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Helge Bretz
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1 Abiturprüfung Mathematik 00 Baden-Württemberg (ohne CAS) Haupttermin Pflichtteil - Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit Aufgabe : ( VP) f() e =. Bestimmen Sie eine Stammfunktion der Funktion f mit Aufgabe : ( VP) Lösen Sie die Gleichung = 0. f() = cos. Aufgabe : ( VP) Gegeben ist die Funktion f mit f() = ; 0. Geben Sie die Asymptoten des Schaubilds von f an. Skizzieren Sie damit das Schaubild von f. Ermitteln Sie eine Gleichung der Normalen im Punkt P(/f()). Aufgabe : ( VP) Gegeben sind die Schaubilder der Funktion f mit einer Stammfunktion F von f und der Funktion g mit f() = e, ihrer Ableitungsfunktion f, g () =. f() a) Begründen Sie, dass nur Bild das Schaubild der Funktion f sein kann. b) Ordnen Sie die Funktionen f, F und g den übrigen Schaubildern zu und begründen Sie Ihre Entscheidung. Bild Bild Zuletzt aktualisiert:

Geben Sie die Asymptoten des Schaubilds von f an. Skizzieren Sie damit das Schaubild von f. Ermitteln Sie eine Gleichung der Normalen im Punkt P(/f()).

2 Bild Bild Aufgabe 6: ( VP) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem = 0 Wie lässt sich ein solches Gleichungssystem und seine eindeutige Lösung geometrisch deuten? = 8 = Aufgabe 7: ( VP) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, die den Punkt A(/-/-) und die Gerade g: = + t 0 ; t R enthält. Aufgabe 8: ( VP) Gegeben sind eine Ebene E und ein Punkt P, der nicht in E liegt. P wird an E gespiegelt. Beschreiben Sie ein Verfahren, um den Bildpunkt P zu bestimmen. Fertigen Sie dazu eine Skizze an. Zuletzt aktualisiert:

= 8 = Aufgabe 7: ( VP) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, die den Punkt A(/-/-) und die Gerade g: = + t 0 ; t R enthält.

3 Abiturprüfung Mathematik 00 Baden-Württemberg (ohne CAS) Haupttermin Pflichtteil Lösungen Aufgabe : Die Ableitungsfunktion wird mit Hilfe der Produkt- und der Kettenregel ermittelt: f () = ² e + e = e ( + ) Aufgabe : Eine mögliche Stammfunktion von F() = sin Aufgabe : 0 f() 0 = cos wäre = 8 sin = 0 ( ² ) = 0 Da ausgeklammert werden kann, gilt = 0. Nun muss noch die Gleichung ² = 0 gelöst werden. Es handelt sich dabei um eine biquadratische Gleichung, die mit Hilfe der Substitution gelöst wird: = u u² u = 0 u, ± = = und damit u = und u = ± Rücksubstitution: u = = ² = ± u = = ² kann nicht gelöst werden. Also Lösungsmenge L = { 0; -; } Aufgabe : Gegeben ist die Funktion f mit f() = ; 0. Die waagrechte Asymptote des Schaubildes ist die Gerade y =, da lim f() = gilt. ± Die senkrechte Asymptote des Schaubildes ist die Gerade = 0 (also die y-achse), da bei = 0 eine Definitionslücke vorliegt und sich beim Einsetzen von = 0 in den Zähler des Bruches ein Wert 0 ergibt. Da es sich um eine doppelte Nullstelle im Nenner handelt, besitzt die senkrechte Asymptote keinen Vorzeichenwechsel. Zuletzt aktualisiert:

Es handelt sich dabei um eine biquadratische Gleichung, die mit Hilfe der Substitution gelöst wird: = u u² u = 0 u, ± 9 + 6 = = und damit u = und u = ± Rücksubstitution: u = = ² = ± u = = ² kann

