Formeln für Flächen und Körper

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1 Formeln für Flächen und Körper FLÄCHENBERECHNUNG... QUADRAT... RECHTECK... 3 PARALLELOGRAMM... 3 DREIECK... 4 GLEICHSCHENKLIGES DREIECK... 5 GLEICHSEITIGES DREIECK... 6 TRAPEZ... 7 GLEICHSCHENKLIGES TRAPEZ... 7 KREIS... 8 KREISAUSSCHNITT... 9 KREISRING VOLUMENBERECHNUNG WÜRFEL QUADER... 1 PRISMA PYRAMIDE MIT QUADRATISCHER GRUNDFLÄCHE PYRAMIDE MIT RECHTECKIGER GRUNDFLÄCHE PYRAMIDENSTUMPF REGELMÄßIGER TETRAEDER... 0 KEGEL... 1 KEGELSTUMPF... KUGEL... 3 HINWEISE ZU DEN EINHEITEN... 4 LÄGENEINHEITEN... 4 FLÄCHENEINHEITEN... 4 VOLUMENEINHEITEN... 5

2 Seite - Formeln Flächenberechnung Quadrat Für die Fläche: A = a = aÿa Für den Umfang: U = 4a Für die Länge der Diagonalen: d = aÿ (Pythagoras: a + a = d ) Bemerkung: Der Umfang einer Figur ergibt sich immer über die Summe der Längen aller Linien, die die Figur umgeben. Beim Quadrat gilt deshalb: U = a + a + a + a = 4a Übungen zur Flächenberechnung findet man unter: Beispiel: Ein Quadrat hat eine Seitenlänge von a = 10cm. Wie groß ist die Fläche A und wie groß der Umfang U? A = (10cm) = 100cm U = 4a = 4ÿ10cm = 40cm

3 Seite Formeln Rechteck A = aÿb U = a + b = ÿ(a + b) d = a b (Pythagoras) Parallelogramm Formel: A = gÿh Die Höhe (h) steht immer senkrecht auf der Grundseite (g), wie bei den Dreiecken. Der Umfang ist wieder die Summe über die Längen aller 4 Seiten. Da hier a = c und b = d gilt, ergibt sich der Umfang durch U = a + b.

4 Seite Formeln Dreieck Formel: A = 1/ÿcÿh c = cÿh c / U = a + b + c Bemerkung: Bei der Flächenformel oben wurde als Grundseite AB ("Seite c") verwendet. Diese Formel könnte man auch analog für andere Grundseiten und deren Höhen formulieren, z.b. A = 1/ÿbÿh b. Ist ein Dreieck rechtwinklig, beispielsweise mit 90, dann gilt auch A = 1/ÿaÿb, da hier eine Kathete die Höhe auf der anderen ist. Online kann man Dreiecksflächen unter der folgenden Adresse berechnen: Beispiel: Gegeben ist c = 4cm und h c = 5cm, gesucht wird A. A = 4cmÿ5cm/ = 0cm / = 10cm

5 Seite Formeln Gleichschenkliges Dreieck h = s (a / ) (Pythagoras: (a/) + h = s bzw. a /4 + h = s ) A = aÿh/ U = a + s Dabei ist die Länge der Basis gleich a und die der Schenkel gleich s. Beispiel: a = 10cm und s = 13cm. Gesucht wird A und U. h = s (a / ) = (13cm) (10cm / ) (13cm) (5cm) 144cm 1cm A = aÿh/ = 10cmÿ1cm/ = 60cm U = a + s = 10cm + ÿ13cm = 36cm

6 Seite Formeln Gleichseitiges Dreieck h = 3 ÿa/ A = aÿh/ U = 3a Beispiel: a = 8m. Gesucht wird A und U. h = 3 ÿa/ = 3 ÿ8m/ = 3 ÿ4m º 6,93m A = aÿh/ º 8mÿ6,93m/ = 7,7m Wenn man das Ergebnis von h im Taschenrechner lässt und mit diesem A berechnet, dann ergibt sich A = aÿh/ = 8mÿ 6, m/ º 7,71m. Hieran sieht man, welchen Einfluss Rundungen haben. U = 3a = 3ÿ8m = 4m

7 Seite Formeln Trapez Formelen: A = 1/ÿ(a + c) ÿh = (a + c)ÿh/ U = a + b + c + d Bemerkung: Die beiden gegenüberliegenden Seiten a und c sind parallel. Beispiel: a = 8cm; c = 1cm und h = 6cm, gesucht wird A. A = 6cmÿ(8cm + 1cm)/ = 6cmÿ0cm/ = 60cm Gleichschenkliges Trapez (hier gilt b = d) A = (a + c) ÿh/ b = h (a c) / 4 (Pythagoras: b = h + (a c) /4) U = a + c + b

