5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras

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1 Ma th ef it 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras Tom und seine Freunde wollen eine zweitägige Radtour machen. Da Tom die Detailplanung übernommen hat, zeichnet er die Route in eine Karte ein. Er überlegt halblaut: Für zwei Zentimeter auf der Karte werden wir etwa eine Stunde brauchen Sara hört das und sieht sich die Karte an. Dabei fällt ihr auf, dass die Route auch über einen Berg führt. Lachend meint sie: Selbst ein Radprofi kann diese Strecke nicht in dieser Zeit schaffen. Bergauf fährt man langsamer und außerdem ist die Strecke länger! Tom muss seinen Überlegungsfehler zugeben. Insgeheim ist er sogar froh, dass Sara ihn darauf aufmerksam gemacht hat. Schließlich ist es immer noch besser sich vor der Schwester als vor den Freunden zu blamieren. Aber wie lang ist die Strecke auf den Berg wirklich und wie schnell können sie bergauf fahren? In diesem Kapitel vertiefst du dein Wissen und lernst Neues über 1. den Lehrsatz des Pythagoras,. seine Anwendungen in ebenen Figuren, 3. den Höhen- und Kathetensatz und 4. verschiedene Beweise des Lehrsatzes. 65 Arbeitet in Gruppen zusammen! Welche ebenen Figuren kennt ihr? Macht Skizzen und überlegt, wie bei diesen Figuren Umfang und Flächeninhalt berechnet werden! Vergleicht anschließend eure Ergebnisse mit den anderen Gruppen! 66 Paul Kuddelmuddel verwechselt manchmal noch immer Umfang und Flächeninhalt. Erkläre den Unterschied! Nenne Beispiele, wo das eine oder das andere wichtig ist! 66 Fläche: Gemüse pflanzen, Wand ausmalen, usw.; Umfang: Randsteine setzen, Zaun aufstellen, usw.

2 84 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras 67 Längste Seite (c) liegt dem rechten Winkel gegenüber, a und b schließen den rechten Winkel ein. c =a +b 68 a) Hypotenuse, liegt dem rechten Winkel gegenüber b) Katheten, müssen nicht gleich lang sein 69 z. B: c + 4 Dreiecke = a +b + 4 Dreiecke 5.1 Der pythagoräische Lehrsatz im rechtwinkligen Dreieck 67 Beschrifte die Seiten der rechtwinkligen Dreiecke und zeichne die rechten Winkel ein! Formuliere den Lehrsatz des Pythagoras! 68 Paula Kuddelmuddel kann sich nicht mehr so recht an die richtigen Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck erinnern. Sie bringt einiges durcheinander. Stelle die Aussagen richtig! a) Die Hypophyse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck, sie liegt rechts vom rechten Winkel. b) Die beiden kürzeren Seiten werden Kathedralen genannt. Sie sind immer gleich lang. Lehrsatz des Pythagoras In jedem rechtwinkligen Dreieck (γ = 90 ) mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt folgende Beziehung: c = a + b 69 Ein Beweis für den Lehrsatz des Pythagoras: Schneide 8 kongruente (= deckungsgleiche) rechtwinklige Dreiecke aus und bezeichne die beiden Katheten mit a und b, die Hypotenuse mit c! Weiters schneide ein Quadrat mit der Seitenlänge a des gewählten Dreiecks, ein Quadrat mit der Seitenlänge b und ein Quadrat mit der Seitenlänge c aus. Lege nun die Quadrate und Dreiecke wie in der Abbildung zu zwei Quadraten mit der Seitenlänge (a + b) zusammen! Entferne links und rechts jeweils die vier Dreiecke. Die Quadrate bleiben übrig! Erkläre diesen Beweis deinem Nachbarn/deiner Nachbarin! Versucht gemeinsam eine mathematische Gleichung aufzustellen, die den Inhalt der Abbildung wiedergibt!

3 5.1 Der pythagoräische Lehrsatz im rechtwinkligen Dreieck Konstruiere das rechtwinklige Dreieck und berechne die Länge der fehlenden Seite (γ = 90 )! a) a =,4 cm; b = 3 mm b) a = 7,5 cm; c = 8,5 cm c) b = 7,6 cm; c = 95 mm d) a = 36 mm; b = 7,7 cm 71 Berechne Umfang und Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks ABC (γ = 90 ). a) a = 15,8 cm; b = 19, cm b) a = 0,9 m; c = 15 cm c) b = 4,6 m; c = 38,1 m d) a = 16 mm; c = 18,9 cm 7 Gib zwei Formeln zum Berechnen des Flächeninhalts eines rechtwinkligen Dreiecks an! Erkläre die Formeln! 73 Berechne Umfang, Flächeninhalt und Höhe des rechtwinkligen Dreiecks! a) a = 9,8 cm; c = 1,4 cm b) b = 134 mm; c = 16,8 cm c) b = 0,86 dm; c = 11,8 cm d) a = 75 cm; c = 1,4 m 74 Von einem rechtwinkligen Dreieck sind die Längen der beiden Katheten bekannt. Berechne den Umfang und die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks! a) a = 1 cm; b = 8 cm b) a = 5, cm; b = 33,6 cm c) a = 31,8 cm; b = 4,4 cm d) a = 18 cm; b = 7,5 cm 75 Paula Kuddelmuddel soll von einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete x = 1 cm und der Hypotenuse z = 35 cm die fehlende Kathete y berechnen. Als Ergebnis erhält sie y = 40,8 cm. Ihre Nachbarin meint, dass das Ergebnis nicht stimmen kann, denn in einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse die längste Seite. Was hat Paula falsch gemacht und wie ist das richtige Ergebnis für y? 76 Von einem rechtwinkligen Dreieck sind der Flächeninhalt und die Länge einer Seite bekannt. Berechne die Längen der beiden anderen Seiten! 77 Gärtner: Ein Gärtner spannt eine Knotenschnur (die Abstände zwischen zwei benachbarten Knoten sind immer gleich groß) so, wie in der Skizze dargestellt. Er sagt: Nun habe ich für das Blumenbeet einen rechten Winkel festgelegt! Wieso kann er das mit Recht behaupten und wo liegt der rechte Winkel? 70 a) 40 mm b) 4 cm c) 5,7 cm d) 8,5 cm 71 a) u = 59,9 cm; A = 151,68 cm b) u = 301,7 cm; A = 3903,6 cm c) u = 91,8 m; A = 357,85 m d) u = 456 mm; A = 8875 mm 7 A = ab oder A = ch 73 a) u = 9,8 cm; A = 37,3 cm ; h = 6 cm b) u = 403 mm; A = 6789 mm ; h = 81 mm c) u = 8,5 cm; A = 34,74 cm ; h = 5,9 cm d) u = 333 cm; A = 4433 cm ; h = 63 cm 74 a) u = 84 cm; h = 16,8 cm b) u = 848,4 cm; h = 0, cm c) u = 17, cm; h = 5,4 cm d) u = 45 cm; h = 7,1 cm 75 sie rechnete: b = a + c ; richtig ist: b = 8 cm

