Gravitation. Vier fundamentale Kräfte, genannt Wechselwirkungen, gibt es in der Natur:

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1 Gravitation Kräfte Wir wollen uns nochmals klar machen, was wir unter Kraft verstehen. Nähern sich zwei Körper oder entfernen sich diese beschleunigt, so ist das die Auswirkung einer Kraft (siehe Bewegungen und ihre Ursachen, Seite 1). Kraft...welche Kraft?... Vier fundamentale Kräfte, genannt Wechselwirkungen, gibt es in der Natur: 1. die Gravitationskraft. die elektromagnetische Kraft 3. die starke Kraft 4. die schwache Kraft 1. Die Gravitationskraft ist dafür verantwortlich, daß die Planeten auf ihren Umlaufbahnen um die Sonne gehalten werden, daß der Mond auf seiner fast kreisförmigen Bahn um die Erde fliegt, sie führt zur Gezeitenbildung, sie ist die Ursache für das Fallen des Apfels vom Baum... sie ist die Schwerkraft.. Die elektromagnetische Kraft umfaßt elektrische wie auch magnetische Kräfte. Ein vertrautes Beispiel ist die Anziehung zwischen kleinen Papierfetzen und einem Kamm, der zuvor durch die Reibung an den Haaren aufgeladen wurde. 3. Die starke Wechselwirkung kommt zwischen Kernteilchen vor, z.b. den Neutronen und Protonen. Sie bewirkt, daß die Kerne zusammengehalten werden. Die Reichweite dieser enormen Kraft ist nur sehr gering. 4. Die schwache Wechselwirkung besitzt wie die starke eine sehr kleine Reichweite (in der Größenordnung des Kerndurchmessers); sie kommt zwischen Elektronen und Protonen oder Neutronen vor. Sie ist für eine bestimmte Art des radioaktiven Zerfalls, den β-zerfall, verantwortlich. Seite 1

2 Die vier fundamentalen Kräfte wirken zwischen Teilchen, die räumlich voneinander getrennt sind. Man spricht von der "Wirkung über eine Entfernung" hinweg. In diesem Kapitel wenden wir uns der Gravitationskraft zu. Die Gravitationskraft ist von allen vier Fundamentalkräften die schwächste Kraft. Es ist ja bekanntlich schwierig, die zwischen Objekten des täglichen Lebens wirkende Gravitationskraft direkt zu beobachten, selbst wenn ihre Massen mehrere tausend Kilogramm betragen. Die Gravitation ist jedoch ganz wesentlich, wenn wir Körper mit sehr großen Massen beobachten: Planeten, Monde, Sterne... Vor der näheren Betrachtung der Gravitationskraft stellen wir noch die von Johannes Kepler empirisch gefundenen Gesetze, genannt "Kepler - Gesetze" Kepler ( ) war auch am Hof des Kaisers Rudolf II. Mitarbeiter des Mathematikers und Hofastronomen Tycho Brahe (Bild rechts) und später sein Nachfolger. Die noch ohne Fernrohr in 0jähriger Arbeit erstellten sorgfältigen Beobachtungsergebnisse Brahes an Planeten (besonders am Mars) wurden von Kepler ausgewertet, wobei er 1605 die Marsbahn als elliptisch anstatt kreisförmig erkannte.1609 fand er die beiden ersten "Keplerschen Gesetze" fand er- als Professor am Gymnasium zu Linz- das 3. Keplersche Gesetz. Bis zu jenen Jahren hatte die Lehre des Aristoteles 000 Jahre lang Gültigkeit gehabt Die Erde im Mittelpunkt der Welt werde von Sonne und Planeten auf Kreisbahnen umrundet... Weltbilder ändern sich... Altes Weltbild nach der Lehre des Aristoteles, genannt: "Ptolemäisches Weltbild" Kopernikanisches Weltbild Seite

