M5 Viskosität von Flüssigkeiten

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1 Christian Müller Jan Philipp Dietrich M5 Viskosität von Flüssigkeiten I. Dynamische Viskosität a) Erläuterung b) Berechnung der dynamischen Viskosität c) Fehlerrechnung II. Kinematische Viskosität a) Gerätekonstanten eines Kapillarviskosimeters b) Kinematische Viskosität destilierten Wassers c) Auswertung I. Dynamische Viskosität a) Erläuterung Zur Ermittlung der dynamischen Viskosität η benutzen wir ein Höppler-Viskosimeter. Im Inneren dieses Viskosimeters befindet sich eine Metallkugel, deren Fallzeit wir in der zu untersuchenden Flüssigkeit mit Hilfe einer Stoppuhr messen. Aus der vorgegebenen Dichte der Kugel und der temperaturabhängigen Dichte der Flüssigkeit können wir dann die dynamische Viskosität über die Formel η = K (ϕ K - ϕ F ) t bestimmen. Gemessen wurde die Fallzeit und die Dichte in 5 Grad Schritten angefangen bei 20 C bis hin zu 50 C. Ab 30 C wurden mehrere Fallzeitmessungen durchgeführt und die Zeit jeweils gemittelt. b) Berechnung der dynamischen Viskosität Unsere Messungen lieferten folgende Werte für t1, t2, t3 und die Dichte ϕ Φ, aus welchen wir dann den Mittelwert der Zeit t und den Kehrwert dieses Mittelwertes errechneten. Temperatur [C ] T 1 [s] t 2 [s] t 3 [s] Mittelwerte t ϕ Φ [g/cm³] 1/t [s -1 ] , ,11 0,86 0, , ,84 0,8575 0, ,01 77,15-77,08 0,855 0, ,51 56,78 56,7 57,33 0,8525 0, ,95 44,97 44,73 44,88 0,85 0, ,35 34,95 35,37 34,89 0,8475 0, ,06 27,95 28,68 28,23 0,846 0,

2 Trägt man nun die Dichten der zu untersuchenden Flüssigkeit über die gemittelten Zeiten auf, so ergibt sich folgendes Bild: 0,862 Dichte der Flüssigkeit [g/cm³] 0,860 0,858 0,856 0,854 0,852 0,850 0,848 0,846 0, Temperatur [ C] (schwarze Punkte: gemessene Werte rote Gerade : Ausgleichsgerade) Aus den gemessenen Daten konnten wir nun mithilfe von Excel eine Ausgleichsgerade erstellen, deren Formel y = -0,0005x + 0,8694 lautet. Über diese Formel rechnen wir nun die gemittelten Werte für die Dichte aus und erhalten: Temperatur [C ] gemessene Dichte [g/cm³] gemittelte Dichte [g/cm³] 20 0,860 0, ,858 0, ,855 0, ,853 0, ,850 0, ,848 0, ,846 0,844 Nun können wir die dynamische Viskosität über die bereits genannte Formel η = K (ϕ K - ϕ F ) t errechnen. Zusammen mit dem bereits vorgegebenenen Wert für die Dichte der Kugel ϕ K =8,139 g/cm³ und der Kugelkostanten K=0, mpa cm³/g ergibt sich folgende Tabelle:

3 Temperatur [C ] dyn. Viskosität η [mpa s] , , , , , , ,37 140,00 dyn. Viskosität [mpa s] 120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0, Temperatur [C ] Eine alternative Darstellung zu dieser Grafik, welche die dynamische Viskosität aufgetragen über der Temperatur zeigt, wäre der Logarithmus der dynamischen Viskosität über dem Kehrwert der Temperatur, da die Viskosität vieler Flüssigkeiten folgender Beziehung genügt: η = A e B/T Wobei A und B für Materialkonstanten und T für die Zeit stehen. Mithilfe dieser Beziehung ergibt sich folgendes Bild:

