Selbstlernkurs: Potenzgesetze. I n h a l t
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- Karoline Raske
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1 I n h a l t 1. Definition einer Potenz Reihenfolge beim Rechnen Potenzen mit negativer Basis Multplikation von Potenzen mit gleicher Basis Multplikation von Potenzen mit gleichem Exponent Potenzieren von Potenzen Division von Potenzen mit gleicher Basis Division von Potenzen mit gleichem Exponent Potenzen mit negativem Exponenten Darstellungsmöglichkeiten sehr großer / kleiner Zahlen...7 Seite 1 von 7
2 1. Definition einer Potenz Definition: Eine Potenz a n ist eine abkürzende Schreibweise für ein Produkt mit gleichen Faktoren: a n a a a a a a n - mal Sonderfälle a 1 a und a 0 1 Beachte 0 0 ist nicht definiert (vergl. Division durch 0) Die hochgestellte "5" gibt also an, dass die Zahl 7 fünfmal mit sich selbst multipliziert werden soll Reihenfolge beim Rechnen Nach wie vor gilt die Regel: Diese wird jetzt erweitert: Punkt - geht vor Strichrechnung "Potenzieren" geht vor "Multiplizieren" 5 3² Potenzen mit negativer Basis Ist die Basis negativ, so unterscheidet man zwei Fälle: - Der Exponent ist gerade der Potenzwert ist positiv (-2) 4 (-2) (-2) (-2) (-2) 16 - Der Exponent ist ungerade der Potenzwert ist negativ (-2) 3 (-2) (-2) (-2) -8 Tastenfolge am TR: Für Quadratzahlen a x² Für beliebige Potenzen a y x n Seite 2 von 7
3 2. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Basis beibehält, und die Exponenten addiert: a x a y a a a a a a a a a a x + y y - mal 3³ 3² ² a 5 a 6 a a a a a a a a a a a a 11 a n a m a n +m 3. Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponent Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man den Exponenten beibehält, und die Basen multipliziert: a x b x a a a b b b (ab) x 3³ a 3 b 3 a a a b b b (ab) 3 a n b n (ab) n Seite 3 von 7
4 4. Potenzieren von Potenzen Potenzen werden potenziert, indem man die Exponenten multipliziert und die Basis beibehält y Summanden (a x ) y a x a x a x a x a x a x+x+.x+x a x y y - mal (3³) (2 n ) 3 2 n 2 n 2 n 2 n+n+n 2 n 3 (a n ) 4 a n a n a n a n a n+n+n+n a n 4 (a n ) x a n a n. a n a n a n+n+.+n a n x n a 4n a nx 5. Division von Potenzen mit gleicher Basis Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man die Basis beibehält, und die Exponenten subtrahiert: a x : a y a x a y a a a. a a a a a a x y y - mal a 7 a 2 a a a a a a a a a a a a a a 5 a n a m a n - m Seite 4 von 7
5 6. Division von Potenzen mit gleichem Exponent Potenzen mit gleichem Exponenten werden dividiert, indem man den Exponenten beibehält, und die Basen dividiert: ( 3 4 ) ( 6 2 )4 3 4 a 5 b 5 a a a a a b b b b b ( a b )5 a n b n ( a b )n Seite 5 von 7
6 7. Potenzen mit negativem Exponenten Das Gesetz über die Division von Potenzen mit gleicher Basis führt zu folgenden Fällen: a. Die Hochzahl des Dividend ist größer als die des Divisors b. Die Hochzahl des Dividend ist genau so groß wie die des Divisors die Hochzahl wird Sonderfall a 0 1 c. Die Hochzahl des Dividend ist kleiner als die des Divisors die Hochzahl wird negativ a 5 a 7 a 5 7 a a a a a a a a a a a a a a 2 Eine Potenz mit negativen Exponenten ist gleich dem Kehrwert der Potenz mit positiven Exponenten. a n 1 a n Seite 6 von 7
7 8. Darstellungsmöglichkeiten sehr großer / kleiner Zahlen Sehr große und sehr kleine Zahlen werden in der wissenschaftlichen Schreibweise als Produkte der Form a 10 n bzw. a 10 -n dargestellt. Dabei ist a eine Dezimalzahl mit genau einer Ziffer vor dem Komma. Ist n ein Vielfaches von 3 erhalten die Maßeinheiten besondere Vorsilben. Zahlwort Zahl 10-er - Potenz Vorsilbe 1 Trillion m m m 1 Exameter 1 Billiarde m m m 1 Petameter 1 Billion m m m 1 Terameter 1 Milliarde m m 10 9 m 1 Gigameter 1 Million m m 10 6 m 1 Megameter 1 Tausend m 1000 m 10 3 m 1 Kilometer 1 Meter 1 m 10 0 m 1 Meter 1 Tausendstel m 0,001 m 10-3 m 1 Millimeter 1 Millionstel m 0, m 10-6 m 1 Mikrometer 1 Milliardstel m 0, m 10-9 m 1 Nanometer 1 Billionstel m 0, m m 1 Picometer 1 Billiardstel m 0, m m 1 Femtometer 1 Trillionstel m 0, m m 1 Attometer Der Abstand der Sonne zur Erde beträgt ca. 150 Millionen Kilometer 150 Gigameter km m m 1, m Ein Atom hat einen Durchmesser von 0,1 Nanometer 0, m m m Seite 7 von 7
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