3 Kepler - Gesetze 1. Alle Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen um die Sonne, wobei die Sonne in einem der Brennpunkte der Ellipse steht. Preihel ist der sonnennächste Punkt eines Planeten auf seiner Bahn und Aphel der sonnenfernste Punkt.. Die Verbindungslinie zwischen der Sonne und einem Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen. 3. Die Quadrate der Umlaufzeiten T 1 und T zweier Planeten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a 1 und a der Bahnellipsen. T T 1 a a T 1 = oder = 3 3 a 1 T a Seite 3

4 Wir wollen uns nun einzeln mit jedem Gesetz befassen. Zum 1. Keplerschen Gesetz Das erste Kepler- Gesetz verhalf einem neuen Weltbild zum Durchbruch. Daher will ich diese Seite hier n u r d e n W e l t b i l d e r n widmen: Das gesamte astronomische Wissen der alten Zeit war von Cl. Ptolemäus ( n. Chr.), Bild links, zusammengefaßt worden. Sein Buch Almagest blieb 1400 Jahre für die Himmelskunde maßgebend. Darin sind folgende Annahmen entscheidend: Die Erde steht im Mittelpunkt der Welt Die Himmelskörper bewegen sich mit konstanten Bahngeschwindigkeiten auf kreisförmigen Bahnen. Diese beiden Grundannahmen sind durch die Astronomen des Altertums einmal aus den Beobachtungen der täglichen Gestirnbewegungen, die den Eindruck erwecken, als ob die Erde ruhend im Mittelpunkt der Welt stünde, abgeleitet worden. Zum anderen sind sie aber auch ein Ausdruck mythischer Vorstellungen, nach denen man in den Himmelskörpern göttliche Wesen sah, denen nur die vollkommenste aller Bewegungen angemessen sein sollte. Als vollkommenste Bewegung betrachtete man damals die Kreisbewegung. Wenn nun bei bestimmten Himmelskörpern wie den Planeten Abweichungen von der Kreisbahn beobachtet wurden, so kombinierte man mehrere Kreisbewegungen miteinander. Die so entstandenen Kurven bezeichnet man als Epizykloiden und diese Theorie der Planetenbewegung als Epizyklentheorie. Durch geeignete Wahl der Radien und der Umlaufzeiten gelang es Ptolemäus, charakteristische Schleifen von Planetenbewegungen mit großer Annäherung darzustellen. Auf dieser Grundlage wurden Planetenbahnen berechnet, Tafeln hierüber aufgestellt, im genannten Almagest festgehalten und mit wiederholten Verbesserungen bis zum Ausgang des Mittelalters benutzt. Eine neue Vorstellung über das Himmelsgeschehen veröffentlichte N. Kopernikus ( ) in seinem Werk De revolutionibus orbium coelesticum. Seine Hauptannahmen sind: Die Erde dreht sich täglich einmal um ihre eigene Achse. Die Erde und die Planeten bewegen sich auf Kreisbahnen um die Sonne. Die Erde verliert hier ihre bevorzugte Stellung als ruhender Mittelpunkt der Welt und bewegt sich wie die übrigen Planeten um die Sonne. Das bedeutete erstens einen Bruch mit dem damaligen religiösen Glauben und brachte zweitens keine bessere Übereinstimmung mit den Erfahrungswerten über die Planetenbahnen, denn- so kompliziert die Ptolemäischen Epizyklen auch waren- gepaßt haben sie nicht schlechter als die neuen Kreisbahnen des Kopernikus Nun wurden die Kreisbahnen des Kopernikus aber durch Keplers Ellipsenbahnen ersetzt, und plötzlich stimmten Rechnung und tatsächliche Planetenbahn überein... bis auf einige Ausnahmen, auf die wir noch zu sprechen kommen werden. Seite 4