8 Seite Formeln Kreis r = d/ bzw. d = ÿr U = ÿpÿr = pÿd A = pÿr oder A = pÿd /4 Beispiel: d = 10cm, gesucht wird r, A und U: r = d/ = 10cm/ = 5cm U = pÿd = pÿ10cm º 31,4cm A = pÿr = pÿ(5cm) º 78,54cm

9 Seite Formeln Kreisausschnitt r = d/ bzw. d = ÿr b = r ÿ p ÿ a /180 (b wird auch oft mit b a bezeichnet.) A = r ÿ p ÿ a/360 Außerdem gilt A = bÿr/ (falls b und r gegeben ist und A berechnet werden soll). Bemerkung: Der komplette Umfang U wäre hier U = r + b, da b nur die Länge des Kreisbogens ist. Beispiel: r = 1cm und a = 90. Gesucht wird b und A. b = r ÿ p ÿ a /180 = 1cm ÿ p ÿ 90 /180 º 18,85cm A = r ÿ p ÿ a/360 = (1cm) ÿ p ÿ 90 /360 º 113,10cm Da es sich für a = 90 um einen Viertelkreis handelt, hätte man auch den Umfang und die Fläche des ganzen Kreises mit Radius r = 1cm (Formeln siehe vorherige Seite) durch vier teilen können.

10 Seite Formeln Kreisring r = d/ bzw. d = ÿr R = D/ bzw. D = ÿr A = (R - r )ÿ p Bemerkung: Möchte man den Umfang des Kreisringes berechnen, so muss man nur den Umfang des inneren Kreises mit dem des äußeren Kreises addieren: U = ÿpÿr + ÿpÿr oder U = pÿd + pÿd. Beispiel: r = 4cm und R = 5cm. Gesucht wird A. A = (R - r )ÿ p = ((5cm) - (4cm) )ÿ p = 9cm ÿ p º 8,7cm

11 Seite Formeln Volumenberechnung Würfel Volumen V: V = a 3 (= aÿaÿa) Oberfläche O: O = 6a Diagonale: d = 3a Die Formel für d ergibt sich über Pythagoras: d = e + a und e = a + a, wobei e die Diagonale einer Seite ist. Übungen zur Volumenberechnung: Beispiele: 1) a = 5cm, gesucht wird V und O. V = (5cm) 3 = 15cm 3. O = 6ÿ(5cm) = 150cm. ) Ein Würfel aus Silber wiegt 84g (Dichte von Silber: r = 10,5g/cm 3 ). Wie lang ist seine Kantenlänge? Es gilt m = Vÿr, wobei m die Masse ist, V das Volumen und r die Dichte. Also gilt: 84g = Vÿ10,5g/cm 3 : (10,5g/cm 3 ) V = 8cm 3 Somit ist 8cm 3 = a 3. Zieht man die dritte Wurzel, dann ergibt sich a = cm.

12 Seite Formeln Quader V = aÿbÿc O = ÿ (aÿb + aÿc + bÿc) d = a b c (Ergibt sich über Pythagoras.) Beispiel: a = cm, b = 3cm und c = 5cm, gesucht wird V und O. V = cmÿ3cmÿ5cm = 30cm 3 O = ÿ (aÿb + aÿc + bÿc) = ÿ (cmÿ3cm + cmÿ5cm + 3cmÿ5cm) = 6cm

13 Seite Formeln Prisma Formel für das Volumen: V = Gÿh h ist hierbei die Körperhöhe und G die Grundfläche. Die Grundfläche kann ein Dreieck, ein Viereck oder allgemein ein Vieleck sein. Als Körperhöhe wurde oben die Bezeichnung h gewählt, oft wir aber auch (zum unterscheiden der Körperhöhe von der Höhe der Grundseite) h k oder auch l (ein kleines "L") verwendet (V = Gÿh k oder V = Gÿl). Wenn man ein Prisma parallel zur Grundfläche durchschneidet, ist die Schnittfläche mit der Grundfläche identisch. Damit ist ein Würfel oder ein Quader auch ein Prisma. Beispiel: Die Grundfläche ist im Beispiel ein rechtwinkliges Dreieck. Hier gilt: G = 4cmÿ3cm/ = 6cm Die Körperhöhe ist, wie man an der Zeichnung sieht, gleich 10cm. Also h = 10cm. Damit ergibt sich das Volumen: V = Gÿh = 6cm ÿ10cm = 60cm 3 Die Oberfläche bei Prismen berechnet sich wie folgt: O = ÿg + M M ist dabei die Mantelfläche. Im Beispiel besteht der Mantel aus 3 Rechtecken (siehe die nächste Grafik).

