Konvergenz von Folgen

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1 6 Konvergenz von Folgen Definition 6.1 Eine Folge in C (oder R) ist eine Abbildung f : N C (oder R). Schreibweise: (a n ) n N, (a n ), a 1, a 2... wobei a n = f(n). Beispiele: 1) (1 + 2 n ) n N, 3 2, 5 4, 9 8, 17 16, 33 32, Vorstellung: die Folge kommt immer näher an 1 dies geschieht in streng monotoner Weise: a n+1 < a n 2) a n := i n, n N, nimmt die Werte ±1, ±i an; allerdings hat man nicht das Gefühl, dass {a n } n N gegen einen dieser Werte strebt. 3) a n := n k=1 1 k = n (a n ist die Summe der Kehrwerte der ersten n natürlichen Zahlen) 4) a n := n k=1 ( 1) k 1 k = ±... ± 1 n (a n ist die alternierende Summe der Kehrwerte der ersten n nat. Zahlen) Bei 3) und 4) ist zunächst wohl nicht klar, wie sich a n für große n verhält. Definition 6.2 Eine komplexe (oder auch reelle) Folge {a n } ist konvergent: es gibt ein a C (bzw. R) wie folgt: zu jedem ε > 0 (Fehlerschranke) findet man einen Index N = N ε mit a n a < ε n N ε 1

2 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 2 a n ε ε-umgebung um a ( ) a a ε a a + ε in C in R Egal wie klein man die Kreisscheibe um a (das Intervall um a) macht, außerhalb des Kreises (des Intervalls) liegen höchstens endlich viele a n. Wichtig: bei Konvergenzbeweisen muß man für alle ε > 0 prüfen! Wenn es ein a C wie oben gibt, so ist es eindeutig. andernfalls: zu ε := 1 2 a a existiert ein N 1 mit a n a < ε n N 1 und ein N 2 mit a n a < ε n N 2. Für n max{n 1, N 2 } folgt: a a a a n + a n a < ε 2 = a a, Widerspruch! Notation: 1) a aus Def. 6.2 heißt Limes, Grenzwert von {a n }, a = lim a a n, a n a für n. 2) {a n } Nullfolge : lim a n = 0 3) {a n } divergent : {a n } nicht konvergent

3 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 3 Beispiele: 1) lim 2) lim 3) lim 1 n s = 0 s Q, s > 0 n a = 1 a R + n n = 1 4) lim zn = 0 z C, z < 1 5) lim n k z n = 0 k N, z C, z > 1 Bemerkung: 5) sagt, dass für k N und z > 1 die Folge z n schneller wächst als die Potenzfolge n k. Beweis der Aussagen: 1) ε > 0 gegeben, fixiere N N mit N > ε 1/s für alle n N folgt. (strenge Monotonie von t t s ) 1 ( ) n s 0 = n s N s < ε 1 s s = ε 2) Sei a 1 = x n := n a 1 0 = Bernoulli a = (1 + x n ) n 1 + n x n > n x n = n a 1 = x n < a n < ε n N, falls N > a/ε Sei 0 < a < 1 : benutze die Rechenregeln aus Satz 6.1 = lim / n a = 1 n lim 1/a } {{ } =1, da 1/a>1 = 1/1 = 1 3) x n := n n 1 0 und n = (1 + x n ) n = n k=0 ( n k )xk n 1 + ( n 2 )x2 n = (n 2) n n (n 1) x2 n = x 2 n 2/n n 2 ε > 0 gegeben; wähle N > 2/ε 2 = ε 2 > 2/n n N, d.h. x n < ε n N n n 1 < ε n N

