Einführung. Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Vorlesungen zur Komplexitätstheorie. K-Vollständigkeit (1/5)

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1 Einführung 3 Vorlesungen zur Komplexitätstheorie: Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland Hatten den Reduktionsbegriff am Beispiel der Logspace-Reduktionen kennengelernt Logspace-Reduktionen definieren eine Halbordnungen auf der Menge aller Entscheidungsprobleme / formalen Sprachen: Reflexivität: offensichtlich ist jedes Problem auf sich selbst reduzierbar Transitivität: hatten bereits bewiesen, daß die Komposition zweier Logspace-Reduktionen wieder eine Logspace-Reduktion ist Vorlesungen zur Komplexitätstheorie K-Vollständigkeit (1/5) 2 4 Vorlesungsprogramm Einführung Konzepte der Komplexitätstheorie Probleme und Algorithmen Turing Maschinen Lineares Beschleunigen Raumschranken und Platzsparen Nichtdeterministische Turingmaschinen Komplexitätsklassen Hierarchie-Theoreme Erreichbarkeitsmethode Reduktion und Vollständigkeit (3) Klassen jenseits und innerhalb von NP Können nun Frage stellen nach den schwersten Problemen in einer Komplexitätsklasse: Definition: Sei K eine Komplexitätsklasse und A K A heißt vollständig in K bzw. K-vollständig, wenn für alle A K gilt

2 K-Vollständigkeit (2/5) K-Vollständigkeit (4/5) 5 7 Bedeutung vollständiger Probleme: Vollständige Probleme geben einen guten Aufschluß über die Natur einer Komplexitätsklasse Mit Hilfe von vollständigen Problemen können Unterschiede zwischen Komplexitätsklassen charakterisiert werden K-vollständige Probleme gehören am ehesten nicht zu einer kleineren Komplexitätsklasse... Korollar 1: Sei A P-vollständig. (a) (b) (a) Für alle B P gilt B < log A. Da L abgeschlossen ist bzgl. < log gilt: Für all B P : B L, also P L (b) analog K-Vollständigkeit (3/5) K-Vollständigkeit (5/5) 6 8 Definition: Eine Komplexitätsklasse K ist abgeschlossen bzgl. Reduktion Korollar 2: Sei A NP-vollständig. (a) Die folgenden Komplexitätsklassen sind abgeschlossen bzgl. Logspace-Reduktion: Für jede der genannten Klassen gilt: Das Anhängen einer Logspace-Reduktion an einen beliebigen Problemlösungsalgorithmus aus der Klasse liefert wieder einen Algorithmus aus dieser Klassen... (b) (c) Generell gilt: Sind zwei Komplexitätsklassen K, K abgeschlossen bzgl. Reduktion und existiert ein Problem A, das K-vollständig und K - vollständig ist, dann gilt: K = K

3 Berechnungstabellen-Methode (1/6) Berechnungstabellen-Methode (3/6) 9 11 Ein wichtiges Werkzeug zum Nachweis der P-Vollständigkeit bzw. der NP-Vollständigkeit ist die Berechnungstabellen-Methode Sei M eine n k -zeitbeschränkte 1-Band TM für A Wir stellen die Berechnung von M bei Eingabe x als x k x x k -Tabelle T(M,x) = (T i,j ) dar Zeilen von T(M,x) beschreiben die Berechnungsschritte von M bei Eingabe x Spalten beschreiben Inhalt einer Bandposition und Lesekopfposition T i,j beschreibt Inhalt des Bandes an der j-ten Stelle im i-ten Schritt Bezeichnung: Berechnungstabelle T von M für x : Zur Vereinfachung wird Berechnungstabelle standardisiert (1/2): Betrachten lediglich 1-Band TM hatten gezeigt, daß k-band TM in polynomialer Zeit durch 1-Band TM simuliert werden können... TM hält bei Eingabe x stets im Schritt x k -2 präzise TM Füllen alle Zeilen rechts mit - auf Ist TM im i-ten Schritt an der Position j, dann wird in T i,j auch der Zustand von M geschrieben und nicht nur das Bandsymbol... Berechnungstabellen-Methode (2/6) Berechnungstabellen-Methode (4/6) Beispiel: > Zur Vereinfachung wird Berechnungstabelle standardisiert (2/2): TM startet nicht auf > sondern auf erstem Symbol der Eingabe Lesekopf besucht nie die erste Spalte am linken Tabellenrand können dazu eingach zwei Schritte von M zusammenfassen, da M dort sicher nicht noch weiter nach rechts geht... Hält TM vor dem Erreichen des ( x k -2)-ten Taktes, dann wird Tabelle aufgefüllt durch Wiederholung(en) der letzten Zeile TM hält stets in der ersten Position des Bandes T i,j beschreibt Inhalt des Bandes an der j-ten Stelle im i-ten Schritt

