Probabilistische Primzahlensuche. Marco Berger

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1 Probabilistische Primzahlensuche Marco Berger April 2015

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Definition Primzahl Primzahltest Anwendung Verteilung der Primzahlen Primzahlsuche - Klassisch Probedivision Sieb des Eratosthenes Primzahlensuche - Probabilistische Fermatscher Primzahltest Solovay-Strassen-Test Algorithmus Aussagen Effizienz Miller-Rabin-Test Algorithmus Effizienz Anwendungen in der Public Key Kryptographie Einleitung Verschlüsselungsmethoden Symmetrische Verschlüsselung Asymmetrische Verschlüsselung - RSA Algorithmus Fazit 15 7 Literaturverzeichnis 16 8 Glossar 17 2

3 Abbildungsverzeichnis Abbildungsverzeichnis 1 Primzahlen von Matrix um Buchstaben in Zahlen abzubilden Alice schickt Bob den Ciphertext

4 1 Einleitung 1 Einleitung 1.1 Definition Primzahl Primzahl (numerus primus) kommt aus dem lateinischen und heisst die erste Zahl. Eine Primzahl gehört zu den natürlichen Zahlen. Weiter hat sie genau 2 Teiler, welche jeweils auch zu den natürlichen Zahlen gehören. Also ist sie eine Zahl, die grösser ist als eins und nur durch sich selbst und durch eins Teilbar ist. Die ersten 15 Primzahlen sind folgende: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, Primzahltest Ein Primzahltest (Probalistische Primzahlensuche) ist ein mathematisches Verfahren, welches eine gegebene Zahl darauf hin untersucht, ob sie eine Primzahl ist oder nicht. 1.3 Anwendung Primzahltests werden in der Praxis häufig in der Kryptografie (hauptsächlich in der Asymmetrischen Verschlüsselung) eingesetzt. Verschlüsselungsalgorithmen wie z.b. RSA benötigen Primzahlen in der Grössenordnung von mindestens 512 Bit. ECRYPT II rädt für einen Langzeitschutz bis ins Jahr 2040 zu Modulowerten mit 3248 Bit. Da eine Liste mit all den möglichen Primzahlen zu erstellen und speichern wahnsinnig gross wäre, muss eine andere Möglichkeit angewandt werden um eine Primzahl als solche zu identifizieren. Eine Zahl zu 100% auf Prim zu untersuchen ist enorm Zeitaufwendig, deshalb kommen in der Praxis oft probabilistische Primzahlentests zum Zuge. Bei diesen Tests ist man nicht zu 100% sicher, dass es sich bei der getesteten Zahl wirklich um eine Primzahl handelt, jedoch sind diese Algorithmen sehr effizient. 1.4 Verteilung der Primzahlen Laut dem 15-Jährigen Carl Friedrich Gauß wurde 1793 eine Formel aufgestellt, um abzuschätzen wie viele Primzahlen es gibt die kleiner als x sind. Die Formel dazu lautet: x/ln(x) Dadurch kann berechnet werden, dass es für bis zu 512 Bit grosse Zahlen 4

5 1 Einleitung /ln(2 512 ) Primzahlen gibt. Die Chance eine zufällige Zahl zu wählen bis 512 Bit grösse ist demnach (2 512 /ln(2 512 ))/ % Das heisst, nach maximal Versuchen sollte man eine Zahl finden, die Prim ist. 5

