Idee: Wenn wir beim Kopfknoten zwei Referenzen verfolgen können, sind die Teillisten kürzer. kopf Eine Datenstruktur mit Schlüsselwerten 1 bis 10

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1 Binäre Bäume Bäume gehören zu den wichtigsten Datenstrukturen in der Informatik. Sie repräsentieren z.b. die Struktur eines arithmetischen Terms oder die Struktur eines Buchs. Bäume beschreiben Organisationshierarchien in Unternehmen oder die Aufrufstruktur eines Divide-and-Conquer- Algorithmus. Ein Nachteil beim Suchen von Komponenten in linearen Listen ist, dass man sich, beginnend beim Listenkopf, linear durch die.liste bewegen muss. Idee: Wenn wir beim Kopfknoten zwei Referenzen verfolgen können, sind die Teillisten kürzer. Dies nutzen wir beim Suchen aus: kopf Eine Datenstruktur mit Schlüsselwerten 1 bis 10 Suchschritte (Mittelwert s) Suche von 5: 1 Vergleich Suche von 2: 7 Vergleiche Suche von 7: 10 Vergleiche... s = ( ) / 10 = 5, wurzel Mittelwert s = ( ) / 10 = 3, Bei geeigneter Fortführung erhalten wir einen Baum. Wagner, 14. Apr Seite 1

2 Binärbaum Stufe (level) der Knoten li. Teilb. 4 5 Blatt = äußerer Knoten 6 7 Wurzel 8 9 re. Teilb. Die maximale Stufe des Baums heißt Höhe: h = 3 innerer Knoten 10 Die Zahl der Kanten von der Wurzel bis zu einem Knoten heißt Weglänge. Ein Knoten auf der Stufe i hat die Weglänge i Der Knoten (node) ohne Vorgänger heißt Wurzel (root). Knoten mit Nachfolgern heißen innere Knoten. Knoten ohne Nachfolger heißen Blätter (leaf, leaves). Jedem Knoten ist eine Stufe (level) zugeordnet: Die Stufe ist die Länge des Pfades bis zur Wurzel. Die Höhe (height) des Baums ist die maximale Stufe. Der leere Baum hat die Höhe -1. Suchaufwand Schlüssel Zahl der Vergleiche 6 1 3, 9 2 2, 5, 8, , 4, 7 4 Wagner, 14. Apr Seite 2

3 Damit erhalten wir einen mittleren Suchaufwand s = (1 + 2*2 + 4*3 + 3*4)/ 10 = 2,9. Bei z.b Schlüsseln beträgt s = 9. Definition Ein binärer Baum (binary tree) vom Knotentyp T (Klassentyp) ist entweder 1. die leere Struktur oder 2. ein Knoten (Wurzel) vom Typ T, der mit zwei verschiedenen binären (Teil-)Bäumen vom Typ T verknüpft ist: linker und rechter Teilbaum der Wurzel. Anmerkungen Auf Grund dieser rekursiven Definition ist ein Baum eine rekursive Datenstruktur. Falls linker und rechter Teilbaum leer sind, besteht der Baum nur aus der Wurzel. Bäume Baum mit 6 Knoten Leerer Baum Baum mit 1 Knoten null Nur der Handle Bemerkung: Die lineare Liste ist ein Sonderfall eines Baums, wobei jeder Knoten nur einen Nachfolger hat. Wagner, 14. Apr Seite 3

4 Definition Ein binärer Baum heißt voll, wenn alle inneren Knoten 2 Nachfolger haben. Ein voller Binärbaum heißt vollständig, falls alle Blätter die gleiche Tiefe haben. Eigenschaften Wie viele Blätter b hat ein binärer Baum der Höhe h maximal? -> b 2 h Wie viele Knoten n hat ein binärer Baum der Höhe h maximal? -> n 2 h+1-1 Wie viele Kanten (edges) e hat ein binärer Baum mit n Knoten? -> e = n - 1 Wie hängen bei einem vollständigen Binärbaum Blattzahl und die Zahl der inneren Knoten zusammen? Bäume finden bei arithmetischen Ausdrücken als Strukturbäume (parse trees) eine Anwendung. In den inneren Knoten sind die Operatoren, in den Blättern werden die Operanden gespeichert. Wagner, 14. Apr Seite 4

5 Strukturbäume (parse trees) a + b * c (a + b)*c + * * + a b c a b c Weitere Beispiele: (( a + b ) / c ) * (d - e*f) ( a + b*c )*d Aufgabe: Welche der obigen Strukturbäume sind vollständig? Für einen vollständigen binären Baum der Höhe h gilt: Höhe Knoten n Blätterzah l 0 1 = = = = = = 2 2 h n = 2 h h n = 2 h+1-1 à n + 1 = 2 h+1 lg à lg(n + 1) = (h + 1)* lg 2 à h = lg(n+1) /lg 2-1 Wagner, 14. Apr Seite 5

