MATHEMATIK GRUNDWISSEN 8. KLASSE LESSING-GYMNASIUM

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3 I. Funktionen. Direkt proportionale Zuordnungen und sind direkt proportional, wenn, zum n-fachen Wert für der n-fache Wert für gehört, die Wertepaare quotientengleich sind, d.h. es gilt: m bzw. m, wobei m der Proportionalitätsfaktor ist, die Punkte ( ) auf einer Ursprungsgeraden liegen.,, Apfelmasse in kg, Preis in,0,00 8,7,0 in 8 Proportionalitätsfaktor,0,00 8,7,0 m,0, Gleichung:,0, O in kg. Indirekt proportionale Zuordnungen und sind indirekt proportional, wenn zum n-fachen Wert für der n -fache Wert für gehört, die Wertepaare produktgleich sind, d.h. es gilt: c, c, die Punkte ( ) auf einer Hperbel liegen., Zeit t in h,, 6 v in km/h 60 Geschwindigkeit v in km h c, 60, Gleichung: : :, 0 O 0 t in h Lessing-Gmnasium Neu-Ulm Seite von

4 . Funktionen Eine Funktion f ist eine eindeutige Zuordnung. Sie ordnet jedem zulässigen -Wert genau einen - Wert zu. Schreibweisen: Zuordnungsvorschrift: f : f : 0, + Funktionsgleichung: f() f () 0, + Der von abhängige Wert f () bzw. heißt Funktionswert. Kriterium, ob ein Graph einer Funktion vorliegt: Alle Parallelen zur -Achse dürfen den Graphen höchstens einmal schneiden Funktionen Die Menge aller zulässigen Werte von heißt Definitionsmenge. Die Menge aller Funktionswerte heißt Wertemenge. Eine Funktion kann beschrieben werden durch: einen Graphen, keine Funktionen eine Wertetabelle, eine Funktionsgleichung oder Funktionsvorschrift. f : 0, Schnittpunkte eines Funktionsgraphen G f mit: der -Achse (Nullstelle): Setze f() 0 G g der -Achse: Setze 0 einem weiteren Funktionsgraphen G g : Setze f() g() G f Schnittpunkt mit -Achse (0 ) Schnittpunkt mit -Achse ( 0) Lessing-Gmnasium Neu-Ulm Seite von

5 . Lineare Funktionen Die Gleichung einer linearen Funktion hat die Form: m + t m: Steigung t: -Achsenabschnitt Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade. g : + 0, Nullstelle: g() 0, d.h + 0, 0 0, 0, 6 - m < 0: fallende Gerade m 0: zur -Achse parallele Gerade m > 0: steigende Gerade G g -Achsenabschnitt - - Aufstellen der Gleichung einer Geraden aus zwei Punkten A ( A A ) und B ( B B ). Formel für die Steigung: m A A B B Die Gleichung einer Geraden aus den zwei Punkten A (- ) und B ( -) ( ) Steigung: m,, + t -Achsenabschnitt: z.b. A einsetzen:, ( ) + t t 0, Gleichung:, 0,. Lineare Ungleichung Beim Multiplizieren oder Dividieren einer Ungleichung mit einer negativen Zahl muss man das Ungleichheitszeichen umdrehen. G Q < 6 :( ) ; > L ] [ Lessing-Gmnasium Neu-Ulm Seite von

6 6. Lineare Gleichungsssteme Ein lineares Gleichungssstem (LGS) aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten und lässt sich stets auf die Form I: a + b e II: c + d f Lösungsmethoden: bringen. I: + 7 II: Einsetzungsverfahren Löse eine Gleichung nach einer Variablen auf und setze dies in die andere Gleichung ein. Einsetzungsverfahren: II : in I I : + ( ) in II L {( )} Additionsverfahren Addiere geeignete Vielfache der Gleichungen, so dass eine Variable wegfällt. Additionsverfahren: I+ II: L {( )} in I Gleichsetzungsverfahren Löse beide Gleichungen nach derselben Variablen auf und setze diese gleich. Graphische Lösung: Zeichnet man die zugehörigen Geraden zu den Gleichungen, so sind die Schnittpunkte Lösungen des linearen Gleichungssstems. Gleichsetzungsverfahren: 7 I : + II : 7 + L {( )} Ein lineares Gleichungssstem kann genau eine Lösung (Schnittpunkt) keine Lösung (Geraden sind parallel) unendlich viele Lösungen (Geraden sind identisch) besitzen. - - Lessing-Gmnasium Neu-Ulm Seite von

