Satz des Pythagoras Realschule / Gymnasium Klasse 9

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1 Satz de Pythagora Realchule / Gymnaium Klae 9 Alexander Schwarz Dezember 014 1

2 Aufgabe 1: Berechne die Länge der fehlenden Seite. Aufgabe : Peter hat ich eine Leiter gekauft, die er beim Antreichen einer Hauwand benötigt. Diee Leiter it 5,60 m lang. Damit ie nicht umkippt, mu ie am Boden 1,4 m von der Hauwand wegtehen. Wie hoch reicht die Leiter? Aufgabe 3: In einem gleichchenkligen Dreieck it die Bai 8,7 cm lang und die Schenkel jeweil 4,8 cm. Wie lang it die Höhe auf die Bai? Aufgabe 4: a) Berechne die Länge der Diagonale d in einem Rechteck mit den Seiten a = 7 cm und b = 4 cm. b) Gib eine Formel an für die Berechnung der Diagonale d in einem beliebigen Quadrat mit der Seitenlänge a. Aufgabe 5: Trage die folgenden Punkte in ein Koordinatenytem ein: A(1/3), B(5/) und C(4/6). Verbinde die Punkte zum Dreieck ABC und berechne den Umfang de Dreieck. Aufgabe 6: In einem gleicheitigen Dreieck haben alle Seiten jeweil die Länge a. a) Gib eine Formel für die Höhe de Dreieck in Abhängigkeit von a an. b) Gib eine Formel für die Fläche de Dreieck in Abhängigkeit von a an. Aufgabe 7: Gegeben it ein gleichchenklige Trapez ABCD, d.h. e it AD = BC. Berechne die Länge eine Schenkel, wenn a = 8 cm, c = 5cm und h = 6 cm it.

3 Aufgabe 8: In der nebentehenden Skizze ieht man den Querchnitt eine Deiche, der nach link zum Meer abfällt. Berechne die Höhe h und die Länge der dem Meer zugekehrten Böchung de Deiche. Aufgabe 9: Beim Bau von Eienbahntrecken werden Unebenheiten de Gelände oft durch Dämme augeglichen. Ein 6,5 m hoher Damm mit einem Böchungwinkel von 30 oll am Gleibett 13,7 m breit ein. Wie breit mu die Dammohle gewählt werden? Aufgabe 10: Wie hoch darf ein Schrank höchten ein, damit man ihn wie recht abgebildet durch Kippen auftellen kann? Aufgabe 11: Eine Lagerhalle it 45m lang und 35m breit. Ihr Dach it ein Pultdach, da auf einer Seite 8m und auf der anderen Seite 5m hoch it. Diee Dach oll nun neu gedeckt werden. Berechne dazu die Größe der Dachfläche. 3

4 Aufgabe 1: Die Kugel eine Gakeel hat einen Radiu von 14m. Sie oll durch ebenfall 14m lange Streben gehalten werden, welche die Kugel berühren. Der tiefte Punkt der Kugel oll 4m über dem waagrechten Erdboden liegen. Berechne den Abtand der Punkte A 1 und A in dem die Streben in der Erde befetigt werden. Aufgabe 13: a) Ein Baum it bei einem Sturm in 4m Höhe abgeknickt. Seine Spitze liegt 15m vom Stamm entfernt. Wie hoch war der Baum in m? b) Ein 5m hoher Baum it o abgeknickt, da eine Spitze 5m von einem Fuß entfernt aufliegt. In welcher Höhe in m it er abgeknickt? Aufgabe 14: 0 Eine Gerade hat die Steigung von 0% =, wenn ie auf 100m einen Höhenunterchied 100 von 0m bewältigt. a) Welche kontante Steigung müte eine Straße haben, die einen Höhenunterchied von 157m auf einer Strecke von 1800m überwindet? b) Wie lange wäre eine Straße mindeten, die bei maximal 10% Steigung einen Höhenunterchied von 157m überwindet? Aufgabe 15: In einem Rechteck it die Länge der einen Seite um 3 cm kürzer al die der anderen. Die Länge der Diagonalen beträgt 65 cm. Berechne die Länge der Rechteckeiten. Aufgabe 16: Gegeben it ein Quadrat mit der Seitenlänge a. Berechne den Radiu r de Kreie in Abhängigkeit von a. 4