6 2 Primzahlsuche - Klassisch 2 Primzahlsuche - Klassisch Es gibt verschiedene Ansätze, wie Primzahlen gesucht werden können. 2.1 Probedivision Die einfachste davon ist die Probedivision. Dabei wird durch reines probieren versucht die Zahl zuerst durch zwei, dann drei, dann vier.. bis max. n zu teilen. Wenn bis dann keine Zahl ganzzahlig teilbar ist, ist die untersuchte Zahl Prim. 2.2 Sieb des Eratosthenes Bei diesem Algorithmus wird eine Liste oder Tabelle erstellt, die alle Primzahlen bis zu einer vorher definierten Grösse festhällt. Funktionsweise Zuerst werden alle Zahlen, angefangen mit 2, bis zu dem definierten Maximalwert aufgeschrieben. Hierbei handelt es sich überall um eine Potenzielle Primzahl. Die kleinste dieser Zahlen wird nun markiert, sie ist in jedem Fall eine Primzahl. Immer wenn eine Primzahl gefunden wird, werden alle vielfache dieser Zahl als zusammengesetzt markiert, diese können keine Primzahlen sein. Nun wird wieder die kleinste nicht markierte Zahl angeschaut, da sie nicht zusammengesetzt ist und nur durch sich teilbar, handelt es sich hier auch um eine Primzahl. Wiederum werden alle vielfachen die- Abbildung 1: Primzahlen von ser Zahl als nicht-prim markiert. Dieses Verfahren wird nun wiederholt bis zum Ende der Liste, wodurch alle Primzahlen bis zum Maximalwert gefunden werden. Wenn nur die ungeraden Zahlen aufgeschrieben werden, kann dieses Verfahren ein weniger effizienter gemacht werden. 6

7 3 Primzahlensuche - Probabilistische 3 Primzahlensuche - Probabilistische Neben den Klassischen gibt es noch die Probabilistische (wahrscheinliche) Primzahlensuche. Wie der Name hier schon vermuten läst, kann durch einen solchen Test nicht eindeutig gesagt werden, ob eine Zahl Prim ist. Jedoch kann die Wahrscheinlichkeit falsch zu liegen beliebig klein gemacht werden. Diesen Kompromiss geht man ein, um dafür die effizienz massiv zu steigern. Denn in der Kryptografie beispielsweise müssen oft riesige Zahlen auf Prim untersucht werden. Auch hier gibt es verschiedene Algorithmen. 3.1 Fermatscher Primzahltest Der Fermatsche Primzahltest beruhrt auf dem kleinen fermatschen Satz. Kleiner fermatscher Satz Der kleine fermatsche Satz ist ein Lehrsatz aus der Zahlentheorie. Der Satz führt zurück auf das 17. Jahrhundert und wurde vom Französischen Mathematiker Pierre de Fermat entwickelt. Er beschreibt die Kongruenz: a p a(modp) Die folgende Schreibweise: a p 1 1(mod p) ist gültig, wenn a kein vielfaches von p ist. Umgekehrt kann also gesagt werden, wenn obige Gleichung nicht stimmt, ist p keine Primzahl. Dieses Prinzip wird nun beim Fermatschen Primzahltest angewandt. Dieser Test verläuft folgendermassen: Wenn die Zahl p auf Prim untersucht werden soll, wählen wir eine Zufallszahl a, wobei 1 < a < p. Nun wird überprüft ob a p 1 1(mod p) ist. Falls diese Aussage wahr ist, ist p definitiv keine Primzahl. Diese 2 Schritte werden nun beliebig oft mit einem neuen a wiederholt. Je öfter diese Überprüfung wahr ist, umso wahrscheinlicher ist, dass p eine Primzahl ist. Beispiel Wollen wir die Zahl 9 auf Prim untersuchen und wählen a = = 256 = mod9 Somit ist 9 eine zusammengesetzte Zahl. 7