5 Zum. Keplerschen Gesetz Das. Keplergesetz wird auch als Flächensatz bezeichnet. Wenn man die an verschiedenen Stellen der Planetenbahn in einem bestimmten Zeitintervall zurückgelegten Wege ermittelt, so zeigt sich, daß diese verschieden lang sind. Sie sind so beschaffen, daß die vom Verbindungsstrahl Sonne- Planet überstrichenen Flächen gleich groß sind. Hieraus folgt: Die Bahngeschwindigkeit der Planeten hat im Perihel den größten und im Aphel den kleinsten Betrag. Die Erde erreicht den sonnennächsten Punkt Anfang Jänner und den sonnenfernsten Punkt im Juli. Zum Zustandekommen der Jahreszeiten: Die Erdachse steht nicht senkrecht auf der Ebene der Erdbahn. Täglich dreht sich die Erde einmal um diese ihre Richtung nicht verändernde Achse. In der linken Stellung trifft mehr Sonnenstrahlung auf die nördliche Halbkugel, dort herrscht dann Sommer. In der rechten Stellung trifft mehr Sonnen-strahlung auf die südliche Halbkugel - im Norden herrscht Winter. Zum 3. Keplerschen Gesetz Das 3. Keplergesetz aufzufinden, gelang dem Entdecker 10 Jahre, nachdem die beiden ersten feststanden. T1 T Der Ausdruck = 3 3 ist konstant, gleichgültig welcher Planet gemeint ist- der a1 a mit der Nummer 1 oder mit der Nummer oder... für alle Planeten des Sonnensystems hat 3 T k = den gleichen Wert! a Seite 5

6 Man kann diesen Wert berechnen, indem man die Umlaufzeit T und die Länge a der großen Halbachse für irgendeinen Planeten einsetzt. Für die Erde ist T = 3, s und a = 1, m. Es ergibt sich also durch Einsetzen... Für ein anderes Planetensystem, das anstelle der Sonne ein Zentralgestirn mit einer anderen Masse besitzt, würde sich ein anderer Wert für k ergeben. Das dritte Kepler-Gesetz gilt auch für die Bewegung künstlicher Satelliten um die Erde. Auch hier gehört zu jeder Umlaufzeit T ein ganz bestimmter Bahnradius r bzw. eine ganz bestimmte Halbachse a. Es ist daher unmöglich, bei einem Satelliten sowohl die Umlaufzeit T als auch den Bahnradius r bzw. die große Halbachse a willkürlich zu wählen. Wenn man das eine Bestimmungsstück frei gewählt hat, dann ist das andere damit zwangsläufig gegeben. Auch für das Weltraumteleskop gilt das 3.Keplersche Gesetz! Seite 6

7 Das Newton- Gravitationsgesetz Die Keplerschen Gesetze waren ein wichtiger Schritt zum Verständnis der Planetenbewegung. Es handelte sich bei ihnen aber nur um empirisch aufgestellte Regeln, die aus den astronomischen Beobachtungen von Brahe hervorgingen. Newton erst tat den riesigen Schritt nach vorne und schrieb die Beschleunigung eines Planeten auf seiner Bahn einer Kraft zu, die zwischen der Sonne und dem Planeten wirkt. Erinnern Sie sich daran: keine krumme Bahn und auch keine sich ändernde Geschwindigkeit ohne Krafteinwirkung. Schon andere vor Newton hatten eine solche Kraft postuliert, aber erst Newton konnte beweisen, daß diese Kraft genau die von Kepler beobachteten elliptischen Bahnen zur Folge hat. In Folge dieser Erkenntnis behauptete er kühn, daß diese Kraft zwischen allen Objekten im Universum wirke. (Vor Newton war es nicht einmal allgemein anerkannt, daß die physikalischen Gesetze, die auf der Erde beobachtet wurden, auch für die Himmelskörper galten.) Sein Gesetz, das er auf theoretischem Wege für die Sonne und die Planeten gefunden hatte, können wir nachvollziehen, indem wir für zwei Planeten die Formeln für die Zentripetalkräfte F a und F b verwenden und im Verhältnis F a / F b für die Umlaufzeiten das dritte Keplersche Gesetz einsetzen. Einsetzen des 3. Keplergesetzes: (Formeln nur für bes. Interessierte) Die Gravitationskraft ist also zum Quadrat der Entfernung indirekt proportional. Sie ist zur Masse des angezogenen Körpers direkt proportional. Wegen der Symmetrie jeder Wechselwirkung muß die zwischen zwei Körpern wirksame Gravitationskraft zur Masse jedes der beiden Körper proportional sein. Das Gravitationsgesetz von Newton lautet daher: Seite 7