5 Aufgabe 17: Eine Fliege itzt in der rechten unteren Ecke eine Schuhkarton mit den Maßen a = 40cm, b = 30cm und c = 0cm. Berechne die Länge der möglichen Krabbeltrecken d K1, d K und d K3 owie der direkten Flugtrecke d f zur gegenüberliegenden Ecke. Die Zwichenetappen der Krabbeltrecken liegen jeweil auf den Mittelpunkten der jeweiligen Quaderkanten. Aufgabe 18: Die abgebildete Pyramide hat eine quadratiche Grundfläche mit der Seitenlänge a. Gegeben ind die Maße = 8 cm und h = 6 cm. Betimme die Längen von a und h Aufgabe 19: Die abgebildete Pyramide hat ein regelmäßige Secheck mit der Seitenlänge a al Grundfläche. Ein regelmäßige Secheck etzt ich au ech gleicheitigen Dreiecken zuammen. Gegeben ind die Maße a = 4 cm und h = 5 cm. Betimme die Längen von und h. Aufgabe 0: Die begrenzte Sichtweite auf der Erdoberfläche liegt - neben dem manchmal chlechten Wetter - an der näherungweie kugelförmigen Getalt der Erde mit einem Erdradiu R von etwa 6370 km. a) Zeige, da für die Sichtweite folgende Formel gilt. wenn h die Augenhöhe oder Turmhöhe oder auch Flughöhe eine Flugzeug it: = R h + h b) Berechne die Sichtweite für eine Augenhöhe von h = 1,80 m. c) Wie weit it ein Segelchiff mindeten entfernt, wenn deen 1 m hohe Matpitze "hinter dem Horizont" verchwindet? 5

6 Aufgabe 1: = x x = 34 3,4 + 1 = y y = 1,56 3,54 z + 13 = 16 r + 8,7 = = 1 Löungen der Aufgaben z = = 87 9,3 r = 34 8,7 = 1080,31 3,9 = 1 9 = 63 7,94 Aufgabe : Zur Löung der Aufgabe hilft eine Skizze: x + 1, 4 = 5,6 x = 5,6 1,4 = 9,4 5,4 Die Leiter reicht etwa 5,4 Meter hoch. Aufgabe 3: Zur Löung der Aufgabe hilft eine Skizze de Dreieck. Die Höhe h de Dreieck teilt die Bai in zwei gleich große Teile. Anwendung de Satze von Pythagora auf die rechte Dreieckhälfte: h + 4,35 = 4,8 Die Höhe beträgt etwa,03 cm. h = 4,8 4,35 = 4,1175,03 6

7 Aufgabe 4: a) Die Länge der Diagonalen im Rechteck kann mit Hilfe de Satze von Pythagora ermittelt werden. d = d = = 65 8,06 cm b) Die Länge der Diagonalen kann mit Hilfe de Satze von Pythagora ermittelt werden. d = a + a d = a d = a = a Aufgabe 5: Zeichnung de Dreieck ABC: Zur Berechnung de Dreieckumfang müen die einzelnen Strecken berechnet werden. Eine "chräge" Strecke im Koordinatenytem kann mit Hilfe de Satze von Pythagora ermittelt werden durch Ergänzung der chrägen Strecke zu einem rechtwinkligen Dreieck (getrichelte Linien). AB = AB = 17 4,1 BC = BC = 17 4,1 AC = BC = 18 4,4 Umfang de Dreieck: U 4,1 + 4,1 + 4, 4 = 1, 48 Längeneinheiten 7

8 Aufgabe 6: Skizze de gleicheitigen Dreieck: 1 1 a) Höhe de Dreieck: h + a = a h = a a 4 3 a h = a = h = a 4 b) Fläche de Dreieck: 1 1 a a A = a h = a 3 = 3 4 Aufgabe 7: Ein gleichchenklige Trapez kann aufgeteilt werden in ein Rechteck und zwei (gleiche) rechtwinklige Dreiecke. Berechnung de rechten Schenkel b mit Hilfe de Satze von Pythagora: Eine Dreieckeite beitzt die Länge h = 6 cm. Die andere Dreieckeite beitzt die Länge a c 8 = 5 = 1,5 cm Nun gilt: b = 6 + 1,5 b = 36 +,5 = 38,5 6, cm Aufgabe 8: Durch da Einzeichnen der Höhe h de Trapeze entteht auf der rechten Seite de Trapeze ein rechtwinklige und gleichchenklige Dreieck (aufgrund de 45 -Winkel). Berechnung von h: h + h = 13 h = 169 h = 84,5 9, m 8

9 Im nächten Schritt kann die Länge mit dem rechtwinkligen Dreieck auf der linken Seite berechnet werden: Zwei der Dreieckeiten ind bekannt: h = 9, m und h = 50,8 m Berechnung von : = 9, + 50,8 = 665,8 51,6 m Aufgabe 9: Bei dieer Aufgabe mu ein kleiner Trick angewandt werden. Aufgrund de gegebenen 30 -Winkel kann da linke Dreieck durch eine Spiegelung zu einem gleicheitigen Dreieck ergänzt werden. Damit ergibt ich, da die Seitenlänge doppelt o groß ein mu wie die Höhe de Trapeze. = 6,5m = 13m Berechnung von w: w + 6,5 = 13 w = 13 6,5 = 16,75 11,3 m Die Dammohle hat eine Breite von 11,3m + 13,7m = 36,3 m. Aufgabe 10: Bei dieer Aufgabe mu man ich veranchaulichen, da die Diagonale d de Schranke die längte Strecke it, die um den Drehpunkt D de Schranke gedreht wird. Damit der Schrank in da Zimmer pat, darf diee Diagonale d maximal,4m lang ein. x + 0,6 = d d=,4 x =,4 0,6 x = 5, 4,3 m Der Schrank darf nicht höher al,3 m ein. 9