4 2,2 dyn. Viskosität (logarithmisch) 2 1,8 1,6 1,4 1, ,005 0,01 0,015 0,02 0,025 0,03 0,035 0,04 1/T [1/C ] c) Fehlerrechnung (rot: Ausgleichsgerade) Zur Fehlerrechnung wählen wir den Wert der dynamischen Viskosität bei der Temperatur 35 C. Zunächst müssen wir die Messunsicherheit der Dichte bestimmen. Da wir nur eine Messung durchgeführt haben, können wir nur die Ableseungenauigkeit angeben. Diese lag bei einem halben Skalenstrich in unserem Fall also bei U ϕ = 0,005g/cm³. Bei der Temperatur haben wir 3 Messungen pro Temperatur durchgeführt, somit können wir die Vertrauensabweichung mithilfe der Formel _ U T =S σ t / n Wobei S hier dem Studentenfaktor entspricht, σt der Standardabweichung der Temperaturmessungen und n der Anzahl der Messungen. Somit ergibt sich ein Wert von U T = 2,539s Mit den so gewonnenen Messunsicherheiten und des Fehlerfortpflanzungsgesetztes, dass in diesem Fall U η = ( η/ ϕ) Uϕ + ( η/ t) U t U η = Kt Uϕ + K (ϕ K - ϕ F ) U t Lautet, können wir nun die Messunsicherheit der dynamischen Viskosität bestimmen:

5 U η = 2,4 Somit ergibt sich als Endergebnis für die dynamische Viskosität bei 35 C: η = (53 ± 3) mpa s II. Kinematische Viskosität a) Gerätekonstanten eines Kapillarviskosimeters Beim Kapillarviskosimeter wird die kinematische Viskosität bestimmt, indem man eine Flüssigkeit vorher bestimmten Volumens durch eine senkrecht stehende Kapillare vorgegebener Länge ablaufen lässt und die Zeit des gesamten Prozesses stoppt. Die kinematische Viskosität errechnet sich aus dem Hagen-Poiseuilleschen Gesetz in Kombination mit der sogenannten Hagenbachschen Korrektur, welche noch zusätzlich die Beschleunigung einer Flüssigkeit bei einer Verengung der Kapillare berücksichtigt. Die entsprechende Formel lautet: ν = [πghr 4 /(8Vl)] t - [1,1V/(8πl)] t -1 = K t K` t -1 Hierbei steht h für die mittlere Fallhöhe der Flüssigkeit, r für den Radius der Kapillare, V für das Volumen der auslaufenden Flüssigkeit, l für die Länge der Kapillare durch welche die Flüssigkeit fließt und t für die Zeit, die die Flüssigkeit benötigt um durch die Kapillare zu fließen. Da es sich bis auf die Zeit t um gerätespezifische Konstanten handelt können diese zu den beiden Gerätekonsten K und K zusammengefasst werden. K = πghr 4 /(8Vl) K =1,1V/(8πl) Zur Bestimmung des Volumens haben wir destiliertes Wasser in den Behälter gepumpt, in welchen auch beim späteren Versuch die Flüssigkeit hineingepumpt wird, und danach das Wasser aus der Aparratur in ein Becherglas laufen lassen, bei welchem wir dann das Volumen abmessen konnten. Dieser Prozess wurde 5 mal wiederholt. Als Messergebnisse ergaben sich bei allen 5 Messungen ein Volumen von 11,5ml. Somit bleibt ausschließlich die Ablesegenauigkeit als Messunsicherheit übrig, welche in unserem Fall UV=0,25ml beträgt, da alle 0,5ml ein Skalenstrich vorhanden war. Die Länge l der Kapillare und die mittlere Fallhöhe h wurden mithilfe eines Lineals an der Apparatur abgemessen. Als Werte ergaben sich nach einmaligem Ablesen: l = 9,0cm und h = 11,0cm. Die Ablesegenauigkeit betrug jeweils 0,05cm. Der Durchmesser 2r wurde mithilfe des Abbe-Komparators gemessen. Daraus ergab sich ein wert für r von 0,389mm mit einer Ablesegenauigkeit von 0,0005mm. Setzt man diese gemessenen Werte nun in die Formeln für K und K ein (für g nehmen wir den Wert 9,81m/s² an), erhält man:

