4 Gleichungen und Ungleichungen

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1 In diesem Kapitel werden Techniken zur Bestimmung der Lösungsmengen von Gleichungen und Ungleichungen rekapituliert. 4.1 Eindimensionale Gleichungen und Ungleichungen Eine Gleichung oder Ungleichung ohne Variablen ist eine Aussage, z.b. ist 1 = 1 wahr und 0 > 1 falsch. Gleichungen oder Ungleichungen, bzw. mehrdimensionale Systeme von Gleichungen und Ungleichungen mit Variablen heißen Bestimmungsgleichungen bzw. ungleichungenund sind Aussageformen. Der einzige Unterschied zwischen Bestimmungsgleichungen und -ungleichungen besteht darin, daß bei letzteren an der Stelle des Gleichheitszeichens eine der Relationen >,,, <, steht. Für Gleichungen und Ungleichungen existieren Umformungen, die es ermöglichen, eine Aussageform in eine andere Aussageform mit derselben Lösungsmenge zu überführen, und die somit sehr nützlich dafür sind, die Lösungsmenge einer Ungleichung zu bestimmen, indem mit ihrer Hilfe die Aussageform nach der Unbekannten aufgelöst wird. Die wichtigsten dieser Umformungen sind nachfolgend für a, b, c R zusammengestellt: a<( ) b b>( ) a a<( ) b a + c<( ) b + c a<( ) b c>0 ca < ( ) cb a<( ) b c<0 ca > ( ) cb Man beachte, daß die Multiplikation einer Ungleichung mit einem Faktor c R, dessen Vorzeichen nicht bekannt ist, eine Fallunterscheidung für c>0 und c<0 erforderlich macht. Sei U eine Ungleichung der Form a b mit a und b als beliebige Ausdrücke, die eine unbekannte Variable enthalten. Eine Möglichkeit, deren Lösungsmenge L U zu bestimmen, ist, zunnächst die Lösungsmenge L G der Gleichung a = b zu berechnen. Es gilt dann L U = C R L G. 18

2 Beispiel 4.1: (i) Die Lösungsmenge der Ungleichung 2x 8mitx als Unbekannter ist die Menge aller reellen Zahlen, die größer oder gleich 4 sind, also das Intervall [4, ). (ii) Die Lösungsmenge der Ungleichung x +1 < 0mitx als Unbekannter ist die Menge aller reellen Zahlen, die kleiner als -1 sind, also das Intervall (, 1). (iii) Die Lösungsmenge der Ungleichung 3x 5 6x (2x +3)mit x als Unbekannter ist, wie die Kette 3x 5 6x (2x +3) Auflösen der Klammer 3x 5 6x 2x 3 Zusammenfassen der x-glieder 3x 5 4x x 2 4x 3x 2 x Ungleichung aufgelöst von Umformungen erbringt, das Intervall (, 2]. (iv) Um die Lösungsmenge der Ungleichung 5 1mitx als Unbekannter, an x welche zusätzlich die Forderung x 0 erhoben wird, zu bestimmen, wird zunächst der Fall x > 0 betrachtet. Die Multiplikation der Ungleichung mit x führt dann auf die Ungleichung 5 x. AlsoistdieLösungsmenge der urpsrünglichen Ungleichung für x>0 das Intervall L 1 =[5, ). Für den Fall x<0führt die Multiplikation der Ungleichung mit x hingegen auf die Ungleichung 5 x. Die Lösungsmenge der urpsrünglichen Ungleichung ist folglich für x<0 das Intervall L 2 =(, 0), und die gesamte Lösungsmenge ist L = L 1 L 2. Es existieren Arten von Ungleichungen, welche mit dem bisher behandelten Instrumentarium allein nicht gelöst werden können. Eine Ungleichung der Form a <b, a b, a >b a b oder a b mit a und b als beliebige Ausdrücke, die eine unbekannte Variable enthalten, heißt Ungleichung mit Absolutbetrag. Ist die Lösungsmenge einer solchen Ungleichung zu bestimmen, sind die nachfolgenden Äquivalenzen sehr hilfreich: 1. a <b a<b a<b 2. a b a b a b 3. a >b a>b a>b 4. a b a b a b 5. a b a b a b Um die Lösungsmenge L einer Ungleichung mit Absolutbetrag zu bestimmen, kann man gemäß dieser Äquivalenzen die Lösungsmengen L 1 und L 2 zweier dazu äquivalenter Ungleichungen ohne Absolutbetrag bestimmen. Im Falle der Verknüpfung, also in den Fällen 1, 2 und 5 bildet man dann L = L 1 L 2 und für die Verknüpfung, also in den Fällen 3 und 4, entsprechend L = L 1 L 2. 19