8 3 Primzahlensuche - Probabilistische 3.2 Solovay-Strassen-Test Der Solovay-Strassen-Test liefert eine Aussage die mit für jede Durchführung zu 50% wahr ist. Tests die mit einer nach oben beschränkten Wahrscheinlichkeit falsche Ergebnisse liefern dürfen, heissen Monte-Carlo-Algorithmen. Durch Wiederholungen eines solchen Tests kann wiederum die Wahrscheinlichkeit ein falsches Ergebnis zu haben beliebig verkleinert werden. Wenn beim Solovay-Strassen-Test wiederholt keine Aussage zutrifft, kann gesagt werden, dass n wahrscheinlich eine Primzahl ist Algorithmus n sei die Zahl, welche wir auf Prim untersuchen wollen. Nun wird zufällig eine Zahl a gewählt, so, dass 1 < a < n gilt. Nun Wird g := ggt (a, n) berechnet. Wenn g > 1 wahr ist, ist g ein Teiler von n und somit ist n keine Primzahl und der Test kann abgebrochen werden. Nun wird b := a n 1/2 (mod n)) berechnet. Falls 1 < b < n 1 ist, ist nach dem Satz von Euler n keine Primzahl und der Test wird beendet. Falls b = 1 oder b = n-1 ist, kann es sich um eine Eulersche Pseudoprimzahl handeln und der nächste Schritt muss auch noch ausgeführt werden. Nun wird das Jacobi-Symbol J(a,n) berechnet. Wenn n Prim ist, muss J(a, n) b (mod n) ergeben. Wenn alle diese Tests nun g = 1, b = 1 oder b = n-1 und J(a, n) b (mod n) ergeben, wird durch den Solovay-Strassen-Test keine Aussage gemacht, und n ist somit eventuell eine Primzahl Aussagen Falls n eine Primzahl ist, wird der Solovay-Strassen-Test immer Keine Aussage liefern. Falls n keine Primzahl ist, liegt die Wahrscheinlichkeit im ersten Test bereits ein a zu 8

9 3 Primzahlensuche - Probabilistische wählen, dass der Test ein falsches Ergebnis liefert bei weniger als 50 Prozent Effizienz Der Test ist effizient weil der ggt, die Potenzen und das Jacobi-Symbol effizient berechnet werden können 3.3 Miller-Rabin-Test Der Miller-Rabin-Test (benannt nach Gary L. Miller und Michael O. Rabin) ist auch ein Monte-Carlo-Algorithmus Algorithmus n sei eine ungerade Zahl, die wir auf Prim untersuchen wollen. 1. Wähle eine Basis a, wobei a 2,3,...,n-2,n-1 2. Nun wird ein Test verwendet, der jede nicht Prim oder nicht Starke Primzahl (zur Basis a) nicht bestehen wird. Bei n 1 = d 2 j wobei d ungerade ist, gilt entweder: a d 1(mod n) oder a d 2r 1(mod n) wobei 0 r < j Diese Aussage kann jedoch vereinzelt auch zu jeder Basis a von zusammengesetzten Zahlen erfüllt werden. Solche Zahlen heissen Starke Pseudoprimzahlen zur Basis a Effizienz Der Miller-Rabin-Test ähnelt von der Funktionsweise stark dem Solovay-Strassen-Test. Jedoch ist der Miller-Rabin-Test dem Solovay-Strassen-Test in den wesentlichen Punkten überall überlegen. Der Miller-Rabin-Test ist schneller, und die Wahrscheinlichkeit eine Zahl fälschlicherweise als Prim zu erkennen ist geringer. Zusätzlich wird bei jeder Zahl, die der Solovay-Strassen-Test als zusammengesetzt erkennt, der Miller-Rabin-Test dies auch als zusammengesetzte Zahl erkennen. 9

10 4 Anwendungen in der Public Key Kryptographie 4 Anwendungen in der Public Key Kryptographie 4.1 Einleitung Grosse Primzahlen haben in der Kryptographie die Wissenschaft vom Verschlüsseln wesentlich verändert und vorangetrieben. Man stellt sich vor man hat 2 sehr grosse (mehrere Hundert Stellen) Primzahlen gefunden und nennt sie p und q. Als nächstes wird das Produkt von p mal q berechnet. Das Produkt wird n genannt. Bis Heute ist kein Verfahren bekannt wie man durch n die Faktoren p und q in realistischer Zeit rekonstruieren kann. Man bräuchte etliche Jahrtausende Zeit mit den derzeit besten Computern der Welt um diese Faktorisierung durchzuführen. Diese Tatsache wird in der Kryptographie ausgenutzt. Es wird ein Satz der Zahlentheorie angewandt, der schon seit mehreren Hundert Jahren bekannt ist: Eine gegebene Zahl kann unter Verwendung von n so manipuliert werden (durch anwendung vom Modulo-rechnen. Allgemein ist m modulo n der Rest, der beim Teilen von m durch n übrig bleibt. Beispiel: 27modulo5 2), dass nur wenn man p und q kennt diese Veränderung rückgängig gemacht werden kann. Wenn Ihnen also z.b. Alice an Bob eine sehr vertrauliche Nachricht schicken möchten, so muss Bob Alice nur die Zahl n mitteilen und ein Verfahren definieren, wie die Nachricht mit Hilfe von n abzuändern ist. Dazu muss die Nachricht (also die Wörter / Buchstaben) vorher in eine Zahl umgewandelt werden. Dieses Resultat wird nun an Bob geschickt und niemand ausser Bob kann durch die verschlüsselte Nachricht einen Schluss über die ursprüngliche Nachricht ziehen. Da Bob aber p und q kennt, bereitet ihm das entschlüsseln keine Schwierigkeiten. Ein grosser Positivpunkt an diesem Verfahren ist, dass es sozusagen in der Öffentlichkeit stattfinden kann. Egal wer sich das zum Verschlüsseln wichtige n und die verschlüsselte Nachricht ansieht, niemand wird damit etwas anfangen können. In der Kryptographie wird das ganze Public key cryptography genannt. Auch für Mathematiker ist es sehr erstaunlich, dass diese Methode aus der Zahlentheorie heute täglich millionenfach bei der Übermittlung von s etc. im Internet eine wesentliche Rolle spielt. 10