6 K = πghr 4 /(8Vl) = 9, m²/s² K =1,1V/(8πl) = 5, m² Die Messunsicherheiten der Gerätekonstanten können wir nun mit dem linearen Fehlerfortpflanzungsgesetz wie folgt berechnen: U K = K ( U h /h + 4 U r /r + U V /V + U l /l ) = m²/s² U K = K ( U V /V + U l /l ) = m² Somit ergeben sich folgende Endergebnisse: K = (9,4 ± 0,3) 10-9 m²/s² K = (5,59 ± 0,04) m² b) Kinematische Vikosität destilierten Wassers Zur Bestimmung der kinematischen Viskosität haben wir nun 5 mal destiliertes Wasser die vorgegebene Strecke herunterfließen lassen und dabei die Zeit gemessen, die die gesamte Flüssigkeit benötigte um das Rohr zu durchfließen. Es ergaben sich dabei folgende Messwerte: Fallzeiten t [s] T 0 78,22 T 1 78,53 T 2 77,20 T 3 78,38 T 4 77,57 Als Mittelwert ergibt sich somit: t = 77,98s Die Messunsicherheit beträgt 0,1s für die Ablesegenauigkeit und als systematische Messunsicherheit erhalten wir: U St = T σ t / n = 2,8 0,6s/ 5 = 0,8s In der Formel für die Vertrauensabweichung steht T für den Studentfaktor, σt für die Standardabweichung der Zeit und n für die Anzahl der Messungen. Somit erhalten wir insgesamt als Messunsicherheit der Zeit einen Wert von 0,9s. t = 78,0s ± 0,9s Nach Einsetzen der Zeit in die oben genannte Formel erhalten wir: ν = K t K` t -1 = 6, m²/s Mit unseren ermittelten Werten können wir nun den zeitlichen Verlauf von ν grafisch darstellen:

7 Kinematische Viskosität [m²/s] 2,00E-06 0,00E+00-2,00E-06-4,00E-06-6,00E-06-8,00E-06-1,00E Zeit t [s] (schwarzer Punkt: experimentell bestimmter Wert) Zur Berechnung der Messunsicherheit greifen wir wieder auf das lineare Fortpflanzungsgesetz zurück, diesmal können wir jedoch nicht auf die vereinfachte Form zurückgreifen, da die einzelnen Werte diesmal nicht miteinander multipliziert werden. Somit ergibt sich: U ν = ( ν/ K) U K + ( ν/ K ) U K + ( ν/ t) U t U ν = t U K + t -1 U K + (K-K t -2 ) U t U ν = Wir halten so als Endergebnis: ν = (6,6 ± 0,4) 10-7 m²/s In der Literatur finden wir einen Wert von ν = 1, m²/s für destiliertes Wasser. Dies entspricht einer Abweichung von 34,6%.

8 c) Auswertung Wie man anhand des Literaturwertes sehen kann, weicht unser gemessener Wert doch recht stark vom wahren Wert ab. Gleichzeitig lässt dich Berechnung der Messunsicherheit ein wesentlich genaueres Ergebnis vermuten (der wahre Wert liegt nicht im errechneten Bereich). Gründe dafür liegen vermutlich vor allem in der Messung von Volumen V der Länge l und der mittleren Fallhöhe h. Bei der Volumenmessung bestand das Problem darin, dass zum einen der Wert im Gefäß nicht besonders genau abgelesen werden konnte, zum anderen der Körper, in welchem später die Flüssigkeit gepumpt wurde nicht klar abgegrenzt werden konnte. Bei den Längenmessungen bestand das Problem darin, dass die Maßstäbe nicht exakt angelegt werden konnten, da die Aparatur keine geraden Flächen zum Anlegen bot. Zum Schluss ist noch zu Erwähnen dass die Hagenbachsche Korrektur bei unserem Versuchsaufbau nicht vernachlässigbar ist, da sich das Rohr zu Beginn sehr stark verjüngt (von einigen Zentimetern Durchmesser auf einen knappen Millimeter Durchmesser). Christian Müller Jan Philipp Dietrich