Vorlesung zur Arithmetik V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind/Konzepte für den

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1 Vorlesung zur Arithmetik V1 18./ Arithmetik in der Grundschule V2 -./ Die Entwicklung des Zahlbegriffs beim Kind/Konzepte für den Anfangsunterricht V3 02./ Natürliche Zahlen im Anfangsunterricht V4 09./ Die Grundrechenoperationen Addition und Subtraktion V5 16./ Die Grundrechenoperationen Multiplikation und Division V6 23./ Rechengesetze und Rechenstrategien V / Rechenfakten automatisieren V8 06./ Natürliche Zahlen und ihre Eigenschaften V9 20./ Schriftliche Rechenverfahren V10 27./ Rechenschwäche und Rechenbegabung V11 04./ Aufgabenformate und Übungsangebote V12 11./ Zusammenfassung und Überblick V Klausur 1

2 Programm 1 Rechengesetze und Rechenregeln beim Multiplizieren und Dividieren 2 Rechenstrategien für das Multiplizieren und Dividieren 2

3 1 Rechengesetze, mathematische Zusammenhänge, Rechenregeln Zusammenhang zwischen den Operationen Kommutativgesetz der Multiplikation Assoziativgesetz der Multiplikation Distributivgesetz der Multiplikation bezüglich der Addition 3

4 Der Zusammenhang zwischen Multiplikation und Division in N wird genutzt, um Quotienten zu berechnen. 4

5 Beobachtungen beim Teilen in Kl. 2: Additives Denken unterstützt die Prozesse beim Teilen

6 Kommutativgesetz der Multiplikation Es gilt 3 4=4+4+4=12 und 4 3= =12, d.h., 4 3=3 4. Die Faktoren eines Produkts dürfen vertauscht werden, ohne dass sich das Ergebnis ändert. Für alle natürlichen Zahlen a, b gilt: a b = b a Veranschaulichung Leonardo/Diesterweg 6

7 Assoziativgesetz der Multiplikation Sind drei Zahlen miteinander zu multiplizieren, so sind zunächst zwei von ihnen zu multiplizieren und dieses Produkt dann mit der dritten. Dabei ist die Reihenfolge der Zusammenfassung ohne Einfluss auf das Ergebnis, z. B.: = (4 2) 3 = 8 3 = = 4 (2 3) = 4 6 = 24 Anwendungsbeispiele: s. Vorlesung Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: (a b) c = a (b c) 7

8 Die Multiplikationstabelle lässt folgende Vermutungen zu: - Die Multiplikation in N ist kommutativ. - 1 ist das neutrale Element der Multiplikation. - a 0 = 0 a ist allgemeingültig in N. 8

9 Distributivgesetz Dieses Gesetz der Verteilung drückt einen Zusammenhang zwischen Rechenoperationen verschiedener Stufe aus: 5 (4+3) = Es beschreibt, wie sich bei der Multiplikation einer Summe der andere Faktor auf die Summanden verteilt (Distributivgesetz der Multiplikation bezüglich der Addition). Für alle natürlichen Zahlen a, b, c gilt: a (b + c) = a b + a c Aus dem Distributivgesetz sind ableitbar die Beziehungen: (a b) c = a c b c (a + b) : c = a : c + b : c c 0 (a - b) : c = a : c b : c c 0 Für natürliche Zahlen a, b, c sind diese Gleichungen nur sinnvoll, wenn die Subtraktion a - b und die Division a : c und b : c ausführbar sind. 9

10 Veranschaulichung 2 (3+4) = Anwendungsbeispiele: s. Vorlesung

11 Veranschaulichung (5 + 4) =

12 Hinzu kommen Betrachtungen zur Konstanz des Produkts und des Quotienten: Konstanz des Produkts (gegensinniges Verändern) z. B.: Das Produkt bleibt gleich, wenn man einen Faktor verdoppelt und den anderen halbiert (sofern dies im Bereich der natürlichen Zahlen möglich ist). 6 8 = 12 4 = 3 16 = 24 2 = 48 1 = 96 0, = Konstanz des Quotienten (gleichsinniges Verändern) z. B.: Der Quotient bleibt gleich, wenn man den Dividenden verdoppelt und den Divisor verdoppelt. 12:2 = 24:4 = 48:8 =... 24:4 = 240:40 =... 12

13 Weitere Beziehungen Verdoppelt man in einem Produkt einen Faktor, so verdoppelt man das Produkt insgesamt. 3 8=24 6 8=48 Halbiert man in einem Produkt einen Faktor, so halbiert man das Produkt insgesamt. 3 8=24 3 4=12 13

14 Beispiele (5 10)=(4 5) 10 (2 2) 50=2 (2 50) Assoziativgesetz Konstanz des Produkts (25+25)= (100-50)= Distributivgesetz (20+4) 3 (3 8) (2 3) 9 6 (10-1) 3 9 = 27 dann ist 6 9 = 54 14

15 Ausführbarkeit der Division Die Division ist im Bereich der natürlichen Zahlen nicht immer ausführbar. z. B. 17 : 5 3 n = 17 (3 5=15; 3 6=18); 17= Durch Null kann nicht dividiert werden. 5 : 0 = n würde bedeuten n 0 = 5. Für jede Zahl n ist ein solches Produkt aber 0. Auch mit Dividend 0 nicht möglich, da kein eindeutiges Ergebnis zugeschrieben werden kann: 0:0=? (0:0=17, weil 17 0=0 oder 0:0=183, weil 183 0=0 oder...) 15

16 Die Divisionstafel lässt folgende Vermutungen zu: - Die Division in N ist nicht stets ausführbar. Es bleiben Felder leer. - Die Division in N ist nicht kommutativ. Es liegt keine Symmetrie bezüglich der Hauptdiagonalen vor. -In jedem Feld der Hauptdiagonalen steht die Zahl 1; stets gilt a : a = 1. -Es gibt keine zur Eingangszeile gleiche Zeile. Die erste Spalte ist leer. Quotienten a:0 existieren nicht. 16

17 2 Rechenstrategien 2.1 Rechenstrategien für das Multiplizieren 2.2 Rechenstrategien für das Dividieren 17

18 2.1 Rechenstrategien für das Multiplizieren schrittweise Distributivität 39 6 = = = =

19 schrittweise 18 30= 540 Assoziativität = Assoziativität 19

20 Aufgabe vereinfachen = Konstanz des Produkts 20

21 Mit einer Hilfsaufgabe rechnen = 370 Die Hälfte ist 185. Distributivität Wenn ich einen Faktor verdopple, verdoppelt sich das Produkt. 21

22 Multiplizieren mit dem Malkreuz (stellenweises Rechnen) =

23 Rechenstrategien für das Multiplizieren schrittweise Aufgabe vereinfachen Hilfsaufgabe Malkreuz (stellenweises Rechnen) Probieren Sie die Strategien für die folgenden Aufgaben aus: 38 8;

24 2.2 Rechenstrategien für das Dividieren schrittweise 54:3 = 10+8 = 18 Distributivität 30:3 24:3 956:4 = : 4 = :4 = : 4 = :4 = : 4 = :4 = 9 120: 4 = 30 36: 4 = 9 24

25 Hilfsaufgabe 54:3=20-2=18 956:4=250-11=239 60:3 1000:4 6:3 44:4 Wird von Schülern kaum angewendet. Distributivität 25