3 Beispiel 4.2: (i) Die Ungleichung x 5 x ist (nach 4.) äquivalent zu x 5 x x (5 x). U 1 := U 2 := Die Lösungsmenge der Ungleichung U 1 ist, wie die Kette x 5 x +x 2x 5 :2 x 5/2 Ungleichung aufgelöst von Äquivalenzumformungen erbringt, L 1 =(, 5/2]. Die Lösungsmenge der Ungleichung U 2 ist, wie die Kette x (5 x) Klammer auflösen x 5+x x 0 5 Falsche Aussage von Äquivalenzumformungen erbringt, L 2 =. DieLösungsmenge der ursprünglichen Ungleichung ist also L = L 1 L 2 =(, 5/2]. (ii) Die Ungleichung 6 x < 8ist(nach1.)äquivalent zu 6 } {{ x<8 } (6 x) < 8. U 1 := U 2 := Die Lösungsmenge der Ungleichung U 1 ist das offene Intervall L 1 =( 2, ), die Lösungsmenge der Ungleichung U 2 das offene Intervall L 2 =(, 14). Die Lösungsmenge der Ungleichung 6 x < 8 ist also L = L 1 L 2 =( 2, 14). Eine Ungleichung der Form + px + qb0, wobei B für eine der Relationen =,>,,,< oder steht,heißtquadratische Gleichung oder Ungleichung. Eine quadratische Gleichung hat entweder keine, eine oder zwei Lösungen in R, welche sich mit Hilfe der sogenannten pq-formel x 1,2 = p 2 ± (p 2) 2 q berechnen lassen. Diese Formel besagt, daß die oben angegebene quadratische Gleichung für ( p 2 2) q>0zweilösungen hat, nämlich x 1 = p (p ) q und x2 = p (p ) q, 2 20

4 Fall (a): Fall (b): Fall (c): B 2Lösungen 1Lösung keine x u,x o x u,o Lösung > (,x u ) (x o, ) R \{x u,o } R (,x u ] [x o, ) R R [x u,x o ] {x u,o } < (x u,x o ) R \{x u,x o } R \{x u,o } R Tabelle 4.1: Lösungsmengen quadratischer Ungleichungen für ( p 2) 2 q =0eineLösung, nämlich x 1 = = p 2 und für ( p 2) 2 q<0keinelösung, da die Wurzel einer negativen Zahl in R nicht definiert ist. 1 Beispiel 4.3: (i) Die Gleichung +2x 15 = 0 hat nach der pq-formel x 1,2 = 1 ± 1+15= 1 ± 4dieLösungsmenge {3, 5}. (ii) Die Gleichung +4x+10=0hatnachderpq-Formelx 1,2 = 2± 4 10 keine Lösung, da 6 nicht definiert ist. Um eine quadratische Ungleichung zu lösen, sind zunächst etwa alle Lösungen der von der quadratischen Ungleichung abgeleiteten Gleichung + px + q =0 zu bestimmen. Die Lösungsmenge der quadratischen Ungleichung ergibt sich nun in Abhängigkeit von den Lösungen der quadratischen Gleichung und der Relation B gemäß Tabelle 4.1. Die in Tabelle 4.1 zusammengestellten Ergebnisse werden in Abbildung 5.2 veranschaulicht, in welcher für die drei Fälle (a), (b) und (c) jeweils eine durch eine entsprechende quadratische Gleichung beschriebene Parabel dargestellt ist. Beispiel 4.4: (i) Die zur quadratischen Ungleichung x 2 0gehörende Gleichung x 2 = 0 hat nach der pq-formel die beiden Lösungen x u = 1 und x o =2 mit x u <x o.dannistdielösungsmenge der betrachteten quadratischen Ungleichung das geschlossene Interval [ 1, 2]. 1 Tatsächlich ist die Wurzel einer negativen reellen Zahl eine komplexe Zahl in C. 21

5 x u x o x x u,o x x (a) (b) (c) Abbildung 4.1: Die drei Fälle beim Lösen quadratischer Ungleichungen (ii) Die zur quadratischen Ungleichung 11x +24> 0gehörende Gleichung 11x + 24 = 0 hat nach der pq-formel die beiden Lösungen x u = 3 und x o =8.Dannist(, 3) (8, ) dielösungsmenge der betrachteten quadratischen Ungleichung. (iii) Die quadratische Ungleichung +1 0 hat, wie man leicht erkennt, keine Lösung. Ihre Lösungsmenge ist daher. 4.2 Mehrdimensionale Gleichungs- und Ungleichungssysteme Auch Bestimmungsgleichungen- oder ungleichungen mit n = 2, 3,... Unbekannten sind Aussageformen, deren Lösungsmenge eine Menge von n-tupeln oder n- Vektoren aus Elementen der Grundmenge ist. Ein Gleichungs- bzw. Ungleichungssystem besteht aus mehreren Bestimmungsgleichungen und -ungleichungen, die dieselben Variablen enthalten. Offenbar können auch Systeme auftreten, die sowohl Gleichungen als auch Ungleichungen enthalten. Die Menge der n-tupel von Zahlen, die gleichzeitig jede dieser Gleichungen und Ungleichungen erfüllen, heißt auch Lösungsmenge L des Gleichungs- bzw. Ungleichungssystems. Diese können wir für ein System von Gleichungen oder Ungleichungen A 1 (x),...,a k (x) mit x R n bestimmen, indem wir zunächst deren jeweilige Lösungsmenge L i mit i =1,...,k ermitteln. Es ist dann L = L 1 L 2... L k. Beispiel 4.5: (i) Die Bestimmungsgleichung 4x 1 +2 =6mitVariablenx 1 und hat die 22

