Aufgabe 1 (LGS mit Parameter): Bestimmen Sie die Lösungsmengen des folgenden LGS in Abhängigkeit vom Parameter :

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Meike Krüger
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1 Mathematik MB Übungsblatt Termin Lösungen Themen: Grundlagen Vektoren und LGS ( Aufgaben) DHBW STUTTGART WS / Termin SEITE VON Aufgabe (LGS mit Parameter): Bestimmen Sie die Lösungsmengen des folgenden LGS in Abhängigkeit vom Parameter : Aufgabe (LGS): Lösen Sie das folgende LGS: 8 8 Durch Addition des ) ( fachen der ersten zur zweiten und vierten Gleichung erhalten wir 8 8

Lösungsmengen des folgenden LGS in Abhängigkeit vom Parameter : Aufgabe (LGS): Lösen Sie das

2 MATHEMATIK MB ÜBUNGSBLATT TERMIN LÖSUNGEN Wir multiplizieren die zweite Gleichung nun mit, um eine bessere Vorzeichenkonstellation zur erhalten (weniger Minus), addieren dann das fache der neuen zweiten Gleichung zur dritten und das fache zur vierten und erhalten Damit ergibt sich sofort, dass ist. Da wir drei von der Nullgleichung verschiedene Zeilen haben, müssen wir noch drei reelle Parameter festlegen. Wir setzen s und t. Damit ergibt sich sofort aus der zweiten Gleichung, dass s ist. Die erste Gleichung liefert abschließend mit LGS gelöst. r den Wert r s t. Damit haben wir das Aufgabe (LGS wieder mit Parameter): Für welche Werte von t ist das gegebene LGS eindeutig, mehrdeutig oder gar nicht lösbar? t t Wir lösen das LGS in der erweiterten Koeffizientenmatridarstellung: t t 7 7 t t 7 t t Aus der letzten Zeile können wir sehen, dass für t, das LGS eindeutig lösbar ist. Für t ist es mehrdeutig lösbar (Nullzeile), für t ist es unlösbar ( 8, Widerspruch). Aufgabe (LGS und Kräfte): Die Wirkung der in einem Punkt v ³ angreifenden Kraft F 7 9 T in Newton, soll durch geeignete Vielfache der drei in v angreifenden Kräfte DHBW STUTTGART WS / Termin SEITE VON

Da wir drei von der Nullgleichung verschiedene Zeilen haben, müssen wir noch drei reelle Parameter festlegen. Wir setzen s und t. Damit ergibt sich sofort aus der zweiten Gleichung, dass s ist.

3 MATHEMATIK MB ÜBUNGSBLATT TERMIN LÖSUNGEN F, F und F (auch jeweils in Newton) kompensiert werden. Das bedeutet, dass wir ein Kräftegleichgewicht suchen und es in der Gleichung F F F F die unbekannten Koeffizienten, zu bestimmen gilt., Wir lösen das LGS Damit folgt und hiermit und. Aufgabe (LGS mit Anwendung): Die Aluminiumlegierung Dural ist besonders widerstandsfähig. Außer Aluminium enthält sie bis zu % Kupfer, bis zu, % Mangan und bis zu, % Magnesium. In Tabelle sind die prozentualen Zusammensetzungen der Legierungen A, B und C angegeben. Aus diesen soll Dural mit 9% Aluminium,, 8 % Kupfer,, % Mangan und % Magnesium gemischt werden. Entscheiden Sie, ob dies möglich ist und geben sie gegebenenfalls die Mischungsanteile der einzelnen Legierungen an. Legierung A Legierung B Legierung C Aluminium 9% 9% 9,% Kupfer,% %,9% Mangan,%,%,% Magnesium,8%,%,% Tabelle : Die Zusammensetzung der drei im Tet erwähnten Legierungen. DHBW STUTTGART WS / Termin SEITE VON

, Wir lösen das LGS 7 9 7 8 9 7 9 9 7 9 Damit folgt und hiermit und. Aufgabe (LGS mit Anwendung): Die Aluminiumlegierung Dural ist besonders widerstandsfähig.