4 86 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras mm; 70 mm bzw. 6,6 cm; 10,9 cm 77 Weil für dieses Dreieck der pythagoräische Lehrsatz gilt. Daher ist es ein rechtwinkliges Dreieck. Der rechte Winkel liegt zwischen den beiden kürzeren Seiten. 78 a) h = 40,8 mm; u = 04 mm b) h = 6,46 cm; u = 7,6 cm c) h = 81,6 mm; u = 408 mm d) h = 11,76 m; u = 58,8 m 79 u = 39 mm; A = mm 80 a) 1 15 cm ; cm b) 67,3 cm c) 0,5 Prozent 81 a) 3,6 cm b) 7,6 cm c) 8,6 cm d) 9, cm 83 a = 9,8 cm; b = 7,8 cm; c = 9,5 cm 84 a) 8,5 cm b) 9, cm c) 13,3 cm Von einem rechtwinkligen Dreieck sind der Flächeninhalt (A = 187 cm ) und die Länge einer Kathete (a = 17 cm) gegeben. Berechne die Höhe des Dreiecks! A = a b b = A a b = cm c = a + b c = 7,8 cm A = c hc h c = A c h c = 13,5 cm 78 Von einem rechtwinkligen Dreieck sind der Flächeninhalt und die Länge einer Kathete bekannt. Berechne die Höhe des Dreiecks und den Umfang! a) a = 51 mm; A = 17,34 cm b) b = 9, cm; A = 3174 mm c) b = 136 mm; A = 69,36 cm d) a = 14,7 m; A = 144,06 m 79 Berechne den Umfang und den Flächeninhalt der nebenstehenden Figur! Beachte: Die beiden rechtwinkligen Dreiecke sind ähnlich! 80 Ein rechteckiges Holzbrett (110 cm x 50 cm) wird schräg zerschnitten. Berechne a) den Flächeninhalt beider Teile b) die Länge der Schnittkante. c) Wie viel Prozent vom ganzen Brett beträgt die Fläche des rechtwinkligen Dreiecks? 81 In einem Koordinatensystem (01 = 1 cm) sind zwei Punkte gegeben. Berechne die Länge der durch diese beiden Punkte gegebenen Strecke! Kontrolliere durch Zeichnen und Messen! a) S( 3), T(5 1) b) X( 4 ), Y(3 1) c) A( 6 4), B( 1 3) d) D(1 7), E( 1 ) 8 Zeichne in ein Koordinatensystem drei Punkte ein und verbinde sie zu einem Dreieck! Gib die Koordinaten der Punkte an und berechne die Längen der Seiten! Kontrolliere durch Messen! 83 Ein Dreieck ist durch die Eckpunkte A( 6 ), B(3 5), C( 1 4) gegeben. Berechne die Längen der drei Seiten! 84 Berechne die Länge der Strecke, die durch die beiden Punkte gegeben ist! a) R( 5 4), S(1 ) b) X(6 1), Y( 3 3) c) A( 6 1), B(7 ) d) A(4 ), B(8 6)

5 5.1 Der pythagoräische Lehrsatz im rechtwinkligen Dreieck Achtung Dachlawine! Ein Pfosten mit einem Schild, auf dem vor Dachlawinen gewarnt wird, soll so aufgestellt werden, dass der gesamte 1,4 m breite Gehsteig gesperrt wird. Außerdem soll der Pfosten bis über die erste Fensterreihe des mehrstöckigen Hauses reichen. Die Oberkante dieser Fensterreihe befindet sich in einer Höhe von 3,4 m. Wie lang muss der Pfosten mindestens sein, damit er diese Bedingungen erfüllt? Dachlawine 86 Der Innenhof eines mittelalterlichen Gebäudes hat die in der Zeichnung angegebene Form. Er soll mit quadratischen Pflastersteinen (a = 10 cm) ausgelegt werden. Zusätzlich sollen rundherum Randsteine gesetzt werden. Berechne die Größe der zu pflasternden Fläche und die Gesamtlänge für die Randsteine! Wie viele Pflastersteine werden mindestens benötigt, wenn für Verschnitt 8 Prozent gerechnet werden? 87 Auf der Terrasse sollen neue Bodenplatten verlegt werden. Eine Platte hat die Form eines Rechtecks mit den Seitenlängen 45 cm und 30 cm. Die Platten sind zu je 10 Stück verpackt. Wie viele Packungen werden mindestens benötigt, wenn mit 5 Prozent Verschnitt gerechnet wird? (Fugen werden bei der Berechnung nicht berücksichtigt!) Es werden rundherum, außer an der Hausmauer, Abschluss-Steine gesetzt. Für welche Länge müssen Steine besorgt werden? 88 Nun kannst du Toms Frage nach der Länge der Strecke (siehe S. 83) sicherlich lösen: Wie lang ist die Strecke (Luftlinie) auf die Anhöhe? Dazu liest Tom folgende Angaben aus der Karte ab: Seehöhe des Ausgangspunktes: 30 m Seehöhe des höchsten Punktes: 1 16 m Länge der Strecke auf der Karte: 7 cm Maßstab der Karte: 1: ,7 m 89 Sara rechnet mit Tom mit. Sie kommt auf das gleiche Ergebnis wie Tom. Allerdings hat sie einen Einwand: Unser Ergebnis ist eine Strecke, die geradlinig vom Ausgangspunkt auf die Anhöhe führt. Es werden aber sicherlich einige Kurven zu fahren sein! Was meinst du dazu? Was würdest du den beiden nun raten? Besprich dich mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin!! 86 A = 85,4 m ; u = 36,8 m; 9 4 Steine Packungen, m m 89 z. B. : Verwendung eines Routenplaners

6 88 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras 5. Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren 5..1 Rechteck und Quadrat 90 d = a + b 90 Zeichne eine Diagonale im Rechteck ein! Stelle eine Formel auf, um die Länge der Diagonale zu berechnen! 91 a = 70,4 cm; u = 3,4 cm; A = 3 4,3 cm 9 a) 174,93 cm b) 7,5 dm c) mm d) 1,61 m 91 Ein Rechteck ist 45,8 cm breit und hat eine 84 cm lange Diagonale. Berechne die Länge des Rechtecks, den Umfang und den Flächeninhalt! Rechteck Eine Diagonale d teilt ein Rechteck in zwei kongruente rechtwinklige Dreiecke. Daher gilt: d = a + b 9 Von einem Rechteck sind die Länge einer Seite und die Länge der Diagonalen gegeben. Berechne den Flächeninhalt! a) a = 15 cm; d = 19 cm b) b =,68 dm; d = 3,88 dm c) b = 156 mm; d = 186 mm d) a = 1, m; d = 1,8 m 93 1,6 m 93 Durch ein rechteckiges Gartenstück (18 m x 1 m) wird entlang der Diagonalen ein neues Kanalrohr verlegt. Wie lang ist der dafür notwendige Graben? 94 a) a = 10,5 cm; b = 4,5 cm b) a = 60,8 cm; b = 34, cm 95 A = 836 cm ; d = 43,9 cm 94 Von einem Rechteck sind der Flächeninhalt A und das Verhältnis der Seitenlängen a und b bekannt. Berechne die Länge der Seiten! (Hinweis: Siehe 3) a) a : b = 7 : 3; A = 47,5 cm b) a : b = 16 : 9; A = 079,36 cm 95 Von einem Rechteck sind die Länge des Umfangs u = 10 cm und die Länge einer Seite b = cm bekannt. Berechne die Fläche des Rechtecks und die Länge der Diagonalen! 96 1 cm 96 Der Umkreisradius eines 9 cm breiten Rechtecks beträgt 7,5 cm. Skizziere diesen Sachverhalt! Berechne die Länge des Rechtecks! 97 D) 97 In dieser Figur sind K, L, M und N die Mittelpunkte der Seiten des Rechtecks ABCD und O, P, R und S die Mittelpunkte der Seiten des Vierecks KLMN. Wie groß ist der Anteil der gefärbten Fläche am Rechteck ABCD? A) 3 5 B) 3 C) 5 6 D) 3 4 E) 5 7

