Algebra-Training. Theorie & Aufgaben. Serie 5. Vermischte Algebra-Aufgaben. Theorie und Aufgaben: Thomas Unseld. VSGYM / Volksschule Gymnasium

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1 Algebra-Training Theorie & Aufgaben Serie 5 Vermischte Algebra-Aufgaben Theorie und Aufgaben: Thomas Unseld VSGYM / Volksschule Gymnasium

2 Liebe Schülerin, lieber Schüler sind zwei Stunden vorgesehen. Wir freuen uns, dich bald am Gymnasium begrüssen zu dürfen. Technische Hinweise Diese Aufgabenserie verteilen wir als PDF an unsere Benutzer. Sie ist so gestaltet, dass sie sinnvollerweise als Broschüre auf A-Papier gedruckt wird. Wir bitten alle Benutzer dieser Serien, uns auf Fehler aufmerksam zu machen und auch allfällige Änderungs- und Verbesserungswünsche uns mitzuteilen, am einfachsten per an: 1. Auflage, 1. August 015 Kantonsschule Zürich Nord, Fachschaft Mathematik Autoren: Ronald Balestra, Katharina Lapadula, Bernhard Marugg, Meinrad Schauwecker Koordination: Kathrin Steiner Satz: Franz Piehler Begutachtung: Christoph Barandun (SEKZH), Markus Huber (Kantonsschule Stadelhofen, LKM) Quellenangabe: Einige Aufgaben stammen aus Walter Hohl: Arithmetik und Algebra 1 + Lehrmittelverlag des Kantons Zürich, 1975

3 Theorie und Aufgaben Die Algebra besteht grob gesagt aus zwei Themenbereichen: Im ersten (zuerst entstandenen) Bereich löst man konkrete Probleme mit Hilfe von Gleichungen und dem Buchstaben x. Im zweiten (erst später entstandenen) Bereich versucht man Probleme allgemein zu lösen. Es entstehen Formeln mit Buchstaben wie n,, A,... Beide Bereiche der Algebra benötigen Kenntnisse der Rechenregeln der Arithmetik, da man mit Buchstaben oft nicht wie mit Zahlen rechnen kann: Natürlich würdest du bei einer Rechnung wie 1 (9 ) aus der Arithmetik wie folgt vorgehen: 1 (9 ) = 1 6=7 Wenn wir jedoch in der Rechnung anstelle der die beliebige Zahl n setzen, klappt das obige Vorgehen nicht mehr: 1 (9 n) =? Wir können 9 n nicht weiter zusammenfassen! Wenn wir jedoch die Klammergesetze aus der Arithmetik anwenden, gelingt die Vereinfachung: 1 (9 n) = 1 9+n =4+n Auf den folgenden Seiten wird dir nun anhand von Beispielen und Aufgaben ein kurzer Überblick über diese beiden Bereiche der Algebra geboten. Wir starten mit dem zweiten Bereich: Probleme allgemein lösen Formeln suchen Summen s von natürlichen Zahlen wie können elegant aufsummiert werden, wenn man sie geschickt paarweise ordnet: s = = ( ) + ( + 99) + ( + 98) ( ) Also besteht s aus 50 Paaren mit demselben Wert 101: Wenn wir nun eine Formel für die Summe s = = 5050 s = (n ) + (n 1) + n der ersten n natürlichen Zahlen suchen, können wir die gleiche Überlegung anwenden: Da die Paare 1 und n, undn 1, undn, etc. immer den gleichen Wert n +1haben, besteht die Summe s der ersten n natürlichen Zahlen aus n Paaren mit dem Wert n +1: s = (n ) + (n 1) + n = n (n + 1) = n (n + 1) Serie 5 Vermischte Algebra-Aufgaben Seite