4 MATHEMATIK MB ÜBUNGSBLATT TERMIN LÖSUNGEN Das überbestimmte LGS ist unlösbar unter Berücksichtigung der Anwendung. Aufgabe (Vier Straßen und ein Stau): In Abbildung sehen Sie die schematische Darstellung eines Straßennetzes. Alle gezeigten Straßen sollen Einbahnstraßen sein. Die Verkehrsdichte, angegeben in Fahrzeugen pro Stunde, auf den gekennzeichneten Abschnitten sollen Sie nun untersuchen, wobei die Verkehrsdichten der Zu- und Abfahrtsstraßen Ihnen durch die Skizze bekannt sind. Abbildung : Schematische Darstellung des Straßennetzes. a) Entsteht ein Stau, wenn das Straßenstück zwischen den Punkten A und D gesperrt wird? b) Welches ist die maimale Verkehrsdichte auf dem Straßenstück zwischen A und B? a) und b) A: B: C: D: Daraus folgen, und. Sperren wir die Straße zwischen A und D, dann ist und es bildet sich wegen ein Stau. Es DHBW STUTTGART WS / Termin SEITE VON

Die Verkehrsdichte, angegeben in Fahrzeugen pro Stunde, auf den gekennzeichneten Abschnitten sollen Sie nun untersuchen, wobei die Verkehrsdichten der Zu- und Abfahrtsstraßen Ihnen durch die Skizze

5 MATHEMATIK MB ÜBUNGSBLATT TERMIN LÖSUNGEN muss wegen auch gelten, womit die Verkehrsdichte auf der Straße zwischen A und B gegeben ist, nämlich. Aufgabe 7 (lineare Unabhängigkeit): Gegeben sind die drei Vektoren v, v und Vektoren für alle t eine Basis des ³, d.h. sind sie linear unabhängig? v t. Bilden die drei t Wir lösen das folgende LGS, mit welchem wir die Koeffizienten r, r, r in der Linearkombination der Vektoren bestimmen wollen: t t t t t Die letzte Zeile nach der letzten Umformung ist unabhängig von t nur für r erfüllt. Daraus folgt durch Rückwärtseinsetzen auch r r und das homogene LGS ist nur trivial lösbar. Das bedeutet, dass die dreie Vektoren immer linear unabhängig sind. Aufgabe 8 (Über den Fluss Vektoren im Alltag I): Eine Fähre bewegt sich mit der Eigengeschwindigkeit v m (relativ zum Fluss) vom Uferpunkt A aus auf dem kürzesten Weg zum gegenüberliegenden Ufer (siehe Abbildung ). a) Unter welchem Winkel muss die Fähre gegen die Strömung gesteuert werden, wenn die Strömungsgeschwindigkeit v beträgt? b) Wie groß ist die resultierende Geschwindigkeit v r der Fähre? S m s s Abbildung : Über den Fluss. DHBW STUTTGART WS / Termin SEITE VON

Bilden die drei t Wir lösen das folgende LGS, mit welchem wir die Koeffizienten r, r, r in der Linearkombination der Vektoren bestimmen wollen: t t t t t Die letzte Zeile nach der letzten Umformung

6 MATHEMATIK MB ÜBUNGSBLATT TERMIN LÖSUNGEN Aufgabe 9 (Kräftegleichgewicht Vektoren im Alltag II): Abbildung : Rollensystem. Abbildung zeigt ein symmetrisch aufgebautes System mit den drei Massen und m m m m m, die durch ein über zwei feste Rollen, die die Gewichtskräfte der Massen m und m umlenken, führendes Seil miteinander verbunden sind. Welcher Winkel stellt sich im Gleichgewichtszustand ein? DHBW STUTTGART WS / Termin SEITE VON

Abbildung zeigt ein symmetrisch aufgebautes System mit den drei Massen und m m m m m, die durch ein über

7 MATHEMATIK MB ÜBUNGSBLATT TERMIN LÖSUNGEN Aufgabe (Aufstellen einer ganzrationalen Funktion. Grades): Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist punktsymmetrisch und hat im Punkt P ( / ) die Steigung m. Wie lautet ihre Funktionsgleichung? DHBW STUTTGART WS / Termin SEITE 7 VON

Grades): Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion dritten Grades ist