4 Normale im Punkt P(/f()): Die Normale ist die Senkrechte zur Tangente im Kurvenpunkt P. y-wert von P: f () =, also P(/). 8 f() = f () = 8 = ³ Tangentensteigung in P = f () = = m Tang. Da die Normale orthogonal auf der Tangente steht gilt: mnormale mtang. = m Normale =. Nun benutzt man die Punkt-Steigungs-Form zur Ermittlung der Normalengleichung: y y = m ( ) y = ( ) y = + dies ist die gesuchte Normalengleichung. Hinweis: Man hätte die Normalengleichung auch mit der Normalenformel y = ( u) + f(u) mit u = bestimmen können. f (u) ; also Aufgabe : Hier sind mehrere Lösungsmöglichkeiten denkbar. a) Die Funktion f() = e besitzt eine Nullstelle bei N(0/0), also kann nur Bild oder überhaupt in Frage kommen. Mögliche Begründungen, dass es nur Bild sein kann:.) Durch den Faktor ² erkennt man, dass es sich um eine doppelte Nullstelle, also um einen Etrempunkt handeln muss, also kommt nur Bild in Frage..) In Bild eistiert eine weitere Nullstelle bei = -, aber es gilt f( ) 0. Somit kann nur Bild in Frage kommen..) Es ist f() = e 0, somit kann das Schaubild von f nicht unterhalb der -Achse liegen. Damit scheidet Bild aus und es kommt nur Bild in Frage. b) f () gibt als erste Ableitung die Steigung an jeder Stelle der Funktion f() an. Da an der Stelle = 0 ein Etrempunkt (mit Steigungszahl 0) bei f vorliegt, gilt f (0) = 0. f () kann also nur Bild sein. Zuletzt aktualisiert:

Nun benutzt man die Punkt-Steigungs-Form zur Ermittlung der Normalengleichung: y y = m ( ) y = ( ) y = + dies ist die gesuchte Normalengleichung.

5 hat dort eine Definitionslücke, wo f() = 0 ist, also bei = 0. f() Folglich kommt nur Bild in Frage. Für die Stammfunktion F () bleibt nur Bild übrig. Als eigene Begründung wäre möglich, dass F() streng monoton wachsend sein muss, da F() die Fläche zwischen einer unteren Grenze u und der oberen Grenze beschreibt und da das Schaubild von f() (Bild ) immer oberhalb der -Achse liegt, nimmt F() mit wachsendem zu. Eine weitere eigene Begründung wäre: Da F () = f() gilt, kann f () somit als erste Ableitungsfunktion von F() interpretiert werden. Da bei f() (als Ableitung interpretiert) ein Etrempunkt bei = 0 vorliegt, muss bei F() ein Wendepunkt bei = 0 vorliegen, was bei Bild auch tatsächlich der Fall ist. Aufgabe 6: + + = 0 ( ) = 8 = = 0 = - = 7 Aus der. Zeile erhält man. Aus der. Zeile ergibt sich dann und das ganze in = die.zeile eingesetzt ergibt, also L = { (//) } = Geometrische Interpretation: Die drei Gleichungen können als Koordinatengleichungen dreier Ebenen im Raum interpretiert werden. Die Lösung des LGS bedeutet anschaulich, dass sich diese drei Ebenen im Punkt P(//) schneiden. = Aufgabe 7: Da die Gerade in der Ebene E liegt, kann sowohl der Ortsvektor als auch der Richtungsvektor der Geradengleichung für die Ebene übernommen werden. Der zweite Richtungsvektor der Ebene ergibt sich aus dem Verbindungsvektor des Punktes A(/-/-) und des Geradenpunktes B(//), also AB = Ebenengleichung E : = + s 0 + t Umwandlung in Koordinatenform: Berechnung des Normalenvektors n n = n mit n n 0 = 0 und n = 0 Zuletzt aktualisiert:

immer oberhalb der -Achse liegt, nimmt F() mit wachsendem zu. Eine weitere eigene Begründung wäre: Da F () = f() gilt, kann f () somit als erste Ableitungsfunktion von F() interpretiert werden.

6 Daraus ergibt sich das LGS: n + n + n = 0 n + + n = 0 Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen, es genügt, eine Lösung zu finden. Setze hierzu z.b. n =, dann ergibt sich n = und n =, also n =. Der Ansatz für die Ebenengleichung lautet E: + = c Den Wert von c erhält man, wenn man den gegeben Punkt B(//) in die Ebene einsetzt: + = 6, also E: + 6 = Aufgabe 8: In folgenden Schritten erhält man den Spiegelpunkt P von P bei der Spiegelung an E:.Schritt: Aufstellen einer Hilfsgerade h, die senkrecht zur Ebene steht und durch den Punkt P verläuft (d.h. der Richtungsvektor von g entspricht dem Normalenvektor von E).Schritt: Berechnung des Schnittpunktes von der Hilfsgerade h mit der Ebene E. Hiermit erhält man den Lotfußpunkt L..Schritt: Vektorzugverfahren: OP ' = OL + PL Die Koordinaten des Vektors OP ' entsprechen den Punktkoordinaten des Punktes P. 6 Zuletzt aktualisiert:

den Spiegelpunkt P von P bei der Spiegelung an E:.Schritt: Aufstellen einer Hilfsgerade h, die senkrecht zur Ebene steht und durch den Punkt P verläuft (d.h. der Richtungsvektor von g entspricht dem Normalenvektor von E).

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