4 Berechnungstabellen-Methode (5/6) CIRCUIT VALUE (1/10) Beispiel: > 0 s > > 1 s > > 1 1 q > > q > > q CIRCUIT VALUE ist P-vollständig. (1) Hatten bereits gezeigt, CIRCUIT VALUE P (2) Müssen noch zeigen, daß sich jedes Problem aus P auf CIRCUIT VALUE reduzieren läßt Sei A Zu zeigen: P beliebig A < log CiRCUIT VAULE Berechnungstabellen-Methode (6/6) CIRCUIT VALUE (2/10) Berechnungstabelle heißt akzeptierend, falls gilt Offenbar gilt Eine TM M akzeptiert eine Eingabe x genau dann, wenn die Berechnungstabelle T(M,x) akzeptierend ist. CIRCUIT VALUE (1/9): Sei x eine Eingabe von A. Konstruieren variablenfreien Schaltkreis R(x) mit Sei M Polynomialzeit 1-Band TM für A. M arbeite in der Zeit n k Betrachten Berechnungstabelle T(M,x): Für i = 0, j = 0 und j= x k - 1 sind die Werte T i,j bekannt Betrachten die übrigen Werte für T i,j

5 CIRCUIT VALUE (3/10) CIRCUIT VALUE (5/10) CIRCUIT VALUE (2/9): T i,j gibt Bandinhalt an j-ter Stelle im i-ten Takt an CIRCUIT VALUE (4/9): Jedes s ijl hängt höchstens von den folgenden 3m Eingängen ab: T i,j kann höchstens abhängen von T i-1,j-1, T i-1,j, T i-1,j+1 Können Abhängigkeit mit Hilfe von Booleschen Funktionen F 1,..., F m beschrieben: CIRCUIT VALUE (4/10) CIRCUIT VALUE (6/10) CIRCUIT VALUE (3/9): Sei Menge aller möglichen Tabellensymbole Kodieren als Vektoren ( s 1,..., s m ) mit CIRCUIT VALUE (5/9): Da jede Boolesche Funktion durch einen Schaltkreis berechnet werden kann, existiert ein Schaltkreise C i,j für jedes s i,j, der aus den Kodierungen von T i-1,j-1, T i-1,j und T i-1,j+1 die binäre Kodierung von T i,j berechnen: Erhalten so eine Tabelle mit den binären Eingängen Komplexitätstheorie Reduktion und Vollständigkeit Prof. Dr. Christoph Meinel Sommersemestr 2010

6 CIRCUIT VALUE (7/10) CIRCUIT VALUE (9/10) CIRCUIT VALUE (6/9): Die C i,j hängen nur von M ab und haben von x unabhängige konstante Größe Konstruieren nun die Reduktion: Für jedes x besteht R(x) aus ( x k - 1) x ( x k -1) Schaltkreisen C i,j für jedes T i,j, wobei 1 < i, j < x k - 2 Eingaben für C i,j sind die Ausgaben von C i-1,j-1, C i-1,j und C i-1,j+1 Eingaben für den Gesamtschaltkreis R(x) sind die jeweiligen Eingaben der Schaltkreise der ersten Reihe und der ersten und letzten Spalte CIRCUIT VALUE (8/9): Behauptung ( ): Z.z. Gilt x A, dann ist R(x) wahr. Sei x A die Berechnungstabelle T(M,x) ist akzeptierend die Ausgabe von R(x) ist true Also gilt: R(x) ist wahr x A Bleibt noch zu zeigen: R(x) kann mit Speicherplatz log x berechnet werden CIRCUIT VALUE (8/10) CIRCUIT VALUE (10/10) CIRCUIT VALUE (7/9): Das Ausgabegatter von R(x) ist letzte Ausgabe von dort steht ja bzw. nein kodiert als 1 bzw. 0 Behauptung ( ): Z.z. Ist R(X) wahr, dann gilt x A. Können durch Induktion zeigen, daß die Ausgaben der Schaltkreise C i,j sämtliche binär verschlüsselten Einträge in die Berechnungstabelle liefern Sei nun R(x) = true Nach Induktion über i gilt, daß C i,j die Eingänge der Berechnungstabelle liefern da R(x) = true ist Tabelleneintrag also x A CIRCUIT VALUE (9/9): Behauptung: R(x) kann mit Speicherplatz log x berechnet werden Die Berechnung von R(x) erfordert: (1) Konstruktion der Input-Gatter - ist leicht möglich durch Einlesen von x und Zählen bis x k (2) Erzeugung der indizierten Schaltkreiskopien der C i,j (3) Richtige Verdrahtung der Teilschaltkreise (2) und (3) lassen sich leicht allein mit Hilfe der beiden Indizes i und j in Logspace ausführen

7 MONTONE CIRCUIT VALUE 25 MONOTONE CIRCUIT VALUE: Betrachten hier variablenfreie Schaltkreise über anstelle von Bemerkung: Monotone Schaltkreise können nur monotone Boolesche Funktionen berechnen und sind damit berechnungsschwächer als Schaltkreise... Aber es gilt trotzdem MONOTONE CIRCUIT VALUE ist P-vollständig. Haben im Beweis der CIRCUIT VALUE an keiner Stelle die Negationsgatter gebraucht... Vorlesungen zur Komplexitätstheorie Reduktion und Vollständigkeit (3) Univ.-Prof. Dr. Christoph Meinel Hasso-Plattner-Institut Universität Potsdam, Deutschland