8 MATHEMATIK MB ÜBUNGSBLATT TERMIN LÖSUNGEN Der Ansatz für eine ganzrationale Funktion dritten Grades lautet f ( ) a b c d. Liegt nun Punktsymmetrie vor, so liegen nur ungerade Hochzahlen bei vor. Es ist also b d. Der Ansatz vereinfacht sich damit zu f ( ) a c. Die erste Ableitung lautet folglich Bedingungen aus: f '( ) a c. Wir nutzen nun die angegebenen Punkt P ( / ) liegt auf dem Schaubild von f : f ( ) 8a c. (I) Steigung im Punkt P ist m : f '() a c. (II) Aus (II) folgt, dass c a ist. Das setzen wir in (I) ein und erhalten 8a a 8a a a a 8 a Mit der Umformung von (II) erhalten wir daraus Wir haben also Funktion dritten Grades gefunden. c. 9 f ( ) als Funktionsgleichung für die gesuchte ganzrationale Aufgabe (Aufstellen einer ganzrationalen Funktion. Grades): Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion vierten Grades ist achsensymmetrisch (zur y - Achse) und besitzt im Wendepunkt W (/ ) die Steigung m 8. Stellen Sie die Funktionsgleichung auf. Die gesuchte Funktion ist achsensymmetrisch. Damit können wir den allgemeinen Ansatz f ( ) a b c d e DHBW STUTTGART WS / Termin SEITE 8 VON

Wir nutzen nun die angegebenen Punkt P ( / ) liegt auf dem Schaubild von f : f ( ) 8a c. (I) Steigung im Punkt P ist m : f '() a c. (II) Aus (II) folgt, dass c a ist.

9 MATHEMATIK MB ÜBUNGSBLATT TERMIN LÖSUNGEN auf die Summanden mit geraden Potenzen von beschränken, d.h. b d. Es ist dann f ( ) a c e. Die Ableitungen sind damit f '( ) a c und f ''( ) a c. Wir formulieren nun die gegebenen Bedingungen mathematisch: Punkt W (/ ) : f ( ) a c e. (I) Steigung im Punkt W : f '() a c 8. (II) Wendepunkt W : f ''() a c. (III) Wir ziehen (II) von (III) ab und erhalten dadurch 8a 8 a. Setzen wir nun z.b. in (III) ein, so folgt c c. Damit erhalten wir schließlich über (I) e a c 8. Die gesuchte Funktionsgleichung lautet also f ( ) 8. Aufgabe (Aufstellen einer ganzrationalen Funktion. Grades): Das Schaubild einer ganzrationalen Funktion fünften Grades ist punktsymmetrisch und hat die Nullstellen und und verläuft im Ursprung parallel zur Geraden g ( ) 8. Stellen Sie den Funktionsterm auf. Auf Grund der Punktsymmetrie können wir den allgemeinen Ansatz f ( ) a b c d e f DHBW STUTTGART WS / Termin SEITE 9 VON

(III) Wir ziehen (II) von (III) ab und erhalten dadurch 8a 8 a. Setzen wir nun z.b. in (III) ein, so folgt c c. Damit erhalten wir schließlich über (I) e a c 8.

10 MATHEMATIK MB ÜBUNGSBLATT TERMIN LÖSUNGEN mit b d f (streichen der geraden Potenzen von ) zu f ( ) a c e vereinfachen. Hier können wir nun die Bedingungen formulieren: Nullstellen: f ( ) f () Steigung im Ursprung: f '() g'() 8. Lösen wir das entstehende LGS erhalten wir die gesuchten Koeffizienten. Diese sind aber auch auf eine andere Weise zu bekommen, wie wir im Folgenden demonstrieren wollen. Alle Nullstellen sind gegeben. Es sind wegen der Punktsymmetrie, und / / Nullstellen. Damit können wir den Fundamentalsatz der Algebra anwenden und erhalten a a f ( ) a a. Leiten wir nun ab, so folgt '( ) a f und damit f '() a g' () 8. Damit haben wir a und somit 8 f ( ) 8. 8 Dies ist die gesuchte Funktionsgleichung. DHBW STUTTGART WS / Termin SEITE VON

Diese sind aber auch auf eine andere Weise zu bekommen, wie wir im Folgenden demonstrieren wollen. Alle Nullstellen sind gegeben. Es sind wegen der Punktsymmetrie, und / / Nullstellen.

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