7 7. Gebrochen-rationale Funktion + Funktionen wie f (), g () + oder h(), deren Funktionsterm ein Bruchterm 9 ist, nennt man gebrochen-rationale Funktionen. Alle Zahlen, für die der Nenner Null wird, gehören nicht zur Definitionsmenge! Eine Gerade, der sich der Graph einer Funktion f beliebig annähert, nennt man Asmptote des Funktionsgraphen G f. Man unterscheidet senkrechte und waagrechte Asmptoten. Beispiele: a) f() D Q \ { } + senkrechte Asmptote: waagrechte Asmptote: b) f() + ; D Q \ {} ( )² senkrechte Asmptote: waagrechte Asmptote: Lessing-Gmnasium Neu-Ulm Seite 6 von

8 8. Rechnen mit Bruchtermen Kürzen: In Summen und Differenzen darf nicht gekürzt werden. Zähler und Nenner müssen vor dem Kürzen faktorisiert werden. Beim Kürzen werden Zähler und Nenner des Bruchterms durch denselben Term dividiert. Erweitern: Beim Erweitern werden Zähler und Nenner des Bruchterms mit demselben Term multipliziert Addieren/Subtrahieren: Alle Bruchterme werden durch Erweitern gleichnamig gemacht. Die Zähler werden addiert (subtrahiert) und die Nenner werden beibehalten. ( ) ( ) ( ( ) 6 ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + + ) Multiplizieren: Die Zähler werden multipliziert und die Nenner werden multipliziert. 6 ( 6) ( ) ( ) ( ) Dividieren: Der Dividend wird mit dem Kehrbruch des Divisors multipliziert. 9 + : + 9 ( ) ( + ) + ( ) ( + ) ( + ) 9. Bruchgleichungen Vorgehen beim Lösen von Bruchgleichungen: Nenner faktorisieren Definitionsmenge bestimmen (keiner der Nenner darf Null sein!) die Bruchgleichung mit dem Hauptnenner multiplizieren Kürzen bruchtermfreie Gleichung lösen überprüfen, ob die Lösung zur Definitionsmenge gehört Lösungsmenge angeben ( + ) D Q \ { ; 0 } + Hauptnenner: ( + ) ( + ) + 8 : D; L {} Lessing-Gmnasium Neu-Ulm Seite 7 von

9 0. Potenzen Für eine Potenz mit negativem Eponenten gilt: Beispiele: n n ; n Q 8 Potenzgesetze: Für alle a, b Q\{0} und n, m Z gilt: a n a m a n+m a n : a m a n m (a b) n a n b n (a : b) n a n : b n (a n ) m a n m Beispiele: 7 : 0 ( ) 6 8 ( : ) : 8 ( ) (a) a 8a³ () (6) 6 ²² ²² 9 ²² 8 8 a b a ( a³b ) : (8ab ) a b a b 8 a b 6 8 a b ( ) b ( 8 ) ( ) ( ) Lessing-Gmnasium Neu-Ulm Seite 8 von

10 II. Geometrie. Kreis (Umfang und Fläche) Die Kreiszahl π,... U π r A π r M r Der Kreisumfang U π r Der Umfang U und der Radius r sind direkt proportional zueinander. Der Kreisflächeninhalt A π r Der Flächeninhalt ist eine quadratische Funktion des Radius r, d.h. verdoppelt man den Radius, so vervierfacht sich der Flächeninhalt, verdreifacht man den Radius, so verneunfacht sich der Flächeninhalt, Eine Münze hat einen Radius r,6 cm. Ihr Umfang ist: U π,6 cm 7,9 cm Ihr Flächeninhalt ist: A π (,6 cm), cm. Zentrische Streckung Bei einer zentrischen Streckung mit dem Zentrum Z und dem Streckfaktor k (k > 0) wird ein Punkt A auf einen Bildpunkt A abgebildet. Es gilt: k () A' [ ZA () ZA' k ZA Ist der Streckfaktor k >, so wird vergrößert, gilt 0 < k <, so wird verkleinert. Das Dreieck ABC mit a cm und h a 6 cm wird durch eine zentrische Streckung auf das Dreieck A B C mit dem neuen Flächeninhalt A cm abgebildet. Bestimme die Länge der Strecke a! A a ha cm 6 cm 6 cm k A' cm A 6cm 6 k 6 a' k a 6 cm 0 cm Lessing-Gmnasium Neu-Ulm Seite 9 von

