5. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12)

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1 Technische Universität München Zentrum Mathematik PD Dr. hristian Karpfinger 5. Übung zum G8-Vorkurs Mathematik (WiSe 2011/12) Aufgabe 5.1: In einer Implementierung des Pohlig-Hellman-Verfahrens seien die Primzahl p = 263 und der Schlüssel zum Verschlüsseln e = 17 gegeben. a) Bestimmen Sie d mit e d 1 (mod p 1). b) Verschlüsseln Sie die Nachrichten a 1 = 5 und a 2 = 11. c) Entschlüsseln Sie die erhaltenen Geheimtexte. d) Warum ist die Wahl der Primzahl 263 besser als z.b. 257? a) Dazu verwenden wir den erweiterten Euklidischen Algorithmus. Dazu berechnen wir zuerst den ggt (p 1, e) = ggt (262, 13): 262 = = = ggt (262, 13) = 1 Rechnen wir nun zurück und bestimmen die Zahl d: e d 1 (mod p 1) 1 = = 7 2 (17 2 7) = = 5 ( ) 2 17 = d = 77 Wir wollen aber ein d Z 263 also wählen wir d = = 185, da 1 = b) Verschlüsseln Sie die Nachrichten a 1 = 5 und a 2 = 11. a 1 = 5 c 1 = 5 17 mod 263 = mod 263 = 41 mod 263 a 2 = 11 c 2 = mod 263 = 184 mod 263 oder ausführlicher: 1

2 a 1 = 5 c 1 = 5 17 mod 263 = (5 4 ) 4 5 mod 263 = (625) 4 5 mod 263 = (99) 4 5 mod 263 = (9801) 2 5 mod 263 = (70) 2 5 mod 263 = (4900) 5 mod 263 = mod 263 = 830 mod 263 = 41 mod 263 a 2 = 11 c 2 = mod 263 = 184 mod 263 oder ausführlicher: a 2 = 11 c 2 = mod 263 = (11 3 ) mod 263 = (1331) mod 263 = (16) mod 263 = (2 4 ) mod 263 = (2 10 ) mod 263 = (1024) mod 263 = mod 263 = mod 263 = mod 263 = mod 263 = 184 mod 263 c) Entschlüsseln Sie die erhaltenen Geheimtexte. c 1 = 41 a 1 = mod 263 = 5 mod 263 c 2 = 184 a 2 = mod 263 = 11 mod 263 oder ausführlich mit Hilfe der schnellen Exponentation: Die Binärdarstellung der Zahl 185 ist die , also kann man sich die Berechnung einer Zahl hoch 185 mit der schnellen Exponentation wie folgt vereinfachen. x 185 = (((((((x) 2 ) 2 x) 2 x) 2 x) 2 ) 2 ) 2 x 2

3 c 1 = 41 a 1 = mod 263 = (((((((41) 2 ) 2 41) 2 41) 2 41) 2 ) 2 ) 2 41 mod 263 = ((((((103) 2 41) 2 41) 2 41) 2 ) 2 ) 2 41 mod 263 = (((((89 41) 2 41) 2 41) 2 ) 2 ) 2 41 mod 263 = (((( ) 2 41) 2 ) 2 ) 2 41 mod 263 = (((( ) 2 41) 2 ) 2 ) 2 41 mod 263 = ((( ) 2 ) 2 ) 2 41 mod 263 = ((( ) 2 ) 2 ) 2 41 mod 263 = (( ) 2 ) 2 41 mod 263 = (( ) 2 ) 2 41 mod 263 = ( ) 2 41 mod 263 = ( ) 2 41 mod 263 = mod 263 = mod 263 = mod 263 = 5 mod 263 analog erhält man a 2 : c 2 = 184 a 2 = mod 263 = (((((((184) 2 ) 2 184) 2 184) 2 184) 2 ) 2 ) mod 263 = ((((((192) 2 184) 2 184) 2 184) 2 ) 2 ) mod 263 = (((((44 184) 2 184) 2 184) 2 ) 2 ) mod 263 = (((( ) 2 184) 2 ) 2 ) mod 263 = (((( ) 2 184) 2 ) 2 ) mod 263 = ((( ) 2 ) 2 ) mod 263 = ((( ) 2 ) 2 ) mod 263 = (( ) 2 ) mod 263 = (( ) 2 ) mod 263 = ( ) mod 263 = ( ) mod 263 = mod 263 = mod 263 = mod 263 = 11 mod 263 d) Warum ist die Wahl der Primzahl 263 besser als z.b. 257? Die Primzahl 263 ist eine sichere Primzahl, da auch = 131 eine Primzahl ist. 2 Die Pimzahl 257 ist keine sicher Primzahl, da = 128 z.b. durch 2 teilbar und damit 2 keine Primzahl ist. Aufgabe 5.2: (Zur Bearbeitung ist ein omputer nötig. Hilfreiche Internetseite: Es ist p = eine (große) Primzahl. 3

