiden Methoden getroffen. Rentabilitätsvergleichsrechnung: Kontinuierliche Rückzahlung Interne-Zinsfuß-Methode: Rückzahlung am Periodenende II Interne-Zinsfuß-Methode im Mehr-Perioden-Fall Zur Erinnerung: Jede Lösung der Gleichung T [ ] t Ü ( t) 1 + ρ = 0 heißt interner Zinsfuß der Alternative. t = 0 Probleme: Im Mehr-Perioden-Fall (T>1) handelt es sich um eine nichtlineare Gleichung, die bis zu T Nullstellen besitzen kann. Nichtlineare Gleichungen sind im allgemeinen schwierig (ohne PC) zu lösen. Fragestellungen beim Mehr-Perioden-Fall: 1) Gibt es genau einen internen Zinsfuß? 2) Wie kann der interne Zinsfuß (ohne PC) bestimmt werden? 3) Was sagt der interne Zinsfuß im Mehr-Perioden-Fall?

28 113 Bemerkung: Die Entscheidungskriterien ändern sich nicht gegenüber dem Ein-Perioden-Fall. Sie werden deshalb im folgenden nicht erneut analysiert. 1) Eindeutigkeit des internen Zinsfußes Ü(t) C 0 (0%) = C 0 (10%) = 0 C 0 (25%) = 0 2 interne Zinsfüße (10%, 25%) Ist das Projekt bei einem Kalkulationszinssatz von 20 % vorteilhaft? Interne-Zinsfuß-Methode kann die Frage nicht beantworten, da es mehrere sinnvolle interne Zinsfüße gibt. Anwendung der Internen-Zinsfuß-Methode muß sich auf den Fall eines eindeutigen internen Zinsfußes beschränken. Bemerkung: 1) Weist die Zahlungsreihe einer Investition nur einen Vorzeichenwechsel auf, so existiert genau ein ökonomisch sinnvoller interner Zinsfuß ( ρ > 100% ). 2) Ist die Summe der nichtdiskontierten Zahlungen dieser Investition zusätzlich noch positiv, so ist dieser (eindeutige) interne Zinsfuß ebenfalls positiv.

29 114 2) Bestimmung des internen Zinsfußes Hier werden Methoden behandelt, die das prinzipielle Vorgehen bei der Berechung des internen Zinsfußes klarmachen sollen. Ziel ist hierbei, ein Gefühl für die Höhe des internen Zinsfußes zu gewinnen. Bestimmung des internen Zinsfußes im Mehr-Perioden-Fall 1. Fall: 2. Fall 3. Fall Nur 2 Zahlungen Konstante zukünftige Allgemeiner Fall Zahlungen 1.Fall: Nur 2 Zahlungen ungleich Null Bsp.: Zero-Bond, Endfälliger Sparbrief Ü(t) Wie hoch ist der interne Zinsfuß (die Rendite) dieser Anlage? 0 = ( 1+ ρ) = ( 1+ ρ) = 1+ ρ = 1, ρ = 7,5 % 4 Allgemein im 2-Zeitpunkt-Fall: Ü ( T) ρ = T 1 Ü ( 0)

30 115 2.Fall: Konstante Zahlungen in der Zukunft Bsp.: Renten-Vertrag Ü(t) Wie hoch ist der interne Zinsfuß (die Rendite) dieser Anlage? 0 = RBF( ρ, T = 4) 100 = RBF( ρ, T = 4) 30 3, 33 = RBF( ρ, T = 4) Suche in Tabelle bei T=4 Jahre den Zinssatz, dessen Rentenbarwertfaktor am nächsten an 3,33 liegt. 7% RBF=3,38 8% RBF=3,31 7% < ρ < 8% Näherungslösung erhalten, die um so genauer ist, je feiner unterteilt die verfügbaren Tabellen sind. Allgemein bei Rentenzahlung: Ü ( ) RBF( T, ρ ) = 0 Rente ρ aus Tabelle

31 116 3.Fall: Allgemeiner Fall mit eindeutigem internen Zinsfuß Im allgemeinen Fall sind (zumindest) ab einem Polynom 5-ten Grades nur noch approximative Lösungen möglich. Ziel: Finde näherungsweise den internen Zinsfuß durch Ausprobieren! Methode: Es gibt eine Vielzahl von Methoden, die sich dadurch unterscheiden, wie schnell sie sich an den internen Zinsfuß annähern. Hier geht es nur um das Verständnis des Prinzips. Skizze eines Computerprogramms: 1) Suche zwei Zinssätze, so daß der eine zu einem positiven und der andere zu einem negativen Kapitalwert führt. C 0 (a) > 0, C 0 (b) < 0 Interner Zinsfuß muß zwischen den beiden liegen: a < ρ < b 2) Gebe eine Grenze vor, wie genau der interne Zinsfuß approximiert werden soll. 3) Errechne den Kapitalwert für einen Zinssatz c, der zwischen a und b liegt. (z.b. in der Mitte) 4) Wenn C 0 (c) > 0, dann muß der interne Zinsfuß zwischen c und b liegen. Setzte a := c Wenn C 0 (c) < 0, dann muß der interne Zinsfuß zwischen a und c liegen. Setzte b := c 5) Gehe zurück zu Schritt 3) und suche einen neuen Zinssatz c zwischen den bsiherigen Zinssätzen (Intervallgrenzen) und werte diesen aus. Wiederhole diese Prozedur bis das Intervall, in dem der interne Zinsfuß liegen muss, kleiner als die vorgegebene Genauigkeitsgrenze ist.

32 117 3) Interpretation des internen Zinsfußes Erweiterung des Ein-Perioden-Falls: 1) Interne Zinsfuß gibt die Verzinsung des in der jeweiligen Periode gebundenen Kapitals an. ( Kapitalbindung in t=0) Bsp.: Investition mit ρ=23,37 % Ü(t) Zinsen auf gebundenes Kapital -23,37-17,15-9,48 Tilgung -26,63-32,85-40,52 Gebundenes Kapital ,37 40,52 0 Annahme: Kapitalbindung reduziert sich, wenn die Einzahlung die Verzinsung des Kapitals übersteigt. Diese Annahme unterstellt: Jederzeitige Tilgung am Ende einer Periode möglich bzw. Einzahlungen können am Ende einer Periode zu ρ angelegt werden. 2) Interner Zinsfuß gibt den Kalkulationszinssatz an, ab dem das Investitionsprojekt unvorteilhaft wird. II Kritik der Internen-Zinsfuß-Methode Vorteil: ρ gibt einen kritischen Wert an, ab dem sich das Projekt lohnt, d.h. man kann den kritischen Wert zunächst berechnen, ohne sich auf einen bestimmten Kalkulationszinssatz festzulegen. Eventuell ist ρ so groß, daß auf jeden Fall ρ > i gilt.