10 Aufgabe 11: Die Dachfläche der Lagerhalle it rechteckig und die Länge einer Rechteckeite it mit 45 m bereit bekannt. Berechnung der unbekannten Rechteckeite x: x = x = ,13 m Dachfläche: A = 45 35, m² Aufgabe 1: Durch da Einzeichnen einer Hilflinie kann der geuchte Abtand berechnet werden: y x Berechnung von x: Berechnung von y: x = x = 39 19,8 m y + 18 = 19,8 y = 19,8 18 = 68,04 8,5 m Der Abtand der Punkte, in dem die Streben befetigt ind, beträgt 8,5m = 16,5m Aufgabe 13: a) Skizze: x = x = 41 15,5 m Der Baum hatte eine Höhe von 15,5 + 4 = 19,5 Metern. 10

11 b) Skizze: x + 5 = (5 x) x + 5 = 65 50x + x x = 1 m Der Baum it in der Höhe von 1 m abgeknickt. Aufgabe 14: a) Berechnung von x: x = 1800 x = m Die Steigung der Straße beträgt 157m 0,0876 8,76% 1793m = b) Bei einer Steigung von 10% beträgt die waagrechte Komponente = 1570m Berechnung der Straßenlänge: y = Die Straße it mindeten 1578m lang. y = m 11

12 Aufgabe 15: Die Seiten de Rechteck haben die Länge x und x - 3. Mit dem Satz de Pythagora folgt: x + (x 3) = 65 x + x 6x + 9 = 65 x 6x 56 = 0 6 ± ± a-b-c-formel: x1, = = 4 4 Darau folgt x1 = 7 und x = 4 Da die negative zweite Löung nicht innvoll it, gilt x = 7. Die Rechteckeiten ind x = 7 cm und x - 3 = 4 cm lang. Aufgabe 16: Mit Hilfe de Einzeichnen eine geeigneten rechtwinkligen Dreieck kann der Radiu r de Kreie berechnet werden. Die Seiten de rechtwinkligen Dreieck haben die Länge 1 a bzw. 1 a r + bzw. a r. E gilt: 1 1 a + ( a r) = a + r 1 1 a + a ar + r = a + ar + r 4 4 a 3ar 0 a a 3r = 0 = ( ) Mit dem Satz vom Nullprodukt folgt darau: a = 0 oder a = 3r. 1 Da a = 0 keine innvolle Löung it, gilt 3r = a r = a 3 Der Radiu de Kreie entpricht einem Drittel der Quadrateitenlänge. 1

13 Aufgabe 17: Krabbeltrecke 1: Teil 1: Teil : c + (0,5a) = = 800 b + (0,5a) = = 1300 dk1 64,3cm Krabbeltrecke : Teil 1: Teil : c + (0,5b) = = 65 a + (0,5b) = = 185 dk 67,7cm Krabbeltrecke 3: Teil 1: Teil : a + (0,5c) = = 1700 b + (0,5c) = = 1000 dk3 7,9cm Flugtrecke: Für die Länge der Grundflächendiagonale gilt Für die Flugtrecke gilt f f = + = cm dg d = d = 900 = 53,9 cm Aufgabe 18: Mit Hilfe der gegebenen Längen und h kann die halbe Diagonale der quadratichen Grundfläche berechnet werden: = h + (0,5d) 8 = 6 + 0,5d 0,5d = 8 d = 11 10,6 cm Mit Hilfe der Diagonalen de Quadrat kann a berechnet werden: a + a = d a = 11 a = 56 7,5cm Berechnung von h : = + h (0,5a) h = 8 3,75 h = 49,9375 7,07 cm Aufgabe 19: Im erten Schritt wird die Höhe eine der gleicheitigen Dreiecke berechnet, au denen ich da Secheck zuammenetzt: h + (0,5a) = a h = 4 h = 1 3, 46 cm Nun kann h berechnet werden: = + h h h h = 5 + 3, 46 h = 36,9716 6,1cm Berechnung von : = h + (0,5a) = 6,1 + = 41,1 6,4 cm 13

14 Aufgabe 0: a) Mit dem Satz de Pythagora folgt: + R = (R + h) + R = R + R h + h = R h + h = R h + h b) Für h = 1,80 m und R = 6370km = m gilt: = ,80 + 1, ,74m Die Sichtweite beträgt ca. 4,8 km. c) Die Höhe h it nun der 1 m hohe Mat. = ,5m Da Schiff it etwa 1,4 km entfernt. 14