7 5. Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren Die Diagonale eines Quadrats kann folgendermaßen berechnet werden: d = a. Wie kommt man zu dieser Formel? Begründe! Quadrat Eine Diagonale d teilt ein Quadrat in zwei kongruente rechtwinklige-gleichschenklige Dreiecke. Daher gilt: d = a + a bzw. d = a 99 Berechne die Länge der Diagonale der Quadrate! a) a = 48 mm b) a =,3 m c) a = 7,9 dm d) a = 6,1 cm 300 Von einem Quadrat ist die Länge der Diagonale d gegeben. Berechne die Seitenlänge, den Umfang und den Flächeninhalt! a) d = 1,5 cm b) d = 0,85 m c) d = 65 mm d) d = 3,8 cm 301 Ein Quadrat hat einen Umkreis mit einem Radius von a) 84 mm b) 5, cm c) 6,1 cm d) 53 mm. Berechne die Länge der Seite! 30 Von einem Quadrat ist der Flächeninhalt bekannt. Berechne die Länge der Diagonale! a) A = 73,96 cm b) A = 8 81 mm c) A = 7,84 m d) A = 0,371 ha 303 Paul Kuddelmuddel berechnet die Länge der Seitenkante a eines Quadrats aus folgender Angabe: d = 7,5 cm. Er erhält: a = 10,6 cm. Wo liegt vermutlich der Fehler? 304 Bei Bildschirmen (Fernsehapparat, Monitor) wird als Größenangabe die Bildschirmdiagonale in Zoll angegeben (1 Zoll =,54 cm). Berechne Länge und Breite eines Bildschirms (in cm), wenn die Diagonale 4 Zoll beträgt und die Seiten sich wie 16 : 9 verhalten! 305 Im Quadrat mit Seitenlänge 6 cm liegen A und B auf der waagrechten Mittenparallele der Seiten. Verbindet man A und B wie abgebildet mit den Eckpunkten, wird das Quadrat in drei flächengleiche Teile zerlegt. Wie lang ist die Strecke AB? A) 3,6 cm B) 3,8 cm C) 4,0 cm D) 4, cm E) 4,4 cm 98 d = a + a = a d = a = a 99 a) 67,9 mm b) 3,3 m c) 11, dm d) 8,6 cm 300 a) a = 15, cm; u = 60,8 cm; A = 31,13 cm b) a = 0,6 m; u =,4 m; A = 0,36 m c) a = 46 mm; u = 184 mm; A = 113 mm d) a =,7 cm; u = 10,8 cm; A = 7, cm 301 a) 119 mm b) 7,4 cm c) 8,6 cm d) 75 mm 30 a) d = 1, cm b) d = 19 mm c) d = 4,0 m d) 86,3 m 303 Er rechnete mal Wurzel aus zwei statt durch Wurzel aus zwei. 306 Einem großen Quadrat wird ein kleines Quadrat, wie in der Skizze zu sehen, eingeschrieben. Wie groß ist die Fläche des kleinen Quadrats? A) 16 B) 8 C) 34 D) 36 E) ,13 cm; 9,89 cm 305 C) 306 C)

8 90 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras 307 a) zwei rechtwinklige Dreiecke b) a = h + c c) u =a + c d) A = c hc oder A = a ha 5.. Gleichschenkliges Dreieck 307 Zeichne in das nebenstehende Dreieck die Höhe h c ein! a) In welche Art von Dreiecken teilt die Höhe h c das gleichschenklige Dreieck? b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen a, c und h c? c) Gib eine Formel zum Berechnen des Umfangs des gleichschenkligen Dreiecks an! d) Wie kann der Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks berechnet werden? gleichschenkliges Dreieck 308 a) 5,3 cm; Die Höhe h c teilt das gleichschenklige Dreieck in zwei 19,8 cm rechtwinklige Dreiecke. b) 87 mm; Daher gilt folgende Beziehung: mm a = h + ( c c) 5,9 cm; ) 5,37 cm d) 15,7 cm; 308 Gleichschenkliges Dreieck: Berechne die Länge der Höhe h c und den 30,64 cm Flächeninhalt! a) a = b = 6,5 cm; c = 7,4 cm b) a = b = 96 mm; c = 8 mm c) a = b = 7,3 cm; c = 8,6 cm d) a = b = 1,5 cm; c = 9,4 cm 309 a) h c = 3,4 cm; A = 4,1 cm b) h c = 57,1 cm; A = 110,9 cm 310 a) 7, mm b) 17 m 311 a) 41,59 cm b) 779,4 cm 31 a) u = 78 cm; A = 860 cm b) u = 60,4 cm; A = 3 5,8 cm ,9 m 309 Berechne die Höhe h c und den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks (a = b)! a) a = 7,8 cm; c = 1,4 dm b) a = 68 cm; c = 0,74 m 310 Berechne den Umfang des gleichschenkligen Dreiecks (a = b)! a) c = 68 mm; h c = 7 mm b) c = 4,6 m; h c = 5,8 m 311 Berechne den Flächeninhalt des gleichschenkligen Dreiecks (a = b)! a) h c = 16 cm; a = cm b) h c = 3,8 cm; a = 40,5 cm 31 Ein Spiegel hat die Form eines gleichschenkligen Dreiecks. Berechne Umfang und Flächeninhalt! a) c = 5 cm; h c = 1,1 m b) a = 85 cm; h c = 7 cm 313 Das Tragwerk einer Brücke besteht aus neun gleichschenkligen Dreiecken. Wie lang ist die Gesamtlänge aller Streben dieser Konstruktion?

9 5. Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren Wie lang ist der Umfang des gleichschenkligen Dreiecks (a = b)? a) c = 86 mm; A = mm b) c = 5,8 cm; A = 13,34 cm c) h c = 3, m; A = 3,84 m d) h c = 35,6 cm; A = 655,04 cm 315 Die Wetterseite eines Einfamilienhauses muss nach einem Jahr bereits wieder gestrichen werden. a) Berechne die Länge der Dachkante! b) Wie viel m sind zu streichen? c) Die Kosten für 1 m Anstrich kommen auf 35 Euro. Wie hoch sind die Gesamtkosten? 316 Die Feuermauer (siehe Skizze, Maßangabe in m) des Feuerwehrhauses in Neustadt erhält eine neue Wärmedämmung. a) Wie viele m müssen mit dem Dämm-Material verkleidet werden? b) Da das Dämm-Material nur in Platten erhältlich ist, werden 1 Prozent der Mauerfläche als Verschnitt veranschlagt. Eine Dämmplatte ist 1, m lang und 45 cm breit. Sie sind zu je 10 Stück abgepackt. Wie viele Packungen werden benötigt? 317 Konstruiere ein rechtwinklig-gleichschenkliges Dreieck mit einer Kathetenlänge von 4 cm. Spiegle das Dreieck an der Hypotenuse c! Welche Figur entsteht? Welchen Zusammenhang gibt es zwischen der Hypotenuse c und der Höhe h c? 318 Von einem rechtwinklig-gleichschenkligen Dreieck ist die Länge der Hypotenuse c bekannt. Berechne die Länge der Katheten und den Flächeninhalt! a) c = 8,6 cm b) c = 1, cm c) c = 36,4 mm d) c = 5,8 dm 319 Nimm dein Geodreieck zur Hand! Welche Eigenschaften hat es? Berechne Umfang und Flächeninhalt! 30 Sara berechnet die Fläche eines gleichschenklig-rechtwinkligen Dreiecks mit A = a. Was meinst du, stimmt diese Formel? Begründe deine Antwort! 314 a) 90 mm b) 16,7 cm c) 9, m d) 117 cm 315 a) 8, m b) 155,76 m c) 5 451,60 Euro 316 a) 64,55 m b) 55 Packungen 317 Quadrat; h c = c 318 a) 6,1 cm; 18,49 cm b) 8,6 cm; 37,1 cm c) 5,7 mm; 331,4 mm d) 4,1 dm; 8,41 dm 319 glsch.-rechtw. Dreieck; 31 Einem gleichschenkligen Dreieck wird ein Rechteck umschrieben. Berechne die Seitenlänge b des Rechtecks. Wie groß ist die Differenz der Umfänge? a) a = 11, cm; c = 9, cm b) a = 18 mm; c = 96 mm 30 ja, weil halbes Quadrat 31 a) b = 10, cm; 7, cm b) b = 119 mm;