11 5 Verschlüsselungsmethoden 5 Verschlüsselungsmethoden In der Verschlüsselung gibt es die symmetrische und die asymmetrische Verschlüsselung Symmetrische Verschlüsselung Bei der symmetrischen Verschlüsselung gibt es einen geheimen Schlüssel k, mit welchem eine Nachricht von Alice verschlüsselt wird, und Bob kann dann den darausresultierenden Ciphertext auch mithilfe desselben Schlüssels k wieder entschlüsseln. Ein einfaches Beispiel wäre z.b. wenn wir das Wort Test nehmen und dies in Binär dargestellt mit dem Schlüssel XOR en. Resultiert daraus: was der verschlüsselten Nachricht m entspricht Wenn diese Nachricht nun wieder mit k gexor t wird, erhält man daraus wieder , die Binärascii representation vom Wort Test. 5.1 Asymmetrische Verschlüsselung - RSA Als Asymmetrisches Beispiel wo die Primzahlen zum Einsatz kommen wird RSA (Rivest, Shamir und Adleman) welches 1978 vorgeschlagen wurde verwendet. RSA wird sowohl zum verschlüsseln als auch zum signieren von Daten verwendet. Hier wird der Private Schlüssel geheim gehalten und kann nur mit einem enormen Aufwand aus dem öffentlichen Schlüssel berechnet werden Algorithmus Die Nachricht wird als Zahl abgebildet. Dazu kann irgend ein Transformationsverfahren angewandt werden, für die Sicherheit hat das verwendete Verfahren keine Relevanz. Mithilfe der Tabelle aus Abbildung 2 wird die Nachricht Test beispielsweise in die Ziffernfolge: transformiert. 11

12 5 Verschlüsselungsmethoden Abbildung 2: Matrix um Buchstaben in Zahlen abzubilden Als nächsten Schritt wird der RSA Schlüssel gebildet. Dazu werden 2 grosse Primzahlen, p und q verwendet. Um einen RSA-Modul von 1024 Bit länge zu generieren, sollten p und q jeweils 512 Bit länge aufweisen. p und q werden zufällig generiert und anschliessend auf Prim untersucht. Dies wird wiederholt bis man 2 Primzahlen der gewünschten Länge gefunden hat. Aus diesen bildet man nun das Produkt p q = n Funktionen wie diese, die in die eine Richtung einfach (Multiplikation) und in die andere Richtung schwierig (Faktorenzerlegung) sind, nennen sich Einwegfunktionen. Nun wählt man eine zu ϕ(n) = (p 1) (q 1) Teilerfremde Zahl e > 1. Damit wird nun ein natürliches d mit der Eigenschaft e d 1(modϕ(N)) gebildet. Somit erhält man ein Öffentliches Schlüsselpaar (e, n) Privates Schlüsselpaar (d, n) Nun können bereits verschlüsselte Nachrichten von Alica an Bob geschickt werden. Alice muss also zuerst irgendwo den Öffentlichen Schlüssel von Bob einsehen. Bob kann den ins 12