4 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 4 Daher: lim n n = 1. 4) Folgerung aus Archimedes: N mit z N < ε (zu gegebenem ε > 0) (Satz 3.4) z < 1 = z n z N n N Also: z n 0 < ε n N 5) Es ist x := z 1 > 0; wähle p N, p > k = (n p) z n = (1 + x) n = n ( n p ) xl > ( n 0 ) xp = l=0 n (n 1)... (n p + 1) } {{ } p Faktoren 1 p! xp = : α Sei n 2p = n p + 1 n > n 2 Also: α > ( n 2 )p 1 p! x p Es folgt für n 2p : z n > ( n 2 )p 1 p! x p = 2 p 1 p! x p n p = 2 p 1 p! x p n k n p k = nk z n < 2 p p! x p n k p < 2 p p! ( z 1) p } {{ } =: K 1 n Sei ε > 0 gegeben; wähle N N mit N > K/ε = n k / z n < ε n > max{n, 2p}. Redeweise: die Folge {a n } hat die Eigenschaft E für fast alle n : E gilt für alle bis auf endlich viele Indices n Beispiel: a n > 0 für fast alle n : m N : a n > 0 für alle n m Satz 6.1 : (Rechenregeln für konvergente Folgen) Gelte a n a, b n b für n

5 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 5 i) a n + b n a + b ii) a n b n a b iii) b 0 = fast alle b n 0 und a n /b n a/b iv) a n a, a n a, Re Im a n Im Re a v) a n b n fast alle n = a b (reelle Folgen!) vi) a n [α, β] für fast alle n = a [α, β] (reelle Folgen!) Beweis: i) ii) Es ist zunächst: a n b n a n b = a n b n a n b + a n b a b a n b n b + b a n a. {a n } ist konvergent = N 1 N mit a n a 1 für alle n N 1 = a n 1 + a n N 1 ( Folgerung: konvergente Folgen sind beschränkt! ) Sei ε > 0 gegeben = N 2 N mit b n b < 1 2 ε 1 1+ a n N 2 N 3 N mit a n a < 1 2 ε 1 b n N 3 (hier o.e. b > 0) zusammen: a n b n a b < ε n max{n 1, N 2, N 3 } iii) Sei b > 0 = N N mit b n b > b 2 n N

6 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 6 dann: b b n b + b n < b 2 + b n = b n > b 2 > 0 n N, d.h. 1/b n bildbar für n N. Weiter ist = b n b b n b b n b b 2 b n b für diese n. ε > 0 gegeben = N 1 N mit b n b < ε b 2 2 für alle n N 1, Also: 1 b n 1 b lim < ε n max{n, N 1 }, d. h. 1 b n = 1 b. iv) zum Beispiel ist a n a a n a Beweis der anderen Aussagen als Übung! die Menge der konvergenten Folgen bildet einen Vektorraum! Einfach aber nützlich ist Satz 6.2 : Einschließungssatz Seien {A n }, {B n }, {a n } relle Zahlenfolgen mit A n a n B n für fast alle n. Gilt lim A n = lim B n, so konvergiert auch {a n } gegen diese Zahl. Beispiel: A 1,..., A k seien reelle Zahlen 0, k N fest x n := k n, n N j=1 A n j Beh.: lim x n = max{a 1,..., A k }. Beweis: Sei ξ = max{a 1,..., A k } ξ n k j=1 A n j ξ n k = ξ x n n k ξ und lim n k = 1.

7 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 7 Mit Hilfe des Grenzwertkonzepts lassen sich Folgen vergleichen: Definition 6.3 : Vergleich von Folgen {a n }, {b n } mit b n 0 heißen asymptotisch gleich : / lim a n b n = 1. Schreibweise: a n = bn bei n Bemerkung: Es wird keine Konvergenz von {a n }, {b n } vorausgesetzt! Beispiele: 1) n = 1 2 n2 (Übung) 2) n + 1 n = 1 2 n bei n, denn ( n )/( / + 1 n 1 2 ) n = 2 n 2 + n 2n = ( 1 ) 2n + 1/n 1 = 2n 1/n /n ( / x y = (x 2 y 2 ) (x + y), x = ) 1 + 1/n, y = 1 = /n Es gilt /n 1 + 1/n = Satz /n 1. n Reelle Folgen {a n } sind Funktionen N R, also wissen wir, was z.b. Monotonie von reellen Folgen bedeutet. Wir definieren:

8 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 8 Definition 6.4 a) {x n } Folge in C; {x n } beschränkt : M R + : x n M für alle n N. Bemerkungen: 1)... {x n C : n N} ist beschränkt Teilmenge von C 2) {x n } konvergent = {x n } beschränkt (schon erledigt!) ( Gegenbspl. zur Umkehrung: x n = ( 1) n ) b) {x n } reelle Folge {x n } (monoton) wachsend fallend } { xn x n+1 x n x n+1 n N {x n }streng { < > n N. Anschaulich klar ist nun Satz 6.3 : Jede beschränkte, monotone reelle Zahlenfolge ist konvergent. Genauer: Sei A := {x n : n N}. Dann gilt: i) {x n } wachsend, nach oben beschränkt = lim x n = sup A ii) {x n } fallend, nach unten beschränkt = lim x n = inf A Beweis: i) Sei x := sup A. Dann: x n x für alle x n. Zu jedem ε > 0 gibt es x N A mit x ε x N

9 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 9 {x n } wachsend = x ε x n n N, zusammen x ε x n x n N ii) analog (betrachte { x n }) Beispiele: 1) Eulersche Zahl e Seien a n := (1 + 1 n )n, b n = (1 + 1 n )n+1 Beh.: {a n } wachsend und nach oben beschränkt, {b n } fallend und nach unten beschränkt Beweis: a) Es gilt a n /a n 1 = ( ) { } n n 1 1+1/n 1+1/n 1 = ( ) n 1 ( ) n 1 1/n 2 B.U. ( ) n 1 ( ) 1 1 n = n n 1 n 1 n = 1 b) offensichtlich: a n b n c) b n 1 /b n = (1 + 1 n ) 1 (1 + 1 n 2 1 )n B.U. ( ) 1 ( ) n 1 + n n 2 1 = b n 1 > b n. > ( ) 1 ( ) n n = 1 d) mit c) folgt: a 1 < a 2 <... < a n < b n <... < b 2 < b 1 = a n < b 1 = 4, b n > a 1 = 2. Es gilt: 0 b n a n = a n 1 n 0, so dass n

10 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 10 lim ( n) n = lim Eulersche Zahl e ( ) n n Praktische Berechnung: c n := n k=0 1/k! (Steffen p.253 f.) Dann gilt: a n c n b n, so dass e = lim c n. 2) Berechnung von Quadratwurzeln (Grenzwerte rekursiv definierte Folgen) a > 0 gegeben; wie berechnet man a? Addition von x 2 x = a = x 2 = a = 2 x 2 = x 2 + a = x = 1 2 ( ) x + a x Def.: x 1 > 0 beliebig; x n+1 := 1 2 ( x n + a x n ), n 1 Beh.: lim x n = a (Mit den Methoden der Differentialrechnung läßt sich die Definition besser motivieren.) Fall 1 x 1 = a = x 2 = a =... x n = a n unrealistische Wahl für den Startwert, Normalerweise: x 1 = 1 o.ä. Fall 2 x 1 a Wir benutzen die Ungleichung zwischen dem arith. u. geom. Mittel 1 2 (x + y) x y x, y 0 (Übung) = x 2 = 1 2 (x 1 + a x1 ) a

11 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 11 allgemein: x n+1 = 1 2 ( ) x n + a x n a Also: n 2 : x n a = x 2 n a = x n a/x n Einsetzen der letzten Ungleichung: x n+1 = 1 2 Ergebnis: außerdem: {x n } monoton fallend {x n } nach unten beschränkt ( ) x n + a x n 1 2 (x n + x n ) = x := lim x n exist. Satz 6.3 Da wir nun Konvergenz der Zahlenfolge {x n } wissen, können wir den Grenzwert x mit der Rekursionsgleichung ausrechnen: ( x n+1 = 1 2 x n + a x und Auflösen ergibt: x = a. x n ) 1 2 ( ) x + a/x Fazit: Bei beliebig vorgebenem Startwert x 1 läßt sich a sukzessive via x n+1 = 1 (x n + a ) 2 x n ausrechnen. Verallgemeinerung: p N, a > 0, p a =? x 1 > 0 beliebig, Dann: p a = lim x n x n+1 := (p 1)xp n+a p x p 1 n Teilfolgen: Bei {( 1) n } liegt keine Konvergenz vor, andererseits konvergiert die Teilfolge mit den geraden (ungeraden) Indices gegen +1 (bzw. 1). Definition 6.5 Sei {a n } eine komplexe Folge und f : N N streng wachsend. Teilfolge von {a n }. {a f(n) } heißt