8 Die zwischen zwei Massenpunkten (oder homogenen Kugeln) wirkende Gravitationskraft ist zum Quadrat ihrer Entfernung verkehrt proportional. Sie ist zudem zur Masse jedes Massepunktes direkt proportional. F = G m 1 r m ² r... G... m 1, m... Abstand Gravitationskonstante Massen Newton veröffentlichte sein Gravitationsgesetz im Jahre 1686, aber es dauerte noch etwa ein Jahrhundert, bis Cavendish die Konstante G experimentell relativ genau bestimmen konnte. Zur Bestimmung der Gravitationskonstante G: Die Bestimmung der Gravitationskonstante G ist aus astronomischen Beobachtungen nicht möglich: Dazu müßten für zwei Himmelskörper alle im Gravitationsgesetz auftretenden Größen ermittelt werden. Im Laboratorium können die Massen m 1, m und der Zentralabstand kugelförmiger Körper leicht ermittelt werden. Es macht aber große Schwierigkeiten, die außerordentlich geringe Gravitationskraft zu messen. Dies gelang erstmals Henry Cavendish ( ) im Jahre 1778 mit einer Drehwaage. Seite 8

9 Prinzip der Drehwaage: Eine leichte Stange mit einer kleinen Kugel an jedem Ende hängt an einem langen dünnen Faden. Die Waage ist unter einer Glasglocke aufgestellt, um störende Luftströmungen fernzuhalten. Außerhalb der Glasglocke sind zwei sehr schwere Kugeln aufgestellt, die um eine Mittelachse gedreht werden können. Wenn die Waage zur Ruhe gekommen ist, wird die Stellung der großen Kugeln verändert, und man beobachtet, daß sich die Stange mit den kleinen Kugeln in Folge der Gravitationskräfte der großen Kugeln um einen gewissen Winkel dreht. Aus dem gemessenen Ablenkwinkel und dem Widerstand des Fadens gegen Verdrillung kann man die Kraft berechnen, mit der die großen Kugeln auf die kleinen wirken und daraus die Gravitationskonstante G bestimmen. Das Ergebnis lautet: Die Gravitationskonstante ist vom Material der anziehenden Körper unabhängig und hat den Wert G = 6, N m² / kg². Anwendungen des Newton - Gravitationsgesetzes: Das Newton-Gravitationsgesetz hat manche Anwendungen gefunden, von denen wir zwei behandeln wollen: 1.) Berechnung der Erdmasse m e : Ein Körper mit der Masse m, der sich an der Erdoberfläche befindet, wird von der Erde mit einer Kraft F angezogen, für die gilt: Hieraus folgt: Seite 9

10 .) Die Berechnung der mittleren Erddichte r e : Für die Dichte der Erde gilt: Die experimentelle Bestimmung der Erddichte in den oberen Schichten führt zu dem erheblich kleineren Wert von rund,7g/cm³. Es muß daher angenommen werden, daß die Erde in den tieferen Schichten Stoffe mit einer größeren Dichte besitzt. Wahrscheinlich handelt es sich um einen aus Eisen und Nickel bestehenden Kern. Das Newton- Gravitationsgesetz hat nach seiner Entdeckung viele Bewährungsproben bestanden. Scheinbare Widersprüche zwischen Beobachtung und Theorie konnten in allen Fällen dadurch beseitigt werden, daß Rechnung oder Beobachtung nicht genau genug gewesen waren oder daß es da vielleicht eine Störung gab: Bei Uranus, den man zu Beginn des vergangenen Jahrhunderts noch für den äußersten Planeten unseres Sonnensystems gehalten hatte, zeigten sich gewisse, nicht erklärbare Abweichungen von der berechneten Bahn. Man wollte die Schwierigkeiten beseitigen und kam auf den Gedanken, daß ein außerhalb der Uranusbahn existierender bis dahin unbekannter Planet die Ursache für die festgestellten Abweichungen sein könnte. Der Astronom U.J.J. Leverrier ( ) berechnete mit Hilfe des Newtongesetzes aus den beobachteten Störungen die Masse und die Umlaufzeit des vermuteten Planeten. Er konnte dann auch den Ort bestimmen, an dem der Planet sich am ersten Jänner 1847 befinden sollte. Da es damals an der Berliner Sternwarte ein besonders gutes Fernrohr gab, bat er den dortigen Astronomen J.G. Galle ( ), die errechnete Stelle des Himmels abzusuchen. In der Tat fand dann Galle in unmittelbarer Nähe des berechneten Ortes einen bis dahin unbekannten kleinen Stern, der noch in der gleichen Nacht als Planet identifiziert werden konnte. Er erhielt den Namen Neptun. Seite 10