6 Lösungsmenge {(x 1, ) x 1 R =3 2x 1 }. (ii) Die Lösungsmenge der Bestimmungsungleichung x 1 > 0 mit Variablen x 1 und besteht aus den 2-Tupeln (x 1, ), für die gilt, daß x 1 und beide ungleich Null sind und das gleiche Vorzeichen haben. (iii) Die beiden Gleichungen x 1 + = 0 und x 1 = 0 bilden gemeinsam ein Gleichungssystem. Die Lösungsmenge der ersten Gleichung ist L 1 = {(x 1, ) x 1 R = x 1 },dielösungsmenge der zweiten Gleichung ist L 2 = {(x 1, ) x 1 R = x 1 }. Folglich ist die Lösungsmenge des Gleichungssystems L = L 1 L 2 = {(0, 0)}. 4.3 Lineare Gleichungssysteme Gleichungssysteme, deren Einzelgleichungen alle in jeder Unbekannten linear sind, heißen lineare Gleichungssyteme. Sie kommen in den Wirtschaftswissenschaften häufig vor und sind wegen der Linearität leicht lösbar. Ein lineares Gleichungssystem hat entweder keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen. Beispiel 4.6: (i) Um die Lösungsmenge des Gleichungssystems 2x +3y =14 G 1 := und 4x y =0 G 2 := mit den Variablen x und y zu bestimmen, kann man zunächst G 2 nach y auflösen und erhält dann y =4x. Ersetzt man nun in G 1 die Variable y durch 4x, ergibt sich 2x +3(4x) = 14. Die Lösung dieser Gleichung ist x =1.Mity =4x folgt y = 4.DieLösungsmenge des betrachteten Gleichungssystems ist also {(1, 4)}. (ii) Um die Lösungsmenge des Gleichungssystems x +2y =3 G 1 := und 2x +4y 4=0 G 2 := zu bestimmen, kann man zunächst G 1 nach x auflösen und erhält dann x =3 2y. Ersetzt man nun in G 2 x durch 3 2y, folgt die Gleichung 2(3 2y)+4y 4=0, die wegen 2 0 keine Lösung hat. Die Lösungsmenge dieses Gleichungssystems ist also leer. Ein effizienteres Verfahren zur Bestimmung der Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme, der sogenannte Gauss-Algorithmus, wird in der Vorlesung Mathematik II (Lineare Algebra) behandelt. 23

7 4 2 + x x 1 < x 1 1 ½ x 1 Abbildung 4.2: Lösungsmenge zu Beispiel 4.7 (i) 4.4 Zweidimensionale Ungleichungssysteme Im Fall mit zwei Variablen ist oft eine graphische Analyse in der euklidischen Ebene hilfreich. Es ist üblich, den Rand von Flächen für die Relationen und mit durchgezogenen und für < und > mit gestrichelten Linien darzustellen. Beispiel 4.7: (i) Um die Lösungsmenge des Ungleichungssystems U 1 : 2+x 1 U 2 : 1 1/2x 1 U 3 : x 1 < 3 mit den Variablen x 1 und graphisch zu bestimmen, zeichnen wir zunächst die zu jeder Ungleichung gehörende Gerade in die euklidische Ebene ein (Abbildung 4.2). Die Lösungsmenge zu den jeweiligen Ungleichungen U 1, U 2 oder U 3 entspricht jeweils der Halbebene rechts unterhalb, rechts oberhalb bzw. links dieser Geraden. Also ist die Lösungsmenge des Ungleichungssystems ist das grau markierte Dreieck ohne den rechten gestrichelten Rand (Abbildung 4.2). (ii) Die Lösungsmenge des Ungleichungssystems U 1 : 1 + x2 2 1 U 2 : x 1 24

8 x 1 1 x 1 Abbildung 4.3: Lösungsmenge zu Beispiel 4.7 (ii) mit Variablen x 1 und ist die grau dargestellte Schnittfläche der vom Einheitskreis 2 umschlossenen Fläche, welche die Lösungsmenge von U 1 darstellt, mit der Halbebene rechts oberhalb der Geraden = x 1,welchedieLösungsmenge von U 2 darstellt (Abbildung 4.3). 2 Ein Kreis mit dem Radius r R um den Ursprung wird durch die Gleichung 1 + x2 2 = r2 beschrieben. 25