12 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 12 andere Schreibweise: n k := f(k), dann {a nk } k N statt {a f(n) } n N Beispiel: f(n) = 2 n Teilfolge {a 2n } der Glieder mit geradem Index. Satz 6.4 : Sei {a n } eine komplexe Folge. Dann gilt: {a n } ist konvergent jede Teilfolge ist konvergent und alle haben denselben Grenzwert. Beweis: = : Sei a = lim a n und {a f(n) } eine Teilfolge. ε > 0 gegeben = N mit a k a < ε k N offenbar n N mit f(n ) N; gemäß f(n) f(n ) für n n ergibt sich a f(n) a > ε n n, also a f(n) a bei n. = : trivial! f(n) := n erzeugt natürlich auch eine Teilfolge, nämlich die Folge selbst! Bei {( 1) n } n N ist man nicht in der Situation des Satzes! Definition 6.6 Sei {a n } n N eine komplexe Folge. a C Häufungswert von {a n } n N : für jedes ε > 0 ist {n N : a n a < ε} eine unendliche Teilmenge von N. ε a (wichtig: die Menge {a n : a n a < ε} kann durchaus endlich sein!

13 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 13 Beispiele: 1) {( 1) n } n N hat +1 und 1 als Häufungswerte 2) {i n } n N hat vier Häufungswerte ±1, ±i, dagegen liegt z.b. in {a n : a n i < 1 2 } nur ein Element. a n a < ε muß von unendlich vielen Indices erfüllt werden Satz 6.5 a) {a n } konvergent = es gibt nur einen Häufungswert, nämlich den Grenzwert b) a C Häufungswert von {a n } es gibt eine Teilfolge {a nk } mit a nk a. Warnung: es gibt genau einen Häufungswert {a n } konvergent! 1/n, n ungerade Gegenbeispiel: a n = n, n gerade, n N Beweis von Satz 6.5: a) - b) = : a Grenzwert von {a n } = a Häufungswert von {a nk } a) = a Häufungswert von {a n } = : Konstruktion einer konvergenten Teilfolge: Sei a Häufungswert. r > 0 : D r (a) := {z C : z a < r} (r- Umgebung von a; im reellen Fall nimmt man Intervalle) # {n N : a n D 1 (a)} = wähle n 1 N mit a n1 D 1 (a) # {n N : a n D 1/2 (a)} = wähle n 2 > n 1 mit a n2 D 1/2 (a) usw. n k > n k 1 >... > n 1 mit a nk D 1/k (a) Aus a nk a < 1/k folgt lim k a n k = a.

14 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 14 Wie entscheidet man, ob eine gegebene Folge eine konvergente Teilfolge besitzt? Satz 6.6 : (Bolzano-Weierstraß ) Jede beschränkte Folge komplexer Zahlen besitzt einen Häufungswert und damit eine konvergente Teilfolge. Beweis: Es genügt reelle Folgen zu betrachten, denn {z n } = {x n + iy n } beschränkt {x n } und {y n } beschränkt, z n z = x + iy x n x und y n y. Sei {a n } reelle Folge mit a n M für ein M R +. [A 1, B 1 ] := [ M, M] [X, B k ], falls a n X für unendlich viele n [A k+1, B k+1 ] := ( ) [A k, X] sonst X := 1 2 (A k + B k ) definiert rekursiv eine Intervallschachtelung offenbar: (1) k a n B k für fast alle n (Induktion nach k) { } (2) k # n N : a n [A k, B k ] = (Induktion nach k) Sei a [A k, B k ]. Zu ε > 0 gibt es ein k N mit k=1