14 Seite Formeln Die Mantelfläche M ergibt sich bei Prismen aus dem Umfang der Grundfläche U mal der Körperhöhe h: M = Uÿh. Für den Umfang im Beispiel benötigen wir noch die Länge der Hypotenuse des Dreiecks der Grundfläche. Diese kann man über Pythagoras berechnen: Wir bezeichnen die Hypotenuse mit c: c = (3cm) + (4cm) = 5cm. Wurzelziehen ergibt: c = 5cm. Damit ergibt sich der Umfang der Grundfläche U = 3cm + 4cm + 5cm = 1cm. Die Mantelfläche ist dann M = 1cmÿ10cm = 10cm. Für die Oberfläche ergibt sich O = ÿg + M = ÿ6cm + 10cm = 13cm.

15 Seite Formeln Pyramide mit quadratischer Grundfläche V = 1/3ÿGÿh = 1/3ÿa ÿh G = a M = ÿaÿh s O = M + G Die folgenden beiden Formeln ergeben sich wieder über Pythagoras: h s = h (a / ) (Statt (a/) kann man auch a /4 verwenden.) s = s (a / ) h Es gibt folgende gleichschenklige Dreiecke, mit denen man fehlende Größen in einer Pyramide über Pythagoras berechnen kann:

16 Seite Formeln Eine Seite der Pyramide: Pythagoras: (a/) + h s = s Pyramide durch die Mitte parallel zur Grundkante a durchgeschnitten (durch die Spitze): Pythagoras: (a/) + h = h s Pyramide diagonal über Ecken der Grundfläche durchgeschnitten (durch die Spitze):

17 Seite Formeln Pythagoras: (d/) + h = s Dabei ist d die Diagonale auf der Grundfläche, die über d = a + a = d gilt). a berechnet werden kann (da Beispiel: a = 6m und h = 4m, gesucht werden V, O und s. V = 1/3ÿGÿh = 1/3ÿ(6m) ÿ4m = 48m 3 (G = a = (6m) ) h s = h (a / ) = (4m) (6m / ) 5m 5m s = s (a / ) h = (5m) (6m / ) 34m 5,83m M = ÿaÿh s = ÿ6mÿ5m = 60m O = M + G = 60m + 36m = 96m

18 Seite Formeln Pyramide mit rechteckiger Grundfläche V = 1/3ÿGÿh = 1/3ÿaÿbÿh h a = h (b / ) (Pythagoras: h a = h + (b/) ) h b = h (a / ) G = a ÿ b M = aÿh a + bÿh b O = M + G

19 Seite Formeln Pyramidenstumpf D = a 1 ÿb 1 G = a ÿb V = 1/3ÿhÿ(G + D G + D) h a = h (b b ) / 4 (Pythagoras) 1 h b = h (a a ) / 4 (Pythagoras) 1 M=(b 1 + b ) ÿh b + (a 1 + a ) ÿh a O = M + G + D

20 Seite Formeln Regelmäßiger Tetraeder h a = 3/ÿa (Dies ist die Höhe auf einer Seite, siehe Formel für gleichseitiges Dreieck.) h = / 3 a = 6/3ÿa V = 1/3ÿ1/ÿaÿh a ÿh = /1ÿa 3 O = 4ÿ1/ÿaÿh a = 3 ÿa Bemerkung zur Berechnung von h: h ist die Höhe des Tetraeders. Für diese gilt (Pythagoras): h + (/3ÿh a ) = a h + (/3ÿ 3/ÿa) = a h + ( 3/3ÿa) = a h + 1/3ÿa = a -1/3ÿa h = /3ÿa h = / 3 a

21 Seite Formeln Kegel V = 1/3 ÿ G ÿ h = 1/3ÿr ÿpÿh G = r ÿp s = h r (Pythagoras: s = h + r ) M = pÿrÿs O = M + G Beispiel: r = 6m und h = 8m. Gesucht wird V und O. V = 1/3ÿ(6m) ÿpÿ8m º 301,59m 3 s = (8m) (6m) 100m 10m O = M + G = pÿrÿs + r ÿp = pÿ6mÿ10m + (6m) ÿp º 301,59m (Hier ist zufällig O = V.)