4 Wir haben nun eine schwierige Berechnung einmal allgemein durchgeführt und eine sehr einfache Formel bekommen. Damit können wir nun sehr schnell Summen berechnen. Zum Beispiel ist = 150 ( ) = Die Formel kann man auch im folgenden Fall anwenden: = = = 40 Genau genommen klappt unsere einfache Formel jedoch nur, falls die letzte Zahl gerade ist: Nur dann kann man eine Summe wie in 18 Paare mit dem Wert 7 aufteilen. Falls die letzte Zahl wie bei ungerade ist, haben wir 18 Paare mit dem Wert 8: Das letzte Paar ist und die Zahl 19 bleibt übrig! In diesem Fall lässt man besser die letzte Zahl weg und summiert wie folgt: s = = ( ) + 7 = = = 70 Wir verallgemeinern nun das obige Vorgehen und bestimmen eine Formel für die Summe s = (n 1) + n der ersten n natürlichen Zahlen, wenn n ungerade ist: Da nun (n 1) gerade ist, können wir unsere erste Formel darauf anwenden: s = n =! (n 1) " + n = (n 1) n Leider ist die gefundene Formel im Fall, wenn n ungerade ist, nicht mehr sehr schön! Mit den folgenden Termumformungen können wir sie jedoch vereinfachen: + n s = (n 1) n + n = (n 1) n + n = (n 1) n +n = n n +n = n + n = n (n + 1) Wir erhalten dieselbe Formel wie im Fall, als die letzte Zahl n gerade war! Demnach gilt die Formel für alle natürlichen Zahlen n n = n (n + 1) 1 Berechne a) b) (n 4) + (n ) + (n ) d) (n ) + (n 1) + (n) Zeige, dass die Summe s = (n ) + n der ersten n geraden Zahlen mit der Formel s = n(n + 1) berechnet werden kann. Berechne a) b) Seite 4 Vermischte Algebra-Aufgaben Serie 5

5 4 Bestimme eine Formel für die Summe s = (n ) + (n 1) der ersten n ungeraden Zahlen, und teste die Richtigkeit deiner Formel bei = 6. 5 Wenn der Buchstabe n für die natürlichen Zahlen 1,,, 4,... steht, kann man damit zum Beispiel alle ungeraden natürlichen Zahlen 1,, 5, 7,... sehr kurz mit n 1 darstellen. Stelle die unteren Zahlen sehr kurz mit Hilfe des Buchstabens n dar: a), 4, 6, 8,... b) 5, 10, 15, 0,... 4, 7, 10, 1,... 6 Die Oberfläche S eines Quaders ändert sich je nach Grösse der Kanten des Quaders. Trotzdem kann man ein gültiges Gesetz für S formulieren, obwohl sich die Länge, Breite b und Höhe h von Fall zu Fall ändert: Bestimme eine Formel für die Oberfläche S eines Quaders. 7 Bestimme eine Formel für die Oberfläche S eines Würfels mit der Kante k. h b 8 Bestimme eine Formel für die Fläche A eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b. (Die Katheten sind die zwei kürzeren Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks.) 9 Bestimme eine Formel für die Fläche A eines Rhombus mit den Diagonalen e und f. 10 Vereinfache die folgenden Formeln mit der natürlichen Zahl n: a) n + (n ) (4 n) b) (n) n( n)+n (n 1) + n + n +1 n +1 d) 4 n e) Ô n Ô n + Ô n f) 8n n + n +n 1 g) n n 5n h) ( Ô n Ôn) i) 5n 1 0n j) apple n + 5 k) Ô 100n +( Ô n) l) n 4 + n 11 Quadratische Gleichungen sind Gleichungen der Form ax + bx + c =0mit den beliebig wählbaren reellen Zahlen a = 0, b, c und der Lösungsvariable x. Bestimme(nur)a, b, c bei den Gleichungen: a) x x + 1 = 0 b) x Ô 1 = 0 1 Bestimme eine Formel für: x = x 5 a) b) den Preis P eines Kaugummis, wenn n Kaugummis z Franken kosten. die Durchschnittsnote D der 4 Noten N 1,N,N,N 4. den neuen Preis P neu einer Ware, wenn der alte Preis P alt um 1 % reduziert wurde. Serie 5 Vermischte Algebra-Aufgaben Seite 5