10 9 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras 3 h = a ( a ) ; A = a h 33 a) 48,5 mm; mm b) 8,1 cm; 38,6 cm c) 56,6 cm; 1 85,06 cm d),15 dm;,66 dm 34 a) 1,16 cm b) 35,86 cm c) 8,01 cm d) 0,789 m 35 a) 91,04 cm b) 665,38 cm 36 Quadrat: 48 cm; Dreieck: 54,7 cm 37 88,4 cm 38 14,1 cm 5..3 Gleichseitiges Dreieck und regelmäßiges Sechseck 3 Im gleichseitigen Dreieck gelten die Formeln h = a 3 und A = a 4 3. Leite beide Formeln her, indem du mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes eine Formel zum Berechnen von h aufstellst, diese vereinfachst und dann in die allgemeine Flächenformel einsetzt! gleichseitiges Dreieck Die Höhe h teilt das gleichseitige Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke. Daher gilt folgende Beziehung: h = a ( a ) h = a a h = a 3 4 = 3 a 4 Für den Flächeninhalt gilt daher: A = a h bzw. A = a Berechne die Höhe und den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks! a) a = 56 mm b) a = 9,4 cm c) a = 65,4 cm d) a =,48 dm 34 Berechne den Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks! a) a = 5,3 cm b) a = 91 mm c) a = 0,43 dm d) a = 1 m 35 cm 35 Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks beträgt a) 43,5 cm b) 117,6 cm. Berechne den Flächeninhalt! 36 Ein gleichseitiges Dreieck und ein Quadrat sind flächengleich. Die Fläche beträgt jeweils A = 144 cm. Berechne die Umfänge beider Figuren! 37 Ein Rechteck und ein gleichseitiges Dreieck sind flächengleich. Das Rechteck ist 65 cm lang und 5 cm breit. Berechne die Seitenlänge a des gleichseitigen Dreiecks! 38 Ein gleichschenkliges Dreieck (a = b = 18 cm; c = 10 cm) und ein gleichseitiges Dreieck sind flächengleich. Berechne die Seitenlänge a des gleichseitigen Dreiecks!

11 5. Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren Nadine braucht gleichseitige Dreiecke mit einer Seitenlänge von 9 cm. Wie viele solcher Dreiecke kann sie maximal aus einem Karton ausschneiden, der 4 cm lang und 30 cm breit ist? 330 Die Höhe eines gleichseitigen Dreiecks ist bekannt. Berechne die Länge der Seite a! a) h = 8,6 cm b) h = 1,4 cm c) h = 36 mm d) h = 1,15 dm 331 Von einem gleichseitigen Dreieck ist die Fläche gegeben. Berechne die Länge der Seite a! a) A = 4 cm b) A = 65, cm c) A = 84 mm d) A = mm 33 Ein rechtwinkliges Dreieck mit den Kathetenlängen 4 cm und 3 cm und ein gleichseitiges Dreieck haben den gleichen Umfang. Berechne die Länge der Seite des gleichseitigen Dreiecks! 333 Ein Rechteck mit den Seitenlängen 6,5 cm und 7,8 cm und ein gleichseitiges Dreieck sind flächengleich. Berechne die Seitenlänge des gleichseitigen Dreiecks! 334 Ein weiterer Zirkelschluss für den Lehrsatz des Pythagoras! Arbeite mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin oder in einer kleinen Gruppe zusammen! Zeichnet ein beliebiges rechtwinkliges Dreieck und errichtet über jeder Seite ein gleichseitiges Dreieck! Versucht nun zu zeigen, dass der Flächeninhalt des gleichseitigen Dreiecks über der Hypotenuse genauso groß ist wie die Summe der Flächeninhalte über den beiden Katheten! Zur Überprüfung könnt ihr die Seiten eures Dreiecks abmessen und nachrechnen, ob die aufgestellte Beziehung für eure Zahlen stimmt! 335 Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs kongruenten gleichseitigen Dreiecken. a) Stelle eine Formel zum Berechnen des Flächeninhalts eines regelmäßigen Sechsecks auf! b) Berechne den Flächeninhalt eines regelmäßigen Sechsecks mit einer Seitenlänge von a = 4,5 cm! Dreiecke 330 a) 9,9 cm b) 14,3 cm c) 41,6 mm d) 1,33 dm 331 a),7 cm b) 1,3 cm c) 44 mm d) 60 mm 33 3 cm ,8 cm 334 a b 4 3 = a +b 4 3; a +b 4 3 = c a) A = 6 oder A = 3 b) 5,61 cm 336 Berechne den Flächeninhalt des regelmäßigen Sechsecks! a) a = 6 mm b) a = 15,4 cm c) a = 5, cm d) a = 8,1 cm a 4 3 a a) mm b) 616,16 cm c) 70,5 cm

12 94 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras 337 a) 39,5 cm b) 75,76 cm 337 Von einem regelmäßigen Sechseck ist die Länge des Umfangs bekannt. Berechne den Flächeninhalt! a) u = 3,4 cm b) u = 3,4 cm ,1 cm 338 Ein gleichseitiges Dreieck hat eine Seitenlänge von 4 cm. Es ist flächengleich mit einem regelmäßigen Sechseck. Berechne die Seitenlänge des Sechsecks! 339 a) 93,53 cm b) 35 Prozent Sechsecke; 0,3 Prozent Abfall 339 Aus einem Quadrat (Seitenlänge a = 1 cm) soll das größtmögliche regelmäßige Sechseck geschnitten werden. a) Welchen Flächeninhalt hat das regelmäßige Sechseck? b) Wie viel Prozent beträgt der Abfall? 340 Wie viele regelmäßige Sechsecke mit einer Kantenlänge von 8 cm können maximal aus einem rechteckigen Karton, der 90 cm lang und 50 cm breit ist, geschnitten werden? Wie viel Prozent des Kartons sind Abfall? ,68 cm 341 Ein Handspiegel hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks. Berechne den Flächeninhalt des Spiegels in cm, wenn die Höhe 86 mm beträgt! 34 Sechsecke; 34 Wie viele regelmäßige Sechsecke mit einer Kantenlänge von 65 mm können maximal auf ein quadratisches 85 cm Papier mit einer Seitenlänge von 50 cm gezeichnet werden. Wie groß ist die frei bleibende Fläche? ,4 cm; 343 Bodenfliesen haben die Form von regelmäßigen 81 cm Sechsecken. Berechne die Seitenlänge und den Flächeninhalt einer Fliese! Packungen, 4,75 m 344 Der Fußboden des Abstellraums soll gefliest werden. Eine Fliese hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks mit einer Seitenlänge von 8 cm. Die Fliesen sind zu je 10 Stück verpackt. Wie viele Packungen werden mindestens benötigt, wenn mit 1 Prozent Verschnitt gerechnet wird? (Fugen werden bei der Berechnung nicht berücksichtigt!) Weiters wird rundherum eine Abschlussleiste angebracht. Berechne deren Länge, wenn für die Tür 1,0 m abgezogen werden!

13 5. Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren Parallelogramm und Raute (= Rhombus) 345 Ein Parallelogramm ist durch a = 8 cm, b = 4 cm, α = 55 gegeben. a) Konstruiere das Parallelogramm! b) Berechne den Umfang! c) Berechne die Größe der anderen Innenwinkel! d) Zeichne beide Höhen ein und miss sie ab! e) Berechne auf zwei Arten den Flächeninhalt! Begründe, warum die beiden Ergebnisse nicht exakt gleich sein müssen! Parallelogramm Die Diagonale e bzw. f ist jeweils die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Katheten bilden die Höhe h a bzw. h b und eine Seite plus/minus einer bestimmten Strecke. In diesem so erhaltenen rechtwinkligen Dreieck kann der Lehrsatz des Pythagoras aufgestellt werden. Berechnen des Flächeninhalts: A = a h a oder A = b h b 346 Ein Viereck MUSS ein Parallelogramm sein, wenn es folgende Eigenschaften hat: A) ein Paar aneinanderstoßende gleich lange Seiten B) ein Paar parallele Seiten C) eine Diagonale als Symmetrieachse D) zwei benachbarte gleich große Winkel E) zwei Paar parallele Seiten 347 Die Figur zeigt ein schattiertes Parallelogramm in einem Rechteck. Wie groß ist die Fläche des Parallelogramms? 345 a) b) 4 cm c) 55 ; 15 d) 3,3 cm; 6,6 cm e) 6, cm ; 6, cm ; Messungenauigkeiten bzw. Ungenauigkeiten beim Konstruieren 346 E) cm 348 Ein Parallelogramm ist gegeben durch: a = 86 mm, b = 48 mm und h a = 3 mm. a) Berechne die Längen der Teilstrecken x und y! b) Berechne die Länge der Diagonale f! c) Berechne die Länge der Diagonale e! 348 a) x = 35,8 mm; y = 50, mm b) 59,5 mm c) 15,9 mm