11 Ein ähnlicher Vorgang hat sich später noch einmal wiederholt. Auch der Planet Neptun zeigte bei seiner Bewegung Unregelmäßigkeiten, die auf das Vorhandensein eines weiteren Planeten außerhalb der Neptunbahn schließen ließen. Ein solcher Planet konnte auch tatsächlich gefunden werden: Der Planet Pluto. Genauere Untersuchungen haben dann jedoch gezeigt, daß die Masse dieses Planeten zu klein ist, um durch ihn die Störungen der Neptunbahn erklären zu können. Es ist bis heute nicht entschieden, ob es außerhalb der Neptunbahn noch einen weiteren Planeten gibt, der die Unregelmäßigkeiten bei der Bewegung des Neptun hervorbringt oder ob diese eine andere Ursache haben. Es gelang schließlich, die Gültigkeit des Gravitationsgesetzes auch außerhalb unseres Planetensystems nachzuweisen. Die Physik ist dadurch ihrem Ziel ein großes Stück nähergekommen: die bunte Mannigfaltigkeit der Naturerscheinungen durch möglichst wenige und möglichst einfache Naturgesetze zu erfassen. Mondsprung Die Mondmasse beträgt nur ungefähr ein Sechstel der Erdmasse. Deshalb ist die Gravitationskraft auf dem Mond nur 6 1 so groß wie auf der Erde. Bei gleicher Muskelkraft wird ein Sprung auf dem Mond sechsmal so hoch wie auf der Erde! Seite 11

12 Literatur: Bayer, Reinhardt et al.: Impulse Physik. Verlag Ernst Klett: Stuttgart Collatz, Klaus-Günter et al.: Lexikon der Naturwissenschaftler. Spektrum Akademischer Verlag: Heidelberg Berlin Oxford De Curtis, Stefania/Ferrer, Julian Fernandez: Physik. Reihe: Wissen heute auf einen Blick. Verlag Kaiser: Klagenfurt 199. Höfling, Oskar: Physik. Lehrbuch für Unterricht und Selbststudium. Verlag Ferdinand Dümmler: Bonn 1990 (15.Auflage). Jaros, Albert/Nussbaumer, Alfred/Nussbaumer, Peter: Basiswissen 1. Physik - compact. Verlag Hölder-Pichler-Tempsky: Wien Kippenhahn, Rudolf: Abenteuer Weltall. Dtsch. Taschenbuch Verlag: München, Learner, Richard: Die Geschichte der Astronomie. Verlag Christian: München Schreiner, Josef: Angewandte Physik 1. Verlag Hölder-Pichler-Tempsky: Wien Sckell, O.: Physik-Repetitorium. Verlag Dr. O. Sckell: Marburg a.l. o.j. 31.Auflage. Sexl/Raab/Streeruwitz: Physik, Teil. Verlag Ueberreuter: Wien Stütz-Uhlmann: Von der Physik 4. Verlag E.Dorner: Wien Tipler, Paul A.: Physik. Spektrum Akademischer Verlag: Heidelberg Berlin Oxford Seite 1