6 Indizes-Schreibweise In der obigen Aufgabe wurde die sogenannte Indizes-Schreibweise verwendet, die man in der Algebra und Geometrie sehr oft antri t: Zum Beispiel ist h a mit dem Index a die Höhe zur Seite a im Dreieck ABC. Damit entstehen in der Algebra schnell etwas ungewöhnliche Terme, mit denen man auch rechnen lernen muss: t 0 (1 m 1 m ) ist nur ein Term mit den drei verschiedenen Buchstaben t 0, m 1, m. Man rechnet damit wie folgt: t 0 (1 m 1 m )=t 0 t 0 m 1 m Noch gewöhnungsbedürftiger sind Ausdrücke wie m : m = m m m. 1 Vereinfache die Ausdrücke / Formeln: a) 8(m 1 + m ) (m 1 m ) 6(m 1 + m ) b) (m 1 m ) (m 1 m ) (m ) m d) cd(6 e 1 +e 1 ) e) 1s 0 17s 0 + 5s 0 +s 0 f) (a 1 a ) [(a 1 +a ) (5a + 1)] g) r 0r 0r Bestimme eine Formel für das Durchschnittsalter einer Klasse mit 0 SchülerInnen mit dem Alter a 1,a,a,...,a 19,a Ein Würfel wurde n mal geworfen und die gewürfelten Augen 1,,, 4, 5 und 6 notiert: n 1,n,...,n 6 soll dabei die Anzahl der gewürfelten Augen 1,,...,6 bezeichnen. a) Was ist n 1 + n + n + n 4 + n 5 + n 6? b) Was berechnet die Formel n 1 1+n +n +n 4 4+n 5 5+n 6 6? n Probleme mit Hilfe von Gleichungen lösen Der in der Algebra am häufigsten vorkommende Buchstabe ist x. Er steht meistens für die unbekannte, zu bestimmende Grösse in einer Gleichung wie 7 + (x ) = 1. Bei diesem Beispiel könnte man die «Unbekannte x im Kopf bestimmen»: (x ) muss 4 sein. Und somit ist x = 1. Also beträgt x = 15. Natürlich versagt dieses Vorgehen bei etwas komplizierteren Gleichungen. Im zweiten, zuerst entstandenen Bereich der Algebra versucht man nun Gleichungen in immer einfachere Gleichungen mit derselben Seite 6 Vermischte Algebra-Aufgaben Serie 5

7 Lösung x zu verwandeln. Im obigen, einfachen Beispiel geht man exakt wie folgt vor: 7 + (x ) = 1 Termumformung (Vereinfachung beider Seiten der Gleichung) 7+x 6 = 1 Termumformung (Vereinfachung beider Seiten der Gleichung) 1 + x = 1 1 (Umwandlung in eine einfachere Gleichung mit derselben Lösung) x = 0 :(Umwandlung in eine einfachere Gleichung mit derselben Lösung) x = 15 Wie man oben sieht, vereinfacht man beide Seiten der Gleichung so, dass die Terme mit x klar ersichtlich sind (Termumformung) und verwandelt dann die Gleichung in einfachere Gleichungen mit derselben Lösung (Äquivalenzumformung): Forme so um, dass Terme mit x auf eine Seite und Zahlen auf die andere Seite der Gleichung zu liegen kommen. 16 Bestimme die Unbekannte x in den Gleichungen! a) b) d) e) f) x 15 4x = 9+x 1 1 ( + 4x) 5( 6+7x) 8(9x 10) = 10 1 x =+0.x 17 [x (x 1) 4(x + 1) 7] = 16 (x + 15) x x 4 x 4 =1+ x + 4 x 1 4 = x Beim Lösen einer Gleichung passieren oft Fehler bei den Termumformungen: Sind die unteren Termumformungen richtig (r) oder falsch (f)? (Tipp: Setze Zahlen für x ein, wenn du die Antwort nicht weisst!) a) x + x + x = x b) x +x =5x ( 4+x) =8 x d) (x ) = x e) (x) =6x f) (x) =x g) x + x + x =x h) x + x = x 5 i) x 5 = x 10 6 j) x 4 = 1 4 x k) (x ) = x 9 l) x x =6x 5 m) 6x x =4x 4 x n) = x o) x(x + ) =(x +x) apple p) x = x + 10 q) (x ) = x 9 r) (x ) = x +9 Serie 5 Vermischte Algebra-Aufgaben Seite 7

8 Textaufgaben Dank den Gleichungen kann man schwierige Probleme recht einfach lösen, da man nur zu übersetzen braucht. Als Beispiel dazu eine schwierige Textaufgabe aus einer alten Aufnahmeprüfung für den Übertritt von der Primarschule ans Gymnasium: Ein Konzertsaal mit 750 Plätzen ist ausverkauft. Eine Karte für die vorderen Plätze kostet 17 Franken, eine Karte für die hinteren Plätze 1 Franken. Die Totaleinnahmen betragen Franken. Wie viele vordere Plätze und hintere Plätze wurden verkauft? Da die PrimarschülerInnen noch keine Algebra können, ist die Aufgabe schwierig! (Versuche, die Aufgabe ohne Gleichung zu lösen, bevor du weiterliest!) Lösung ohne Algebra-Kenntnisse Mit der folgenden Idee kann man sie ohne Algebra-Kenntnisse lösen: Wenn alle Besucher ein Karte zu 17 Franken gekauft hätten, dann wären die Einnahmen gleich = Franken. Dies ist = 960 Franken zu viel. Der Unterschied ist aber durch die 4 Franken billigeren Karten zu 1 Franken entstanden. Somit sind es 960 : 4 = 40 Karten zu 1 Franken und = 510 Karten zu 17 Franken. Lösung mit Algebra-Kenntnissen Mit Hilfe von Gleichungen wird die Aufgabe um einiges einfacher, da man keine spezielle Idee mehr benötigt, sondern «nur» übersetzen muss: Wenn x die unbekannte Anzahl Karten zu 17 Franken ist, dann ist 750 x die entsprechende Anzahl Karten zu 1 Franken. x Karten zu 17 Franken ergeben Einnahmen von x 17 Franken. 750 x Karten zu 1 Franken ergeben eine Einnahme von (750 x) 1 Franken. Die Totaleinnahmen von Franken benutzt man nun zum Aufstellen der Gleichung: x 17 + (750 x) 1 = Beim Bestimmen der Unbekannten x benötigt man von jetzt an nur noch Algebra-Kenntnisse: Somit gibt es x = 510 Karten zu 17 Franken und 750 x = 40 Karten zu 1 Franken. 17x x = Termumformung 4x = x = 040 :4 x = 510 Wir konnten das Problem ohne spezielle Idee; nur mit Übersetzen in eine Gleichung lösen! Seite 8 Vermischte Algebra-Aufgaben Serie 5