6 Eigenschaften Falls der Baum vollständig ist, gibt es 1 Knoten mit der Weglänge 0 2 " " " 1 4 " " " 2 8 " " " k " " k Für einen vollständigen Binärbaum der Höhe h = 3 gilt für die mittlere Weglänge: laenge = (1*0 + 2*1 + 4*2 + 3*8 ) /15 = 2,3 Aufgaben Berechne Knoten- und Blattzahl, sowie die mittlere Weglänge bei einem vollständigen Baum der Höhe h = 4, 5, 6, 10, 20. Die Höhe eines vollständigen binären Baums wächst nur logarithmisch mit der Knotenzahl: n = h 13; n=10 6 h 19 Wagner, 14. Apr Seite 6

7 Vollständig ausgeglichene Bäume Konstruktion eines Baums mit minimaler Höhe (vollständig ausgeglichener Baum) Beispiel: n = 10 nli = [ n / 2] 5 4 nre = n -1 - [ n / 2] nli = [2 div 2] nre = 0 usw. Der komplette Baum Wagner, 14. Apr Seite 7

8 Aufgaben: Erstelle vollständig ausgeglichene Bäume mit n = 5, 6, 7, 8, 9, 11 Knoten. Lösung (für n = 8) Vollständig ausgeglichener Baum (n = 8) Definition: Ein binärer Baum heißt vollständig ausgeglichen, wenn sich für jeden Knoten die Anzahlen der Knoten im linken und rechten Teilbaum um höchstens 1 unterscheiden. Anmerkung (nicht im Lehrplan) Eine schwächere Definition gilt für den AVL-Baum: Definition: Ein binärer Baum heißt ausgeglichener Baum (AVL-Baum: Adelson-Velskij; Landis), wenn sich für jeden Knoten die Höhen der beiden Teilbäume um höchstens 1 unterscheiden. Wagner, 14. Apr Seite 8

9 Algorithmus Voll_Ausgeglichener_Baum Erzeuge Knoten für die Wurzel Erzeuge linken Teilbaum mit nli = n / 2 Knoten (ganzzahlige Division) Erzeuge rechten Teilbaum mit nre = n - nli - 1 Knoten Wagner, 14. Apr Seite 9

10 Traversierungsarten Traversieren eines Baums (tree traversal) W L R Preorder: Betrachte (bearbeite) die Wurzel, dann in gleicher Weise den linken Teilbaum, dann den rechten Teilbaum Preorder: WLR Inorder: LWR Postorder: LRW Rekursive Traversierung eines Baums mit n Knoten Jede Kante wird zweimal durchlaufen: Beim Absteigen und beim Aufsteigen. Dies ergibt 2n -2 Kantentraversierungen (Schritte), d.h. S(n) = O(n) Wagner, 14. Apr Seite 10

11 Fülle einen vollständig ausgeglichenen Baum mit n Knoten gemäss Inorder mit den Zahlen 1 bis n: Gib die Knotenreihenfolge für die Traversierungsarten Preorder und Postorder an: n= 7 ( n= 9) Beispiel: n = 8 Vollständig ausgeglichener Baum (n = 8) Aufgaben 1.1 Erstelle "von Hand" einen vollständig ausgeglichenen binären Baum derart, dass bei Preorder-Traversierung das Wort ALGORITHMUS gelesen wird. 1.2 Schreibe die Besuchsreihenfolge bei Inorder- und Postorder-Traversierung auf. 1.3 Bei Postorder-Traversierung eines Baumes wird das Wort POSTORDER ausgegeben. Gib den Baum an. Wagner, 14. Apr Seite 11

12 Anwendung: Strukturbäume Im Elternknoten steht das Operatorsymbol, die Kindknoten sind die Wurzeln der zu dem Operator gehörenden Terme. Traversieren eines Strukturbaums c * (b + a) * Preorder Inorder *c+ba c*b+a + Postorder cba+* c b a Der Postorderdurchlauf liefert die Postfixnotation. Sie kommt ohne Klammern aus und hält die Operatorprioritäten ein! // jbaum09 Postorder-Traversierung (a + b)*c + * a b + c * a b c Wagner, 14. Apr Seite 12

13 Aufgaben Erstelle für folgende Terme den Strukturbaum und gib den Term in Postfixnotation an: a) a*(b+c) - d b) 3* a + c/ 5 c) a * b + c - d d) a * b +( c - d) e) (a - c) / (e - 11) f) ((a + b) /c)*(d - e*f) g) ((a + b) /c) * (d - e + f) Gib die Strukturbäume an ( a + b*c )*d (( a + b) + c) +d (( a + b ) /c )*(d - e * f) a*(b + c) - d Welche Ausgaben liefert ein Postorderdurchlauf? Levelorder-Durchlauf Durchlaufe den Baum Schicht für Schicht, beginnend mit der Wurzel. Levelorder-Durchlauf 1 Start Gewinnpositionen Ende? Wagner, 14. Apr Seite 13

14 Der Baum stellt Spielpositionen dar. Levelorder sucht Gewinnpositionen, die mit möglichst wenig Zügen (Kanten) erreichbar sind. Aufgabe: Wie groß ist die Maximalzahl der Knoten in einer Schicht, wenn der Baum aus n Knoten besteht? Lösung: Wagner, 14. Apr Seite 14