15 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 15 [A k, B k ] = B k A k < ε (da [A k, B k ] Intervallschachtelung) a [A k, B k ] = a ε < a B k + A k < A k, a + ε > a A k + B k > B k, so dass [A k, B k ] (a ε, a + ε). = (2) k # { n N : } a n [a ε, a + ε) = = a ist H. W. von {a n } n N. Def. 6.5 a ist sogar größter Häufungswert von {a n } n N : a > a sei H.W. setze ε := 1 2 (a a) > 0; für [A k, B k ] < ε folgt a n B k < a + ε = 1 2 a a = a ε (1) k s.o. für fast alle n. Wenn aber für f.a. n gilt a n a ε, kann a kein H.W. sein. Definition 6.7 : Sei {a n } beschränkte reelle Folge, A := {a R : a ist H.W. von {a n }}. sup A = max A heißt limes superior von {a n }, i.z. lim sup a n, lim a n. inf A = min A heißt limes inferior von {a n }, i.z. lim inf a n, lim a n. Bemerkung: A nach Bolzano-W. und beschränkt = sup A, inf A definiert. Unser Beweis zeigt: sup A A, also sup A = max A (analog für inf)

16 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 16 Übung: Rechenregeln für lim sup, lim inf Wir wollen die Divergenz von Folgen klassifizieren: Definition 6.8 : a) Für K R seien (K, + ) := {x R : x > K}, unbeschränkte Intervalle [K, + ) := { }, (, K) := { < }, (, K] := { }. b) Sei {a n } reelle Zahlenfolge. lim a n = + : K > 0 N mit a n [K, ) für alle n N lim a n = : lim ( a n) = + Man sagt: Die Folgen sind bestimmt divergent (uneigentlich konvergent). c) lim sup a n = + : die Folge ist nicht nach oben beschränkt lim inf n = : Beispiele und Bemerkungen: a) Mit uneigentlich konvergenten Folgen kann man nicht wie üblich rechnen: lim (n2 n) = +, aber lim n2 lim n = nicht definiert. n b) Unbestimmte Divergenz reeller Zahlenfolgen liegt dann vor, wenn die Folge weder bestimmt divergent noch konvergent ist. Beispiel: } {( 1) n ist unbestimmt divergent. Bisher können wir nur für monotone reelle Zahlenfolgen apriori (d.h. ohne Kenntnis des Kandidaten für den Limes) entscheiden, ob Konvergenz vorliegt. Wir lernen jetzt ein anderes Kriterium kennen.

17 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 17 Definition 6.9 : (Cauchy-Bedingung) Sei {a n } eine Folge in C {a n } Cauchy-Folge : ε > 0 N N : a n a m < ε für alle n, m N Satz 6.7 : Konvergenzkriterium von Cauchy Sei {a n } eine Folge in C. Dann gilt : {a n } konvergent {a n } Cauchy-Folge Bemerkung: eine Möglichkeit, Konvergenz zu zeigen: Rechne Cauchy-Bed. nach! Dabei wird oft ein Fehler gemacht: ε > 0 N N : a n+1 a n < ε reicht nicht aus! Beispiel (s. ï 1 2 7): a n = n k=1 1/k, lim a n =, aber a n+1 a n = 1/n + 1! Beweis: = : a := lim a n ε > 0 gegeben = N mit a n a < ε/2 n N Also gilt für n, m N : a n a m a n a + a a m < ε 2 + ε 2 = ε. = {a n } ist beschränkt: Sei ε = 1 in der Cauchy-Bed. = N 1 mit a n a m < 1 für n, m N. Speziell: a n a N1 + 1 n N 1 Also: { } a n max a 1,..., a N1, a N1 + 1 n N Bolzano - W. = konvergente Teilfolge {a nk }, lim k a n k =: a. Man hat a n a a nk a + a n a nk. Zu ε > 0 gibt es k 1 N mit a nk1 a < ε/2, der 2 te Summand wird nach der Cauchy-Bed. < ε/2, falls

18 6. KONVERGENZ VON FOLGEN 18 n k1, n N ε, was für große k 1 sicher richtig ist. Bemerkung: Nimmt man Satz 6.7 als gültig an, so folgt daraus (als Satz!) das Intervallschachtelungsprinzip (I.P..) Also: Vollständigkeit von R (I.P.) = Bolzano - W. = Cauchy-Krit. = (I.P.), man hätte also jede der drei Eigenschaften als Vollständigkeitsaxiom wählen können.