14 96 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras 349 a) f = 0 cm; u = 7 cm; A = 68,8 cm b) e = 34 mm; u = 540 mm; A = 1510 mm c) e = 404,1 mm; u = 837, mm; A = ,1 mm d) f = 5 cm; u = 98,4 cm; A = 449,8 cm 351 a) rechter Winkel b) in der Hälfte cm, Diagonalen müssen aufeinander normal stehen, bei Berechnung immer Produkt der Diagonalen durch 353 a) 95 cm b) cm 354 a) f = 14,5 cm; A = 66,9 cm ; h = 7,8 cm b) e = 13,6 cm; A = 43,41 cm ; h = 5,8 cm c) e = 18,1 cm; A = 68,65 cm ; h = 7,0 cm d) f = 7,6 cm; A = 3,53 cm ; 349 Ein Parallelogramm (α < 90) ist durch drei Bestimmungsstücke gegeben. Berechne die Länge der fehlenden Diagonale, den Umfang und den Flächeninhalt! a) b = 13,6 cm; e = 31, cm; h a = 1 cm b) b = 10 mm; f = 150 mm; h a = 90 mm c) a = 75 mm; f = 90 mm; h b = 48 mm d) a = 18 cm; e = 44,4 cm; h b = 14,4 cm 350 Raute: Stell dir vor du hättest soeben eine Raute (einen Rhombus) konstruiert, wobei die Seitenlänge 5 cm misst und ein Winkel 40 beträgt. Beschreibe, wie du bei der Konstruktion vorgegangen bist! 351 Betrachte die abgebildete Raute und beantworte folgende Fragen: a) Welchen Winkel schließen die Diagonalen ein? b) Wie teilen die Diagonalen einander? 35 Konstruiere eine Raute mit a = 4 cm und α = 60. a) Zeichne beide Diagonalen ein, miss sie ab und berechne mit diesen Angaben den Flächeninhalt! Was fällt dir bei den Diagonalen auf? Erkläre! b) Zeichne die Höhe ein, miss sie ab und berechne mit a und h den Flächeninhalt! Raute Die Diagonalen e und f stehen normal aufeinander. Sie unterteilen die Raute in vier kongruente rechtwinklige Dreiecke. Daher gilt folgende Beziehung: a = ( e ) + ( f ) Berechnen des Flächeninhalts: A = a h oder A = e f 353 Die Höhe einer Raute ist 8 cm lang. Ihr Umfang beträgt a) 136 cm b) 1,5 m. Berechne den Flächeninhalt! 354 Berechne die Länge der zweiten Diagonale, den Flächeninhalt und die Höhe, wenn folgende Angaben einer Raute bekannt sind: a) a = 8,6 cm; e = 9, cm b) a = 7,5 cm; f = 6,4 cm c) a = 9,8 cm; f = 7,6 cm d) a = 4,9 cm; e = 6, cm

15 5. Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren Zeichne eine Raute mit a = 5 cm und α = 50. Die Diagonalen e und f teilen die Raute in vier Dreiecke. a) Berechne den Flächeninhalt jedes einzelnen Dreiecks! Entnimm die notwendigen Längen der Zeichnung! Was fällt dir auf? b) Begründe, warum diese vier Dreiecke kongruent sind! 356 Von einer Raute sind die Längen der beiden Diagonalen gegeben. Berechne den Umfang der Raute! a) e = 1,8 cm; f = 9, cm b) e = 13 mm; f = 156 mm c) e = 14, cm; f = 8,4 cm d) e = 1,5 dm; f = 1,8 dm 357 Von einer Raute sind der Flächeninhalt und die Länge einer Diagonale gegeben. Berechne die Länge der Seite a! a) A = 54 cm ; e = 1 cm b) A = 31,8 cm ; f = 7,4 cm c) A = 85,84 cm ; f = 14,8 cm d) A = 116,48 cm ; e = 18, cm 358 Berechne die Länge der Seite a der Raute! a) e = 4 cm; A = 360 cm b) f = 0,5 m; A = 0, m c) f =,4 dm; A = 3,36 dm d) e = 6 mm; A = 604 mm 359 Wie verändert sich der Flächeninhalt einer Raute, wenn a) die Seitenlängen verdoppelt werden? b) die Länge einer Diagonale halbiert wird? c) die Längen beider Diagonalen verdoppelt werden? d) die Länge einer Diagonalen verdoppelt wird und die Länge der anderen Diagonale halbiert wird? 360 Von einer Raute sind der Umfang und die Länge einer Diagonale bekannt. Berechne den Flächeninhalt der Raute! a) u = 44 cm; e = 1 cm b) u = 30,4 cm; f = 5,8 cm c) u = 84,4 cm; e = 0,5 cm d) u = 37, cm; f = 10,8 cm 361 Ein gleichseitiges Dreieck mit einer Seitenlänge von 6 cm und eine Raute mit der Diagonale von e = 3 cm sind flächengleich. Berechne die Seitenlänge der Raute! 36 Ein Quadrat mit einem Umfang von 60 mm und eine Raute mit der Diagonale f = 8 mm sind flächengleich. Berechne die Seitenlänge der Raute! 355 a) 4,8 cm, flächengleich b) Die Seitenlängen sind jeweils gleich. 356 a) 31,5 cm b) 409 mm c) 33 cm d) 4,69 dm 357 a) 7,5 cm b) 5,7 cm c) 9,4 cm d) 11,1 cm 358 a) 19, cm b) 0,47 m c) 1,8 dm d) 5, mm 359 a) 4 A b) A c) 4 A d) A bleibt unverändert 360 a) 110,63 cm b) 40,74 cm c) 378,08 cm d) 81,77 cm ,4 cm 36 65,8 mm 363 a) h = 7 cm; f = a; e = 13,9 cm; A = 55,6 cm b) h = 60,6 mm; f = a; e = 11, mm; A = 4 4 mm 363 Von einer Raute ist die Länge der Seite a bekannt und der Winkel α = 60. Berechne die Länge der Höhe h, die Längen der beiden Diagonalen und den Flächeninhalt! a) a = 8 cm b) a = 70 mm

16 98 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras 364 aus der Teilung eines Parallelogramms 365 a),6 m b) 13 cm; 145 cm 366 a) 0,6 m b) 167,6 cm ,9 m ; 473 cm 368 a) u = 159 mm; e = 56,3 mm; f = 50 mm; A = 1 369,5 mm b) u = 136,8 cm; e = 51,5 cm; f = 4 cm; A = 1 078,56 cm c) u = 135,9 cm; e = 41,7 cm; f = 54,7 cm; A = 908,5 cm 369 a) 18,7 cm; 1 95 cm b) 3,5 cm; 3 141,6 cm 5..5 Trapez 364 In der 3. Klasse hast du bereits Flächeninhalte von verschiedenen Trapezen mit der Formel A = a+c h berechnet. Arbeite mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin zusammen: Erklärt, wie diese Formel entstanden ist! Berechnen des Flächeninhalts: Trapez A = a + c h Bei einem gleichschenkligen Trapez gilt: b = d 365 Ein Wassergraben mit einer Tiefe von 1,30 m soll neu angelegt werden (Maße in cm!). a) Wie groß ist der Flächeninhalt der Querschnittsfläche? b) Wie lang sind jeweils die beiden Böschungen? 366 Die Abbildung zeigt die Arbeitsplatte einer Einbauküche (a = 140 cm, c = 11 cm, h = 48 cm). h a) Wie groß ist die Platte (in m )? b) Auf die Kanten c und b wird eine Leiste geklebt. Berechne die Gesamtlänge der Leiste! 367 Die Wand eines Geräteschuppens (Maßangaben in cm) erhält einen wetterfesten Anstrich. Außerdem wird an der schräg verlaufenden Kante ein Kantenschutz angebracht. Berechne die zu streichende Fläche und die mindestens notwendige Länge des Kantenschutzes! 368 Allgemeines Trapez: Berechne den Umfang, die Längen der beiden Diagonalen und den Flächeninhalt! a) a = 60 mm; b = 36 mm; d = 40 mm; h = 33 mm b) a = 44, cm; c = 0 cm; d = 38,6 cm; h = 33,6 cm c) a = 54,5 cm; b = 8 cm; c = 3 cm; h = 1 cm 369 Berechne Umfang und Flächeninhalt des rechtwinkligen Trapezes! a) a = 6 cm; c = 48 cm; d = h = 35 cm b) a = 74,5 cm; b = h = 5,8 cm; c = 44,5 cm a c b