11 . Strahlensatz Werden zwei Geraden, die sich in einem Punkt Z schneiden, außerhalb von Z von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich () je zwei Abschnitte auf der einen Gerade wie die entsprechenden Abschnitte auf der anderen Gerade. () die Abschnitte auf den Parallelen wie die Entfernungen ihrer Endpunkte von Z. () Z ZA ZB () ZA' ZB' A B AB A' B' A B A ZA ZB (gilt für V- und X-Figur). ZA' ZB' B Z B A. Ähnlichkeit Figuren F und G nennt man zueinander ähnlich ( F ~ G ), wenn man F durch eine zentrische Streckung so abbilden kann, dass ihr Bild F kongruent zu G ist. Für ähnliche Figuren gilt: Die Verhältnisse entsprechender Seiten sind gleich groß. Entsprechende Winkel sind gleich groß. Sind die Seitenlängen von G k-mal so groß wie Seitenlängen von F, so ist der Flächeninhalt von G k -mal so groß wie der Flächeninhalt von F. Dreiecke sind bereits dann ähnlich, wenn sie in zwei (und damit allen drei) Winkeln übereinstimmen (WW-Satz), sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen (S:S:S-Satz), sie im Verhältnis zweier Seiten und dem eingeschlossenem Winkel übereinstimmen (S:W:S-Satz), sie im Verhältnis zweier Seiten und dem der größeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen (S:s:W-Satz) Lessing-Gmnasium Neu-Ulm Seite 0 von

12 III. Wahrscheinlichkeit. Laplace-Eperimente Bei der Durchführung eines Zufallseperiments tritt genau ein Ergebnis ein. Die Menge aller möglichen Ergebnisse eines Zufallseperiments heißt Ergebnismenge. Sie wird mit Ω bezeichnet. Die Anzahl der Elemente aus Ω wird mit Ω bezeichnet. Die einzelnen Ergebnisse bezeichnet man mit ω, ω, ω,.... Jede Teilmenge A der Ergebnismenge Ω eines Zufallseperiments nennt man Ereignis. Man sagt: Das Ereignis A ist eingetreten, wenn bei einer Durchführung des Zufallseperiments ein Ergebnis aus A auftritt. Das sichere Ereignis Ω tritt bei der Durchführung eines Zufalleperimentes immer ein, während das unmögliche Ereignis nie eintritt. Das Gegenereignis A enthält alle Elemente aus Ω, die nicht in A enthalten sind. Bei einem Zufallseperiment wird jedem Ereignis A eine Wahrscheinlichkeit P(A) zwischen 0 und zugeordnet. Zufallseperimente, bei denen alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind, heißen Laplace Eperimente. Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A bei Laplace-Eperimenten gilt: P (A) Anzahl der günstigen Ergebnisse Anzahl der möglichen Ergebnisse A Ω Werfen eines sechsseitigen Würfels. Ergebnismenge Ω {; ; ; ; ; 6}; Ω 6 Ereignis A Augenzahl ist größer als vier {; 6}; A Gegenereignis A Augenzahl ist kleiner gleich vier {; ; ; } ; A P( Augenzahl größer als vier ) P(A) 0,, % 6 Zählprinzip: Bei einem mehrstufigen Zufallseperiment erhält man die Anzahl der möglichen Ergebnisse, indem man die Anzahl der Möglichkeiten der einzelnen Stufen miteinander multipliziert. Möchte man n verschiedene Objekte in einer Reihe anordnen, so gibt es dafür n (n - ) (n - )... n! (sprich: n Fakultät) Möglichkeiten. a) Von A nach B führen Wege, von B nach C Wege und von C nach D 7 Wege. Es gibt 7 0 verschiedene Wege, um von A nach D zu gelangen. b) 0 Personen stellen sich in einer Reihe für ein Gruppenfoto auf. Es gibt ! verschiedene Möglichkeiten. Lessing-Gmnasium Neu-Ulm Seite von

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