13 5 Verschlüsselungsmethoden Internet stellen, per Mail an Alice schicken oder ihr sonst wie mitteilen. Alice rechnet dann: y m e modn. m ist hierbei die Nachricht und y das daraus resultierende Chiffrat. y kann nun über ein unsicheres Medium wie beispielsweise per HTTP von Alice an Bob geschickt werden. Bob wird die Nachricht nun folgendermassen entschlüsseln: m y d modn. Und erhält daraus wieder die Ursprüngliche Nachricht m. Beispiel Wir wählen die beiden Primzahlen p=11 und q=13 Der RSA Modul ist 11 * 13 = 143 Durch die eulersche-phi Funktion erhalten wir den Wert ϕ(n) = ϕ(143) = (p 1)(q 1) = = 120 Die eulersche-phi Funktion gibt für jedes natürliche n an, wie viele zu n teilerfremde natürliche Zahlen existieren, die nicht grösser als n sind. e muss nun Teilerfremd zu 120 sein. Wir wählen e=23 Somit ist (23, 143) unser öffentliches Schlüsselpaar. Nun muss das Inverse zu e berechnet werden. Es gilt e d + k ϕ(n) = 1 = ggt (e, ϕ(n)) Also 23 d + k 120 = 1 = ggt (23, 120) Mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus wird nun d = 47 und k = -9 berechnet. Durch die vorangehende Gleichung ergibt sich somit also ( 9) 120 = 1. d ist der geheime Exponent. k wird nicht weiter verwendet. Wollen wir nun die Nachricht 7 verschlüsseln, rechnen wir y = 7 23 mod143 = 2 Also wird die Zahl 2 an Bob geschickt. Abbildung 3: Alice schickt Bob den Ciphertext 13

14 5 Verschlüsselungsmethoden Bob rechnet m = 2 47 mod143 = 7 und hat somit die ursprüngliche Nachricht wieder erhalten. Asymmetrische Verschlüsselungsverfahren wie RSA werden in der Praxis aufgrund des erhöhten Rechenaufwands nicht verwendet um alle möglichen Daten verschlüsselt auszutauschen. Vom Aufwand her sind asymmetrische Verfahren rund Mal langsamer als symmetrische Verfahren. Der grosse Nachteil bei den Symetrischen Verschlüsselungsverfahren ist jedoch, da die beiden Kommunikationspartner jeweils denselben Schlüssel brauchen und diesen irgendwie vorher austauschen müssen, was in der Regel nicht ganz einfach ist. Hier kommen hybride Verfahren zum Einsatz. Also wird beispielsweise mittels RSA von Alice ein symmetrischer Schlüssel generiert und dieser mittels öffentlichem Schlüssel von Bob verschlüsselt und an Bob übermittelt. Niemand ausser Bob kann nun diese Nachricht entschlüsseln und die beiden Partner können ab hier symmetrische Verschlüsselungsverfahren anwenden für die Kommunikation. 14

15 6 Fazit 6 Fazit Probabilistische Primzahlentests haben sich in der Praxis aufgrund der hohen Effizienz durchgesetzt Eine Primzahl durch Probabilistische Tests zu unrecht als Prim zu identifizieren kann durch wiederholen der Tests beliebig gering ausfallen In Der Praxis wird oft der Miller-Rabin Test verwendet Um die Fehlerwahrscheinlichkeit zu reduzieren, können auch 2 Verfahren hintereinander angewandt werden 15

16 7 Literaturverzeichnis 7 Literaturverzeichnis Schluessel.html diskussion.html Grafiken: blue public key cryptography de Orange blue public key cryptography de.svg.png blue public private keygeneratio Orange blue public private keygeneration de.svg.png slides/01 encryption.svg 16

17 8 Glossar 8 Glossar RSA: Rivest, Shamir und Adlemann. Erstes asymmetrisches Verschlüsselungsverfahren aus 1977 ggt: Grösster gemeinsamer Teiler 17