17 5. Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren Flächeninhalt: Claudia findet in einem Schulbuch folgende Grafik eines Trapezes AB- CD. Darunter wird eine Formel für den Flächeninhalt des Trapezes angegeben: A = c h + (a c) h Erkläre die angegebene Flächeninhaltsformel! 371 Eine rechteckige, 60 cm breite Platte wird so geteilt, dass die größere Teilfläche doppelt so groß ist wie die kleinere. Berechne die Länge der Strecke x und die Länge der Schnittlinie! 37 Figur: Ermittle den Flächeninhalt der dargestellten Figur! 373 Skizziere ein gleichschenkliges Trapez! Welche Eigenschaften hat solch ein Trapez? 0 cm 18 cm 10 cm 1 cm 374 Gleichschenkliges Trapez (b = d): Berechne Umfang, Höhe, Flächeninhalt und die Länge der Diagonalen (e = f)! a) a = 16,8 cm; b = d = 8 cm; c = 7, cm b) a = 14 mm; b = d = 50 mm; c = 64 mm 375 Ein Damm hat ein gleichschenkliges Trapez als Querschnittsfläche. Berechne den Flächeninhalt der Querschnittsfläche, die Böschungsbreite und die Böschungslänge! a) Dammsohle: 8 m; Dammkrone: 9 m; Dammhöhe: 4,5 m b) Dammsohle: 16,5 m; Dammkrone: 5,5 m; Dammhöhe: 3,8 m c) Dammsohle: 1,6 m; Dammkrone: 6,8 m; Dammhöhe:,6 m d) Dammsohle: m; Dammkrone: 8,6 m; Dammhöhe: 5, m 370 Zerlegung des Trapezes in Parallelogramm und Dreieck. 371 x = 0 cm; 84,9 cm cm 373 b = d, e = f 374 a) u = 40 cm; h = 6,4 cm; A = 76,8 cm ; e = 13,6 cm b) u = 88 mm; h = 40 mm; A = mm ; e = 10, mm 375 a) A = 83,5 m; 9,5 m; 10,5 m b) A = 41,8 m ; 5,5 m; 6,7 m c) A = 5, m ;,9 m; 3,9 m d) A = 79,56 m ; 6,7 m; 8,5 m 376 In wie viele Dreiecke, die die Größe und Form des schattierten Dreiecks haben, kann das Trapez zerlegt werden? A) drei B) vier C) fünf D) sechs 376 C)

18 100 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras 5..6 Vierecke mit normal aufeinander stehenden Diagonalen 377 B, C, F 377 Bei welchen dieser Vierecke stehen die Diagonalen normal aufeinander? Kreuze an! A Rechteck B Quadrat C Raute (= Rhombus) D Parallelogramm E Trapez F Deltoid 378 Diagonalen stehen normal aufeinander, u = a + b, u = cm, A = 6,9 cm 379 a) e = 75mm mm = 190 mm; A = mm b) e = 11,7 cm + 36,7 cm = 48,4 cm; a = 1 58,44 cm c) e =,4 dm + 3,8 dm = 6, dm; A = 14,9 dm d) e = 13,3 cm + 9,5 cm =,8 cm; A = 18 cm 380 a) e = 15, cm; A = 63,8 cm b) e = 77 mm; A = mm c) e = 80 cm; A = 190 cm d) e = 39,8 cm; A = 310,1 cm Deltoid Die Diagonalen e und f stehen normal aufeinander, wobei f durch e halbiert wird. Die Diagonale e ist Symmetrieachse. Berechnen des Flächeninhalts: A = e f Diese Flächenformel gilt bei allen Vierecken, deren Diagonalen normal aufeinander stehen! 378 Konstruiere ein Deltoid mit a = 4 cm, b = 7 cm und f = 6 cm. Welche Eigenschaften hat dieses Viereck? Gib eine Formel zum Berechnen des Umfangs an und berechne diesen. Berechne auch den Flächeninhalt! (Entnimm die nicht gegebene Länge der Zeichnung!) 379 Ein Deltoid mit der Symmetrieachse e ist gegeben durch die Seitenlängen a und b und durch die Länge der Diagonale f. Berechne die Länge der Diagonale e als Summe der Abschnitte x und y und ermittle anschließend den Flächeninhalt! a) a = 104 mm; b = 136 mm; f = 144 mm b) a = 8,5 cm; b = 45 cm; f = 5 cm c) a = 3,4 dm; b = 4,5 dm; f = 4,8 dm d) a = 15,5 cm; b = 1,4 cm; f = 16 cm 380 Deltoid: Berechne die Länge der zweiten Diagonale und den Flächeninhalt! a) a = 9,8 cm; b = 7,6 cm; f = 8,4 cm b) a = 45 mm; b = 67 mm; f = 78 mm c) a = 74 cm; b = 6 cm; f = 48 cm d) a = 5 cm; b = 17,8 cm; f = 15,6 cm

19 5. Anwendung des Lehrsatzes in ebenen Figuren Von einem Deltoid sind die Länge einer Seite und die Längen der beiden Diagonalen gegeben. Berechne die Länge der anderen Seite und den Flächeninhalt! a) a = 39 cm; e = 50,7 cm; f = 7 cm b) b = 4,4 cm; e = 48 cm; f = 40,8 cm c) b = 4,5 cm; e = 61 cm; f = 5 cm d) a = 8,5 cm; e = 47,8 cm; f = 3 cm 38 Ein Deltoid ist gegeben durch die Längen der Diagonalen und durch die Länge einer Seite. Berechne den Umfang des Deltoids! a) e = 18,5 cm; f = 14,8 cm; a = 9, cm b) e = 35,4 cm, f = 4, cm; b = 30,5 cm c) e = 185 mm; f = 10 mm; b = 146 mm d) e =,7 dm; f =,4 dm; a = 1,6 dm 383 Berechne den Umfang des Deltoids! a) a = 15 mm; e = 60 mm; A = mm b) b = 81 cm; f = 80 cm; A = cm c) a = 3,4 dm; e = 5,4 dm; A = 11,34 dm d) a = 45,8 cm; f = 58 cm; A = 349 cm 384 Tom will mit dem kleinen Sohn einer befreundeten Familie einen Drachen aus Papier basteln. Der Drachen soll folgende Abmessungen haben: a = 60 cm, b = 80 cm, f = 70 cm. Wie viel m Papier sind notwendig, wenn noch 0 Prozent des Flächeninhalts als Verschnitt gerechnet werden? 385 Gegeben ist ein Viereck, dessen Diagonalen normal aufeinander stehen. Berechne Umfang und Flächeninhalt des Vierecks! (Längenangaben in cm!) 386 Ein Brett wird, wie in der Abbildung dargestellt, zerschnitten. a) Berechne den Flächeninhalt des so entstandenen Vierecks! b) Berechne die Längen der Schnittkanten! (Längenangaben in cm! 381 a) b = 50,7 cm; A = 1 85, cm b) a = 40, cm; A = 979, cm c) a = 37,8 cm; A = cm d) b = 9 cm; A = 764,8 cm 38 a) 48,4 cm b) 89,4 cm c) 450,7 mm d) 7,7 dm 383 a) u = 574 mm b) u = 90 cm c) u = 13,68 dm d) u = 00 cm 384 0,51 m 385 u = 446,6 cm; A = cm 386 A = 69,63 cm ; 40,8 cm; 57,7 cm; 71,5 cm; 58,7 cm 387 Bei einem speziellen Deltoid gilt: b = a, α = 90. Leite eine Formel für den Flächeninhalt her, wobei der Flächeninhalt nur durch die Seite a ausgedrückt wird! Berechne anschließend den Flächeninhalt für a = 40 mm! Zeichne es! 387 A = a 916 mm + a 7 ;