4 a) Was ist die binäre Länge von p, d. h. wieviele Stellen hat p in der Binärdarstellung? b) Begründen Sie, daß e = teilerfremd zu p 1 ist. c) Bestimmen Sie ein d {1,..., p 1} mit e d 1mod (p 1). d) Testen Sie das Pohlig-Hellman-Verfahren an selbst gewählten Nachrichten N Z p. a) Wegen p < 2 79 und p > 2 78 ist p eine 79-Bit-Zahl. b) MAPLE liefert ggt(e, p 1) = 1. c) MAPLE liefert 1 = e + ( ) (p 1). Somit kann man d = wählen. d) Wegen e = ist ( ) 2 die Binärdarstellung von e. Für d erhalten wir mit MAPLE die Binärdarstellung ( ) 2. Hiermit kann man die schnelle Exponentiation programmieren und damit Beispiele testen, etwa N = N e mod p chiffrieren N = dechiffrieren d mod p N Z p = N e mod p d mod p Aufgabe 5.3: In einer Variante des Pohlig-Hellman-Verfahrens könnte man die Gruppe G = (Z n, +) wählen. a) Beschreiben Sie genau wie Verschlüsselung und Entschlüsselung funktionieren. b) Erläutern Sie, warum dieses Verfahren nicht sicher ist. Genauer: Zeigen Sie, wie man aus einem bekannten Klartext-Geheimtext-Paar den Schlüssel bestimmen kann. a) Wir vergleichen das in der Vorlesung vorgestelle Pohlig-Hellman-Verfahren mit der neuen Variante: 4

5 Pohlig-Hellman-Verfahren in (Z p \{0}, ) Man wählt eine große Primzahl p Es gilt: (a + b) p = a p + b p a p 1 = 1 Verschlüsseln: Man wählt ein e {1, 2,..., p 1} mit N ggt (e, p 1) = 1 = N e mod p chiffrieren Entschlüsseln: Man berechnet d {1, 2,..., p 1} mit ed + r(p 1) = 1 also: ed = 1 mod (p 1) Pohlig-Hellman-Verfahren in (nz, +) Man wählt eine natürliche Zahl n N Es gilt: n (a + b) = na + nb na = 0 Verschlüsseln: Man wählt ein e {1, 2,..., n} mit N ggt (e, n) = 1 = en mod n chiffrieren Entschlüsseln: Man berechnet d {1, 2,..., p 1} mit also: ed = 1 mod n ed + rn = 1 N = dechiffrieren d mod p = N ed mod p MERKE: Aus Potenzieren wird Multiplizieren N = d mod n = edn mod n dechiffrieren b) Das Verfahren ist nicht sicher, da man aus einem bekannten Klartext-Geheimtext-Paar den Schlüssel bestimmen kann. Dazu geht man wie folgt vor: Man hat gegeben ein Klartext-Geheimtextpaar: (N ) nd wir wissen: = en Genauer: Also en + rn = en mod n Aus dem euklidischen Algorithmus wissen wir: k, l Z : kn + ln = ggt (N, n) Wir können den ggt (N, n) berechnen und die Zahlen k und l. Nun multiplizieren wir die Gleichung kn + ln = ggt (N, n) mit und erhalten damit ein mögliches e = ggt (N, n) kn + ggt (N, n) ln = ggt (N,n) k Alle weiteren möglichen Lösungen für e sind { ggt (N,n) k + ggt (N,n) n ggt (N,n) Z} und erhalten 5

6 Aufgabe 5.4: Berechnen Sie mit schneller Exponentiation 2 43 modulo 13. Zuerst benötigen wir die Binärdarstellung von 43, man erhält Wir können also 2 43 mit Hilfe der schnellen Exponentation wie folgt umschreiben: 2 43 = (((((2) 2 ) 2 2) 2 ) 2 2) mod 13 = (((((2) 2 ) 2 2) 2 ) 2 2) 2 2 mod mod 13 = (((16 2) 2 ) 2 2) 2 2 mod 13 = (((3 2) 2 ) 2 2) 2 2 mod 13 = ( ) 2 2 mod 13 = ( ) 2 2 mod 13 = (3 3 2) 2 2 mod 13 = mod 13 = 81 8 mod 13 = 3 8 mod 13 = 24 mod 13 = 11 mod 13 Aufgabe 5.5: Hausaufgabe: Informieren Sie sich (z. B. im Internet), wie das RSA-Verfahren funktioniert. Wodurch unterscheiden sich das Pohlig-Hellman-Verfahren und das RSA-Verfahren? Zuerst benötigen wir die Binärdarstellung von 43, man erhält Wir können also 2 43 mit Hilfe der schnellen Exponentation wie folgt umschreiben: 2 43 = (((((2) 2 ) 2 2) 2 ) 2 2) mod 13 = (((((2) 2 ) 2 2) 2 ) 2 2) 2 2 mod mod 13 = (((16 2) 2 ) 2 2) 2 2 mod 13 = (((3 2) 2 ) 2 2) 2 2 mod 13 = ( ) 2 2 mod 13 = ( ) 2 2 mod 13 = (3 3 2) 2 2 mod 13 = mod 13 = 81 8 mod 13 = 3 8 mod 13 = 24 mod 13 = 11 mod 13 6