9 18 Die Summe von 5 aufeinander folgenden natürlichen Zahlen beträgt 960. Berechne die kleinste der 5 Zahlen. 19 Auf einem Flug nach New York sind alle 480 Plätze besetzt. Ein Ticket kostet in der ersten Klasse 100 Franken, in der Business-Klasse 100 Franken und in der Economy-Klasse 800 Franken. Die Zahl der Sitzplätze in der Business-Klasse ist doppelt so gross wie die Zahl der Sitzplätze in der ersten Klasse. Die Ticket-Einnahmen betragen Franken. Wie viele Sitzplätze jeder Klasse hat das Flugzeug? 0 In einem Stall sind Kaninchen und Fasane; sie haben zusammen 5 Köpfe und 98 Füsse. Wieviele Tiere jeder Art sind es? 1 Bei der letzten Mathe-Prüfung in einer Klasse mit 7 Schülerinnen und Schülern war die Durchschnittsnote von allen Prüfungen eine 4.. Im Durchschnitt hatten die Jungen die Note.9 und die Mädchen die Note 4.5. Wie viele Jungen hat es in der Klasse? Aus den Arithmetischen Epigrammen der griechischen Anthologie, gesammelt vom Mönch Maximus Planudes (um 150 n. Chr.): Eine Griechin bat Zeus, er möge das Geld verdoppeln, das sie bei sich habe. Er tat es, und sie opferte ihm Drachmen. Dann bat sie Apollo wieder um Verdoppelung. Er tat es, und sie opferte wieder Drachmen. Nun hatte sie doppelt soviel wie ursprünglich. Wieviel Geld hatte sie anfangs? Verkleinert man jede Seite eines Quadrates um m, so nimmt der Flächeninhalt um 1 m ab. Berechne die Länge der kleineren Quadratseite. Serie 5 Vermischte Algebra-Aufgaben Seite 9

10 Ergebnisse 1 a) n gerade: n (n )(n 1) b) d) n(n + 1) Paare mit dem Wert +n: s = n n(n + ) (n + ) = = n(n + 1) n ungerade:! (n ) " +n =(n 1)n +n = n + n = n(n + 1) a) 970 b) s = n 5 a) n b) 5n n +1 6 S =b +bh + h 7 S =6k 8 A = ab 9 A = ef 10 a) 4n 16 b) 8n n 16n 1 d) n + 6 e) 4 Ô n f) 9n + n 1 g) 0n 7 h) 6n 4 i) n 10 4 apple j) n + 5 k) 1n l) 7n 9 11 a) a =1 b = c = 1 b) a = b =0 c = Ô 1 a = b = 1 5 c =0 Seite 10 Vermischte Algebra-Aufgaben Serie 5

11 1 a) P = z n b) D = N 1 + N + N + N 4 4 P neu = P alt P alt = P alt = P alt 1 a) m 1 +m b) 4m 1 m m d) 6cd +cde 1 e) 7s 0 15s 0 f) 1 5a 1 +4a g) r a 1 + a + a a 19 + a a) n b) die durchschnittlich geworfene Augenzahl 16 a).5 b) 1 60 d).05 e) 0 f) a) f b) f r d) r e) r f) f g) r h) f i) f j) r k) f l) r m) f n) f o) f p) f q) f r) f Klasse, 10 Business und 00 Economy 0 14 Kaninchen und 1 Fasane 1 9 Jungen Drachmen m Serie 5 Vermischte Algebra-Aufgaben Seite 11