20 10 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras 388 a) h und rechter Winkel sind gleich, daher α = α1 b) gleich große Winkel c) p : h = h : q d) h = p q 389 Rechteck p h ist flächengleich mit Quadrat h 390 a) 6 cm; 36,6 cm b) 1 cm; 156 cm 391 a) b) a : p = c : a a = c p 5.3 Höhen- und Kathetensatz 388 Höhensatz: In einem rechtwinkligen Dreieck wird die Hypotenuse c durch die Höhe h (= h c ) in zwei Abschnitte p und q geteilt. (Diese beiden Hypotenusenabschnitte werden zumeist so benannt, dass p der Seite a und q der Seite b anliegt.) a) Begründe, warum die beiden Winkel CAD = α und BCD = α 1 gleich groß sind. b) Daraus muss nun folgen, dass die beiden rechtwinkligen Teildreiecke ADC und CDB zueinander ähnlich sind. Begründe diese Aussage! c) Schreib das Verhältnis kürzere Kathete zu längerer Kathete in jedem der ähnlichen Dreiecke an. Erstelle daraus eine Proportion! d) Berechne aus dieser Proportion h! Höhensatz In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt folgende Beziehung: h c = p q (c = p + q) Die Längen p und q werden als Hypotenusenabschnitte bezeichnet. 389 Die Zeichnung zeigt eine geometrische Interpretation des Höhensatzes. Erkläre mit eigenen Worten, wie der Höhensatz mit Hilfe von Flächeninhalten interpretiert werden kann! Arbeite gemeinsam mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin! 390 Von einem rechtwinkligen Dreieck kennt man die beiden Hypotenusenabschnitte p und q. Berechne die Höhe des Dreiecks und seinen Flächeninhalt! a) p = 5 cm; q = 7, cm b) p = 8 cm; q = 18 cm 391 Kathetensatz: Die Hypotenuse c wird durch die Höhe h c in die beide Abschnitte p und q geteilt. Jedes der beiden Teildreiecke (Dreieck DBC und Dreieck ADC) ist ähnlich zum ursprünglichen rechtwinkligen Dreieck. a) Begründe folgende Beziehung: ABC ADC b : q = c : b b = c q b) Vervollständige: ABC DBC...

21 5.3 Höhen- und Kathetensatz 103 Kathetensatz In jedem rechtwinkligen Dreieck gelten folgende Beziehungen: a = c p b = c q (c = p + q) 39 Die Zeichnung zeigt eine geometrische Interpretation des Kathetensatzes. Erkläre die Zeichnung! Arbeite mit deinem Nachbarn/deiner Nachbarin zusammen! 393 Aus der obigen Abbildung ist auch der Zusammenhang zwischen dem Kathetensatz und dem pythagoräischen Lehrsatz erkennbar! Erkläre den Zusammenhang! 394 Berechne die Längen der fehlenden Seiten des rechtwinkligen Dreiecks! (Tipp: Berechne die Hypotenuse mit dem Kathetensatz und die zweite Kathete mit dem Lehrsatz des Pythagoras!) a) a = 1,8 cm; p = 5,4 cm b) b = 7, cm; q = 3,5 cm 395 Von einem rechtwinkligen Dreieck (γ = 90 ) sind die Länge einer Kathete und die Länge des anliegenden Hypotenusenabschnitts bekannt. Berechne die Längen der fehlenden Seiten sowie den Flächeninhalt! a) a = 74 mm; p = 38 mm b) b = 58 mm; q = 47 mm c) b = 0,8 m; q = 0,6 m d) a = 1,5 dm; p = 1,04 dm 396 Ein rechtwinkliges Dreieck ABC (γ = 90 ) ist durch die Längen der beiden Hypotenusenabschnitte gegeben. Berechne die Seitenlängen und die Höhe! a) p = 8 mm; q = 34 mm b) p = 6, cm; q = 5,6 cm c) p =,5 dm; q =,65 dm d) p = 0,9 m; q = 1,15 m 397 Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC (γ = 90 ) ist die Höhe und die Länge eines Hypotenusenabschnitts bekannt. Berechne die Längen der Seiten und den Flächeninhalt! a) h = 1,8 cm; p = 6, cm b) h = 95 mm; q = 7 mm c) h = 3,8 dm; p =,4 dm d) h = 4,3 cm; q = 16,4 cm 39 Kathetenquadrat ist flächengleich mit Quadrat aus Hypotenusenlänge mal entsprechendem Hypotenusenabschnitt. 393 c = a + b wobei c = c p + c q 394 a) b = 7,5 cm; c = 30,3 cm b) a = 1,9 cm; c = 14,8 cm 395 a) b = 14 mm; c = 144 mm; A = mm b) a = 4 mm; c = 7 mm; A = 1 16 mm c) a = 0,71 m; c = 1,07 m; A = 0,8 m d) b = 0,83 dm; c = 1,50 dm; A = 0,5 dm 398 Paul Kuddelmuddel berechnete die Höhe h c bei einem rechtwinkligen Dreieck aus den Angaben c = 1 cm und p = 8 cm. Er erhält h c = 3 cm. Tom erhält als Lösung bei dieser Rechnung aber h c = 5,7 cm. Wer hat richtig gerechnet und welcher Fehler ist unterlaufen? 398 Paul hat nicht die Wurzel gezogen.

22 104 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras 396 a) a = 4 mm; b = 46 mm; c = 6 mm; h = 31 mm b) a = 8,6 cm; b = 8,1 cm; c = 11,8 cm; h = 5,9 cm c) a = 3,3 dm; b = 3,60 dm; c = 4,90 dm; h =,44 dm d) a = 1,38 m; b = 1,54 m; c =,07 m; h = 1,03 m 397 a) a = 14, cm; b = 9,3 cm; c = 3,6 cm; a = 08,03 cm b) a = 157 mm; b = 119 mm; c = 197 mm; a = 9 34 mm c) a = 4,5 dm; b = 7,1 dm; c = 8,4 dm; a = 16 dm d) a = 43,4 cm; b = 43,4 cm; c = 5,4 cm; a = 941,78 cm 400 ja, a = 1 cm; b = cm 40 a) b) ca.,6 cm Anwendung des Höhen- und Kathetensatzes: grafische Darstellung von Quadratwurzeln Irrationale Zahlen können auf der Zahlengeraden nicht nur mit Hilfe des pythagoräischen Lehrsatzes (siehe Kap. 4.6 auf S. 76), sondern auch mit Hilfe des Höhen- und Kathetensatzes dargestellt werden! Beispiel: 3 Höhensatz: h = p q 3 = 3 1 Kathetensatz: a = c p 3 = 3 1 Die Länge 3 kann nun mit einem Zirkel auf die Zahlengerade übertragen werden! 399 Konstruiere und stelle auf der Zahlengeraden dar! a) 5 b) 10 c) 1 d) Kann 5 auch als Länge der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks dargestellt werden? Wenn ja, zeichne dieses Dreieck! 401 Stelle noch drei weitere Wurzeln grafisch dar! 40 Zeichne eine Wurzelspirale! a) Erweitere um fünf weitere Dreiecke! b) Welche Länge hat die gezeichnete Strecke für 7? Vergleiche die gemessene Länge mit dem errechneten Wert der Wurzel! 403 Pythagoräischer Lehrsatz: Entscheide jeweils, ob die angeführte Behauptung für das Dreieck in der Abbildung wahr oder falsch ist! Behauptung wahr falsch Für das abgebildete Dreieck gilt r + s = t. Für das abgebildete Dreieck gilt s = r + t. Für das abgebildete Dreieck gilt r = t s. Für das abgebildete Dreieck gilt t = r + s. Für das abgebildete Dreieck gilt s = t r. Für das abgebildete Dreieck gilt t = (r + s). Für das abgebildete Dreieck gilt t = r + s. r t s