22 Seite - Formeln Kegelstumpf V = 1/3ÿhÿpÿ (r + rÿr + R ) m = h (R r) (Pythagoras: m = h + (R - r) ) M = pÿmÿ (r + R) D = r ÿp G = R ÿp O = M + G + D

23 Seite Formeln Kugel d = r V = 4/3ÿr 3 ÿp O = 4ÿr ÿp Beispiele: 1) d = 10cm. Gesucht wird V. r = d/ = 5cm. V = 4/3ÿr 3 ÿp = 4/3ÿ(5cm) 3 ÿp º 53,60 cm 3. ) In eine Kugel passt 1 Liter Wasser. Wir groß ist ihr Innenradius? V = 4/3ÿr 3 ÿp 1 Liter entspricht 1dm 3 oder 1000cm 3 : 1000cm 3 = 4/3ÿr 3 ÿp :4/3 oder ÿ3/4 750cm 3 = r 3 ÿp : p 750cm 3 /p = r 3 3 r = cm / 6,0cm

24 Seite Formeln Hinweise zu den Einheiten Lägeneinheiten Zu den üblichen Längeneinheiten zählen (die Grundeinheit ist m): mm, cm, dm, m, km. Bei der Umrechnung von einer Einheit in die andere ist folgendes zu beachten: 1mm = 0,1cm oder 1cm = 10mm. Damit wären 58cm gleich 580mm. Dagegen sind 800mm gleich 80cm. Für mm, cm, dm und m gilt: Bei der Umrechnung in die "nächstgrößere" Einheit muss man durch 10 teilen und bei der Umrechung in eine "nächstkleinere" Einheit mit 10 multiplizieren. Dagegen muss man bei der Umrechung von m in km durch 1000 teilen und bei der Umrechnung von km in m mit 1000 multiplizieren. 1cm = 0,1dm oder 1dm = 10cm. 1dm = 0,1m oder 1m = 10dm. 1m = 0,001km oder 1km = 1000m. Damit sind 5800m gleich 5,8km oder,5km gleich 500m. Beispielsweise sind 5m = 50dm = 500cm. auch Weitere Einheiten wären mm (Mikrometer) und nm (Nanometer). Dabei ist 1mm gleich 1000mm und 1mm gleich 1000nm oder 1m = 1.000mm = mm = nm. Zu den üblichen Flächeneinheiten zählen: mm, cm, dm, m, a, ha, km Flächeneinheiten Diese Einheiten sind oben wieder der "Größe" nach geordnet. Hier ist der Umrechnungsfaktor 100, denn beispielsweise ist 1cm die Fläche eines Quadrates mit 1cm = 10mm Seitenlänge, womit 1cm = 1cmÿ1cm = 10mmÿ10mm = 100mm ist. D.h.: Bei der Umrechnung in eine "nächstgrößere" Einheit muss man damit durch 100 teilen und bei der Umrechung in eine "nächstkleinere" Einheit mit 100 multiplizieren. 1mm = 0,01cm oder 1cm = 100mm. 1cm = 0,01dm oder 1dm = 100cm. 1dm = 0,01m oder 1m = 100dm. 1m = 0,01a oder 1a = 100m. 1a = 0,01ha oder 1ha = 100a. 1ha = 0,01km oder 1km = 100ha. Damit ist 1km = 100ha = a = m (denn 1km wäre z.b. die Fläche eines Quadrates mit 1000m Seitenlänge).

25 Seite Formeln Volumeneinheiten Beim Volumen muss man sogar bei den Einheiten mm 3, cm 3, dm 3, m 3 den Faktor 1000 zur Umrechnung in die "nächstgrößere" Einheit verwenden. Da 1km 3 beispielsweise das Volumen eines Würfels mit 1000m Katenlänge wäre, ist damit 1km 3 = 1000mÿ1000mÿ1000m = m 3. 1mm 3 = 0,001cm 3 oder 1cm 3 = 1000mm 3. 1cm 3 = 0,001dm 3 oder 1dm 3 = 1000cm 3. 1dm 3 = 0,001m 3 oder 1m 3 = 1000dm 3. 1m 3 = 0, km 3 oder 1km 3 = m 3. Als Volumeneinheiten werden auch Liter (L oder l) verwendet. Dabei ist 1L gleich 1dm 3. Somit wären 0,5L gleich 0,5dm 3 = 500cm 3 oder 1000L = 1000dm 3 = 1m 3. 1cm 3 ist damit 1mL (1 Milliliter).