23 5.4 Rückblick, Ausblick und Exercises Rückblick, Ausblick und Exercises Zusammenfassung 404 Verwandte Vierecke: Nina sagt: Ein gleichschenkliges Trapez, ein Rechteck und ein Quadrat sind verwandte Vierecke, denn sie haben einige gemeinsame Eigenschaften. Max glaubt Nina nicht und fordert sie auf, solche gemeinsamen Eigenschaften zu nennen. Welche der folgenden Aussagen Ninas sind korrekt, welche nicht? A) Alle drei Vierecke haben mindestens zwei parallele Seiten. B) Bei allen drei Vierecken sind die beiden Diagonalen gleich lang. C) Bei allen drei Vierecken stehen die beiden Diagonalen im rechten Winkel zueinander. D) Alle drei Vierecke haben mindestens zwei gleich lange Seiten. 405 In welcher Figur gilt der Pythagoräische Lehrsatz? Wie lautet er? 406 Berechne die Länge der fehlenden Seite und den Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks mit der Kathetenlänge s = 15 cm und der Hypotenusenlänge t = 190 cm! 407 Von einem Rechteck ist der Umfang u = 164,6 cm und die Länge der Seite a = 46,5 cm bekannt. Wie lang ist die Diagonale des Rechtecks? 408 Eine quadratische Weide mit einer Fläche von m soll entlang der Diagonale mittels eines Zauns getrennt werden. Wie viel Meter Zaun sind notwendig, wenn eine Hälfte der Weide umzäunt werden soll? Runde auf Meter genau! 409 Der Umkreisradius eines Quadrats beträgt 7,1 cm. Welche Seitenlänge hat dieses Quadrat? 410 Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck mit c = 6 cm und a = b = 8 cm. Berechne die Höhe h c und den Flächeninhalt! 411 Berechne Höhe und Flächeninhalt eines gleichseitigen Dreiecks mit a = 5,6 cm! 404 korrekt: A, B, D; nicht korrekt: C 405 rechtwinkliges Dreieck, a + b = c 406 r = 114 cm, A = cm ,7 cm m cm 410 h c = 7,4 cm; A =, cm 411 h = 4,8 cm; A = 13,6 cm 41 Ein Zierspiegel hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks mit einer Seitenlänge von 15 cm. Berechne den Flächeninhalt! 413 Eine rechteckige Hauseinfahrt (4,5 m x 9,5 m) wird mit Steinen gepflastert. Ein solcher Stein hat die Form eines regelmäßigen Sechsecks mit einer Kantenlänge von 1 cm. Wie viele solcher Pflastersteine sind mindestens erforderlich? ,57 cm Steine

24 106 5 Anwendungen des Lehrsatzes des Herrn Pythagoras 414 a) a = ( e ) + ( f ) b) f = 13,4 cm; 80,50 cm 415 a = 35 cm; A = cm ; h = 33,6 cm m ; m; 3, m 417 u = 7 cm; A = 308,49 cm 418 a = 161 mm; b = 11 mm 419 Falls rechter Winkel: = c ; c = 100 cm. Falls c ungleich 100 cm, dann liegt kein rechter Winkel vor! 40 a) z B: 470 mm; 630 mm; 960 mm b) 665 mm; 891 mm; mm c) 41 5,7 m; 1,7 m; zwei mal 3,5 m 414 Skizziere eine Raute und zeichne beide Diagonalen ein! a) Kennzeichne ein rechtwinkliges Dreieck, welches durch das Einzeichnen der Diagonalen entstanden ist. Wende den Lehrsatz des Pythagoras an! b) Die Seite a ist 9 cm lang, die Diagonale e = 1 cm. Berechne die Länge der Diagonale f und den Flächeninhalt! 415 Berechne die Länge des Umfangs, den Flächeninhalt und die Länge der Höhe einer Raute mit e = 4 cm und f = 56 cm! 416 Der Querschnitt eines Bahndamms hat die Form eines gleichschenkligen Trapezes (Dammsohle: 1 m; Dammkrone: 8 m; Dammhöhe:,5 m). Berechne den Flächeninhalt, die Böschungsbreite und die Böschungslänge! 417 Berechne die Länge des Umfangs und den Flächeninhalt des Deltoids mit a = 15,6 cm; b = 0,4 cm und f = 1,6 cm! 418 Rechtwinkliges Dreieck (γ = 90 ): Gegeben sind q = 64 mm und c = 196 mm. Berechne die Längen der Katheten! 419 Rechter Winkel: Ein Tischler überprüft, ob zwei zusammengefügte Holzbalken tatsächlich einen rechten Winkel bilden. Er bringt dazu an beiden Balken jeweils eine Markierung an, die erste 60 cm und die zweite 80 cm von der Innenkante des jeweils anderen Balkens entfernt (siehe Grafik!). Dann misst er den Abstand zwischen den beiden Markierungen. Gib eine mathematische Begründung dieses Messverfahrens für rechte Winkel an! 80 cm 40 Das Verkehrszeichen Vorrangstraße hat die Form eines Quadrats. a) Finde heraus, welche verschiedenen Seitenlängen dieses Verkehrszeichen laut STVO (= Straßenverkehrsordnung) in Österreich haben kann. b) Berechne die Länge der Diagonalen! c) Wo werden diese Verkehrszeichen aufgestellt? 41 Dächer müssen gut gestützt sein! Berechne die Längen der färbig eingezeichneten Holzbalken einer Dachkonstruktion! 60 cm

25 5.4 Rückblick, Ausblick und Exercises Exercises vocabulary perimeter Umfang area Flächeninhalt rhombic rautenförmig equilateral gleichseitig trapezium Trapez to raise aufschütten cross-section Querschnitt slope Böschung kite Drachen 4 Find the area of the right-angled triangle and calculate c! a) a = 65 mm; b = 4 mm b) a = 11. cm; b = 14 cm 43 The area of an equilateral triangle is cm. How long are the sides of the triangle? 44 A wall has the form of a rectangle (14 m x 4,5 m). It is redone with panels. How many rhombic panels with (a = 40 cm, f = 40 cm) are necessary, if 15 percent of the area are needed for the overlap? 45 A trapezium dam should be raised (a = 13 m; c = 7 m; h = 3 m). Calculate the area of the cross-section! How long are the slopes? 46 The side window of a car is a right-angled trapezium with a = 55 cm; c = 8 cm and h = 3 cm. How much glass (in m ) is needed for 00 such windows? 47 The diagonals of a kite are 1. m and 70 cm long. Calculate the area! Ausblick Flächenberechnungen werden seit der Antike gemacht. Da es aber nicht nur geradlinig begrenzte Flächen gibt, sondern auch solche, die von Kurven begrenzt werden, wird das Berechnen der Fläche zunehmend komplexer. Eine Möglichkeit der Berechnung ist, die Fläche in viele geradlinig begrenzte Flächen zu unterteilen. Der griechische Mathematiker Archimedes (87 1 v. Chr.) wendete dieses Verfahren bereits auf krummlinig begrenzte Flächen an. 4 a) A = mm ; c = 77 mm b) A = 78,4 cm ; c = 17.9 cm 43 9 cm panels m, 4. m m m